शंक्वाकार संयोजन: Difference between revisions
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सदिशों की परिमित | सदिशों की परिमित संख्याएँ <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> दी गई है, यहाँ पर [[वास्तविक संख्या]] को सदिश स्थान पर '''शंक्वाकार संयोजन''' के लिए शंक्वाकार योग या भारित योग<ref name=conv-an>''Convex Analysis and Minimization Algorithms'' by Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, 1993, {{ISBN|3-540-56850-6}}, [https://books.google.com/books?id=Gdl4Jc3RVjcC&pg=PA101&dq=%22conical+combination%22&sig=ACfU3U1PhwoewUhc6T8MpfreQHpB35d7jQ#PPA101,M1 pp. 101, 102]</ref><ref name=Jeter>''Mathematical Programming'', by Melvyn W. Jeter (1986) {{ISBN|0-8247-7478-7}}, [https://books.google.com/books?id=ofrBsl61lq8C&pg=PA67&dq=%22unbounded+convex+polyhedron%22&sig=ACfU3U1Yv3iG-XIn3hiuh84nK2e8UIcdAA#PPA68,M1 p. 68]</ref> द्वारा सदिशों के रूप में प्रदर्शित करते हैं। इस प्रकार इस समीकरण को हम इस प्रकार लिख सकते हैं- | ||
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जहाँ <math>\alpha_i</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं को प्रदर्शित करता हैं। | |||
यह नाम इस तथ्य से निकला है कि सदिशों का शंक्वाकार योग [[शंकु (ज्यामिति)]] को परिभाषित करता है (संभवतः निम्न-आयामी रैखिक उप-स्थान में)। | यह नाम इस तथ्य से निकला है कि सदिशों का शंक्वाकार योग [[शंकु (ज्यामिति)]] को परिभाषित करता है (संभवतः निम्न-आयामी रैखिक उप-स्थान में इसे रखा जाता हैं)। | ||
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:<math>\operatorname{coni} (S)=\left\{ \sum_{i=1}^k \alpha_i x_i : x_i \in S,\, \alpha_i \in \mathbb{R}_{\ge 0},\, k \in \N \right\}.</math> | :<math>\operatorname{coni} (S)=\left\{ \sum_{i=1}^k \alpha_i x_i : x_i \in S,\, \alpha_i \in \mathbb{R}_{\ge 0},\, k \in \N \right\}.</math> | ||
k = 0 | k = 0 मान के अनुसार यह शून्य वेक्टर (मूल (गणित)) का पालन करता है जो सभी शंक्वाकार आवरणों से संबंधित है (चूंकि यह योग [[खाली योग|रिक्त योग]] का रूप ले लेता है)। | ||
किसी समुच्चय S का शंक्वाकार आवरण [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] को प्रदर्शित करता हैं। वास्तव में, यह S धनात्मक मूल वाले सभी [[उत्तल शंकु]]ओं का प्रतिच्छेदन करने में सहायक होता हैं।<ref name=conv-an/> इस प्रकार यदि S संहत समुच्चय है विशेष रूप से, जब यह परिमित है, तो इन बिंदुओं पर आधारित समुच्चय और मूल बिंदु अनावश्यक है। | |||
यदि हम उत्पत्ति को छोड़ देते हैं, तो हम यह देखने के लिए सभी गुणांकों को उनके योग से विभाजित कर सकते हैं कि शंक्वाकार संयोजन [[उत्तल संयोजन]] है जिसे | यदि हम इसकी उत्पत्ति को छोड़ देते हैं, तो हम यह देखने के लिए सभी गुणांकों को उनके योग से विभाजित कर सकते हैं कि शंक्वाकार संयोजन [[उत्तल संयोजन]] है जिसे धनात्मक कारक द्वारा बढ़ाया जाता है। | ||
[[File:Circle-conic-hull.svg|thumb|right| | [[File:Circle-conic-hull.svg|thumb|right|समतल पर इनके मूलों के माध्यम से गुजरने वाले वृत्त का शंक्वाकार आवरण ओपेन [[आधा विमान|अर्धतल]] है जो स्पर्श रेखा द्वारा परिभाषित होता है जो मूल और मूल पर वृत्त होता है।]]इसलिए, शंक्वाकार संयोजन और शंक्वाकार आवरण वास्तव में क्रमशः उत्तल शंक्वाकार संयोजन और उत्तल शंक्वाकार आवरण कहलाते हैं।<ref name=conv-an/> इसके अतिरिक्त इसके मूल को विभक्त करते हुए गुणांक को विभाजित करने के बारे में उपरोक्त टिप्पणी का अर्थ है कि शंक्वाकार संयोजन और आवरणों को उत्तल संयोजन और उत्तल आवरणों को प्रक्षेप्य स्थान के रूप में माना जा सकता है। | ||
