चक्रीय बिंदु: Difference between revisions

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== चक्रीय बहुभुज ==
== चक्रीय बहुभुज ==
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वृत्त की त्रिज्या जिस पर बिंदुओं का एक समूह स्थित है, परिभाषा के अनुसार, किसी भी त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या उन बिंदुओं में से किन्हीं तीन बिंदुओं पर है। यदि तीन बिंदुओं के बीच जोड़ीदार दूरी a, b, और c है, तो वृत्त की त्रिज्या है
वृत्त की त्रिज्या जिस पर बिंदुओं का एक समूह स्थित है, परिभाषा के अनुसार, किसी भी त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या उन बिंदुओं में से किन्हीं तीन बिंदुओं पर है। यदि तीन बिंदुओं के बीच जोड़ीदार दूरी a, b, और c है, तो वृत्त की त्रिज्या है


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=== चतुर्भुज ===
=== चतुर्भुज ===
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चक्रीय शीर्षों वाला चतुर्भुज ABCD चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है; यह होता है [[अगर और केवल अगर]] <math>\angle CAD = \angle CBD</math> (अंकित कोण प्रमेय) जो सच है अगर और केवल अगर चतुर्भुज के अंदर विपरीत कोण [[पूरक कोण]] हैं।<ref>{{citation
चक्रीय शीर्षों वाला चतुर्भुज ABCD चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है; यह होता है [[अगर और केवल अगर]] <math>\angle CAD = \angle CBD</math> (अंकित कोण प्रमेय) जो सच है अगर और केवल अगर चतुर्भुज के अंदर विपरीत कोण [[पूरक कोण]] हैं।<ref>{{citation
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यदि दो रेखाएँ, जिनमें एक खंड AC है और दूसरी जिसमें खंड BD है, X पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार बिंदु A, B, C, D चक्रीय हैं यदि और केवल यदि<ref>{{citation |last=Bradley |first=Christopher J. |title=The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates |publisher=Highperception |year=2007 |isbn=1906338000 |page=179 |oclc=213434422}}</ref>
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चौराहा एक्स सर्कल के आंतरिक या बाहरी हो सकता है। इस प्रमेय को [[एक बिंदु की शक्ति]] के रूप में जाना जाता है।
चौराहा एक्स चक्र के आंतरिक या बाहरी हो सकता है। इस प्रमेय को [[एक बिंदु की शक्ति]] के रूप में जाना जाता है।


=== बहुभुज ===
=== बहुभुज ===
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अधिक व्यापक रूप से, एक [[बहुभुज]] जिसमें सभी शीर्ष चक्रीय होते हैं, एक [[चक्रीय बहुभुज]] कहलाता है। एक बहुभुज चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके किनारों के लम्ब समद्विभाजक संगामी रेखाएँ हों।<ref>{{citation
अधिक व्यापक रूप से, एक [[बहुभुज]] जिसमें सभी शीर्ष चक्रीय होते हैं, एक [[चक्रीय बहुभुज]] कहलाता है। एक बहुभुज चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके किनारों के लम्ब समद्विभाजक संगामी रेखाएँ हों।<ref>{{citation
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== रूपांतर ==
== रूपांतर ==
कुछ लेखक [[संरेख बिंदु]] (एक ही लाइन से संबंधित सभी पॉइंट्स के सेट) को कॉन्साइक्लिक पॉइंट्स का एक विशेष मामला मानते हैं, जिसमें लाइन को अनंत त्रिज्या के एक सर्कल के रूप में देखा जाता है। उदाहरण के लिए, यह दृष्टिकोण उपयोगी है, जब व्युत्क्रम ज्यामिति और मोबियस परिवर्तनों का अध्ययन करते हैं, क्योंकि ये परिवर्तन केवल इस विस्तारित अर्थ में बिंदुओं की चक्रीयता को संरक्षित करते हैं।<ref>{{citation
कुछ लेखक [[संरेख बिंदु]] (एक ही लाइन से संबंधित सभी बिंदुओं  के सेट) को कॉन्साइक्लिक बिंदुओं  का एक विशेष घटना मानते हैं, जिसमें लाइन को अनंत त्रिज्या के एक चक्र के रूप में देखा जाता है। उदाहरण के लिए, यह दृष्टिकोण उपयोगी है, जब व्युत्क्रम ज्यामिति और मोबियस परिवर्तनों का अध्ययन करते हैं, क्योंकि ये परिवर्तन केवल इस विस्तारित अर्थ में बिंदुओं की चक्रीयता को संरक्षित करते हैं।<ref>{{citation
  | last = Zwikker | first = C.
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[[जटिल विमान]] में (विमान के एक्स और वाई कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में एक [[जटिल संख्या]] के [[वास्तविक और काल्पनिक भाग]]ों को देखने के द्वारा गठित), चक्रीयता का विशेष रूप से सरल सूत्रीकरण होता है: जटिल विमान में चार बिंदु या तो चक्रीय या संरेखी होते हैं यदि और केवल यदि उनका क्रॉस-अनुपात एक [[वास्तविक संख्या]] है।<ref>{{citation
[[जटिल विमान]] में (विमान के एक्स और वाई कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में एक [[जटिल संख्या]] के [[वास्तविक और काल्पनिक भाग]]ों को देखने के द्वारा गठित), चक्रीयता का विशेष रूप से सरल सूत्रीकरण होता है: जटिल विमान में चार बिंदु या तो चक्रीय या संरेखी होते हैं यदि और केवल यदि उनका क्रॉस-अनुपात एक [[वास्तविक संख्या]] है।<ref>{{citation
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== अन्य गुण ==
== अन्य गुण ==
पाँच या अधिक बिंदुओं का एक समूह चक्रीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक चार-बिंदु [[सबसेट]] चक्रीय है।<ref>{{citation
पाँच या अधिक बिंदुओं का एक समूह चक्रीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक चार-बिंदु [[सबसेट]] चक्रीय है।<ref>{{citation
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=== त्रिकोण ===
=== त्रिकोण ===


