तात्कालिक चरण और आवृत्ति: Difference between revisions

Revision as of 09:33, 16 May 2023

सिग्नल प्रोसेसिंग में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं | जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं।^[1] जटिल मान फलन s(t) का तात्क्षणिक चरण (स्थानीय चरण या केवल चरण के रूप में भी जाना जाता है), वास्तविक मूल्यवान फलन है |

\varphi (t)=\arg\{s(t)\},

जहां आर्ग तर्क (जटिल विश्लेषण) है। तात्कालिक आवृत्ति तात्कालिक चरण के परिवर्तन की अस्थायी दर है।

और वास्तविक मूल्यवान फलन s(t) के लिए, यह फलन के विश्लेषणात्मक निरूपण, s_a(t) से निर्धारित होता है:^[2]

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}

जहाँ ${\hat {s}}(t)$ एस (t) के हिल्बर्ट परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

जब φ(t) इसके प्रमुख मान तक सीमित है, या तो अंतराल $(- π, π]$ या $[0, 2 π)$ , इसे लपेटा हुआ चरण कहा जाता है। अन्यथा इसे अलिखित चरण कहा जाता है | जो तर्क t का निरंतर कार्य है, एस मानते हुए t_a(t) का निरंतर कार्य है। जब तक अन्यथा निरूपण न दिया जाए, निरंतर रूप का अनुमान लगाया जाना चाहिए।

तात्कालिक चरण बनाम समय। फलन में 21 और 59 के समय पर 180° के दो सच्चे विच्छिन्न हैं, जो आयाम शून्य-क्रॉसिंग का सूचक है। 19, 37 और 91 के समय में 360° असांतत्य चरण रैपिंग की कलाकृतियां हैं।

फ़ाइल:तात्कालिक (लिपटे) चरण; 360 डिग्री प्लॉट को लंबवत रूप से 3 बार स्टैक किया गया है। jpg|थंब|400पीएक्स| आवृत्ति-संग्राहक तरंग का तात्कालिक चरण: एमएसके (न्यूनतम शिफ्ट कुंजीयन) है। 360° लपेटे हुए प्लॉट को केवल दो बार लंबवत रूप से दोहराया जाता है | जो अलिखित प्लॉट का भ्रम उत्पन्न करता है | किन्तु ऊर्ध्वाधर अक्ष के केवल 3x360° का उपयोग करता है।

सिग्नल प्रोसेसिंग में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं।^[1] जटिल मान फलन s(t) का तात्क्षणिक चरण

उदाहरण

उदाहरण 1

s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),

जहां ω > 0.

{\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}

इस सरल साइनसोइडल उदाहरण में, स्थिर θ को सामान्यतः चरण या चरण ऑफसमुच्चय के रूप में भी जाना जाता है। φ(t) समय का फलन है; θ नहीं है। अगले उदाहरण में, हम यह भी देखते हैं कि तब तक वास्तविक-मूल्यवान साइनसॉइड का चरण ऑफ़समुच्चय अस्पष्ट होता है। जब तक कोई संदर्भ (sin या cos) निर्दिष्ट नहीं किया जाता है | φ(t) स्पष्ट रूप से परिभाषित है।

उदाहरण 2

s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),

जहां ω > 0.

{\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

दोनों उदाहरणों में s(t) का स्थानीय उच्चिष्ठ N के पूर्णांक मानों के लिए φ(t) = 2πN के अनुरूप है। इसमें कंप्यूटर दृष्टि के क्षेत्र में अनुप्रयोग हैं।

तात्कालिक आवृत्ति

तात्कालिक कोणीय आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है |

\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},

और तात्कालिक (साधारण) आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है |

f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}

जहां φ(t) 'अलिखित चरण' होना चाहिए | अन्यथा, यदि φ(t) लपेटा जाता है, तो φ(t) में विच्छिन्नता का परिणाम f(t) में डिराक डेल्टा आवेगों में होगा।

उलटा संचालन, जो सदैव चरण को खोल देता है |

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}

यह तात्क्षणिक आवृत्ति, ω(t), चरण खोलने की चिंता के बिना जटिल आर्ग के अतिरिक्त सीधे s_a(t) के वास्तविक और काल्पनिक भागों से प्राप्त की जा सकती है।

