द्वि-हार्मोनिक मानचित्र: Difference between revisions

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[[ अंतर ज्यामिति ]] के गणितीय क्षेत्र में, एक बिहार्मोनिक मैप [[ रीमैनियन कई गुना ]] या [[स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] के बीच का एक मैप है जो एक निश्चित चौथे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है। एक बिहारमोनिक सबमनिफोल्ड एक रिमेंनियन या छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड में एक एम्बेडिंग या विसर्जन को संदर्भित करता है जो एक बिहार्मोनिक नक्शा है जब डोमेन अपने प्रेरित मीट्रिक से लैस होता है। बिहारमोनिक मानचित्रों को समझने की समस्या 1983 में [[जेम्स एल्स]] और ल्यूक लेमाइरे द्वारा प्रस्तुत की गई थी।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1983|1loc=(8.7) and (8.8)}[[हार्मोनिक नक्शा]] मानचित्रों का अध्ययन, जिनमें से बिहारमोनिक मानचित्रों का अध्ययन एक परिणाम है (कोई भी हार्मोनिक मानचित्र भी एक बिहारमोनिक मानचित्र है), पिछले बीस वर्षों से अध्ययन का एक सक्रिय क्षेत्र रहा है (और बना हुआ है){{sfnm|1a1=Eells|1a2=Sampson|1y=1964}} बिहारमोनिक मानचित्रों का एक साधारण मामला [[बिहारमोनिक समीकरण]] द्वारा दिया गया है।
अवकल ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, '''द्वि-हार्मोनिक मानचित्र''' रीमैनियन या स्यूडो-रीमैनियन प्रसमष्टि के बीच का एक मानचित्र है जो एक निश्चित चतुर्थ क्रम के आंशिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है। द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि एक रिमेंनियन या छद्म-रीमैनियन प्रसमष्टि में एक एम्बेडिंग या संलयन को संदर्भित करता है जो द्वि-हार्मोनिक मानचित्र है जब डोमेन अपने प्रेरित आव्यूह से लैस होता है। 1983 में जेम्स एल्स और ल्यूक लेमाइरे द्वारा द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों को समझने की समस्या प्रस्तुत की गई थी।<ref>Eells, James; Lemaire, Luc (1983). ''Selected topics in harmonic maps''. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 50. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/cbms/050. ISBN <bdi>0-8218-0700-5</bdi>. MR 0703510. Zbl 0515.58011.</ref> हार्मोनिक मानचित्रों का अध्ययन, जिनमें से द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों का अध्ययन एक परिणाम है कोई भी हार्मोनिक मानचित्र भी द्वि-हार्मोनिक मानचित्र है, पिछले बीस वर्षों से अध्ययन का (और बना हुआ है) सक्रिय क्षेत्र रहा है।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Sampson|1y=1964}} द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों की एक साधारण स्थिति द्वि-हार्मोनिक फलनों द्वारा दी गई है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
Riemannian या छद्म-Rimannian कई गुना दिया गया {{math|(''M'', ''g'')}} और {{math|(''N'', ''h'')}}, नक्षा {{mvar|f}} से {{mvar|M}} को {{mvar|N}} जो कम से कम चार बार अलग-अलग होता है उसे एक बिहारमोनिक मानचित्र कहा जाता है
रिमेंनियन या छद्म-रिमेंनियन प्रसमष्टि {{math|(''M'', ''g'')}} और {{math|(''N'', ''h'')}} को देखते हुए M से N तक एक मानचित्र F जो कम से कम चार गुना अवकलनीय होता है, उसे द्वि-हार्मोनिक मानचित्र कहा जाता है
:<math>\Delta\Delta f+\sum_{i=1}^m R^h\big(\Delta f,df(e_i),df(e_i)\big)=0;</math>
:<math>\Delta\Delta f+\sum_{i=1}^m R^h\big(\Delta f,df(e_i),df(e_i)\big)=0;</math>
कोई बिंदु दिया {{mvar|p}} का {{mvar|M}}, इस समीकरण का प्रत्येक पक्ष [[स्पर्शरेखा स्थान]] का एक तत्व है {{mvar|N}} पर {{math|''f''(''p'')}}.{{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Definition 5|2a1=Chen|2y=2011|2loc=eq. (7.64)}} दूसरे शब्दों में, उपरोक्त समीकरण सदिश बंडल के वर्गों की समानता है {{math|''f''<sup> *</sup>''TN'' ''M''}}. समीकरण में, {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''m''</sub>}} एक मनमाना है {{mvar|g}}- स्पर्शरेखा स्थान का ऑर्थोनॉर्मल आधार {{mvar|M}} और {{math|''R''<sup>''h''</sup>}} सम्मेलन के बाद [[रीमैन वक्रता टेन्सर]] है {{math|''R''(''u'', ''v'', ''w'') {{=}} ∇<sub>''u''</sub>∇<sub>''v''</sub>''w'' ∇<sub>''v''</sub>∇<sub>''u''</sub>''w'' − ∇<sub>[''u'', ''v'']</sub>w}}. मात्रा {{math|∆''f''}} का तनाव क्षेत्र या लाप्लासियन है {{mvar|f}}, जैसा कि एल्स और सैम्पसन द्वारा हार्मोनिक मानचित्रों के अध्ययन में पेश किया गया था।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Sampson|1y=1964|1p=116}}
M का कोई भी बिंदु p दिया गया है, इस समीकरण का प्रत्येक पक्ष f(p) पर N के स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है।{{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Definition 5|2a1=Chen|2y=2011|2loc=eq. (7.64)}} दूसरे शब्दों में, उपरोक्त समीकरण सदिश बंडल f *TN → M के वर्गों की समानता है। समीकरण में, e1, ..., em, M और Rh के स्पर्शरेखा समष्टि का एक यादृच्छिक g -प्रसामान्य लांबिक आधार है। रीमैन वक्रता प्रदिश, व्यवहार के अनुसार R(u, v, w) = ∇u∇vw ∇v∇uw − ∇[u, v]w समान है। मात्रा ∆f f का "तनाव क्षेत्र" या "लाप्लासियन" है, जैसा कि हार्मोनिक मानचित्रों के अध्ययन में ईल्स और सैम्पसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Sampson|1y=1964|1p=116}}


