नियमित श्रृंखला

गणित में, और अधिक विशेष रूप से कंप्यूटर बीजगणित और उन्मूलन सिद्धांत में, एक नियमित श्रृंखला एक क्षेत्र पर बहुभिन्नरूपी बहुपदों का एक विशेष प्रकार का "त्रिकोणीय सेट" है, जहां एक "त्रिकोणीय सेट" बहुपदों का एक परिमित अनुक्रम है जैसे कि प्रत्येक में पिछले वाले की तुलना में कम से कम एक अधिक अनिश्चित होता है। एक नियमित श्रृंखला होने के लिए एक त्रिकोणीय सेट को संतुष्ट करने वाली शर्त यह सुनिश्चित करती है कि, प्रत्येक के लिए k, प्रत्येक सामान्य शून्य (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में)। k पहले बहुपदों को एक सामान्य शून्य तक बढ़ाया जा सकता है (k + 1)वां बहुपद। दूसरे शब्दों में, नियमित शृंखला विभिन्न मामलों पर विचार किए बिना क्रमागत अविभाजित समीकरणों को हल करके बहुपद समीकरणों की प्रणाली को हल करने की अनुमति देती है।

नियमित चेन वू के विशेषता सेट की विधि की धारणा को बढ़ाते हैं | डब्ल्यूयू के विशेषता सेट इस अर्थ में हैं कि वे गणना की एक समान विधि के साथ बेहतर परिणाम प्रदान करते हैं।

परिचय

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को देखते हुए, गॉसियन विलोपन के माध्यम से इसे त्रिकोणीय मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है। गैर-रैखिक मामले के लिए, एक क्षेत्र पर बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, कोई इसे त्रिकोणीय सेटों के एक परिमित सेट में परिवर्तित (विघटित या त्रिकोणीय) कर सकता है, इस अर्थ में कि बीजगणितीय विविधता V(F) इनके द्वारा वर्णित है त्रिकोणीय सेट।

एक त्रिकोणीय सेट केवल खाली सेट का वर्णन कर सकता है। इस बिगड़े हुए मामले को ठीक करने के लिए, स्वतंत्र रूप से काल्कब्रेनर (1993), यांग और झांग (1994) द्वारा नियमित श्रृंखला की धारणा पेश की गई थी। चाउ और गाओ (1992) में नियमित श्रृंखलाएं भी दिखाई देती हैं। नियमित श्रृंखलाएं विशेष त्रिकोणीय सेट हैं जो बीजगणितीय किस्मों के अमिश्रित-आयामी अपघटन की गणना के लिए विभिन्न एल्गोरिदम में उपयोग की जाती हैं। गुणनखंडन का उपयोग किए बिना, इन अपघटनों में बेहतर गुण होते हैं जो वू की विधि | वू के एल्गोरिथम द्वारा निर्मित होते हैं। काल्कब्रेनर की मूल परिभाषा निम्नलिखित अवलोकन पर आधारित थी: प्रत्येक अप्रासंगिक किस्म विशिष्ट रूप से इसके एक सामान्य बिंदु द्वारा निर्धारित की जाती है और किस्मों को उनके अलघुकरणीय घटकों के सामान्य बिंदुओं का वर्णन करके दर्शाया जा सकता है। ये सामान्य बिंदु नियमित श्रृंखलाओं द्वारा दिए गए हैं।

उदाहरण

परिमेय संख्या क्षेत्र को निरूपित करें। क्यू [ एक्स में₁, एक्स₂, एक्स₃] परिवर्तनशील क्रम के साथ x₁ < x₂ < x₃,

$T=\{x_{2}^{2}-x_{1}^{2},x_{2}(x_{3}-x_{1})\}$

एक त्रिकोणीय सेट है और एक नियमित श्रृंखला भी है। टी द्वारा दिए गए दो सामान्य बिंदु (ए, ए, ए) और (ए, -ए, ए) हैं जहां ए 'क्यू' से पारलौकिक है। इस प्रकार इसके द्वारा दिए गए दो अलघुकरणीय घटक हैं { x₂ − x₁, x₃ − x₁ } और { x₂ + x₁, x₃ − x₁ }, क्रमश। ध्यान दें कि: (1) दूसरे बहुपद की सामग्री (बीजगणित) x है₂, जो प्रतिनिधित्व किए गए सामान्य बिंदुओं में योगदान नहीं करता है और इस प्रकार हटाया जा सकता है; (2) प्रत्येक घटक का आयाम 1 है, नियमित श्रृंखला में मुक्त चर की संख्या।

औपचारिक परिभाषाएँ

बहुपद रिंग में चर

$R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ हमेशा के रूप में क्रमबद्ध होते हैं x₁ < ⋯ < x_n.

एक गैर-निरंतर बहुपद f में $R$ इसके सबसे बड़े चर में एक अविभाज्य बहुपद के रूप में देखा जा सकता है। f में सबसे बड़े चर को इसका मुख्य चर कहा जाता है, जिसे mvar(f) द्वारा निरूपित किया जाता है। यू को एफ का मुख्य चर होने दें और इसे इस रूप में लिखें

$f=a_{e}u^{e}+\cdots +a_{0},$

जहां ई यू के संबंध में एफ की डिग्री है और $a_{e}$ यू के संबंध में एफ का अग्रणी गुणांक है। तो f का प्रारंभिक है $a_{e}$ और ई इसकी मुख्य डिग्री है।

• त्रिकोणीय सेट

का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय T $R$ एक त्रिकोणीय समुच्चय है, यदि T में बहुपद गैर-स्थिर हैं और विशिष्ट मुख्य चर हैं। इसलिए, एक त्रिकोणीय समुच्चय परिमित है, और अधिक से अधिक n में कार्डिनैलिटी है।

