लेवी ग्राफ: Difference between revisions

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बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली के लेवी ग्राफ में आमतौर पर कम से कम छः गर्थ (ग्राफ सिद्धांत) होते हैं: कोई भी 4-चक्र ग्राफ समान दो बिंदुओं के माध्यम से दो पंक्तियों के अनुरूप होगा। इसके विपरीत किसी भी द्विदलीय ग्राफ को कम से कम छह परिधि के साथ एक अमूर्त घटना संरचना के लेवी ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="bg"/>कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ [[बिरेगुलर ग्राफ]] हैं, और कम से कम छह परिधि वाले प्रत्येक बायरेगुलर ग्राफ़ को एक अमूर्त कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है।<ref>{{citation
 
बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली के लेवी ग्राफ में सामान्यतः कम से कम छः परिधि (ग्राफ सिद्धांत) होते हैं: कोई भी 4-चक्र ग्राफ समान दो बिंदुओं के माध्यम से दो पंक्तियों के अनुरूप होगा। इसके विपरीत किसी भी द्विपक्षीय ग्राफ को कम से कम छह परिधि के साथ अमूर्त आपतन संरचना के लेवी ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="bg" /> विन्यास के लेवी ग्राफ़ [[बिरेगुलर ग्राफ]] हैं, और कम से कम छह परिधि वाले प्रत्येक बायरेगुलर ग्राफ़ को अमूर्त विन्यास के लेवी ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है।<ref>{{citation
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लेवी ग्राफ को अन्य प्रकार की घटना संरचना के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में बिंदुओं और विमानों के बीच की घटनाएं। प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए एक समान [[ hypergraph ]] होता है, और इसके विपरीत।
 
लेवी ग्राफ को अन्य प्रकार की आपतन संरचना के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] में बिंदुओं और समतलो के बीच की आपतनएं है। प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए, समतुल्य [[ hypergraph |हाइपरग्राफ]] है, और इसके विपरीत है।