[[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]], [[आंतरिक उत्पाद]], और [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)]] संचालन के संदर्भ में, बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
[[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)|अनुरेख (रैखिक बीजगणित)]], [[आंतरिक उत्पाद|आंतरिक गुणनफल]], और [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|पुलबैक (अवकल ज्यामिति)]] संक्रिया के संदर्भ में, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
:<math>\Delta\Delta f+\operatorname{tr}_g\Big(f^\ast\big(\iota_{\Delta f}R^h\big)\Big)=0.</math>
:<math>\Delta\Delta f+\operatorname{tr}_g\Big(f^\ast\big(\iota_{\Delta f}R^h\big)\Big)=0.</math>
स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} के लिए {{mvar|M}} और स्थानीय निर्देशांक {{math|''y''<sup>α</sup>}} के लिए {{mvar|N}}, बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण के रूप में लिखा गया है
स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} के लिए {{mvar|M}} और स्थानीय निर्देशांक {{math|''y''<sup>α</sup>}} के लिए {{mvar|N}}, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के रूप में लिखा गया है
:<math>g^{ij}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)-\Gamma_{ij}^k\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^k}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)+\frac{\partial f^\delta}{\partial x^i}\Gamma_{\delta\epsilon}^\alpha\left(\frac{\partial(\Delta f)^\epsilon}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\epsilon(\Delta f)^\gamma\right)\right)+g^{ij}R_{\beta\gamma\delta}^\alpha(\Delta f)^\beta\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^i}\frac{\partial f^\delta}{\partial x^j}=0,</math>
:<math>g^{ij}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)-\Gamma_{ij}^k\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^k}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)+\frac{\partial f^\delta}{\partial x^i}\Gamma_{\delta\epsilon}^\alpha\left(\frac{\partial(\Delta f)^\epsilon}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\epsilon(\Delta f)^\gamma\right)\right)+g^{ij}R_{\beta\gamma\delta}^\alpha(\Delta f)^\beta\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^i}\frac{\partial f^\delta}{\partial x^j}=0,</math>
जिसमें क्रिस्टोफेल प्रतीकों, रीमैन वक्रता टेन्सर, और हार्मोनिक मानचित्र की निम्नलिखित परिभाषाओं के साथ [[आइंस्टीन योग सम्मेलन]] का उपयोग किया गया है:
जिसमें क्रिस्टोफेल प्रतीकों, रीमैन वक्रता प्रदिश, और हार्मोनिक मानचित्र की निम्नलिखित परिभाषाओं के साथ [[आइंस्टीन योग सम्मेलन|आइंस्टीन संकलन संकेत]] का उपयोग किया गया है:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\Gamma_{ij}^k&=\frac{1}{2}g^{kl}\Big(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Big)\\
\Gamma_{ij}^k&=\frac{1}{2}g^{kl}\Big(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Big)\\
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(\Delta f)^\alpha&=g^{ij}\Big(\frac{\partial^2f^\alpha}{\partial x^i\partial x^j}-\Gamma_{ij}^k\frac{\partial f^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^i}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^j}\Big).
(\Delta f)^\alpha&=g^{ij}\Big(\frac{\partial^2f^\alpha}{\partial x^i\partial x^j}-\Gamma_{ij}^k\frac{\partial f^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^i}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^j}\Big).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
समीकरण की इन प्रस्तुतियों में से किसी भी प्रस्तुति से यह स्पष्ट है कि कोई भी हार्मोनिक मानचित्र स्वचालित रूप से बिहार्मोनिक है। इस कारण से, एक उचित बिहारमोनिक मानचित्र एक बिहारमोनिक मानचित्र को संदर्भित करता है जो हार्मोनिक नहीं है।
समीकरण की इन प्रस्तुतियों में से किसी भी प्रस्तुति से यह स्पष्ट है कि कोई भी हार्मोनिक मानचित्र स्वचालित रूप से द्वि-हार्मोनिक है। इस कारण से, एक उपयुक्त द्वि-हार्मोनिक मानचित्र द्वि-हार्मोनिक मानचित्र को संदर्भित करता है जो हार्मोनिक नहीं है।