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}

2m1π और m2π π के पूर्णांक गुणक हैं | जो चरण को खोलने के लिए जोड़ने के लिए आवश्यक हैं। समय t के मानों पर जहाँ पूर्णांक m₂ में कोई परिवर्तन नहीं होता है, φ(t) का अवकलज है |

\begin{aligned} ω (t) = \frac{d φ (t)}{d t} & = \frac{d}{d t} \arctan (\frac{I m [s_{a} (t)]}{R e [s_{a} (t)]}) \\ = \frac{1}{1 + {(\frac{I m [s_{a} (t)]}{R e [s_{a} (t)]})}^{2}} \frac{d}{d t} (\frac{I m [s_{a} (t)]}{R e [s_{a} (t)]}) \\ = R e \frac{d I m [s_{a} (t)]}{d t} [s_{a} (t)] - I m \frac{d R e [s_{a} (t)]}{d t} [s_{a} (t)] {(R e [s_{a} (t)])}^{2} + (I m [s_{a} \end{aligned}

असतत-समय के कार्यों के लिए, इसे पुनरावर्तन के रूप में लिखा जा सकता है |

{\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}

तब Δφ[n] ≤ - $π$ में 2 $π$ जोड़कर और जब भी Δφ[n] > $π$ में 2 $π$ घटाकर अंतर को हटाया जा सकता है। यह φ[n] को बिना किसी सीमा के संचित करने की अनुमति देता है और एक अलिखित तात्कालिक चरण उत्पन्न करता है। मॉड्यूलो 2 $π$ संचालन को एक जटिल गुणा के साथ बदलने वाला समकक्ष सूत्र है |

\varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},

जहां तारांकन जटिल संयुग्म को दर्शाता है। असतत-समय की तात्कालिक आवृत्ति (प्रति नमूना रेडियन की इकाइयों में) उस नमूने के लिए केवल चरण की उन्नति है |

\omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.

जटिल प्रतिनिधित्व

कुछ अनुप्रयोगों में, जैसे समय के कई क्षणों में चरण के मूल्यों का औसत, प्रत्येक मान को जटिल संख्या या सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करना उपयोगी हो सकता है |^[3]

e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).

यह प्रतिनिधित्व लपेटे हुए चरण प्रतिनिधित्व के समान है | जिसमें यह 2 $π$ के गुणकों के बीच अंतर नहीं करता है | किन्तु अलिखित चरण प्रतिनिधित्व के समान है क्योंकि यह निरंतर है। रैप-अराउंड की चिंता किए बिना जटिल संख्याओं के योग के तर्क (जटिल विश्लेषण) के रूप में सदिश-औसत चरण प्राप्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (August 2008). "तात्कालिक आवृत्ति अनुमानक के रूप में स्केलोग्राम का मात्रात्मक प्रदर्शन विश्लेषण". IEEE Transactions on Signal Processing. 56 (8): 3837–3845. Bibcode:2008ITSP...56.3837S. doi:10.1109/TSP.2008.924856. ISSN 1053-587X. S2CID 16396084.
↑ Blackledge, Jonathan M. (2006). Digital Signal Processing: Mathematical and Computational Methods, Software Development and Applications (2 ed.). Woodhead Publishing. p. 134. ISBN 1904275265.
↑ Wang, S. (2014). "एक बेहतर गुणवत्ता निर्देशित चरण अनरैपिंग विधि और एमआरआई के लिए इसके अनुप्रयोग". Progress in Electromagnetics Research. 145: 273–286. doi:10.2528/PIER14021005.

अग्रिम पठन

Cohen, Leon (1995). Time-Frequency Analysis. Prentice Hall.
Granlund; Knutsson (1995). Signal Processing for Computer Vision. Kluwer Academic Publishers.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (August 2008). "तात्कालिक आवृत्ति अनुमानक के रूप में स्केलोग्राम का मात्रात्मक प्रदर्शन विश्लेषण". IEEE Transactions on Signal Processing. 56 (8): 3837–3845. Bibcode:2008ITSP...56.3837S. doi:10.1109/TSP.2008.924856. ISSN 1053-587X. S2CID 16396084.

[2] Blackledge, Jonathan M. (2006). Digital Signal Processing: Mathematical and Computational Methods, Software Development and Applications (2 ed.). Woodhead Publishing. p. 134. ISBN 1904275265.