किसी भी त्रिकोण में निम्नलिखित नौ बिंदुओं में से सभी चक्रीय होते हैं जिसे नौ-बिंदु चक्र कहा जाता है: तीन किनारों के मध्य बिंदु, तीन [[ऊंचाई (ज्यामिति)]] के पैर, और [[orthocenter]] और तीनों में से प्रत्येक के बीच के बिंदु शिखर।
किसी भी त्रिकोण में निम्नलिखित नौ बिंदुओं में से सभी चक्रीय होते हैं जिसे नौ-बिंदु चक्र कहा जाता है: तीन किनारों के मध्य बिंदु, तीन [[ऊंचाई (ज्यामिति)]] के पैर, और [[orthocenter|और्थोसेन्टर]] और तीनों में से प्रत्येक के बीच के बिंदु शिखर।


लेस्टर के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी विषमबाहु त्रिभुज में, दो फ़र्मेट बिंदु, [[नौ-बिंदु केंद्र]] और परिकेन्द्र चक्रीय होते हैं।
लेस्टर के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी विषमबाहु त्रिभुज में, दो फ़र्मेट बिंदु, [[नौ-बिंदु केंद्र]] और परिकेन्द्र चक्रीय होते हैं।


यदि [[रेखा (गणित)]] [[लेमोइन बिंदु]] के [[समानांतर (ज्यामिति)]] के माध्यम से एक त्रिकोण के पक्षों के लिए खींची जाती है, तो लाइनों के चौराहे के छह बिंदु और त्रिकोण के पक्ष चक्रीय होते हैं, जिसे [[लेमोइन सर्कल]] कहा जाता है।
यदि [[रेखा (गणित)]] [[लेमोइन बिंदु]] के [[समानांतर (ज्यामिति)]] के माध्यम से एक त्रिकोण के पक्षों के लिए खींची जाती है, तो लाइनों के चौराहे के छह बिंदु और त्रिकोण के पक्ष चक्रीय होते हैं, जिसे [[लेमोइन सर्कल|लेमोइन]] चक्र कहा जाता है।


किसी दिए गए त्रिकोण से जुड़ा [[वैन लामोन सर्कल]] <math>T</math> अंदर परिभाषित छह त्रिकोणों के परिधि शामिल हैं <math>T</math> इसके तीन [[माध्यिका (ज्यामिति)]] द्वारा।
किसी दिए गए त्रिकोण से जुड़ा [[वैन लामोन सर्कल|वैन लामोन]] चक्र <math>T</math> अंदर परिभाषित छह त्रिकोणों के परिधि सम्मिलित हैं <math>T</math> इसके तीन [[माध्यिका (ज्यामिति)]] द्वारा।