विशेष सेटिंग में जहां {{mvar|f}} एक (छद्म-) रीमैनियन विसर्जन है, जिसका अर्थ है कि यह एक [[विसर्जन (गणित)]] है और वह {{mvar|g}} [[प्रेरित मीट्रिक]] के बराबर है {{math|''f''<sup> *</sup>''h''}}, एक का कहना है कि एक बिहारमोनिक मानचित्र के बजाय एक बिहारमोनिक सबमनीफोल्ड है। के [[औसत वक्रता]] के बाद से {{mvar|f}} के लाप्लासियन के बराबर है {{math|''f'' : (''M'', ''f''<sup> *</sup>''h'') → (''N'', ''h'')}}, कोई जानता है कि एक विसर्जन न्यूनतम सबमनीफोल्ड है अगर और केवल अगर यह हार्मोनिक है। विशेष रूप से, कोई भी न्यूनतम विसर्जन स्वचालित रूप से एक बिहार्मोनिक सबमनीफोल्ड होता है। एक उचित बिहारमोनिक सबमनीफोल्ड एक बिहारमोनिक सबमनीफोल्ड को संदर्भित करता है जो न्यूनतम नहीं है।
विशेष समुच्चयन में जहां {{mvar|f}} एक (छद्म-) रीमैनियन संलयन है, जिसका अर्थ है कि यह एक [[विसर्जन (गणित)|संलयन (गणित)]] है और वह {{mvar|g}} [[प्रेरित मीट्रिक|प्रेरित आव्यूह]] {{math|''f''<sup> *</sup>''h''}} के बराबर है, इसका तात्पर्य है कि द्वि-हार्मोनिक मानचित्र के अतिरिक्त द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि है। चूँकि {{mvar|f}} का औसत वक्रता सदिश {{math|''f'' : (''M'', ''f''<sup> *</sup>''h'') → (''N'', ''h'')}} के लाप्लासियन के बराबर है, इसलिए कोई जानता है कि एक संलयन न्यूनतम है और यदि और केवल यदि यह हार्मोनिक है। विशेष रूप से, कोई भी न्यूनतम संलयन स्वचालित रूप से द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि होता है। एक उपयुक्त द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि को संदर्भित करता है जो न्यूनतम नहीं है।


बिहारमोनिक मैप समीकरण के लिए प्रेरणा द्विऊर्जा कार्यात्मक से है
द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के लिए प्रेरणा द्विऊर्जा कार्यात्मक से है
: <math>E_2(f) = \frac{1}{2}\,\int_M |\Delta f|_h^2\, dv_g,</math>
: <math>E_2(f) = \frac{1}{2}\,\int_M |\Delta f|_h^2\, dv_g,</math>
सेटिंग में जहां {{mvar|M}} [[कई गुना बंद]] है और {{mvar|g}} और {{mvar|h}} दोनों रीमैनियन हैं; {{math|''dv''<sub>''g''</sub>}} वॉल्यूम माप (गणित) को दर्शाता है <math>M</math> प्रेरक {{mvar|g}}. 1983 में ईल्स एंड लेमेयर ने इस कार्यात्मक के [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)]] के अध्ययन का सुझाव दिया।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1983|1loc=(8.7)}} गुओ यिंग जियांग ने 1986 में, इसके पहले भिन्नता सूत्र की गणना की, जिससे उपरोक्त बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण को संबंधित यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में खोजा गया।{{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Theorem 3}} सुरीले नक्शे उन महत्वपूर्ण बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनके लिए बायोएनेर्जी कार्यात्मक शून्य के न्यूनतम संभव मान पर ले जाता है।
समुच्चयन में जहां {{mvar|M}} [[कई गुना बंद|प्रसमष्टि]] संवृत है और {{mvar|g}} और {{mvar|h}} दोनों रीमैनियन हैं; {{math|''dv''<sub>''g''</sub>}} द्वारा प्रेरित <math>M</math> पर आयतन माप (गणित) को दर्शाता है। 1983 में ईल्स एंड लेमेयर ने इस कार्यात्मकता के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) के अध्ययन का सुझाव दिया।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1983|1loc=(8.7)}} गुओ यिंग जियांग ने 1986 में, इसके पहले अवकल सूत्र की गणना की, जिससे उपरोक्त द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण को संबंधित यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में खोजा गया।{{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Theorem 3}} हार्मोनिक मानचित्र उन महत्वपूर्ण बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनके लिए जैव ऊर्जा कार्यात्मक शून्य के न्यूनतम संभव मान पर ले जाता है।


== उदाहरण और वर्गीकरण ==
== उदाहरण और वर्गीकरण ==
बिहारमोनिक मानचित्रों के कई उदाहरण, जैसे चार आयामों के विशेष मामले में स्टीरियोग्राफिक अनुमानों के व्युत्क्रम, और पंचर [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के व्युत्क्रम ज्ञात हैं।{{sfnm|1a1=Montaldo|1a2=Oniciuc|1y=2006|1loc=Sections 5−7}} बिहारमोनिक सबमनिफोल्ड्स के कई उदाहरण हैं, जैसे (किसी के लिए {{mvar|k}}) सामान्यीकृत [[क्लिफर्ड टोरस]]
द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों के कई उदाहरण, जैसे चार आयामों के विशेष स्थितियों में त्रिविम प्रक्षेप अनुमानों के व्युत्क्रम, और वेधित [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] के व्युत्क्रम ज्ञात हैं।{{sfnm|1a1=Montaldo|1a2=Oniciuc|1y=2006|1loc=Sections 5−7}} द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि के कई उदाहरण हैं, जैसे (किसी {{mvar|k}} के लिए) सामान्यीकृत [[क्लिफर्ड टोरस]]
:<math>\Big\{x\in\mathbb{R}^{n+2}:x_1^2+\cdots+x_{k+1}^2=x_{k+2}^2+\cdots+x_{n+2}^2=\frac{1}{2}\Big\},</math>
:<math>\Big\{x\in\mathbb{R}^{n+2}:x_1^2+\cdots+x_{k+1}^2=x_{k+2}^2+\cdots+x_{n+2}^2=\frac{1}{2}\Big\},</math>
के सबमेनिफोल्ड के रूप में {{math|(''n'' + 1)}}-वृत्त।{{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Example 12}} यदि और केवल यदि यह न्यूनतम है {{mvar|n}} सम और बराबर है {{math|2''k''}}.
{{math|(''n'' + 1)}}-क्षेत्र के उप-प्रसमष्टि के रूप में {{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Example 12}} यह न्यूनतम है यदि और केवल यदि n सम है और 2k के बराबर है।


