मिन्कोव्स्की समष्टि

This article is about बेंज प्लेन. It is not to be confused with मिन्कोवस्की समष्टि.

गणित में, हरमन मिन्कोव्स्की के नाम पर मिन्कोव्स्की समष्टि बेंज समष्टियों में से एक है। अन्य समष्टियाँ, मोबियस समष्टि और लागुएरे समष्टि हैं।

पारंपरिक वास्तविक मिन्कोव्स्की समष्टि

पारंपरिक मिन्कोवस्की समष्टि: 2d/3d-मॉडल

छद्म यूक्लिडियन दूरी को $d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}$ दो बिंदुओं पर $P_{i}=(x'_{i},y'_{i})$ यूक्लिडियन दूरी के अतिरिक्त हमें हाइपरबोला की ज्यामिति मिलती है, क्योंकि एक छद्म-यूक्लिडियन वृत्त $\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}$ मध्यबिंदु $M$ के साथ एक अतिपरवलय है। .

निर्देशांक के परिवर्तन से $x_{i}=x'_{i}+y'_{i}$, $y_{i}=x'_{i}-y'_{i}$छद्म-यूक्लिडियन दूरी को फिर से लिखा जा सकता है $d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$. हाइपरबोलस में गैर-प्राइमेड निर्देशांक अक्षों के समानांतर स्पर्शोन्मुख होते हैं।

निम्नलिखित समापन (मोबियस और लैगुएरे समष्टिों को देखें) हाइपरबोलस की ज्यामिति को समरूप बनाता है:

• 'अंक' का सेट:
  $${\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,$$
• चक्रों का सेट
  $${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}$$

घटना संरचना $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ पारंपरिक वास्तविक मिन्कोव्स्की समष्टि कहा जाता है।

बिंदुओं के समूह में शामिल हैं $\mathbb {R} ^{2}$, की दो प्रतियाँ $\mathbb {R}$ और बिंदु $(\infty ,\infty )$.

कोई रेखा $y=ax+b,a\neq 0$ बिन्दुवार पूरा किया गया है $(\infty ,\infty )$, कोई अतिपरवलय $y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ दो बिंदुओं से $(b,\infty ),(\infty ,c)$ (रेखा - चित्र देखें)।

दो बिंदु $(x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})$ एक चक्र से नहीं जोड़ा जा सकता है अगर और केवल अगर $x_{1}=x_{2}$ या $y_{1}=y_{2}$.

हम परिभाषित करते हैं: दो बिंदु $P_{1},P_{2}$ हैं (+)-समानांतर ($P_{1}\parallel _{+}P_{2}$) अगर $x_{1}=x_{2}$ और (-)-समानांतर ($P_{1}\parallel _{-}P_{2}$) अगर $y_{1}=y_{2}$.
ये दोनों संबंध बिंदुओं के समुच्चय पर तुल्यता संबंध हैं।

दो बिंदु $P_{1},P_{2}$ समानांतर कहा जाता है ($P_{1}\parallel P_{2}$) अगर $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ या $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$.

उपरोक्त परिभाषा से हम पाते हैं:

लेम्मा:

• गैर समानांतर बिंदुओं की किसी भी जोड़ी के लिए $A,B$ ठीक एक बिंदु है $C$ साथ $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.
• किसी भी बिंदु के लिए $P$ और कोई चक्र $z$ ठीक दो बिंदु हैं $A,B\in z$ साथ $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
• किन्हीं तीन बिंदुओं के लिए $A$, $B$, $C$, जोड़ीदार गैर समानांतर, ठीक एक चक्र है $z$ उसमें सम्मिलित है $A,B,C$.
• किसी भी चक्र के लिए $z$, कोई बिंदु $P\in z$ और कोई बिंदु $Q,P\not \parallel Q$ और $Q\notin z$ ठीक एक चक्र मौजूद है $z'$ ऐसा है कि $z\cap z'=\{P\}$, अर्थात। $z$ छू लेती है $z'$ बिंदु पी पर

पारंपरिक मोबियस और लैगुएरे समष्टिों की तरह मिन्कोव्स्की समष्टिों को एक उपयुक्त चतुर्भुज के समतल खंडों की ज्यामिति के रूप में वर्णित किया जा सकता है। लेकिन इस मामले में क्वाड्रिक प्रोजेक्टिव 3-स्पेस में रहता है: क्लासिकल रियल मिंकोव्स्की प्लेन एक शीट के हाइपरबोलॉइड के प्लेन सेक्शन की ज्यामिति के लिए आइसोमॉर्फिक है (इंडेक्स 2 का डिजनरेटेड क्वाड्रिक नहीं)।