[3] Wang, S. (2014). "एक बेहतर गुणवत्ता निर्देशित चरण अनरैपिंग विधि और एमआरआई के लिए इसके अनुप्रयोग". Progress in Electromagnetics Research. 145: 273–286. doi:10.2528/PIER14021005.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Electrical engineering concept}}
-[[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Sejdic|first1=E.|last2=Djurovic|first2=I.|last3=Stankovic|first3=L.|date=August 2008|title=तात्कालिक आवृत्ति अनुमानक के रूप में स्केलोग्राम का मात्रात्मक प्रदर्शन विश्लेषण|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=56|issue=8|pages=3837–3845|doi=10.1109/TSP.2008.924856|bibcode=2008ITSP...56.3837S |s2cid=16396084 |issn=1053-587X}}</ref> ''कॉम्प्लेक्स-वैल्यूड'' फंक्शन ''s''(''t'') का तात्क्षणिक फेज (स्थानीय फेज या केवल फेज के रूप में भी जाना जाता है), रियल-वैल्यूड फंक्शन है:
+[[ संकेत आगे बढ़ाना | सिग्नल प्रोसेसिंग]] में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं | जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Sejdic|first1=E.|last2=Djurovic|first2=I.|last3=Stankovic|first3=L.|date=August 2008|title=तात्कालिक आवृत्ति अनुमानक के रूप में स्केलोग्राम का मात्रात्मक प्रदर्शन विश्लेषण|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=56|issue=8|pages=3837–3845|doi=10.1109/TSP.2008.924856|bibcode=2008ITSP...56.3837S |s2cid=16396084 |issn=1053-587X}}</ref> ''जटिल मान'' फलन ''s''(''t'') का तात्क्षणिक चरण (स्थानीय चरण या केवल चरण के रूप में भी जाना जाता है), वास्तविक मूल्यवान फलन है |
 :<math>\varphi(t) = \arg\{s(t)\},</math>
-जहां आर्ग [[तर्क (जटिल विश्लेषण)]] है।
+जहां आर्ग [[तर्क (जटिल विश्लेषण)]] है। तात्कालिक आवृत्ति तात्कालिक चरण के [[परिवर्तन की अस्थायी दर]] है।
-तात्कालिक आवृत्ति तात्कालिक चरण के [[परिवर्तन की अस्थायी दर]] है।
-और ''रियल-वैल्यूड'' फंक्शन ''s''(''t'') के लिए, यह फंक्शन के [[विश्लेषणात्मक संकेत]], ''s'' से निर्धारित होता है<sub>a</sub>(टी):<ref>{{cite book|last=Blackledge|first=Jonathan M.|title=Digital Signal Processing: Mathematical and Computational Methods, Software Development and Applications|year=2006|publisher=Woodhead Publishing|isbn=1904275265|page=134|edition=2}}</ref>
+और ''वास्तविक मूल्यवान'' फलन ''s''(''t'') के लिए, यह फलन के [[विश्लेषणात्मक संकेत|विश्लेषणात्मक निरूपण]], ''s<sub>a</sub>(t)'' से निर्धारित होता है:<ref>{{cite book|last=Blackledge|first=Jonathan M.|title=Digital Signal Processing: Mathematical and Computational Methods, Software Development and Applications|year=2006|publisher=Woodhead Publishing|isbn=1904275265|page=134|edition=2}}</ref>
 :<math>\begin{align}
    \varphi(t) &= \arg\{s_\mathrm{a}(t)\} \\[4pt]
               &= \arg\{s(t) + j \hat{s}(t)\},
 \end{align}</math>
-कहाँ <math>\hat{s}(t)</math> एस (टी) के हिल्बर्ट परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।
+जहाँ <math>\hat{s}(t)</math> एस (t) के हिल्बर्ट परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।
-जब φ(t) इसके प्रमुख मान तक सीमित है, या तो अंतराल {{open-closed|−''π'', ''π''}} या {{closed-open|0, 2''π''}}, इसे लपेटा हुआ चरण कहा जाता है। अन्यथा इसे अलिखित चरण कहा जाता है, जो तर्क टी का निरंतर कार्य है, एस मानते हुए<sub>a</sub>(टी) टी का निरंतर कार्य है। जब तक अन्यथा संकेत न दिया जाए, निरंतर रूप का अनुमान लगाया जाना चाहिए।
