शंक्वाकार संयोजन: Difference between revisions
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कहाँ <math>\alpha_i</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। | कहाँ <math>\alpha_i</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। | ||
यह नाम इस तथ्य से निकला है कि सदिशों का | यह नाम इस तथ्य से निकला है कि सदिशों का शंक्वाकार योग [[शंकु (ज्यामिति)]] को परिभाषित करता है (संभवतः निम्न-आयामी रैखिक उप-स्थान में)। | ||
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k = 0 लेकर, यह शून्य वेक्टर (मूल (गणित)) का पालन करता है जो सभी शंक्वाकार पतवारों से संबंधित है (चूंकि योग | k = 0 लेकर, यह शून्य वेक्टर (मूल (गणित)) का पालन करता है जो सभी शंक्वाकार पतवारों से संबंधित है (चूंकि योग [[खाली योग]] बन जाता है)। | ||
एक सेट S का शंक्वाकार पतवार | एक सेट S का शंक्वाकार पतवार [[उत्तल सेट]] है। वास्तव में, यह S प्लस मूल वाले सभी [[उत्तल शंकु]]ओं का प्रतिच्छेदन है।<ref name=conv-an/>यदि S संहत समुच्चय है (विशेष रूप से, जब यह परिमित है {{nowrap|[[Empty set|non-empty]]}} बिंदुओं का सेट), तो शर्त और मूल बिंदु अनावश्यक है। | ||
यदि हम उत्पत्ति को छोड़ देते हैं, तो हम यह देखने के लिए सभी गुणांकों को उनके योग से विभाजित कर सकते हैं कि | यदि हम उत्पत्ति को छोड़ देते हैं, तो हम यह देखने के लिए सभी गुणांकों को उनके योग से विभाजित कर सकते हैं कि शंक्वाकार संयोजन [[उत्तल संयोजन]] है जिसे सकारात्मक कारक द्वारा बढ़ाया जाता है। | ||
[[File:Circle-conic-hull.svg|thumb|right|विमान में, मूल के माध्यम से गुजरने वाले वृत्त का शंक्वाकार पतवार खुला [[आधा विमान]] है जो स्पर्श रेखा द्वारा परिभाषित होता है जो मूल और मूल पर वृत्त होता है।]]इसलिए, शंक्वाकार संयोजन और शंक्वाकार पतवार वास्तव में क्रमशः उत्तल शंक्वाकार संयोजन और उत्तल शंक्वाकार पतवार हैं।<ref name=conv-an/>इसके अलावा, मूल को त्यागते हुए गुणांक को विभाजित करने के बारे में उपरोक्त टिप्पणी का अर्थ है कि शंक्वाकार संयोजन और पतवारों को उत्तल संयोजन और उत्तल पतवारों को प्रक्षेप्य स्थान के रूप में माना जा सकता है। | |||
जबकि कॉम्पैक्ट सेट का उत्तल पतवार भी कॉम्पैक्ट सेट है, शंक्वाकार पतवार के लिए ऐसा नहीं है; सबसे पहले, बाद वाला असीमित है। इसके अलावा, यह आवश्यक रूप से [[बंद सेट]] भी नहीं है: प्रति उदाहरण मूल से गुजरने वाला गोला है, जिसमें शंक्वाकार पतवार खुला आधा-स्थान (ज्यामिति) है। आधा-स्थान प्लस मूल। हालाँकि, यदि S गैर-खाली उत्तल कॉम्पैक्ट सेट है जिसमें मूल नहीं है, तो S का उत्तल शंक्वाकार पतवार बंद सेट है।<ref name=conv-an/> | |||
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Revision as of 21:23, 9 May 2023
सदिशों की परिमित संख्या दी गई है वास्तविक संख्या सदिश स्थान में, शंक्वाकार संयोजन, शंक्वाकार योग या भारित योग[1][2] इन सदिशों में से रूप का सदिश है
कहाँ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
यह नाम इस तथ्य से निकला है कि सदिशों का शंक्वाकार योग शंकु (ज्यामिति) को परिभाषित करता है (संभवतः निम्न-आयामी रैखिक उप-स्थान में)।
शंक्वाकार पतवार
किसी दिए गए सेट S के लिए सभी शंक्वाकार संयोजनों के सेट (गणित) को S का 'शंक्वाकार पतवार' कहा जाता है और निरूपित शंकु (S)[1]या कोनी (एस)।[2]वह है,
k = 0 लेकर, यह शून्य वेक्टर (मूल (गणित)) का पालन करता है जो सभी शंक्वाकार पतवारों से संबंधित है (चूंकि योग खाली योग बन जाता है)।
एक सेट S का शंक्वाकार पतवार उत्तल सेट है। वास्तव में, यह S प्लस मूल वाले सभी उत्तल शंकुओं का प्रतिच्छेदन है।[1]यदि S संहत समुच्चय है (विशेष रूप से, जब यह परिमित है non-empty बिंदुओं का सेट), तो शर्त और मूल बिंदु अनावश्यक है।
यदि हम उत्पत्ति को छोड़ देते हैं, तो हम यह देखने के लिए सभी गुणांकों को उनके योग से विभाजित कर सकते हैं कि शंक्वाकार संयोजन उत्तल संयोजन है जिसे सकारात्मक कारक द्वारा बढ़ाया जाता है।
इसलिए, शंक्वाकार संयोजन और शंक्वाकार पतवार वास्तव में क्रमशः उत्तल शंक्वाकार संयोजन और उत्तल शंक्वाकार पतवार हैं।[1]इसके अलावा, मूल को त्यागते हुए गुणांक को विभाजित करने के बारे में उपरोक्त टिप्पणी का अर्थ है कि शंक्वाकार संयोजन और पतवारों को उत्तल संयोजन और उत्तल पतवारों को प्रक्षेप्य स्थान के रूप में माना जा सकता है।
जबकि कॉम्पैक्ट सेट का उत्तल पतवार भी कॉम्पैक्ट सेट है, शंक्वाकार पतवार के लिए ऐसा नहीं है; सबसे पहले, बाद वाला असीमित है। इसके अलावा, यह आवश्यक रूप से बंद सेट भी नहीं है: प्रति उदाहरण मूल से गुजरने वाला गोला है, जिसमें शंक्वाकार पतवार खुला आधा-स्थान (ज्यामिति) है। आधा-स्थान प्लस मूल। हालाँकि, यदि S गैर-खाली उत्तल कॉम्पैक्ट सेट है जिसमें मूल नहीं है, तो S का उत्तल शंक्वाकार पतवार बंद सेट है।[1]
यह भी देखें
संबंधित संयोजन
- अफिन संयोजन
- उत्तल संयोजन
- रैखिक संयोजन
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Convex Analysis and Minimization Algorithms by Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, 1993, ISBN 3-540-56850-6, pp. 101, 102
- ↑ 2.0 2.1 Mathematical Programming, by Melvyn W. Jeter (1986) ISBN 0-8247-7478-7, p. 68