त्रि-आयामी [[अंतरिक्ष रूप]]ों में बिहार्मोनिक घटता का अध्ययन [[फ़्रेनेट समीकरण]]ों के माध्यम से किया जा सकता है। यह आसानी से अनुसरण करता है कि गैर-सकारात्मक वक्रता के त्रि-आयामी अंतरिक्ष रूप में प्रत्येक स्थिर-गति बिहारमोनिक वक्र को जियोडेसिक होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Proposition 3.1}} गोल त्रि-आयामी क्षेत्र में कोई स्थिर-गति बिहारमोनिक वक्र {{math|''S''<sup>3</sup>}} को एक निश्चित रेखीय_विभेदक_समीकरण#सजातीय_समीकरण_साथ_स्थिर_गुणांक|निरंतर-गुणांक चतुर्थ-क्रम रेखीय साधारण अंतर समीकरण के समाधान के रूप में देखा जा सकता है {{math|ℝ<sup>4</sup>}}-मूल्यवान समारोह।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Proposition 3.2}} इस तरह की स्थिति का पूरी तरह से विश्लेषण किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा कोई भी वक्र गोले की एक आइसोमेट्री तक होता है:
त्रि-आयामी [[अंतरिक्ष रूप|समष्टि रूप]] में द्वि-हार्मोनिक वक्र का अध्ययन [[फ़्रेनेट समीकरण]] के माध्यम से किया जा सकता है। यह आसानी से अनुसरण करता है कि गैर-धनात्मक वक्रता के त्रि-आयामी समष्टि रूप में प्रत्येक स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र को अल्पांतरी होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Proposition 3.1}} गोल त्रि-आयामी क्षेत्र {{math|''S''<sup>3</sup>}} में कोई स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र में किसी भी स्थिर-गति वाले द्वि-हार्मोनिक वक्र को {{math|ℝ<sup>4</sup>}}-मान फलन के लिए एक निश्चित स्थिर-गुणांक चौथे-क्रम रैखिक साधारण अवकल समीकरण के समाधान के रूप में देखा जा सकता है।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Proposition 3.2}} इस तरह की स्थिति का पूरी तरह से विश्लेषण किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा कोई भी वक्र गोले की एक समदूरीकता तक होता है:
* के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति पैरामीट्रिजेशन {{math|''S''<sup>3</sup> ⊂ ℝ<sup>4</sup>}} द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान के साथ {{math|ℝ × ℝ × {0} × {0}}}
* द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान ℝ × ℝ × {0} × {0} के साथ S3 ⊂ ℝ4 के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति प्राचलीकरण
* के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति पैरामीट्रिजेशन {{math|''S''<sup>3</sup> ⊂ ℝ<sup>4</sup>}} द्वि-आयामी affine उप-स्थान के साथ {{math|ℝ × ℝ × {''d''<sub>1</sub>} × {''d''<sub>2</sub>}}}, किसी भी विकल्प के लिए {{math|(''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>)}} जो त्रिज्या के वृत्त पर है {{math|2<sup>−1/2</sup>}} में मूल के आसपास {{math|ℝ<sup>2</sup>}}
* S3 ⊂ ℝ4 के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति प्राचलीकरण द्वि-आयामी एफीन उप-क्षेत्र ℝ × ℝ × {d1} × {d2} के साथ, (d1, d2) के किसी भी विकल्प के लिए जो त्रिज्या 2−1 /2 के चक्र पर मूल बिंदु के चारों ओर ℝ2 में{{math|2<sup>−1/2</sup>}} में मूल बिन्दु के आसपास {{math|ℝ<sup>2</sup>}} मे है।
* की एक निरंतर गति पुनर्मूल्यांकन
* की एक स्थिर-गति पुनः प्राचलीकरण
::<math>t\mapsto \Big(\frac{\cos at}{\sqrt{2}},\frac{\sin at}{\sqrt{2}},\frac{\cos bt}{\sqrt{2}},\frac{\sin bt}{\sqrt{2}}\Big)</math>
::<math>t\mapsto \Big(\frac{\cos at}{\sqrt{2}},\frac{\sin at}{\sqrt{2}},\frac{\cos bt}{\sqrt{2}},\frac{\sin bt}{\sqrt{2}}\Big)</math>
:किसी के लिए {{math|(''a'', ''b'')}} त्रिज्या के वृत्त पर {{math|2<sup>1/2</sup>}} में मूल के आसपास {{math|ℝ<sup>2</sup>}}.
:किसी {{math|(''a'', ''b'')}} के लिए त्रिज्या के वृत्त पर {{math|2<sup>1/2</sup>}} में मूल बिन्दु के प्रतिवेश {{math|ℝ<sup>2</sup>}} मे होता है
विशेष रूप से, प्रत्येक स्थिर-गति बिहारमोनिक वक्र में {{math|''S''<sup>3</sup>}} में निरंतर [[जियोडेसिक वक्रता]] होती है।
विशेष रूप से, प्रत्येक स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र में {{math|''S''<sup>3</sup>}} में निरंतर [[जियोडेसिक वक्रता|अल्पांतरी वक्रता]] होती है।


