आवृत्ति डोमेन: Difference between revisions
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[[File:Fourier transform time and frequency domains (small).gif|frame|right|[[फूरियर रूपांतरण]] फ़ंक्शन के समय-डोमेन प्रतिनिधित्व को लाल रंग में दिखाया गया है, फ़ंक्शन के फ़्रीक्वेंसी-डोमेन प्रतिनिधित्व में, नीले रंग में दिखाया गया है। फ़्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम में फैले घटक फ़्रीक्वेंसी, फ़्रीक्वेंसी डोमेन में चोटियों के रूप में दर्शाए जाते हैं।]]गणित भौतिकी, [[इलेक्ट्रानिक्स]], [[नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग|नियंत्रण प्रणाली अभियांत्रिकी]] और सांख्यिकी में [[आवृत्ति]] कार्यक्षेत्र के संबंध में [[गणितीय कार्य|गणितीय कार्यों]] या [[सिग्नल (सूचना सिद्धांत)|संकेतों]] के विश्लेषण को संदर्भित करता है<ref>{{cite book |last1=Broughton |first1=S. A. |first2=K. |last2=Bryan|authorlink2=Karin Bryan |year=2008 |title=Discrete Fourier Analysis and Wavelets: Applications to Signal and Image Processing |location=New York |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |page=72}}</ref> | [[File:Fourier transform time and frequency domains (small).gif|frame|right|[[फूरियर रूपांतरण]] फ़ंक्शन के समय-डोमेन प्रतिनिधित्व को लाल रंग में दिखाया गया है, फ़ंक्शन के फ़्रीक्वेंसी-डोमेन प्रतिनिधित्व में, नीले रंग में दिखाया गया है। फ़्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम में फैले घटक फ़्रीक्वेंसी, फ़्रीक्वेंसी डोमेन में चोटियों के रूप में दर्शाए जाते हैं।]]गणित भौतिकी, [[इलेक्ट्रानिक्स|विद्युतीयरकण]], [[नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग|नियंत्रण प्रणाली अभियांत्रिकी]] और सांख्यिकी में [[आवृत्ति]] कार्यक्षेत्र के संबंध में [[गणितीय कार्य|गणितीय कार्यों]] या [[सिग्नल (सूचना सिद्धांत)|संकेतों]] के विश्लेषण को संदर्भित करता है<ref>{{cite book |last1=Broughton |first1=S. A. |first2=K. |last2=Bryan|authorlink2=Karin Bryan |year=2008 |title=Discrete Fourier Analysis and Wavelets: Applications to Signal and Image Processing |location=New York |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |page=72}}</ref> सरल शब्दों में कहें कि समय के साथ एक संकेत कैसे बदलता है जबकि एक आवृत्ति-कार्यक्षेत्र यह ग्राफ़ दिखाता है कि आवृत्ति की एक सीमा पर प्रत्येक दिए गए आवृत्ति बैंड के भीतर कितना संकेत है आवृत्ति-कार्यक्षेत्र प्रतिनिधित्व में चरण तरंगों में बदलाव पर जानकारी भी सम्मिलित हो सकती है जिसे मूल समय संकेत को पुनर्प्राप्त करने के लिए आवृत्ति घटकों को पुन: संयोजित करने के लिए प्रत्येक [[साइन लहर]] पर लागू किया जाना चाहिए। | ||
किसी दिए गए | किसी दिए गए कार्य या संकेत को गणितीय ऑपरेटरों की एक जोड़ी के साथ समय और आवृत्ति कार्यक्षेत्र के बीच परिवर्तित किया जा सकता है जिसे रूपांतरण कहा जाता है एक उदाहरण फूरियर रूपांतरण है जो समय कार्य को एक कठिन मूल्यवान योग या विभिन्न आवृत्तियों की साइन तरंगों के अभिन्न अंग में परिवर्तित करता है जिसमें आयाम और चरण होते हैं जिनमें से प्रत्येक एक आवृत्ति घटक का प्रतिनिधित्व करता है आवृत्ति घटकों का [[स्पेक्ट्रम|विस्तार]] संकेत आवृत्ति-कार्यक्षेत्र का प्रतिनिधित्व है व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण आवृत्ति-कार्यक्षेत्र कार्य को वापस समय-कार्यक्षेत्र कार्य में परिवर्तित करता है विस्तार विश्लेषक एक उपकरण है जिसका उपयोग [[सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)|विद्युतीकरण संकेतों]] को देखने के लिए किया जाता है। | ||