एक त्रिभुज का परिकेन्द्र, इसका लेमोइन बिंदु, और इसके पहले दो ब्रोकार्ड बिंदु चक्रीय होते हैं, जिसमें परिकेन्द्र से लेकर लेमोइन बिंदु तक का खंड एक [[व्यास]] होता है।<ref>Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''[[Mathematical Gazette]]'' 83, November 1999, 472–477.</ref>
एक त्रिभुज का परिकेन्द्र, इसका लेमोइन बिंदु, और इसके पहले दो ब्रोकार्ड बिंदु चक्रीय होते हैं, जिसमें परिकेन्द्र से लेकर लेमोइन बिंदु तक का खंड एक [[व्यास]] होता है।<ref>Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''[[Mathematical Gazette]]'' 83, November 1999, 472–477.</ref>
=== अन्य बहुभुज ===
=== अन्य बहुभुज ===


एक बहुभुज को चक्रीय बहुभुज के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि इसके शीर्ष सभी चक्रीय हों। उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या में भुजाओं वाले [[नियमित बहुभुज]] के सभी शीर्ष चक्रीय होते हैं।
एक बहुभुज को चक्रीय बहुभुज के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि इसके शीर्ष सभी चक्रीय हों। उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या में भुजाओं वाले [[नियमित बहुभुज]] के सभी शीर्ष चक्रीय होते हैं।


एक [[स्पर्शरेखा बहुभुज]] वह होता है जिसमें बहुभुज के प्रत्येक तरफ एक खुदा हुआ चक्र स्पर्शरेखा होता है; ये स्पर्शरेखा बिंदु इस प्रकार उत्कीर्ण वृत्त पर चक्रीय हैं।
एक [[स्पर्शरेखा बहुभुज]] वह होता है जिसमें बहुभुज के प्रत्येक तरफ एक उत्कीर्ण चक्र स्पर्शरेखा होता है; ये स्पर्शरेखा बिंदु इस प्रकार उत्कीर्ण वृत्त पर चक्रीय हैं।


एक उत्तल चतुर्भुज [[ओर्थोडायगोनल]] है (लंबवत विकर्ण है) अगर और केवल अगर पक्षों के मध्य बिंदु और चार चतुर्भुज के पैर # विशेष रेखा खंड आठ चक्रीय बिंदु हैं, जिसे आठ-बिंदु चक्र कहा जाता है।
एक उत्तल चतुर्भुज [[ओर्थोडायगोनल]] है (लंबवत विकर्ण है) अगर और केवल अगर पक्षों के मध्य बिंदु और चार चतुर्भुज के पैर # विशेष रेखा खंड आठ चक्रीय बिंदु हैं, जिसे आठ-बिंदु चक्र कहा जाता है।
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
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== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
* {{MathWorld |title=Concyclic |urlname=Concyclic}}
* {{MathWorld |title=एकवृत्तीय |urlname=एकवृत्तीय}}
*''[http://demonstrations.wolfram.com/FourConcyclicPoints/ Four Concyclic Points]'' by Michael Schreiber, [[The Wolfram Demonstrations Project]].
*''[http://demonstrations.wolfram.com/FourConcyclicPoints/ चार चक्रीय बिंदु]''माइकल श्राइबर द्वारा , [[The Wolfram Demonstrations Project|द वोल्फ्राम डिमॉन्स्ट्रेशन प्रोजेक्ट]].


{{Commonscat|Concyclic points}}
{{Commonscat|Concyclic points}}

Revision as of 17:07, 29 March 2023

चक्रीय बिंदुओं के बीच वृत्त # जीवा की समवर्ती रेखाएँ लम्ब समद्विभाजक
चार चक्रीय बिंदु एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं, जो दो बराबर कोण दिखाते हैं

ज्यामिति में, बिंदु (ज्यामिति) के एक समुच्चय (गणित) को चक्रीय (या चक्रीय) कहा जाता है यदि वे एक सामान्य वृत्त पर स्थित हों। सभी चक्रीय बिंदु वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर हैं। समतल में तीन बिंदु जो सभी एक सीधी रेखा पर नहीं गिरते हैं, चक्रीय होते हैं, लेकिन विमान में ऐसे चार या अधिक बिंदु अनिवार्य रूप से चक्रीय नहीं होते हैं।

