बूलियन वलय

गणित में, एक बूलियन वलय R एक वलय (गणित) है जिसके लिए R में सभी x के लिए x2 = x R होता है, अर्थात एक वलय है जिसमें केवल इम्पोटेंट तत्व होते हैं। एक उदाहरण पूर्णांक मॉडुलो 2 का वलय है।

प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित (संरचना) को उत्पन्न करता है, जिसमें तार्किक संयोजन या मिलन (गणित) ∧ के अनुरूप वलय गुणन होता है, और विशिष्ट वियोजन या सममित अंतर के लिए वलय जोड़ (तार्किक संयोजन ∨ नहीं , जो अंशपरिष्कृत का गठन करेगा) होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय को उत्पन्न करता है। बूलियन वलय का नाम बूलियन बीजगणित के संस्थापक जॉर्ज बूले के नाम पर रखा गया है।

अंकन पद्धति

बूलियन वलय और बीजगणित के लिए कम से कम चार अलग-अलग और असंगत अंकन प्रणालियां हैं:

• क्रमविनिमेय बीजगणित में मानक संकेतन x और y के वलय योग के लिए x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) का उपयोग किया जाता है और उनके गुणनफल के लिए xy = x ∧ y का उपयोग किया जाता है।
• गणितीय तर्क में, एक सामान्य संकेतन है कि मिलन के लिए x ∧ y का उपयोग किया जाए (वलय गुणनफल के समान) और जुड़ने के लिए x ∨ y का उपयोग किया जाए, जो x + y + xy द्वारा वलय संकेतन (ऊपर दिया गया है) के संदर्भ में दिया गया है।
• समुच्चय सिद्धान्त और गणितीय तर्क में मिलने के लिए x · y का उपयोग करना और x ∨ y में सम्मिलित होने के लिए x + y का उपयोग करना भी सरल है। + का यह प्रयोग वलय सिद्धांत में प्रयोग से भिन्न है।
• + की अस्पष्टता से बचने के प्रयास में, गुणनफल के लिए xy और वलय योग के लिए x ⊕ y का उपयोग करना एक असामान्य परंपरा है।

ऐतिहासिक रूप से, बूलियन वलय शब्द का उपयोग संभवतः पहचान के बिना बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है, और बूलियन बीजगणित का उपयोग पहचान के साथ बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है। GF(2) पर वलय को एक बीजगणित के रूप में मानने के लिए पहचान का अस्तित्व आवश्यक है: अन्यथा बूलियन वलय में दो तत्वों के क्षेत्र का एक (यूनिटल) वलय समरूपता नहीं हो सकता है। (यह माप सिद्धांत में शब्द वलय और बीजगणित शब्दों के पुराने उपयोग के समान है।)

उदाहरण

बूलियन वलय का एक उदाहरण किसी भी समुच्चय X का घात समुच्चय है, जहां वलय में जोड़ सममित अंतर है, और गुणन अंतरा प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम X के सभी परिमित समुच्चय या सहपरिमित उपसमुच्चय के समुच्चय पर भी विचार कर सकते हैं, फिर से सममित अंतर और प्रतिच्छेदन को संचालन के रूप में भी विचार कर सकते हैं। सामान्यतः बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा इन संक्रिया के साथ समुच्चय का कोई भी क्षेत्र बूलियन वलय होता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रत्येक बूलियन वलय समुच्चय के एक क्षेत्र के लिए समरूपीय ( इन संक्रिया के साथ एक वलय के रूप में माना जाता है) है ।

बूलियन बीजगणित से संबंध

संयुग्मन, विभाजन और पूरक के बूलियन संचालन के लिए वेन आरेख

चूंकि बूलियन बीजगणित में संयुक्त संक्रिया ∨ को प्रायः योगात्मक रूप से लिखा जाता है, इसलिए इस संदर्भ में ⊕ द्वारा वलय जोड़ को निरूपित करना समझ में आता है, एक प्रतीक जिसे प्रायः अनन्य या निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

एक बूलियन वलय R को देखते हुए, R में x और y के लिए हम परिभाषित कर सकते हैं

x ∧ y = xy,

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy,

¬x = 1 ⊕ x।

ये संक्रिया तब बूलियन बीजगणित (संरचना) में संयुग्मन, जुड़ने और पूरक होने के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित बन जाता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है:

xy = x ∧ y,

x ⊕ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y)।

यदि बूलियन वलय को बूलियन बीजगणित में इस तरह अनुवादित किया जाता है, और फिर बूलियन बीजगणित को वलय में अनुवादित किया जाता है, तो परिणाम मूल वलय होता है। समान परिणाम की शुरुआत बूलियन बीजगणित से होती है।

दो बूलियन वलय के बीच एक नक्शा एक वलय समरूपता है यदि और केवल यदि यह संबंधित बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है। इसके अतिरिक्त, बूलियन वलय का एक उपसमुच्चय एक आदर्श वलय (प्राइम वलय आइडियल, मैक्सिमल वलय आइडियल) है यदि और केवल यदि यह बूलियन बीजगणित का आदेश आदर्श (प्राइम ऑर्डर आइडियल, मैक्सिमल ऑर्डर आइडियल) है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। बूलियन वलय मोडुलो ए वलय आइडियल का भागफल वलय संबंधित बूलियन बीजगणित मोडुलो के कारक बीजगणित से संबंधित क्रम आदर्श से मिलता जुलता है।