• नियमित श्रृंखला

माना T = {t₁, ..., टी_s} एक त्रिकोणीय सेट हो जैसे कि mvar(t₁) < ⋯ < mvar(t_s),

$h_{i}$ टी के शुरुआती होi और एच एच का उत्पाद होi'एस।

तब T एक नियमित श्रृंखला है यदि

$\mathrm {resultant} (h,T)=\mathrm {resultant} (\cdots (\mathrm {resultant} (h,t_{s}),\ldots ,t_{i})\cdots )\neq 0,$

जहां प्रत्येक परिणामी की गणना t के मुख्य चर के संबंध में की जाती है_i, क्रमश। यह परिभाषा यांग और झांग से है, जो बहुत एल्गोरिथम स्वाद की है।

• एक नियमित श्रृंखला का अर्ध-घटक और संतृप्त आदर्श

अर्ध-घटक W(T) नियमित श्रृंखला T द्वारा वर्णित है

$W(T)=V(T)\setminus V(h)$, वह है,

V(T) और V(h) किस्मों का निर्धारित अंतर। एक नियमित श्रृंखला की संलग्न बीजगणितीय वस्तु इसका संतृप्त आदर्श है

$\mathrm {sat} (T)=(T):h^{\infty }.$

एक उत्कृष्ट परिणाम यह है कि W(T) का ज़ारिस्की बंद होना sat(T) द्वारा परिभाषित विविधता के बराबर है, अर्थात,

${\overline {W(T)}}=V(\mathrm {sat} (T)),$

और इसका आयाम n − |T| है, T में चरों की संख्या और बहुपदों की संख्या का अंतर है।

• त्रिकोणीय अपघटन

सामान्य तौर पर, एक बहुपद प्रणाली एफ को विघटित करने के दो तरीके हैं। सबसे पहले आलसी को विघटित करना है, जो कि (काल्कब्रेनर) अर्थों में केवल अपने सामान्य बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए है,

${\sqrt {(F)}}=\bigcap _{i=1}^{e}{\sqrt {\mathrm {sat} (T_{i})}}.$

दूसरा डेनियल लाजार्ड अर्थ में सभी शून्यों का वर्णन करना है,

$V(F)=\bigcup _{i=1}^{e}W(T_{i}).$

किसी भी अर्थ में त्रिकोणीय अपघटन के लिए विभिन्न एल्गोरिदम उपलब्ध हैं।

गुण

बता दें कि T बहुपद वलय R में एक नियमित श्रृंखला है।

• संतृप्त आदर्श sat(T) आयाम n - |T| के साथ एक अमिश्रित आदर्श है।
• एक नियमित श्रृंखला इस अर्थ में एक बल उन्मूलन गुण रखती है कि:

$\mathrm {sat} (T\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}])=\mathrm {sat} (T)\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}].$

• एक बहुपद p sat(T) में यदि और केवल p को T द्वारा शून्य से कम किया जाता है, अर्थात,

$p\in \mathrm {sat} (T)\iff \mathrm {prem} (p,T)=0.$

इसलिए sat(T) के लिए सदस्यता परीक्षण एल्गोरिथम है।

• एक बहुपद p एक शून्य-भाजक मॉड्यूलो sat(T) है यदि और केवल यदि $\mathrm {prem} (p,T)\neq 0$ और $\mathrm {resultant} (p,T)=0$.

इसलिए sat(T) के लिए नियमितता परीक्षण एल्गोरिथम होता है।

• एक प्रमुख आदर्श पी दिया गया है, एक नियमित श्रृंखला C सम्मलित है जैसे कि P = sat(C)।
• यदि एक नियमित श्रृंखला C का पहला तत्व एक अलघुकरणीय बहुपद है और अन्य अपने मुख्य चर में रैखिक हैं, तो sat(C) एक प्रमुख आदर्श है।
• इसके विपरीत, यदि पी एक प्रमुख आदर्श है, तो चर के लगभग सभी रैखिक परिवर्तनों के बाद, पूर्ववर्ती आकार की एक नियमित श्रृंखला सी मौजूद होती है जैसे कि P = sat(C)।
• एक त्रिकोणीय सेट एक नियमित श्रृंखला है यदि और केवल यदि यह अपने संतृप्त आदर्श का एक रिट विशेषता सेट है।

यह भी देखें

• वू की विशेषता सेट की विधि
• ग्रोबनर आधार
• नियमित अर्ध-बीजगणितीय प्रणाली
• त्रिकोणीय अपघटन

आगे के संदर्भ

• पी. ऑब्री, डी. लाज़ार्ड, एम. मोरेनो माज़ा। त्रिकोणीय सेट के सिद्धांतों पर। जर्नल ऑफ़ सिंबॉलिक कंप्यूटेशन, 28(1–2):105–124, 1999।
• एफ. बाउलियर और एफ. लेमेयर और एम. मोरेनो माज़ा। त्रिकोणीय प्रणालियों और D5 सिद्धांत पर प्रसिद्ध प्रमेय। ट्रांसग्रेसिव कम्प्यूटिंग 2006, ग्रेनाडा, स्पेन।
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• एम. कालब्रेनर: बहुपद रिंगों के एल्गोरिद्मिक गुण। जे सिंब। गणना। 26(5): 525–581 (1998)।
• एम. कालब्रेनर: एक सामान्यीकृत यूके कंप्यूटिंग त्रिकोणीय के लिए लिडियन एल्गोरिथम बीजगणितीय किस्मों का प्रतिनिधित्व। जे सिंब। गणना। 15(2): 143–167 (1993).
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