मिंकोस्की समतल के अभिगृहीत

होने देना $\left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)$ सेट के साथ एक घटना संरचना हो ${\mathcal {P}}$ बिंदुओं का, सेट ${\mathcal {Z}}$ चक्रों और दो तुल्यता संबंधों की $\parallel _{+}$ ((+) - समानांतर) और $\parallel _{-}$ ((-)-समानांतर) सेट पर ${\mathcal {P}}$. के लिए $P\in {\mathcal {P}}$ हम परिभाषित करते हैं: ${\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}$ और ${\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}$. एक समतुल्य वर्ग ${\overline {P}}_{+}$ या ${\overline {P}}_{-}$ क्रमशः (+)-जनरेटर और (-)-जनरेटर कहलाते हैं। (पारंपरिक मिन्कोव्स्की समष्टि के अंतरिक्ष मॉडल के लिए एक जनरेटर हाइपरबोलॉइड पर एक रेखा है।)
दो बिंदु $A,B$ समानांतर कहा जाता है ($A\parallel B$) अगर $A\parallel _{+}B$ या $A\parallel _{-}B$.

एक घटना संरचना ${\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ निम्नलिखित अभिगृहीतों के अनुसार मिन्कोवस्की तल कहा जाता है:

मिन्कोवस्की-स्वयंसिद्ध-c1-c2

मिन्कोवस्की-स्वयंसिद्ध-c3-c4

* C1: गैर समानांतर बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए $A,B$ ठीक एक बिंदु है $C$ साथ $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.

• C2: किसी भी बिंदु के लिए $P$ और कोई चक्र $z$ ठीक दो बिंदु हैं $A,B\in z$ साथ $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
• C3: किन्हीं तीन बिंदुओं के लिए $A,B,C$, जोड़ीदार गैर समानांतर, ठीक एक चक्र है $z$ जिसमें है $A,B,C$.
• C4: किसी भी चक्र के लिए $z$, कोई बिंदु $P\in z$ और कोई बिंदु $Q,P\not \parallel Q$ और $Q\notin z$ ठीक एक चक्र मौजूद है $z'$ ऐसा है कि $z\cap z'=\{P\}$, अर्थात।, $z$ छू लेती है $z'$ बिंदु पर $P$.
• C5: किसी भी चक्र में कम से कम 3 बिंदु होते हैं। कम से कम एक चक्र है $z$ और एक बिंदु $P$ अंदर नही $z$.

जांच के लिए समानांतर वर्गों (क्रमशः C1, C2 के बराबर) पर निम्नलिखित कथन लाभप्रद हैं।

• C1′: किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $A,B$ अपने पास $\left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1$.
• C2': किसी भी बिंदु के लिए $P$ और कोई चक्र $z$ अपने पास: $\left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|$.

स्वयंसिद्धों के पहले परिणाम हैं

Lemma — For a Minkowski plane ${\mathfrak {M}}$ the following is true

1. Any point is contained in at least one cycle.
2. Any generator contains at least 3 points.
3. Two points can be connected by a cycle if and only if they are non parallel.

मोबियस और लैगुएरे समष्टिों के अनुरूप हम रैखिक से संबंध प्राप्त करते हैं अवशेषों के माध्यम से ज्यामिति।

मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ और $P\in {\mathcal {P}}$ हम स्थानीय संरचना को परिभाषित करते हैं

$${\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )$$

और इसे बिंदु P पर अवशेष कहते हैं।

पारंपरिक मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}$ असली एफ़िन प्लेन है $\mathbb {R} ^{2}$.

अभिगृहीत C1 से C4 और C1', C2' के तात्कालिक परिणाम निम्नलिखित दो प्रमेय हैं।

Theorem —  For a Minkowski plane ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )$ any residue is an affine plane.

Theorem —  Let be ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ an incidence structure with two equivalence relations $\parallel _{+}$ and $\parallel _{-}$ on the set ${\mathcal {P}}$ of points (see above).

Then, ${\mathfrak {M}}$ is a Minkowski plane if and only if for any point $P$ the residue ${\mathfrak {A}}_{P}$ is an affine plane.

न्यूनतम मॉडल

मिन्कोव्स्की समष्टि: न्यूनतम मॉडल

Minkowski समष्टि का न्यूनतम मॉडल सेट पर स्थापित किया जा सकता है

${\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}$ तीन तत्वों का:

$${\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}$$

$${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}$$

समानांतर अंक:

• $(x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})$ अगर और केवल अगर $x_{1}=x_{2}$ *$(x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})$ अगर और केवल अगर $y_{1}=y_{2}$.

