केशिका तरंग

This article is about द्रव अंतरापृष्ठ पर तरंगें. For बिजली में तरंगें, see तरंगें (विद्युत). For अन्य उपयोग, see तरंगें (विसंदिग्धीकरण).

पानी में केशिका तरंगें (तरंगें)।

ओक्सनेस, नॉर्वे में लिफजॉर्ड पर तरंगें

पानी और हवा के बीच अंतरापृष्ठ पर बूंदों के प्रभाव से उत्पन्न केशिका तरंगें।

एक केशिका तरंग एक द्रव की चरण सीमा के साथ यात्रा करने वाली एक तरंग है, जिसकी गतिशीलता (यांत्रिकी) और चरण वेग सतह तनाव के प्रभाव से प्रभावित होते हैं।

केशिका तरंगें प्रकृति में सामान्य हैं, और प्रायः उन्हें तरंग कहा जाता है। पानी पर केशिका तरंगों की तरंग दैर्ध्य सामान्यतः कुछ सेंटीमीटर से कम होती है, जिसकी चरण गति 0.2–0.3 मीटर / सेकंड से अधिक होती है।

द्रव अंतरापृष्ठ पर एक लंबी तरंग दैर्ध्य के परिणामस्वरूप गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगें होती हैं जो सतह तनाव और मानक गुरुत्वाकर्षण दोनों के साथ-साथ द्रव जड़ता से प्रभावित होती हैं। साधारण गुरुत्व तरंगों की तरंग दैर्ध्य अभी भी लंबी होती है।

खुले पानी में हल्की हवा से उत्पन्न होने पर, उनके लिए समुद्री नाम "बिल्ली की पंजा" तरंगें होती हैं। हल्की हवाएँ जो इस तरह की छोटी-छोटी तरंगों को हिलाती हैं, उन्हें कभी-कभी बिल्ली की पंजा भी कहा जाता है। खुले समुद्र में, बहुत बड़ी पवन तरंगें (हवा की तरंग और प्रफुल्लित (महासागर)) छोटी हवा के कारण होने वाली तरंग-तरंगों के सहसंयोजन के परिणामस्वरूप हो सकती हैं।

परिक्षेपण संबंध

परिक्षेपण संबंध तरंगों में तरंग दैर्ध्य और आवृत्ति के बीच संबंध का वर्णन करता है। शुद्ध केशिका तरंगों के बीच भेद किया जा सकता है - पूरी तरह से सतह तनाव के प्रभाव से प्रभावित - और गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगें जो गुरुत्वाकर्षण से भी प्रभावित होती हैं।

केशिका तरंगें, उचित

केशिका तरंगों के लिए परिक्षेपण संबंध है

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},$

जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $\sigma$ सतही तनाव, $\rho$ भारी तरल पदार्थ का घनत्व, $\rho '$ हलके द्रव का घनत्व और $k$ तरंग संख्या निम्न है

$\lambda ={\frac {2\pi }{k}}.$

द्रव और निर्वात (मुक्त सतह) के बीच की सीमा के लिए, परिक्षेपण संबंध कम हो जाता है

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.$

गुरुत्व-केशिका तरंगें

गहरे पानी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगों का निक्षेपण (ऊपरी परत का शून्य द्रव्यमान घनत्व, $\rho '=0$). चरण और समूह वेग द्वारा विभाजित $\scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}$ व्युत्क्रम सापेक्ष तरंग दैर्ध्य के एक फलन के रूप में $\scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}$
 • नीली रेखाएँ (A): चरण वेग, लाल रेखाएँ (B): समूह वेग।
 • खींची गई रेखाएँ: गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगों के लिए परिक्षेपण संबंध।
 • धराशायी रेखाएँ: गहरे पानी की गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए परिक्षेपण संबंध।
 • डैश-बिंदीदार रेखाएँ: गहरे पानी केशिका तरंगों के लिए मान्य परिक्षेपण संबंध।