[[गॉस-कोडैज़ी समीकरण]]ों और बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण के विशुद्ध रूप से स्थानीय अध्ययन के परिणामस्वरूप, किसी भी जुड़े हुए बिहारमोनिक सतह में {{math|''S''<sup>3</sup>}} में निरंतर औसत वक्रता होनी चाहिए।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Theorem 4.5}} यदि यह अशून्य है (ताकि सतह न्यूनतम न हो) तो दूसरे मौलिक रूप में निरंतर लंबाई के बराबर होना चाहिए {{math|2<sup>1/2</sup>}}, जैसा कि बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण से प्राप्त होता है। ऐसी मजबूत ज्यामितीय स्थितियों वाली सतहों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप कोई भी जुड़ा हुआ बिहारमोनिक सतह {{math|''S''<sup>3</sup>}} हाइपरस्फीयर का या तो स्थानीय रूप से (आइसोमेट्री तक) हिस्सा होना चाहिए
[[गॉस-कोडैज़ी समीकरण]] और द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के विशुद्ध रूप से स्थानीय अध्ययन के परिणामस्वरूप, किसी भी जुड़े हुए द्वि-हार्मोनिक सतह में {{math|''S''<sup>3</sup>}} में निरंतर औसत वक्रता होनी चाहिए।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Theorem 4.5}} यदि यह अशून्य है (ताकि सतह न्यूनतम न हो) तो दूसरे मौलिक रूप में निरंतर लंबाई {{math|2<sup>1/2</sup>}} के बराबर होना चाहिए, जैसा कि द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण से प्राप्त होता है। ऐसी प्रबल ज्यामितीय स्थितियों वाली सतहों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप कोई भी जुड़ा हुआ द्वि-हार्मोनिक सतह {{math|''S''<sup>3</sup>}} अधिवृत्त का या तो स्थानीय रूप से (समदूरीकता तक) भाग होना चाहिए
:<math>\left\{\Big((w,x,y,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big):w^2+x^2+y^2=\frac{1}{2}\right\},</math>
:<math>\left\{\Big((w,x,y,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big):w^2+x^2+y^2=\frac{1}{2}\right\},</math>
या न्यूनतम।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Theorem 4.8}} इसी तरह, यूक्लिडियन अंतरिक्ष का कोई भी बिहारमोनिक हाइपरसफेस जिसमें निरंतर माध्य वक्रता न्यूनतम होनी चाहिए।{{sfnm|1a1=Chen|1y=2011|1loc=Corollary 2.10}}
या न्यूनतम होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1loc=Theorem 4.8}} इसी तरह, यूक्लिडियन समष्टि का कोई भी द्वि-हार्मोनिक ऊनविम सतह जिसमें निरंतर औसत वक्रता न्यूनतम होनी चाहिए।{{sfnm|1a1=Chen|1y=2011|1loc=Corollary 2.10}}