इस तरह $\left|{\mathcal {P}}\right|=9$ और $\left|{\mathcal {Z}}\right|=6$.

परिमित मिन्कोव्स्की-समष्टि

परिमित मिन्कोव्स्की-समष्टिों के लिए हम C1', C2' से प्राप्त करते हैं:

Lemma — Let be ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ a finite Minkowski plane, i.e. $\left|{\mathcal {P}}\right|<\infty$. For any pair of cycles $z_{1},z_{2}$ and any pair of generators $e_{1},e_{2}$ we have: $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|$.

यह परिभाषा को जन्म देता है:
एक परिमित मिन्कोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {M}}$ और एक चक्र $z$ का ${\mathfrak {M}}$ हम पूर्णांक कहते हैं $n=\left|z\right|-1$ के लिए ${\mathfrak {M}}$.

सरल संयोजी विचार उपज

Lemma — For a finite Minkowski plane ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ the following is true:

1. Any residue (affine plane) has order $n$.
2. $\left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}$,
3. $\left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)$.

मिक्वेलियन मिन्कोव्स्की समष्टि

पारंपरिक वास्तविक मॉडल का सामान्यीकरण करके हमें मिन्कोव्स्की समष्टिों के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण मिलते हैं: बस प्रतिस्थापित करें $\mathbb {R}$ एक मनमाना क्षेत्र (गणित) द्वारा $K$ तब हम किसी भी स्थिति में मिन्कोव्स्की समष्टि प्राप्त करते हैं ${\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$.

मोबियस और लैगुएरे समष्टिों के अनुरूप मिकेल की प्रमेय मिंकोव्स्की समष्टि की एक विशिष्ट संपत्ति है ${\mathfrak {M}}(K)$.

मिकेल का प्रमेय

प्रमेय (मिकेल): मिंकोव्स्की समष्टि के लिए ${\mathfrak {M}}(K)$ निम्नलिखित सत्य है:

यदि किन्हीं 8 जोड़ों के लिए समांतर बिंदु नहीं हैं $P_{1},...,P_{8}$ जिसे एक घन के शीर्षों पर नियत किया जा सकता है, जैसे कि 5 चेहरों में बिंदु चक्रीय चतुर्भुज के अनुरूप होते हैं, तो अंक का छठा चौगुना चक्रीय भी होता है।

(आकृति में बेहतर अवलोकन के लिए अतिपरवलय के बजाय वृत्त खींचे गए हैं।)

प्रमेय (चेन): केवल एक मिन्कोव्स्की समष्टि ${\mathfrak {M}}(K)$ मिकेल के प्रमेय को संतुष्ट करता है।

अंतिम प्रमेय के कारण ${\mathfrak {M}}(K)$ मिक्वेलियन मिन्कोवस्की समष्टि कहा जाता है।

टिप्पणी: मिंकोव्स्की समष्टि का न्यूनतम मॉडल मिक्वेलियन है।

यह मिंकोवस्की तल के लिए तुल्याकारी है ${\mathfrak {M}}(K)$ साथ $K=\operatorname {GF} (2)$ (मैदान $\{0,1\}$).

आश्चर्यजनक परिणाम है

प्रमेय (हेइज़): सम क्रम का कोई भी मिन्कोवस्की तल मिक्वेलियन होता है।

टिप्पणी: एक उपयुक्त त्रिविम प्रक्षेपण दिखाता है: ${\mathfrak {M}}(K)$ आइसोमॉर्फिक है फ़ील्ड के ऊपर प्रोजेक्टिव 3-स्पेस में एक शीट (सूचकांक 2 का द्विघात ) के हाइपरबोलॉइड पर समतल खंडों की ज्यामिति के लिए $K$.

टिप्पणी: बहुत सारे मिन्कोवस्की समष्टि हैं जो मिक्वेलियन नहीं हैं (नीचे वेबलिंक है)। लेकिन मोबियस और लैगुएरे समष्टिों के विपरीत, कोई अंडाकार मिन्कोव्स्की समष्टि नहीं हैं। क्योंकि प्रोजेक्टिव 3-स्पेस में इंडेक्स 2 का कोई द्विघात सेट क्वाड्रिक है (द्विघात सेट देखें)।

यह भी देखें

• अनुरूप ज्यामिति

संदर्भ

• Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer
• Francis Buekenhout (editor) (1995) Handbook of Incidence Geometry, Elsevier ISBN 0-444-88355-X

बाहरी संबंध

• Benz plane in the Encyclopedia of Mathematics
• Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes