सरल लाई बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 12:24, 18 May 2023

बीजगणित में, साधारण लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक साधारण लाई बीजगणित का वर्गीकरण विल्हेम किलिंग और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।

साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्ध-साधारण लाई बीजगणित कहा जाता है।

एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित साधारण है।

जटिल साधारण लाई बीजगणित

एक परिमित-आयामी साधारण जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी के लिए समरूपी है: ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}$ (मौलिक लाई बीजगणित) या पाँच असाधारण लाई बीजगणित में से एक है ।^[1]

प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-साधारण बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के लिए , संबंधित आरेख उपस्थित है (जिसे डायनकिन आरेख कहा जाता है) जहां नोड्स साधारण जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स साधारण जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा जोड़ा जाता है (या संयुक्त नहीं किआ जाता है) तीर यह इंगित करने के लिए लगाए जाते हैं कि जड़ें लंबी हैं या छोटी हैं। ^[2] ${\mathfrak {g}}$ का डायनकिन आरेख जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि ${\mathfrak {g}}$ साधारण है। सभी संभव जुड़े डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:^[3]

जहां n नोड्स (साधारण जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल साधारण लाई बीजगणित का मिलान इस प्रकार है:^[2]

(ए_n)

\quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C}

(बी_n)

\quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C}

(सी_n)

\quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}

(डी_n)

\quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C}

बाकी, असाधारण लाई बीजगणित।

वास्तविक साधारण लाई बीजगणित

यदि ${\mathfrak {g}}_{0}$ परिमित-आयामी वास्तविक साधारण लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) साधारण या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का उत्पाद है और यह जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए, ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ की जटिलता वास्तविक लाई बीजगणित के रूप में सोचा जाता है ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}$ . इस प्रकार, वास्तविक साधारण लाई बीजगणित को जटिल साधारण लाई बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह प्रमाणित आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो डाइंकिन आरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक साधारण लाई बीजगणित की आंशिक सूची के लिए लाई समूहों की तालिका असली लाई बीजगणित भी देखें।

यह भी देखें

साधारण लाई समूह
वोगेल विमान

संदर्भ

Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.

"Lie algebra, semi-simple", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Simple Lie algebra at the nLab

[1] Fulton & Harris 1991, Theorem 9.26.

[21.1.-2] 2.0 ^2.1 Fulton & Harris 1991, § 21.1.

[3] Fulton & Harris 1991, § 21.2.

[1]

[2]

[3]