+जब φ(t) इसके प्रमुख मान तक सीमित है, या तो अंतराल {{open-closed|−''π'', ''π''}} या {{closed-open|0, 2''π''}}, इसे लपेटा हुआ चरण कहा जाता है। अन्यथा इसे अलिखित चरण कहा जाता है | जो तर्क t का निरंतर कार्य है, एस मानते हुए t<sub>a</sub>(t) का निरंतर कार्य है। जब तक अन्यथा निरूपण न दिया जाए, निरंतर रूप का अनुमान लगाया जाना चाहिए।
-[[File:Phase vs Time, wrapped and unwrapped.jpg|thumb|400px|तात्कालिक चरण बनाम समय। फलन में 21 और 59 के समय पर 180° के दो सच्चे विच्छिन्न हैं, जो आयाम शून्य-क्रॉसिंग का सूचक है। 19, 37 और 91 के समय में 360° असांतत्य फेज रैपिंग की कलाकृतियां हैं।]]फ़ाइल:तात्कालिक (लिपटे) चरण;  360 डिग्री plot stacked 3 times vertically.jpg|thumb|400px|आवृत्ति-संग्राहक तरंग का तात्कालिक चरण: MSK (न्यूनतम शिफ्ट कुंजीयन)।  360° लपेटे हुए प्लॉट को केवल दो बार लंबवत रूप से दोहराया जाता है, जो  अलिखित प्लॉट का भ्रम पैदा करता है, लेकिन ऊर्ध्वाधर अक्ष के केवल 3x360° का उपयोग करता है।
+[[File:Phase vs Time, wrapped and unwrapped.jpg|thumb|400px|तात्कालिक चरण बनाम समय। फलन में 21 और 59 के समय पर 180° के दो सच्चे विच्छिन्न हैं, जो आयाम शून्य-क्रॉसिंग का सूचक है। 19, 37 और 91 के समय में 360° असांतत्य चरण रैपिंग की कलाकृतियां हैं।]]फ़ाइल:तात्कालिक (लिपटे) चरण;  360 डिग्री प्लॉट को लंबवत रूप से 3 बार स्टैक किया गया है। jpg|थंब|400पीएक्स| आवृत्ति-संग्राहक तरंग का तात्कालिक चरण: एमएसके (न्यूनतम शिफ्ट कुंजीयन) है।  360° लपेटे हुए प्लॉट को केवल दो बार लंबवत रूप से दोहराया जाता है | जो  अलिखित प्लॉट का भ्रम उत्पन्न करता है | किन्तु ऊर्ध्वाधर अक्ष के केवल 3x360° का उपयोग करता है।
-[[ संकेत आगे बढ़ाना | '''संकेत आगे बढ़ाना''']] '''में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं।<ref name=":0" /> ''कॉम्प्लेक्स-वैल्यूड'' फंक्शन ''s''(''t'') का तात्क्षणिक फेज'''
+[[ संकेत आगे बढ़ाना | '''सिग्नल प्रोसेसिंग''']] '''में तात्कालिक चरण और आवृत्ति महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो समय-भिन्न कार्यों के प्रतिनिधित्व और विश्लेषण के संदर्भ में होती हैं।<ref name=":0" /> ''जटिल मान'' फलन ''s''(''t'') का तात्क्षणिक चरण'''
 == उदाहरण ==
@@ Line 27: / Line 27: @@
         \varphi(t) &= \omega t + \theta.
 \end{align}</math>
-इस सरल साइनसोइडल उदाहरण में, स्थिर θ को आमतौर पर चरण या चरण ऑफसेट के रूप में भी जाना जाता है। φ(टी) समय का  फलन है; θ नहीं है। अगले उदाहरण में, हम यह भी देखते हैं कि जब तक कोई संदर्भ (sin या cos) निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, तब तक वास्तविक-मूल्यवान साइनसॉइड का चरण ऑफ़सेट अस्पष्ट होता है। φ(t) स्पष्ट रूप से परिभाषित है।
+इस सरल साइनसोइडल उदाहरण में, स्थिर θ को सामान्यतः चरण या चरण ऑफसमुच्चय के रूप में भी जाना जाता है। φ(t) समय का  फलन है; θ नहीं है। अगले उदाहरण में, हम यह भी देखते हैं कि तब तक वास्तविक-मूल्यवान साइनसॉइड का चरण ऑफ़समुच्चय अस्पष्ट होता है। जब तक कोई संदर्भ (sin या cos) निर्दिष्ट नहीं किया जाता है |  φ(t) स्पष्ट रूप से परिभाषित है।
 === उदाहरण 2 ===
@@ Line 36: / Line 36: @@
         \varphi(t) &= \omega t - \frac{\pi}{2}.
 \end{align}</math>