द्विभाजक

सामान्यतः एक वृत्त का केंद्र O जिस पर बिंदु P और Q स्थित हैं, ऐसा होना चाहिए कि OP और OQ समान दूरी पर हों। इसलिए O को रेखाखंड PQ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।[1] n भिन्न बिंदुओं के लिए त्रिकोणीय संख्या n(n − 1)/2 द्विभाजक हैं, और चक्रीय स्थिति यह है कि वे सभी एक बिंदु, केंद्र O में मिलते हैं।

चक्रीय बहुभुज

त्रिकोण

प्रत्येक त्रिभुज के शीर्ष एक वृत्त पर पड़ते हैं। (इस वजह से, कुछ लेखक चक्रीय को केवल एक वृत्त पर चार या अधिक बिंदुओं के संदर्भ में परिभाषित करते हैं।)[2] त्रिभुज के शीर्षों को समाविष्ट करने वाले वृत्त को त्रिभुज का परिबद्ध वृत्त कहा जाता है। एक त्रिकोण से परिभाषित बिंदुओं के कई अन्य सेट भी चक्रीय होते हैं, विभिन्न वृत्तों के साथ; नौ-बिंदु वृत्त देखें[3] और लेस्टर की प्रमेय।[4]

वृत्त की त्रिज्या जिस पर बिंदुओं का एक समूह स्थित है, परिभाषा के अनुसार, किसी भी त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या उन बिंदुओं में से किन्हीं तीन बिंदुओं पर है। यदि तीन बिंदुओं के बीच जोड़ीदार दूरी a, b, और c है, तो वृत्त की त्रिज्या है

एक त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण, और त्रिज्या के लिए व्यंजक और वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, शीर्षों के कार्तीय निर्देशांक के संदर्भ में परिवृत्त वृत्त#परिवृत्तवृत्त समीकरण और परिबद्ध वृत्त#कार्तीय निर्देशांक दिए गए हैं।

चतुर्भुज

Main article: चक्रीय चतुर्भुज

चक्रीय शीर्षों वाला चतुर्भुज ABCD चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है; यह होता है अगर और केवल अगर (अंकित कोण प्रमेय) जो सच है अगर और केवल अगर चतुर्भुज के अंदर विपरीत कोण पूरक कोण हैं।[5] उत्तरवर्ती भुजाओं a, b, c, d और अर्धपरिमाप s = (a + b + c + d) / 2 के साथ एक चक्रीय चतुर्भुज की परिधि इसके द्वारा दी गई है[6][7]

एक अभिव्यक्ति जो 15वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ वातस्सेरी परमेश्वर द्वारा प्राप्त की गई थी।

टॉलेमी के प्रमेय के अनुसार, यदि किसी चतुर्भुज को उसके चार शीर्षों A, B, C, और D के बीच क्रमानुसार दूरी दी जाती है, तो यह चक्रीय होता है यदि और केवल यदि विकर्णों का गुणनफल विपरीत भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है :

यदि दो रेखाएँ, जिनमें एक खंड AC है और दूसरी जिसमें खंड BD है, X पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार बिंदु A, B, C, D चक्रीय हैं यदि और केवल यदि[8]

चौराहा एक्स चक्र के आंतरिक या बाहरी हो सकता है। इस प्रमेय को एक बिंदु की शक्ति के रूप में जाना जाता है।

बहुभुज

Main article: चक्रीय बहुभुज

अधिक व्यापक रूप से, एक बहुभुज जिसमें सभी शीर्ष चक्रीय होते हैं, एक चक्रीय बहुभुज कहलाता है। एक बहुभुज चक्रीय होता है यदि और केवल यदि इसके किनारों के लम्ब समद्विभाजक संगामी रेखाएँ हों।[9]

रूपांतर

कुछ लेखक संरेख बिंदु (एक ही लाइन से संबंधित सभी बिंदुओं के सेट) को कॉन्साइक्लिक बिंदुओं का एक विशेष घटना मानते हैं, जिसमें लाइन को अनंत त्रिज्या के एक चक्र के रूप में देखा जाता है। उदाहरण के लिए, यह दृष्टिकोण उपयोगी है, जब व्युत्क्रम ज्यामिति और मोबियस परिवर्तनों का अध्ययन करते हैं, क्योंकि ये परिवर्तन केवल इस विस्तारित अर्थ में बिंदुओं की चक्रीयता को संरक्षित करते हैं।[10]