जब केशिका तरंगें भी गुरुत्वाकर्षण से काफी हद तक प्रभावित होती हैं, तो उन्हें गुरुत्व-केशिका तरंगें कहा जाता है। अनंत गहराई के दो तरल पदार्थों के बीच अंतरापृष्ठ पर तरंगों के लिए उनका परिक्षेपण संबंध पढ़ता है:

$\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),$

जहाँ $g$ मानक गुरुत्व के कारण त्वरण है, $\rho$ और $\rho '$ दो तरल पदार्थों का द्रव्यमान घनत्व $(\rho >\rho ')$ है। कारक $(\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')$ पहले कार्यकाल में एटवुड नंबर है।

गुरुत्वाकर्षण तरंग सिद्धांत

Further information: हवादार तरंग सिद्धांत

बड़े तरंग दैर्ध्य (छोटा $k=2\pi /\lambda$) के लिए, केवल पहला शब्द प्रासंगिक है और एक में गुरुत्व तरंगें हैं। इस सीमा में, तरंगों का एक समूह वेग आधा चरण वेग होता है: एक समूह में एकल तरंग की शिखा के बाद समूह के पीछे दिखाई देने वाली तरंग को देख सकते हैं, बढ़ते हुए और अंत में समूह के सामने अन्तेर्ध्यान हो जाते हैं।

केशिका तरंग शासन

छोटा (बड़ा $k$) तरंगें (जैसे जल-वायु अंतरापृष्ठ के लिए 2 मिमी), जो उचित केशिका तरंगें हैं, इसके विपरीत करें: समूह के सामने एक व्यक्तिगत तरंग दिखाई देती है, समूह केंद्र की ओर बढ़ने पर बढ़ती है और अंत में पीछे अन्तेर्ध्यान हो जाती है। चरण वेग इस सीमा में समूह वेग का दो तिहाई है।

चरण वेग न्यूनतम

इन दो सीमाओं के बीच एक बिंदु है जिस पर गुरुत्वाकर्षण के कारण निक्षेपण केशिका प्रभाव के कारण निक्षेपण को रद्द कर देता है। एक निश्चित तरंग दैर्ध्य पर, समूह वेग चरण वेग के बराबर होता है, और कोई निक्षेपण नहीं होता है। ठीक इसी तरंग दैर्ध्य पर, तरंग दैर्ध्य (या तरंग संख्या) के एक फलन के रूप में गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगों का चरण वेग न्यूनतम होता है। इस महत्वपूर्ण तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत कम तरंग दैर्ध्य वाली तरंगें $\lambda _{m}$ सतह के तनाव का प्रभुत्व है, और गुरुत्वाकर्षण से बहुत ऊपर है। इस तरंग दैर्ध्य का मान और संबंधित न्यूनतम चरण गति $c_{m}$ हैं:

$\lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.$

हवा-पानी अंतरापृष्ठ के लिए, $\lambda _{m}$ 1.7 cm (0.67 in) पाया जाता है , और $c_{m}$ 0.23 m/s (0.75 ft/s) है।

यदि कोई एक छोटे से पत्थर या बूंद को तरल में गिराता है, तो तरंगें आराम से द्रव के एक विस्तारित चक्र के बाहर फैलती हैं; यह चक्र एक कास्टिक (प्रकाशिकी) है जो न्यूनतम समूह वेग से मेल खाता है।

व्युत्पत्ति

जैसा कि रिचर्ड फेनमैन ने कहा, [जल तरंगें] जो आसानी से हर किसी के द्वारा देखी जाती हैं और जो सामान्यतः प्रारंभिक पाठ्यक्रमों में तरंगों के उदाहरण के रूप में उपयोग की जाती हैं [...] सबसे खराब संभव उदाहरण [...] हैं; उनमें वे सभी जटिलताएँ हैं जो तरंगों में हो सकती हैं। सामान्य परिक्षेपण संबंध की व्युत्पत्ति इसलिए काफी सम्मिलित है।