बूलियन वलय के गुण

प्रत्येक बूलियन वलय R, R में सभी x के लिए x ⊕ x = 0 को संतुष्ट करता है, क्योंकि हम जानते हैं

x ⊕ x = (x ⊕ x)² = x² ⊕ x² ⊕ x² ⊕ x² = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

और चूंकि (R,⊕) एक एबेलियन समूह है, हम इस समीकरण के दोनों पक्षों से x ⊕ x घटा सकते हैं, जो x ⊕ x = 0 देता है। एक समान प्रमाण दिखाता है कि प्रत्येक बूलियन वलय क्रमविनिमेय है:

x ⊕ y = (x ⊕ y)² = x² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y

और इससे xy ⊕ yx = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ xy = yx (उपर्युक्त प्रथम गुण का उपयोग करके) है।

गुण x ⊕ x = 0 दर्शाता है कि कोई भी बूलियन वलय क्षेत्र (गणित) 'F₂' पर दो तत्वों के साथ, ठीक एक तरह से एक साहचर्य बीजगणित है। विशेष रूप से, किसी भी परिमित बूलियन वलय में प्रमुखता के रूप में दो की शक्ति होती है। F₂ पर प्रत्येक एकात्मक साहचर्य बीजगणित नहीं एक बूलियन वलय है: उदाहरण के लिए बहुपद वलय F2 [X] पर विचार करें।

किसी भी बूलियन वलय R modulo किसी भी आदर्श I का भागफल वलय R/I फिर से एक बूलियन वलय है। इसी तरह, बूलियन वलय का कोई भी उपवलय एक बूलियन वलय है।

कोई भी स्थानीयकरण $RS^{-1}$ एक बूलियन वलय R का एक समुच्चय द्वारा $S\subseteq R$ एक बूलियन वलय है, क्योंकि स्थानीयकरण में प्रत्येक तत्व निष्क्रिय है।

भागफल का अधिकतम वलय $Q(R)$ बूलियन वलय R का (उटुमी और जोआचिम लैम्बेक के अर्थ में) एक बूलियन वलय है, क्योंकि प्रत्येक आंशिक अंतःरूपांतरण इडिम्पोटेंट है।

बूलियन वलय R में प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी अधिकतम आदर्श है: भागफल वलय R/P एक अभिन्न डोमेन है और एक बूलियन वलय भी है, इसलिए यह क्षेत्र (गणित) 'F₂' के लिए समरूपी है। जो P की अधिकतमता को दर्शाता है। चूंकि अधिकतम आदर्श हमेशा प्रमुख होते हैं, प्रमुख आदर्श और अधिकतम आदर्श बूलियन वलय में मेल खाते हैं।

बूलियन वलय का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श आदर्श आदर्श होता है (वास्तव में, (x,y) = (x + y + xy))। इसके अतिरिक्त, जैसा कि सभी तत्व इम्पोटेंट हैं, इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। बूलियन वलय क्रम विनिमय वॉन न्यूमैन नियमित वलय हैं और इसलिए बिल्कुल समतल हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ऊपर प्रत्येक मॉड्यूल समतल मॉड्यूल है।

एकीकरण

बूलियन वलय में एकीकरण (तर्क) निर्णायकता (तर्क) है, अर्थात्, बूलियन वलय पर यादृच्छिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम उपस्थित हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित मुक्त बूलियन वलय में एकीकरण और मिलान दोनों एनपी-पूर्ण हैं, और दोनों ही बीजगणित बूलियन वलय में एनपी कठिन हैं जो परिमित रूप से प्रस्तुत बूलियन वलयों में हैं। (वास्तव में, बूलियन वलय में किसी भी एकीकरण समस्या f(X) = g(X) को मिलान समस्या f(X) + g(X) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समस्याएं समतुल्य हैं।)

बूलियन वलय में एकीकरण एकात्मक है यदि सभी अनपेक्षित फलन प्रतीक शून्य और परिमित हैं अन्यथा (अर्थात यदि बूलियन वलय के हस्ताक्षर में नहीं होने वाले फलन प्रतीक सभी स्थिरांक हैं तो एक सबसे सामान्य यूनिफ़ायर उपस्थित है, और अन्यथा यूनिफ़ायर का न्यूनतम पूर्ण सेट उपस्थित है) परिमित है)।

यह भी देखें

• वलय योग सामान्य रूप

अग्रिम पठन

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-01984-1
• Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), John Wiley & Sons
• Koppelberg, Sabine (1989). Handbook of Boolean algebras, vol. 1. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-70261-X.
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra (Revised ed.), Allyn and Bacon, LCCN 68015225
• Ryabukhin, Yu. M. (2001) [1994], "Boolean ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• John Armstrong, Boolean Rings