== उदाहरण ==
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  | footer = Heawood graph and Fano plane<br><small>Vertex <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd;">3</span> is part of the circular edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(3, 5, 6)</span>, the diagonal edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(3, 7, 4)</span>, and the side edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(1, 3, 2)</span>.</small>
  | footer = Heawood graph and Fano plane<br><small>Vertex <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd;">3</span> is part of the circular edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(3, 5, 6)</span>, the diagonal edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(3, 7, 4)</span>, and the side edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(1, 3, 2)</span>.</small>
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* [[Desargues ग्राफ]]़ Desargues कॉन्फ़िगरेशन का लेवी ग्राफ़ है, जो 10 बिंदुओं और 10 रेखाओं से बना है। प्रत्येक रेखा पर 3 बिंदु होते हैं, और प्रत्येक बिंदु से होकर 3 रेखाएँ गुजरती हैं। Desargues ग्राफ को [[सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ]] G(10,3) या पैरामीटर 5,2 के साथ Kneser ग्राफ के रूप में भी देखा जा सकता है। यह 20 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
* [[Desargues ग्राफ|डेसरग्यूज़ ग्राफ]] डेसरग्यूज़ विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 10 बिंदुओं और 10 लाइनों से बना है। प्रत्येक लाइन पर 3 बिंदु हैं, और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 रेखाएं हैं। डेसरग्यूज़ ग्राफ को [[सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ]] G(10,3) या पैरामीटर 5,2 के साथ केनेसर ग्राफ के रूप में भी देखा जा सकता है। यह 20 कोने के साथ 3-समभुजकोणीय है।
* [[हीवुड ग्राफ]] [[फानो विमान]] का लेवी ग्राफ है। इसे (3,6)-पिंजरे (ग्राफ़ सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है, और यह 14 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
* [[हीवुड ग्राफ]] [[फानो विमान|फानो समतल]] का लेवी ग्राफ है। इसे (3,6)-कैज (ग्राफ़ सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है, और यह 14 शीर्षों के साथ 3-समभुजकोणीय है।
* मोबियस-कैंटर ग्राफ मोबियस-कैंटर कॉन्फ़िगरेशन का लेवी ग्राफ है, जो 8 बिंदुओं और 8 रेखाओं की एक प्रणाली है जिसे यूक्लिडियन विमान में सीधी रेखाओं द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है। यह 16 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
* मोबियस-कैंटर ग्राफ मोबियस-कैंटर विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 8 बिंदुओं और 8 रेखाओं की एक प्रणाली है जिसे यूक्लिडियन समष्टि में सीधी रेखाओं द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है। यह 16 शीर्षों के साथ 3-समभुजकोणीय है।
* [[पप्पू ग्राफ]], पप्पस विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 9 बिंदुओं और 9 रेखाओं से बना है। Desargues कॉन्फ़िगरेशन की तरह प्रत्येक पंक्ति पर 3 बिंदु हैं और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 पंक्तियाँ हैं। यह 18 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
* [[पप्पू ग्राफ|पाप्पस ग्राफ]], पप्पस विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 9 बिंदुओं और 9 रेखाओं से बना है। डेसरग्यूज़ विन्यास की तरह प्रत्येक पंक्ति पर 3 बिंदु हैं और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 पंक्तियाँ हैं। यह 18 शीर्षों के साथ 3-समभुजकोणीय है।
* [[ग्रे ग्राफ]] [[पप्पू विन्यास]] का लेवी ग्राफ है जिसे महसूस किया जा सकता है <math>\R^3</math> के तौर पर <math>3\times 3\times 3</math> 27 बिंदुओं का ग्रिड और उनके माध्यम से 27 ओर्थोगोनल रेखाएँ।
* [[ग्रे ग्राफ]] [[पप्पू विन्यास|पाप्पस]] [[पप्पू विन्यास|विन्यास]] का लेवी ग्राफ है जिसे <math>\R^3</math> के तौर पर <math>3\times 3\times 3</math> 27 बिंदुओं का ग्रिड और उनके माध्यम से 27 आयतीय रेखाएँ के द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।
* टुट्टे आठ-पिंजरा क्रेमोना-रिचमंड कॉन्फ़िगरेशन का लेवी ग्राफ है। इसे (3,8)-पिंजरे के रूप में भी जाना जाता है, और यह 30 कोने के साथ 3-नियमित है।
* ट्यूट आठ-कैज क्रेमोना-रिचमंड विन्यास का लेवी ग्राफ है। इसे (3,8)-कैज के रूप में भी जाना जाता है, और यह 30 कोने के साथ 3-समभुजकोणीय है।
* चार आयामी [[हाइपरक्यूब ग्राफ]] <math>Q_4</math> दो आपस में आपतित टेट्राहेड्रा के बिंदुओं और तलों द्वारा गठित मोबियस विन्यास का लेवी ग्राफ है।
* चार आयामी [[हाइपरक्यूब ग्राफ]] <math>Q_4</math> दो आपस में आपतित टेट्राहेड्रा के बिंदुओं और तलों द्वारा गठित मोबियस विन्यास का लेवी ग्राफ है।
* 112 शीर्षों पर [[लजुब्जाना ग्राफ]] लजुब्जाना विन्यास का लेवी ग्राफ है।<ref name="LUB">{{citation
* 112 शीर्षों पर [[लजुब्जाना ग्राफ]] लजुब्जाना विन्यास का लेवी ग्राफ है।<ref name="LUB">{{citation
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Latest revision as of 11:19, 18 May 2023

लेवी ग्राफ
Levi graph of Pappus Configuration.png
पप्पस ग्राफ, पप्पस विन्यास से बने 18 शीर्षों के साथ एक लेवी ग्राफ। एकल अक्षरों से लेबल किए गए शीर्ष विन्यास में बिंदुओं के अनुरूप होते हैं; तीन अक्षरों से लेबल किए गए शीर्ष तीन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखाओं के अनुरूप होते हैं।
Girth≥ 6
Table of graphs and parameters

मिश्रित गणित में, लेवी ग्राफ या आपतन ग्राफ एक द्विपक्षीय ग्राफ है जो आपतन संरचना से जुड़ा होता है।[1][2] आपतन ज्यामिति या प्रक्षेपी विन्यास में बिंदुओं और रेखाओं के संग्रह से, हम कोणबिंदु प्रति बिंदु, कोणबिंदु प्रति पंक्ति और बिंदु और रेखा के बीच प्रत्येक आपतन के लिए एक किनारे के साथ ग्राफ बनाते हैं। उनका नाम फ्रेडरिक विल्हेम लेवी के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1942 में उनके बारे में लिखा था।[1][3]

बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली के लेवी ग्राफ में सामान्यतः कम से कम छः परिधि (ग्राफ सिद्धांत) होते हैं: कोई भी 4-चक्र ग्राफ समान दो बिंदुओं के माध्यम से दो पंक्तियों के अनुरूप होगा। इसके विपरीत किसी भी द्विपक्षीय ग्राफ को कम से कम छह परिधि के साथ अमूर्त आपतन संरचना के लेवी ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है।[1] विन्यास के लेवी ग्राफ़ बिरेगुलर ग्राफ हैं, और कम से कम छह परिधि वाले प्रत्येक बायरेगुलर ग्राफ़ को अमूर्त विन्यास के लेवी ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है।[4]

लेवी ग्राफ को अन्य प्रकार की आपतन संरचना के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि यूक्लिडियन समष्टि में बिंदुओं और समतलो के बीच की आपतनएं है। प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए, समतुल्य हाइपरग्राफ है, और इसके विपरीत है।

उदाहरण

Heawood graph and Fano plane
Vertex 3 is part of the circular edge (3, 5, 6), the diagonal edge (3, 7, 4), and the side edge (1, 3, 2).
  • डेसरग्यूज़ ग्राफ डेसरग्यूज़ विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 10 बिंदुओं और 10 लाइनों से बना है। प्रत्येक लाइन पर 3 बिंदु हैं, और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 रेखाएं हैं। डेसरग्यूज़ ग्राफ को सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ G(10,3) या पैरामीटर 5,2 के साथ केनेसर ग्राफ के रूप में भी देखा जा सकता है। यह 20 कोने के साथ 3-समभुजकोणीय है।
  • हीवुड ग्राफ फानो समतल का लेवी ग्राफ है। इसे (3,6)-कैज (ग्राफ़ सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है, और यह 14 शीर्षों के साथ 3-समभुजकोणीय है।
  • मोबियस-कैंटर ग्राफ मोबियस-कैंटर विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 8 बिंदुओं और 8 रेखाओं की एक प्रणाली है जिसे यूक्लिडियन समष्टि में सीधी रेखाओं द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है। यह 16 शीर्षों के साथ 3-समभुजकोणीय है।
  • पाप्पस ग्राफ, पप्पस विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 9 बिंदुओं और 9 रेखाओं से बना है। डेसरग्यूज़ विन्यास की तरह प्रत्येक पंक्ति पर 3 बिंदु हैं और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 पंक्तियाँ हैं। यह 18 शीर्षों के साथ 3-समभुजकोणीय है।
  • ग्रे ग्राफ पाप्पस विन्यास का लेवी ग्राफ है जिसे के तौर पर 27 बिंदुओं का ग्रिड और उनके माध्यम से 27 आयतीय रेखाएँ के द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।
  • ट्यूट आठ-कैज क्रेमोना-रिचमंड विन्यास का लेवी ग्राफ है। इसे (3,8)-कैज के रूप में भी जाना जाता है, और यह 30 कोने के साथ 3-समभुजकोणीय है।
  • चार आयामी हाइपरक्यूब ग्राफ दो आपस में आपतित टेट्राहेड्रा के बिंदुओं और तलों द्वारा गठित मोबियस विन्यास का लेवी ग्राफ है।
  • 112 शीर्षों पर लजुब्जाना ग्राफ लजुब्जाना विन्यास का लेवी ग्राफ है।[5]

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Grünbaum, Branko (2006), "Configurations of points and lines", The Coxeter Legacy, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 179–225, MR 2209028. See in particular p. 181.
  2. ↑ Polster, Burkard (1998), A Geometrical Picture Book, Universitext, New York: Springer-Verlag, p. 5, doi:10.1007/978-1-4419-8526-2, ISBN 0-387-98437-2, MR 1640615.
  3. ↑ Levi, F. W. (1942), Finite Geometrical Systems, Calcutta: University of Calcutta, MR 0006834.
  4. ↑ Gropp, Harald (2007), "VI.7 Configurations", in Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Handbook of combinatorial designs, Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton) (Second ed.), Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, pp. 353–355.
  5. ↑ Conder, Marston; Malnič, Aleksander; Marušič, Dragan; Pisanski, Tomaž; Potočnik, Primož (2002), The Ljubljana Graph (PDF), IMFM Preprint 40-845, University of Ljubljana Department of Mathematics.

बाहरी संबंध

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