ऊर्जा में , गुरुत्वाकर्षण के कारण, सतह के तनाव के लिए और जलगतिकी के लिए तीन योगदान हैं। पहले दो संभावित ऊर्जाएं हैं, और कोष्ठक के अंदर दो शब्दों के लिए जिम्मेदार हैं, जैसा कि $g$ और $\sigma$ की उपस्थिति से स्पष्ट है। गुरुत्वाकर्षण के लिए, तरल पदार्थ के घनत्व के स्थिर होने (यानी, असंपीड़्यता) और इसी तरह से एक धारणा $g$ बनाई जाती है (तरंगें गुरुत्वाकर्षण के लिए पर्याप्त रूप से बदलने के लिए पर्याप्त नहीं हैं)। सतही तनाव के लिए, ग्रहों से विचलन (जैसा कि सतह के व्युत्पन्न द्वारा मापा जाता है) को छोटा माना जाता है। सामान्य तरंगों के लिए दोनों सन्निकटन काफी अच्छे हैं।

तीसरे योगदान में तरल पदार्थों की गतिज ऊर्जा सम्मिलित है। यह सबसे जटिल है और द्रवगतिकी संरचना की मांग करता है। असंपीड्यता फिर से सम्मिलित है (जो संतुष्ट है अगर तरंगों की गति मीडिया में ध्वनि की गति से बहुत कम है), साथ में प्रवाह अघूर्णी होने के साथ - प्रवाह तब संभावित प्रवाह होता है। ये सामान्यतः सामान्य स्थितियों के लिए भी अच्छे अनुमान हैं।

क्षमता के लिए परिणामी समीकरण (जो लाप्लास समीकरण है) को उचित सीमा शर्तों के साथ हल किया जा सकता है। एक तरफ, वेग को सतह के नीचे अच्छी तरह से अन्तेर्ध्यान हो जाना चाहिए (गहरे पानी की स्तिथि में, जिस पर हम विचार करते हैं, अन्यथा एक अधिक सम्मिलित परिणाम प्राप्त होता है, समुद्र की सतह की तरंग का विज्ञान देखें।) दूसरी तरफ, इसके लंबवत घटक को सतह की गति से मेल खाना चाहिए। यह योगदान अतिरिक्त के लिए $k$ कोष्टक के बाहर उत्तरदायी होता है, जो सभी शासनों को k के निम्न मूल्यों और उच्च वाले दोनों पर बिखरने का कारण बनता है, (उस एक मान को छोड़कर जिस पर दो निक्षेपण रद्द हो जाते हैं।)

Dispersion relation for gravity–capillary waves on an interface between two semi–infinite fluid domains