जटिल विमान में (विमान के एक्स और वाई कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में एक जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों को देखने के द्वारा गठित), चक्रीयता का विशेष रूप से सरल सूत्रीकरण होता है: जटिल विमान में चार बिंदु या तो चक्रीय या संरेखी होते हैं यदि और केवल यदि उनका क्रॉस-अनुपात एक वास्तविक संख्या है।[11]

अन्य गुण

पाँच या अधिक बिंदुओं का एक समूह चक्रीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक चार-बिंदु सबसेट चक्रीय है।[12] उत्तल सेटों की हेली संपत्ति की समरूपता के लिए इस संपत्ति को एक एनालॉग के रूप में माना जा सकता है।

उदाहरण

त्रिकोण

किसी भी त्रिकोण में निम्नलिखित नौ बिंदुओं में से सभी चक्रीय होते हैं जिसे नौ-बिंदु चक्र कहा जाता है: तीन किनारों के मध्य बिंदु, तीन ऊंचाई (ज्यामिति) के पैर, और और्थोसेन्टर और तीनों में से प्रत्येक के बीच के बिंदु शिखर।

लेस्टर के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी विषमबाहु त्रिभुज में, दो फ़र्मेट बिंदु, नौ-बिंदु केंद्र और परिकेन्द्र चक्रीय होते हैं।

यदि रेखा (गणित) लेमोइन बिंदु के समानांतर (ज्यामिति) के माध्यम से एक त्रिकोण के पक्षों के लिए खींची जाती है, तो लाइनों के चौराहे के छह बिंदु और त्रिकोण के पक्ष चक्रीय होते हैं, जिसे लेमोइन चक्र कहा जाता है।

किसी दिए गए त्रिकोण से जुड़ा वैन लामोन चक्र अंदर परिभाषित छह त्रिकोणों के परिधि सम्मिलित हैं इसके तीन माध्यिका (ज्यामिति) द्वारा।

एक त्रिभुज का परिकेन्द्र, इसका लेमोइन बिंदु, और इसके पहले दो ब्रोकार्ड बिंदु चक्रीय होते हैं, जिसमें परिकेन्द्र से लेकर लेमोइन बिंदु तक का खंड एक व्यास होता है।[13]

अन्य बहुभुज

एक बहुभुज को चक्रीय बहुभुज के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि इसके शीर्ष सभी चक्रीय हों। उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या में भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के सभी शीर्ष चक्रीय होते हैं।

एक स्पर्शरेखा बहुभुज वह होता है जिसमें बहुभुज के प्रत्येक तरफ एक उत्कीर्ण चक्र स्पर्शरेखा होता है; ये स्पर्शरेखा बिंदु इस प्रकार उत्कीर्ण वृत्त पर चक्रीय हैं।

एक उत्तल चतुर्भुज ओर्थोडायगोनल है (लंबवत विकर्ण है) अगर और केवल अगर पक्षों के मध्य बिंदु और चार चतुर्भुज के पैर # विशेष रेखा खंड आठ चक्रीय बिंदु हैं, जिसे आठ-बिंदु चक्र कहा जाता है।

संदर्भ

  1. ↑ Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, p. 21, ISBN 9780763743666/
  2. ↑ Elliott, John (1902), Elementary Geometry, Swan Sonnenschein & co., p. 126.
  3. ↑ Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students, Pure and Applied Undergraduate Texts, vol. 8, American Mathematical Society, p. 63, ISBN 9780821847947.
  4. ↑ Yiu, Paul (2010), "The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 175–209, MR 2868943.
  5. ↑ Pedoe, Dan (1997), Circles: A Mathematical View, MAA Spectrum (2nd ed.), Cambridge University Press, p. xxii, ISBN 9780883855188.
  6. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9
  7. ↑ Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette, 84 (499): 69–70, JSTOR 3621477
  8. ↑ Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422
  9. ↑ Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre L. (2010), Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, p. 77, ISBN 9780883857632.
  10. ↑ Zwikker, C. (2005), The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, Courier Dover Publications, p. 24, ISBN 9780486442761.
  11. ↑ Hahn, Liang-shin (1996), Complex Numbers and Geometry, MAA Spectrum (2nd ed.), Cambridge University Press, p. 65, ISBN 9780883855102.
  12. ↑ Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Courier Dover Publications, p. 431, ISBN 9780486658124.
  13. ↑ Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.

बाहरी संबंध

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