जबकि | जबकि सघन समुच्चय का उत्तल आवरण भी सघन समुच्चय है, इस प्रकार शंक्वाकार आवरण के लिए ऐसा नहीं है, सबसे पहले इसके बाद वाले असीमित रूप से दर्शाये जाते हैं। इसके अतिरिक्त यह आवश्यक रूप से [[बंद सेट|क्लोज्ड समुच्चय]] भी नहीं है: इस प्रकार प्रति उदाहरण इनके मूलों से गुजरने वाले तथ्यो को गोले में प्रदर्शिक किया गया हैं, जिसमें शंक्वाकार आवरण ओपेन अर्धस्थान (ज्यामिति) द्वारा प्रदर्शित होता है। अर्धस्थान धनात्मक मूल द्वारा प्रदर्शित होता हैं। यद्दपि यदि S गैर-रिक्त उत्तल सघन समुच्चय है जिसमें इनके मूल नहीं है, तो S का उत्तल शंक्वाकार आवरण क्लोज्ड समुच्चय द्वारा प्रदर्शित होता हैं।<ref name=conv-an/> | ||
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सदिशों की परिमित संख्याएँ दी गई है, यहाँ पर वास्तविक संख्या को सदिश स्थान पर शंक्वाकार संयोजन के लिए शंक्वाकार योग या भारित योग[1][2] द्वारा सदिशों के रूप में प्रदर्शित करते हैं। इस प्रकार इस समीकरण को हम इस प्रकार लिख सकते हैं-
जहाँ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं को प्रदर्शित करता हैं।
यह नाम इस तथ्य से निकला है कि सदिशों का शंक्वाकार योग शंकु (ज्यामिति) को परिभाषित करता है (संभवतः निम्न-आयामी रैखिक उप-स्थान में इसे रखा जाता हैं)।
शंक्वाकार आवरण
किसी दिए गए समुच्चय S के लिए सभी शंक्वाकार संयोजनों के समुच्चय (गणित) को S के 'शंक्वाकार आवरण' द्वारा प्रदर्शइत करते हैं और निरूपित शंकु (S)[1]या कोनी (एस) को इस प्रकार प्रकट कर सकते हैं,[2]
k = 0 मान के अनुसार यह शून्य वेक्टर (मूल (गणित)) का पालन करता है जो सभी शंक्वाकार आवरणों से संबंधित है (चूंकि यह योग रिक्त योग का रूप ले लेता है)।
किसी समुच्चय S का शंक्वाकार आवरण उत्तल समुच्चय को प्रदर्शित करता हैं। वास्तव में, यह S धनात्मक मूल वाले सभी उत्तल शंकुओं का प्रतिच्छेदन करने में सहायक होता हैं।[1] इस प्रकार यदि S संहत समुच्चय है विशेष रूप से, जब यह परिमित है, तो इन बिंदुओं पर आधारित समुच्चय और मूल बिंदु अनावश्यक है।
यदि हम इसकी उत्पत्ति को छोड़ देते हैं, तो हम यह देखने के लिए सभी गुणांकों को उनके योग से विभाजित कर सकते हैं कि शंक्वाकार संयोजन उत्तल संयोजन है जिसे धनात्मक कारक द्वारा बढ़ाया जाता है।
इसलिए, शंक्वाकार संयोजन और शंक्वाकार आवरण वास्तव में क्रमशः उत्तल शंक्वाकार संयोजन और उत्तल शंक्वाकार आवरण कहलाते हैं।[1] इसके अतिरिक्त इसके मूल को विभक्त करते हुए गुणांक को विभाजित करने के बारे में उपरोक्त टिप्पणी का अर्थ है कि शंक्वाकार संयोजन और आवरणों को उत्तल संयोजन और उत्तल आवरणों को प्रक्षेप्य स्थान के रूप में माना जा सकता है।
जबकि सघन समुच्चय का उत्तल आवरण भी सघन समुच्चय है, इस प्रकार शंक्वाकार आवरण के लिए ऐसा नहीं है, सबसे पहले इसके बाद वाले असीमित रूप से दर्शाये जाते हैं। इसके अतिरिक्त यह आवश्यक रूप से क्लोज्ड समुच्चय भी नहीं है: इस प्रकार प्रति उदाहरण इनके मूलों से गुजरने वाले तथ्यो को गोले में प्रदर्शिक किया गया हैं, जिसमें शंक्वाकार आवरण ओपेन अर्धस्थान (ज्यामिति) द्वारा प्रदर्शित होता है। अर्धस्थान धनात्मक मूल द्वारा प्रदर्शित होता हैं। यद्दपि यदि S गैर-रिक्त उत्तल सघन समुच्चय है जिसमें इनके मूल नहीं है, तो S का उत्तल शंक्वाकार आवरण क्लोज्ड समुच्चय द्वारा प्रदर्शित होता हैं।[1]
यह भी देखें
संबंधित संयोजन
- अफिन संयोजन
- उत्तल संयोजन
- रैखिक संयोजन
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Convex Analysis and Minimization Algorithms by Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, 1993, ISBN 3-540-56850-6, pp. 101, 102
- ↑ 2.0 2.1 Mathematical Programming, by Melvyn W. Jeter (1986) ISBN 0-8247-7478-7, p. 68