Consider two fluid domains, separated by an interface with surface tension. The mean interface position is horizontal. It separates the upper from the lower fluid, both having a different constant mass density, $\rho$ and $\rho '$ for the lower and upper domain respectively. The fluid is assumed to be inviscid and incompressible, and the flow is assumed to be irrotational. Then the flows are potential, and the velocity in the lower and upper layer can be obtained from $\nabla \phi$ and $\nabla \phi '$, respectively. Here $\phi (x,y,z,t)$ and $\phi '(x,y,z,t)$ are velocity potentials. Three contributions to the energy are involved: the potential energy $V_{g}$ due to gravity, the potential energy $V_{st}$ due to the surface tension and the kinetic energy $T$ of the flow. The part $V_{g}$ due to gravity is the simplest: integrating the potential energy density due to gravity, $\rho gz$ (or $\rho 'gz$) from a reference height to the position of the surface, $z=\eta (x,y,t)$: $V_{\mathrm {g} }=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},$ assuming the mean interface position is at $z=0$. An increase in area of the surface causes a proportional increase of energy due to surface tension: $V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx {\frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],$ where the first equality is the area in this (Monge's) representation, and the second applies for small values of the derivatives (surfaces not too rough). The last contribution involves the kinetic energy of the fluid: $T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right|^{2}\right].$ Use is made of the fluid being incompressible and its flow is irrotational (often, sensible approximations). As a result, both $\phi (x,y,z,t)$ and $\phi '(x,y,z,t)$ must satisfy the Laplace equation: $\nabla ^{2}\Phi =0$   and   $\nabla ^{2}\Phi '=0.$ These equations can be solved with the proper boundary conditions: $\phi$ and $\phi '$ must vanish well away from the surface (in the "deep water" case, which is the one we consider). Using Green's identity, and assuming the deviations of the surface elevation to be small (so the z–integrations may be approximated by integrating up to $z=0$ instead of $z=\eta$), the kinetic energy can be written as: $T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.$ To find the dispersion relation, it is sufficient to consider a sinusoidal wave on the interface, propagating in the x–direction: $\eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \,\theta ,$ with amplitude $a$ and wave phase $\theta =kx-\omega t$. The kinematic boundary condition at the interface, relating the potentials to the interface motion, is that the vertical velocity components must match the motion of the surface: ${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}$   and   ${\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}$   at $z=0$. To tackle the problem of finding the potentials, one may try separation of variables, when both fields can be expressed as: Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 2:1"): {\displaystyle \begin{align} \Phi(x,y,z,t) & = + \frac{1}{|k|} \text{e}^{+|k|z}\, \ओमेगा ए\, \पाप\, \थीटा, \\ \Phi'(x,y,z,t)& = - \frac{1}{|k|} \text{e}^{-|k|z}\, \ ओमेगा ए \, \ पाप \, \ थीटा। \ अंत {संरेखित करें} </ गणित> फिर तरंग ऊर्जा में योगदान, एक तरंग दैर्ध्य पर क्षैतिज रूप से एकीकृत गणित>\lambda = 2\pi/k} x-दिशा में, और y-दिशा में एक इकाई चौड़ाई से अधिक, बनें: ${\begin{aligned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda .\end{aligned}}$ परिक्षेपण संबंध अब Lagrangian यांत्रिकी से प्राप्त किया जा सकता है $L=T-V$, साथ $V$ गुरुत्वाकर्षण द्वारा संभावित ऊर्जाओं का योग $V_{g}$ और सतही तनाव $V_{st}$: $L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda .$ ज्यावक्रीय तरंगों और रेखीय तरंग सिद्धांत के लिए, औसत Lagrangian|phase-Averaged Lagrangian हमेशा रूप का होता है $L=D(\omega ,k)a^{2}$, ताकि भिन्नता केवल मुक्त पैरामीटर के संबंध में हो, $a$, परिक्षेपण संबंध देता है $D(\omega ,k)=0$.हमारे मामले में $D(\omega ,k)$ वर्ग कोष्ठक में सिर्फ अभिव्यक्ति है, ताकि परिक्षेपण संबंध हो: $\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),$ उपरोक्त के समान। परिणामस्वरूप, प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत तरंग ऊर्जा, $(T+V)/\lambda$, है: ${\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.$ हमेशा की तरह रैखिक तरंग गतियों के लिए, संभावित और गतिज ऊर्जा बराबर होती है (उपकरण प्रमेय मान्य है): $T=V$.

यह भी देखें

• केशिका की कार्रवाई
• निक्षेपण (पानी की तरंगें)
• द्रव नलिका
• समुद्र की सतह की तरंग
• ऊष्मीय केशिका तरंग
• दो चरण प्रवाह
• तरंग निर्मित तरंग

संदर्भ

• Longuet-Higgins,M. S. (1963). "The generation of capillary waves by steep gravity waves". Journal of Fluid Mechanics. 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM....16..138L. doi:10.1017/S0022112063000641. ISSN 1469-7645. S2CID 119740891.
• Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Phillips, O. M. (1977). The dynamics of the upper ocean (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29801-6.
• Dingemans, M. W. (1997). Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering. Vol. 13. World Scientific, Singapore. pp. 2 Parts, 967 pages. ISBN 981-02-0427-2.
• Safran, Samuel (1994). Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes. Addison-Wesley.
• Tufillaro, N. B.; Ramshankar, R.; Gollub, J. P. (1989). "Order-disorder transition in capillary ripples". Physical Review Letters. 62 (4): 422–425. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. doi:10.1103/PhysRevLett.62.422. PMID 10040229.

बाहरी संबंध

• Capillary waves entry at sklogwiki