गुओ यिंग जियांग ने दिखाया कि अगर {{mvar|g}} और {{mvar|h}} रीमैनियन हैं, और यदि {{mvar|M}} बंद है और {{mvar|h}} में गैर-सकारात्मक [[अनुभागीय वक्रता]] है, फिर एक नक्शा {{math|(''M'', ''g'')}} को {{math|(''N'', ''h'')}} बिहारमोनिक है अगर और केवल अगर यह हार्मोनिक है।{{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Proposition 7}} प्रमाण यह दिखाना है कि, अनुभागीय वक्रता धारणा के कारण, लाप्लासियन का {{math|{{!}}∆''f''{{!}}<sup>2</sup>}} अऋणात्मक है, जिस बिंदु पर [[अधिकतम सिद्धांत]] लागू होता है। इस परिणाम और प्रमाण की तुलना एल्स एंड सैम्पसन के लुप्त हो जाने वाले प्रमेय से की जा सकती है, जो कहता है कि यदि अतिरिक्त रूप से रिक्की वक्रता {{mvar|g}} गैर-नकारात्मक है, फिर एक नक्शा {{math|(''M'', ''g'')}} को {{math|(''N'', ''h'')}} हार्मोनिक है अगर और केवल अगर यह [[पूरी तरह से जियोडेसिक]] है।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Sampson|1y=1964|1p=124}} जियांग के परिणाम के एक विशेष मामले के रूप में, गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन मैनिफोल्ड का एक बंद सबमनीफोल्ड बिहारमोनिक है और केवल अगर यह न्यूनतम है। आंशिक रूप से इन परिणामों के आधार पर, यह अनुमान लगाया गया था कि गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिहार्मोनिक सबमनीफोल्ड न्यूनतम होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1p=869}} यह, तथापि, अब असत्य होने के लिए जाना जाता है।{{sfnm|1a1=Chen|1y=2011|1p=147}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सबमनीफोल्ड्स का विशेष मामला [[बैंग-येन चेन]] का एक पुराना अनुमान है।{{sfnm|1a1=Chen|1y=1991|1loc=Conjecture 3|2a1=Chen|2y=1996|2loc=Conjecture 25.B.6}} चेन का अनुमान कई ज्यामितीय विशेष मामलों में सिद्ध हुआ है।{{sfnm|1a1=Chen|1y=1996|1loc=Theorems 15.4, 15.6−15.8, 15.10, 15.12−15.13}}
गुओ यिंग जियांग ने दिखाया कि यदि {{mvar|g}} और {{mvar|h}} रीमैनियन हैं, और यदि {{mvar|M}} संवृत है और {{mvar|h}} में गैर-धनात्मक [[अनुभागीय वक्रता]] है, फिर एक मानचित्र {{math|(''M'', ''g'')}} को {{math|(''N'', ''h'')}} द्वि-हार्मोनिक है यदि और केवल यदि यह हार्मोनिक है।{{sfnm|1a1=Jiang|1y=1986|1loc=Proposition 7}} प्रमाण यह दिखाना है कि, अनुभागीय वक्रता धारणा के कारण, लाप्लासियन का {{math|{{!}}∆''f''{{!}}<sup>2</sup>}} गैर-ऋणात्मक है, जिस बिंदु पर [[अधिकतम सिद्धांत]] प्रयुक्त होता है। इस परिणाम और प्रमाण की तुलना एल्स और सैम्पसन के लुप्यमान प्रमेय से की जा सकती है, जो कहता है कि यदि अतिरिक्त रूप से रिची वक्रता {{mvar|g}} गैर-ऋणात्मक है, फिर एक मानचित्र {{math|(''M'', ''g'')}} को {{math|(''N'', ''h'')}} हार्मोनिक है यदि और केवल यदि यह [[पूरी तरह से जियोडेसिक|पूरी तरह से अल्पांतरी]] है।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Sampson|1y=1964|1p=124}} जियांग के परिणाम के एक विशेष स्थितियों के रूप में, गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन प्रसमष्टि का एक संवृत उप-प्रसमष्टि द्वि-हार्मोनिक है और केवल यदि यह न्यूनतम है। आंशिक रूप से इन परिणामों के आधार पर, यह अनुमान लगाया गया था कि गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन प्रसमष्टि के प्रत्येक द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि न्यूनतम होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Caddeo|1a2=Montaldo|1a3=Oniciuc|1y=2001|1p=869}} तथापि, यह अब असत्य होने के लिए जाना जाता है।{{sfnm|1a1=Chen|1y=2011|1p=147}} यूक्लिडियन समष्टि के उप-प्रसमष्टि का विशेष स्थिति [[बैंग-येन चेन]] का एक पुराना अनुमान है।{{sfnm|1a1=Chen|1y=1991|1loc=Conjecture 3|2a1=Chen|2y=1996|2loc=Conjecture 25.B.6}} चेन का अनुमान कई ज्यामितीय विशेष स्थितियों में सिद्ध हुआ है।{{sfnm|1a1=Chen|1y=1996|1loc=Theorems 15.4, 15.6−15.8, 15.10, 15.12−15.13}}


==संदर्भ==
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*{{cite journal|first1=S.|last1=Montaldo|first2=C.|last2=Oniciuc|mr=2301373|url=https://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v47n2/v47n2a02.pdf|title=A short survey on biharmonic maps between Riemannian manifolds|journal=Revista de la Unión Matemática Argentina|volume=47|year=2006|issue=2|pages=1–22|zbl=1140.58004}}
*{{cite journal|first1=S.|last1=Montaldo|first2=C.|last2=Oniciuc|mr=2301373|url=https://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v47n2/v47n2a02.pdf|title=A short survey on biharmonic maps between Riemannian manifolds|journal=Revista de la Unión Matemática Argentina|volume=47|year=2006|issue=2|pages=1–22|zbl=1140.58004}}
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Latest revision as of 17:05, 25 May 2023

अवकल ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र रीमैनियन या स्यूडो-रीमैनियन प्रसमष्टि के बीच का एक मानचित्र है जो एक निश्चित चतुर्थ क्रम के आंशिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है। द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि एक रिमेंनियन या छद्म-रीमैनियन प्रसमष्टि में एक एम्बेडिंग या संलयन को संदर्भित करता है जो द्वि-हार्मोनिक मानचित्र है जब डोमेन अपने प्रेरित आव्यूह से लैस होता है। 1983 में जेम्स एल्स और ल्यूक लेमाइरे द्वारा द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों को समझने की समस्या प्रस्तुत की गई थी।[1] हार्मोनिक मानचित्रों का अध्ययन, जिनमें से द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों का अध्ययन एक परिणाम है कोई भी हार्मोनिक मानचित्र भी द्वि-हार्मोनिक मानचित्र है, पिछले बीस वर्षों से अध्ययन का (और बना हुआ है) सक्रिय क्षेत्र रहा है।[2] द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों की एक साधारण स्थिति द्वि-हार्मोनिक फलनों द्वारा दी गई है।

परिभाषा

रिमेंनियन या छद्म-रिमेंनियन प्रसमष्टि (M, g) और (N, h) को देखते हुए M से N तक एक मानचित्र F जो कम से कम चार गुना अवकलनीय होता है, उसे द्वि-हार्मोनिक मानचित्र कहा जाता है

M का कोई भी बिंदु p दिया गया है, इस समीकरण का प्रत्येक पक्ष f(p) पर N के स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है।[3] दूसरे शब्दों में, उपरोक्त समीकरण सदिश बंडल f *TN → M के वर्गों की समानता है। समीकरण में, e1, ..., em, M और Rh के स्पर्शरेखा समष्टि का एक यादृच्छिक g -प्रसामान्य लांबिक आधार है। रीमैन वक्रता प्रदिश, व्यवहार के अनुसार R(u, v, w) = ∇u∇vw − ∇v∇uw − ∇[u, v]w समान है। मात्रा ∆f f का "तनाव क्षेत्र" या "लाप्लासियन" है, जैसा कि हार्मोनिक मानचित्रों के अध्ययन में ईल्स और सैम्पसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।[4]

अनुरेख (रैखिक बीजगणित), आंतरिक गुणनफल, और पुलबैक (अवकल ज्यामिति) संक्रिया के संदर्भ में, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में xi के लिए M और स्थानीय निर्देशांक yα के लिए N, द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के रूप में लिखा गया है

जिसमें क्रिस्टोफेल प्रतीकों, रीमैन वक्रता प्रदिश, और हार्मोनिक मानचित्र की निम्नलिखित परिभाषाओं के साथ आइंस्टीन संकलन संकेत का उपयोग किया गया है:

समीकरण की इन प्रस्तुतियों में से किसी भी प्रस्तुति से यह स्पष्ट है कि कोई भी हार्मोनिक मानचित्र स्वचालित रूप से द्वि-हार्मोनिक है। इस कारण से, एक उपयुक्त द्वि-हार्मोनिक मानचित्र द्वि-हार्मोनिक मानचित्र को संदर्भित करता है जो हार्मोनिक नहीं है।

विशेष समुच्चयन में जहां f एक (छद्म-) रीमैनियन संलयन है, जिसका अर्थ है कि यह एक संलयन (गणित) है और वह g प्रेरित आव्यूह f *h के बराबर है, इसका तात्पर्य है कि द्वि-हार्मोनिक मानचित्र के अतिरिक्त द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि है। चूँकि f का औसत वक्रता सदिश f : (M, f *h) → (N, h) के लाप्लासियन के बराबर है, इसलिए कोई जानता है कि एक संलयन न्यूनतम है और यदि और केवल यदि यह हार्मोनिक है। विशेष रूप से, कोई भी न्यूनतम संलयन स्वचालित रूप से द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि होता है। एक उपयुक्त द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि को संदर्भित करता है जो न्यूनतम नहीं है।

द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के लिए प्रेरणा द्विऊर्जा कार्यात्मक से है

समुच्चयन में जहां M प्रसमष्टि संवृत है और g और h दोनों रीमैनियन हैं; dvg द्वारा प्रेरित पर आयतन माप (गणित) को दर्शाता है। 1983 में ईल्स एंड लेमेयर ने इस कार्यात्मकता के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) के अध्ययन का सुझाव दिया।[5] गुओ यिंग जियांग ने 1986 में, इसके पहले अवकल सूत्र की गणना की, जिससे उपरोक्त द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण को संबंधित यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में खोजा गया।[6] हार्मोनिक मानचित्र उन महत्वपूर्ण बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनके लिए जैव ऊर्जा कार्यात्मक शून्य के न्यूनतम संभव मान पर ले जाता है।

उदाहरण और वर्गीकरण

द्वि-हार्मोनिक मानचित्रों के कई उदाहरण, जैसे चार आयामों के विशेष स्थितियों में त्रिविम प्रक्षेप अनुमानों के व्युत्क्रम, और वेधित यूक्लिडियन समष्टि के व्युत्क्रम ज्ञात हैं।[7] द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि के कई उदाहरण हैं, जैसे (किसी k के लिए) सामान्यीकृत क्लिफर्ड टोरस

(n + 1)-क्षेत्र के उप-प्रसमष्टि के रूप में [8] यह न्यूनतम है यदि और केवल यदि n सम है और 2k के बराबर है।

त्रि-आयामी समष्टि रूप में द्वि-हार्मोनिक वक्र का अध्ययन फ़्रेनेट समीकरण के माध्यम से किया जा सकता है। यह आसानी से अनुसरण करता है कि गैर-धनात्मक वक्रता के त्रि-आयामी समष्टि रूप में प्रत्येक स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र को अल्पांतरी होना चाहिए।[9] गोल त्रि-आयामी क्षेत्र S3 में कोई स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र में किसी भी स्थिर-गति वाले द्वि-हार्मोनिक वक्र को 4-मान फलन के लिए एक निश्चित स्थिर-गुणांक चौथे-क्रम रैखिक साधारण अवकल समीकरण के समाधान के रूप में देखा जा सकता है।[10] इस तरह की स्थिति का पूरी तरह से विश्लेषण किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा कोई भी वक्र गोले की एक समदूरीकता तक होता है:

  • द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान ℝ × ℝ × {0} × {0} के साथ S3 ⊂ ℝ4 के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति प्राचलीकरण
  • S3 ⊂ ℝ4 के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति प्राचलीकरण द्वि-आयामी एफीन उप-क्षेत्र ℝ × ℝ × {d1} × {d2} के साथ, (d1, d2) के किसी भी विकल्प के लिए जो त्रिज्या 2−1 /2 के चक्र पर मूल बिंदु के चारों ओर ℝ2 में2−1/2 में मूल बिन्दु के आसपास 2 मे है।
  • की एक स्थिर-गति पुनः प्राचलीकरण
किसी (a, b) के लिए त्रिज्या के वृत्त पर 21/2 में मूल बिन्दु के प्रतिवेश 2 मे होता है