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 {{Lie groups}}
-बीजगणित में, एक सरल लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित|गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक सरल [[झूठ बीजगणित]] का वर्गीकरण [[विल्हेम हत्या]] और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।
+बीजगणित में, साधारण लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक साधारण [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] का वर्गीकरण [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।
-साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।
+साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्ध-साधारण लाई बीजगणित कहा जाता है।
-एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।
+एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित साधारण है।
-== जटिल सरल झूठ बीजगणित ==
+== जटिल साधारण लाई बीजगणित ==
-{{Main|root system}}
+{{Main|मूल प्रक्रिया}}
-एक परिमित-आयामी सरल जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी एक के लिए आइसोमोर्फिक है: <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{so}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}</math> ([[शास्त्रीय झूठ बीजगणित]]) या पाँच [[असाधारण झूठ बीजगणित]]ों में से एक।<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=Theorem 9.26.}}</ref>
-प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g}</math>, एक संबंधित आरेख मौजूद है (जिसे [[डायनकिन आरेख]] कहा जाता है) जहां नोड्स सरल जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स सरल जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा संयुक्त (या संयुक्त नहीं) होते हैं और यह इंगित करने के लिए तीर लगाए जाते हैं कि क्या जड़ें लंबी या छोटी होती हैं।<ref name="21.1.">{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.1.}}</ref> का डायनकिन आरेख <math>\mathfrak{g}</math> अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है <math>\mathfrak{g}</math> साधारण है। सभी संभव कनेक्टेड डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.2.}}</ref>
+एक परिमित-आयामी साधारण जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी के लिए समरूपी है: <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{so}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}</math> ([[शास्त्रीय झूठ बीजगणित|मौलिक लाई बीजगणित]]) या पाँच [[असाधारण झूठ बीजगणित|असाधारण लाई बीजगणित]] में से एक है ।<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=Theorem 9.26.}}</ref>
-:[[File:Finite_Dynkin_diagrams.svg|डायनकिन डायग्राम|480px]]जहां n नोड्स (सरल जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल सरल झूठ बीजगणित का पत्राचार इस प्रकार है:<ref name="21.1." />:(ए<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{sl}_{n+1} \mathbb{C}</math>
+प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-साधारण बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> के लिए , संबंधित आरेख उपस्थित है (जिसे [[डायनकिन आरेख]] कहा जाता है) जहां नोड्स साधारण जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स साधारण जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा जोड़ा जाता है (या संयुक्त नहीं किआ जाता है)  तीर यह इंगित करने के लिए लगाए जाते हैं कि जड़ें लंबी हैं या छोटी हैं। <ref name="21.1.">{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.1.}}</ref> <math>\mathfrak{g}</math> का डायनकिन आरेख जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि <math>\mathfrak{g}</math> साधारण है। सभी संभव जुड़े डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.2.}}</ref>
+:[[File:Finite_Dynkin_diagrams.svg|डायनकिन डायग्राम|480px]]
+:जहां n नोड्स (साधारण जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल साधारण लाई बीजगणित का मिलान इस प्रकार है:<ref name="21.1." />
+:(ए<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{sl}_{n+1} \mathbb{C}</math>
 :(बी<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{so}_{2n+1} \mathbb{C}</math>
 :(सी<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}</math>
 :(डी<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{so}_{2n} \mathbb{C}</math>
-:बाकी, असाधारण झूठ बीजगणित।
+:बाकी, असाधारण लाई बीजगणित।
-== वास्तविक सरल झूठ बीजगणित ==
-अगर <math>\mathfrak{g}_0</math> एक परिमित-आयामी वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) सरल या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का एक उत्पाद है और यह एक जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए, की जटिलता <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math> एक वास्तविक झूठ बीजगणित के रूप में सोचा जाता है <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C} \times \overline{\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}}</math>. इस प्रकार, एक वास्तविक सरल झूठ बीजगणित को जटिल सरल झूठ बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह Satake आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो Dynkin आरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक सरल झूठ बीजगणित की आंशिक सूची के लिए झूठ समूहों की तालिका#असली झूठ बीजगणित भी देखें।
-'''एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।'''
+== वास्तविक साधारण लाई बीजगणित ==
+यदि <math>\mathfrak{g}_0</math> परिमित-आयामी वास्तविक साधारण लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) साधारण या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का उत्पाद है और यह जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए,<math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math> की जटिलता वास्तविक लाई बीजगणित के रूप में सोचा जाता है <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C} \times \overline{\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}}</math>. इस प्रकार, वास्तविक साधारण लाई बीजगणित को जटिल साधारण लाई बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह प्रमाणित आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो डाइंकिन आरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक साधारण लाई बीजगणित की आंशिक सूची के लिए लाई समूहों की तालिका असली लाई बीजगणित भी देखें।
-'''साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।'''
-'''एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।'''
 == टिप्पणियाँ ==
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-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें                                                        ==
-* सरल झूठ समूह
+* साधारण लाई समूह
 * [[वोगेल विमान]]
-== संदर्भ ==
+== संदर्भ                                                            ==
 * {{Fulton-Harris}}
-* Jacobson, Nathan, ''Lie algebras'', Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979.  {{ISBN|0-486-63832-4}}; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.<!-- which we should reproduce here. Helgason is also another good source.-->
+* Jacobson, Nathan, ''Lie algebras'', Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. {{ISBN|0-486-63832-4}}; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.
 *{{eom|oldid=44225|title=Lie algebra, semi-simple}}
 *{{nlab|id=simple+Lie+algebra|title=Simple Lie algebra}}
-[[Category: बीजगणित झूठ बोलो]]
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