-दोनों उदाहरणों में s(t) का स्थानीय उच्चिष्ठ φ(t) = 2 के संगत है{{pi}एन के पूर्णांक मानों के लिए एन। इसमें कंप्यूटर दृष्टि के क्षेत्र में अनुप्रयोग हैं।
+दोनों उदाहरणों में s(t) का स्थानीय उच्चिष्ठ N के पूर्णांक मानों के लिए φ(t) = 2πN के अनुरूप है। इसमें कंप्यूटर दृष्टि के क्षेत्र में अनुप्रयोग हैं।
 == तात्कालिक आवृत्ति ==
-तात्कालिक कोणीय आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+तात्कालिक कोणीय आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है |
 :<math>\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt},</math>
-और तात्कालिक (साधारण) आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+और तात्कालिक (साधारण) आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है |
 :<math>f(t) = \frac{1}{2\pi} \omega(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\varphi(t)}{dt}</math>
-जहां φ(t) 'अलिखित चरण' होना चाहिए; अन्यथा, यदि φ(t) लपेटा जाता है, तो φ(t) में विच्छिन्नता का परिणाम f(t) में [[डिराक डेल्टा]] आवेगों में होगा।
+जहां φ(t) 'अलिखित चरण' होना चाहिए | अन्यथा, यदि φ(t) लपेटा जाता है, तो φ(t) में विच्छिन्नता का परिणाम f(t) में [[डिराक डेल्टा]] आवेगों में होगा।
-उलटा ऑपरेशन, जो हमेशा चरण को खोल देता है, है:
+उलटा संचालन, जो सदैव चरण को खोल देता है |
 :<math>\begin{align}
    \varphi(t) &= \int_{-\infty}^t \omega(\tau)\, d\tau = 2 \pi \int_{-\infty}^t f(\tau)\, d\tau\\[5pt]
@@ Line 51: / Line 51: @@
               &= \varphi(0) + \int_0^t \omega(\tau)\, d\tau.
 \end{align}</math>
-यह तात्क्षणिक आवृत्ति, ω(t), सीधे s की सम्मिश्र संख्या से प्राप्त की जा सकती है<sub>a</sub>(टी), चरण खोलने की चिंता के बिना तर्क (जटिल विश्लेषण) के बजाय।
+यह तात्क्षणिक आवृत्ति, ω(t), चरण खोलने की चिंता के बिना जटिल आर्ग के अतिरिक्त सीधे s<sub>a</sub>(t) के वास्तविक और काल्पनिक भागों से प्राप्त की जा सकती है।
 :<math>\begin{align}
@@ Line 58: / Line 58: @@
               &= \arctan\left( \frac{\mathcal{Im}[s_\mathrm{a}(t)]}{\mathcal{Re}[s_\mathrm{a}(t)]} \right) + m_2 \pi
 \end{align}</math>
-मां<sub>1</sub>{{pi}} और एम<sub>2</sub>{{pi}} के पूर्णांक गुणक हैं {{pi}} चरण को खोलने के लिए जोड़ना आवश्यक है। समय के मानों पर, t, जहाँ पूर्णांक m में कोई परिवर्तन नहीं होता है<sub>2</sub>, φ(t) का व्युत्पन्न है
+m1π और m2π π के पूर्णांक गुणक हैं | जो चरण को खोलने के लिए जोड़ने के लिए आवश्यक हैं। समय t के मानों पर जहाँ पूर्णांक m<sub>2</sub> में कोई परिवर्तन नहीं होता है, φ(t) का अवकलज है |
 :<math>\begin{align}
@@ Line 68: / Line 68: @@
              &= \frac{1}{(s(t))^2 + \left(\hat{s}(t)\right)^2} \left(s(t) \frac{d\hat{s}(t)}{dt} - \hat{s}(t) \frac{ds(t)}{dt} \right)
 \end{align}</math>
-असतत-समय के कार्यों के लिए, इसे पुनरावर्तन के रूप में लिखा जा सकता है:
+असतत-समय के कार्यों के लिए, इसे पुनरावर्तन के रूप में लिखा जा सकता है |
 :<math>\begin{align}
    \varphi[n] &= \varphi[n - 1] + \omega[n] \\
@@ Line 74: / Line 74: @@
               &= \varphi[n - 1] + \arg\left\{\frac{s_\mathrm{a}[n]}{s_\mathrm{a}[n - 1]}\right\} \\
 \end{align}</math>