विशेष रूप से, प्रत्येक स्थिर-गति द्वि-हार्मोनिक वक्र में S3 में निरंतर अल्पांतरी वक्रता होती है।

गॉस-कोडैज़ी समीकरण और द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण के विशुद्ध रूप से स्थानीय अध्ययन के परिणामस्वरूप, किसी भी जुड़े हुए द्वि-हार्मोनिक सतह में S3 में निरंतर औसत वक्रता होनी चाहिए।[11] यदि यह अशून्य है (ताकि सतह न्यूनतम न हो) तो दूसरे मौलिक रूप में निरंतर लंबाई 21/2 के बराबर होना चाहिए, जैसा कि द्वि-हार्मोनिक मानचित्र समीकरण से प्राप्त होता है। ऐसी प्रबल ज्यामितीय स्थितियों वाली सतहों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप कोई भी जुड़ा हुआ द्वि-हार्मोनिक सतह S3 अधिवृत्त का या तो स्थानीय रूप से (समदूरीकता तक) भाग होना चाहिए

या न्यूनतम होना चाहिए।[12] इसी तरह, यूक्लिडियन समष्टि का कोई भी द्वि-हार्मोनिक ऊनविम सतह जिसमें निरंतर औसत वक्रता न्यूनतम होनी चाहिए।[13]

गुओ यिंग जियांग ने दिखाया कि यदि g और h रीमैनियन हैं, और यदि M संवृत है और h में गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता है, फिर एक मानचित्र (M, g) को (N, h) द्वि-हार्मोनिक है यदि और केवल यदि यह हार्मोनिक है।[14] प्रमाण यह दिखाना है कि, अनुभागीय वक्रता धारणा के कारण, लाप्लासियन का |∆f|2 गैर-ऋणात्मक है, जिस बिंदु पर अधिकतम सिद्धांत प्रयुक्त होता है। इस परिणाम और प्रमाण की तुलना एल्स और सैम्पसन के लुप्यमान प्रमेय से की जा सकती है, जो कहता है कि यदि अतिरिक्त रूप से रिची वक्रता g गैर-ऋणात्मक है, फिर एक मानचित्र (M, g) को (N, h) हार्मोनिक है यदि और केवल यदि यह पूरी तरह से अल्पांतरी है।[15] जियांग के परिणाम के एक विशेष स्थितियों के रूप में, गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन प्रसमष्टि का एक संवृत उप-प्रसमष्टि द्वि-हार्मोनिक है और केवल यदि यह न्यूनतम है। आंशिक रूप से इन परिणामों के आधार पर, यह अनुमान लगाया गया था कि गैर-धनात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन प्रसमष्टि के प्रत्येक द्वि-हार्मोनिक उप-प्रसमष्टि न्यूनतम होना चाहिए।[16] तथापि, यह अब असत्य होने के लिए जाना जाता है।[17] यूक्लिडियन समष्टि के उप-प्रसमष्टि का विशेष स्थिति बैंग-येन चेन का एक पुराना अनुमान है।[18] चेन का अनुमान कई ज्यामितीय विशेष स्थितियों में सिद्ध हुआ है।[19]

संदर्भ

Footnotes

  1. Eells, James; Lemaire, Luc (1983). Selected topics in harmonic maps. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 50. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/cbms/050. ISBN 0-8218-0700-5. MR 0703510. Zbl 0515.58011.
  2. Eells & Sampson 1964.
  3. Jiang 1986, Definition 5; Chen 2011, eq. (7.64).
  4. Eells & Sampson 1964, p. 116.
  5. Eells & Lemaire 1983, (8.7).
  6. Jiang 1986, Theorem 3.
  7. Montaldo & Oniciuc 2006, Sections 5−7.
  8. Jiang 1986, Example 12.
  9. Caddeo, Montaldo & Oniciuc 2001, Proposition 3.1.
  10. Caddeo, Montaldo & Oniciuc 2001, Proposition 3.2.
  11. Caddeo, Montaldo & Oniciuc 2001, Theorem 4.5.
  12. Caddeo, Montaldo & Oniciuc 2001, Theorem 4.8.
  13. Chen 2011, Corollary 2.10.
  14. Jiang 1986, Proposition 7.
  15. Eells & Sampson 1964, p. 124.
  16. Caddeo, Montaldo & Oniciuc 2001, p. 869.
  17. Chen 2011, p. 147.
  18. Chen 1991, Conjecture 3; Chen 1996, Conjecture 25.B.6.
  19. Chen 1996, Theorems 15.4, 15.6−15.8, 15.10, 15.12−15.13.

Books and surveys

  • Chen, Bang-Yen (2011). Pseudo-Riemannian geometry, δ-invariants and applications. With a foreword by Leopold Verstraelen. Hackensack, NJ: World Scientific. doi:10.1142/9789814329644. ISBN 978-981-4329-63-7. MR 2799371. Zbl 1245.53001.
  • Chen, Bang-Yen (2015). Total mean curvature and submanifolds of finite type. Series in Pure Mathematics. Vol. 27. With a foreword by Leopold Verstraelen (Second edition of 1984 original ed.). Hackensack, NJ: World Scientific. doi:10.1142/9237. ISBN 978-981-4616-69-0. MR 3362186. Zbl 1326.53004.
  • Eells, James; Lemaire, Luc (1983). Selected topics in harmonic maps. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 50. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/cbms/050. ISBN 0-8218-0700-5. MR 0703510. Zbl 0515.58011.

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