-फिर 2 जोड़कर विसंगतियों को हटाया जा सकता है{{pi}} जब भी Δφ[n] ≤ -{{pi}}, और घटाना 2{{pi}} जब भी Δφ[n] >{{pi}}. यह φ[n] को बिना किसी सीमा के संचित करने की अनुमति देता है और  अलिखित तात्कालिक चरण उत्पन्न करता है। मॉड्यूलो 2 को बदलने वाला  समतुल्य फॉर्मूलेशन {{pi}}  जटिल गुणा के साथ ऑपरेशन है:
+तब Δφ[n] ≤ -{{pi}} में 2{{pi}} जोड़कर और जब भी Δφ[n] >{{pi}} में 2{{pi}} घटाकर अंतर को हटाया जा सकता है। यह φ[n] को बिना किसी सीमा के संचित करने की अनुमति देता है और एक अलिखित तात्कालिक चरण उत्पन्न करता है। मॉड्यूलो 2{{pi}} संचालन को एक जटिल गुणा के साथ बदलने वाला समकक्ष सूत्र है |
 :<math>\varphi[n] = \varphi[n - 1] + \arg\{s_\mathrm{a}[n] \, s_\mathrm{a}^*[n - 1]\},</math>
-जहां तारांकन जटिल संयुग्म को दर्शाता है। असतत-समय की तात्कालिक आवृत्ति (प्रति नमूना रेडियन की इकाइयों में) उस नमूने के लिए केवल चरण की उन्नति है
+जहां तारांकन जटिल संयुग्म को दर्शाता है। असतत-समय की तात्कालिक आवृत्ति (प्रति नमूना रेडियन की इकाइयों में) उस नमूने के लिए केवल चरण की उन्नति है |
 :<math>\omega[n] = \arg\{s_\mathrm{a}[n] \, s_\mathrm{a}^*[n - 1]\}.</math>
 == जटिल प्रतिनिधित्व ==
-कुछ अनुप्रयोगों में, जैसे समय के कई क्षणों में चरण के मूल्यों का औसत, प्रत्येक मान को  जटिल संख्या या वेक्टर प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करना उपयोगी हो सकता है:<ref>{{cite journal|last1=Wang|first1=S.|title=एक बेहतर गुणवत्ता निर्देशित चरण अनरैपिंग विधि और एमआरआई के लिए इसके अनुप्रयोग|journal=Progress in Electromagnetics Research|date=2014|volume=145|pages=273–286|doi=10.2528/PIER14021005|doi-access=free}}</ref>
+कुछ अनुप्रयोगों में, जैसे समय के कई क्षणों में चरण के मूल्यों का औसत, प्रत्येक मान को  जटिल संख्या या सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करना उपयोगी हो सकता है |<ref>{{cite journal|last1=Wang|first1=S.|title=एक बेहतर गुणवत्ता निर्देशित चरण अनरैपिंग विधि और एमआरआई के लिए इसके अनुप्रयोग|journal=Progress in Electromagnetics Research|date=2014|volume=145|pages=273–286|doi=10.2528/PIER14021005|doi-access=free}}</ref>
 :<math>
 e^{i\varphi(t)}
@@ Line 87: / Line 87: @@
 = \cos(\varphi(t)) + i \sin(\varphi(t)).
 </math>
-यह प्रतिनिधित्व लपेटे हुए चरण प्रतिनिधित्व के समान है जिसमें यह 2 के गुणकों के बीच अंतर नहीं करता है{{pi}} चरण में, लेकिन अलिखित चरण प्रतिनिधित्व के समान है क्योंकि यह निरंतर है। रैप-अराउंड की चिंता किए बिना जटिल संख्याओं के योग के तर्क (जटिल विश्लेषण) के रूप में  सदिश-औसत चरण प्राप्त किया जा सकता है।
+यह प्रतिनिधित्व लपेटे हुए चरण प्रतिनिधित्व के समान है | जिसमें यह 2{{pi}} के गुणकों के बीच अंतर नहीं करता है | किन्तु अलिखित चरण प्रतिनिधित्व के समान है क्योंकि यह निरंतर है। रैप-अराउंड की चिंता किए बिना जटिल संख्याओं के योग के तर्क (जटिल विश्लेषण) के रूप में  सदिश-औसत चरण प्राप्त किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* विश्लेषणात्मक संकेत
+* विश्लेषणात्मक निरूपण
 *[[आवृति का उतार - चढ़ाव]]
 * [[समूह विलंब]]

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तात्कालिक चरण और आवृत्ति: Difference between revisions

Revision as of 09:33, 16 May 2023

उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

तात्कालिक आवृत्ति

जटिल प्रतिनिधित्व

यह भी देखें

संदर्भ

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