कुछ विशिष्ट | कुछ विशिष्ट संकेत प्रसंस्करण प्रौद्योगिकी रूपांतरण का उपयोग करती हैं जिसके परिणामस्वरूप एक संयुक्त समय-आवृत्ति कार्यक्षेत्र होता है जिसमें [[तात्कालिक आवृत्ति]] समय कार्यक्षेत्र और आवृत्ति कार्यक्षेत्र के बीच एक महत्वपूर्ण कड़ी होती है। | ||
== लाभ == | == लाभ == | ||
किसी समस्या के | किसी समस्या के आवृत्ति-कार्यक्षेत्र प्रतिनिधित्व का उपयोग करने का एक मुख्य कारण गणितीय विश्लेषण को सरल बनाना है रेखीय [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] द्वारा अधीन गणितीय प्रणालियों के लिए कई वास्तविक अनुप्रयोगों के साथ प्रणालियों का एक बहुत ही महत्वपूर्ण वर्ग प्रणाली के विवरण को समय कार्यक्षेत्र [[गुंजयमान आवृत्ति|आवृत्ति]] डोमेन में परिवर्तित करना ही अंतर समीकरणों को [[बीजगणितीय समीकरण|बीजगणितीय समीकरणों]] में परिवर्तित करना होता है जिन्हें हल करना बहुत आसान है। | ||
इसके अलावा | इसके अलावा आवृत्ति के दृष्टिकोण से एक प्रणाली को देखने से अधिकतर प्रणाली के गुणात्मक व्यवहार की एक सहज समझ मिल सकती है और इसका वर्णन करने के लिए एक वैज्ञानिक नामकरण विकसित हुआ है भौतिक प्रणालियों के व्यवहार को समय-समय पर अलग-अलग इनपुट के रूप में वर्णित करता है आवृत्ति प्रतिक्रिया, लाभ, चरण बदलाव, गुंजयमान आवृत्तियों, समय स्थिर, अनुनाद चौड़ाई, भिगोना कारक, क्यू कारक, हार्मोनिक्स, स्पेक्ट्रम, पावर वर्णक्रमीय घनत्व, ईजेनवेल्यूज, पोल और शून्य जैसे शब्दों का उपयोग करना। | ||
एक ऐसे क्षेत्र का उदाहरण जिसमें आवृत्ति-डोमेन विश्लेषण समय डोमेन की तुलना में बेहतर समझ देता है [[संगीत]] है | एक ऐसे क्षेत्र का उदाहरण जिसमें आवृत्ति-डोमेन विश्लेषण समय डोमेन की तुलना में बेहतर समझ देता है [[संगीत]] है इसमें संगीत वाद्ययंत्रों के संचालन का सिद्धांत और संगीत के टुकड़ों को रिकॉर्ड करने और चर्चा करने के लिए उपयोग की जाने वाली [[संगीत संकेतन]] जटिल ध्वनियों को उनके अलग-अलग घटक आवृत्तियों [[संगीत नोट]] में तोड़ने पर आधारित है। | ||
== परिमाण और चरण == | == परिमाण और चरण == | ||
[[लाप्लास रूपांतरण]] | [[लाप्लास रूपांतरण]] [[जेड को बदलने]] या जेड रूपांतरण का उपयोग करने में आवृत्ति के एक जटिल कार्य द्वारा एक संकेत का वर्णन किया जाता है किसी भी आवृत्ति पर संकेत का घटक एक [[जटिल संख्या]] द्वारा दिया जाता है जटिल संख्या और संख्या का तर्क उस घटक का [[आयाम]] है और तर्क तरंग का सापेक्ष चरण है उदाहरण के लिए रूपांतरण का उपयोग करके एक ध्वनि तरंग जैसे कि मानव भाषण को विभिन्न आवृत्तियों के घटक स्वरों में तोड़ा जा सकता है प्रत्येक को एक अलग आयाम और चरण की साइन लहर द्वारा दर्शाया जाता है एक प्रणाली की प्रतिक्रिया आवृत्ति के एक समारोह के रूप में एक जटिल कार्य द्वारा भी वर्णित की जा सकती है कई अनुप्रयोगों में चरण की जानकारी महत्वपूर्ण वर्णक्रम को हटाकर [[आवृत्ति स्पेक्ट्रम|आवृत्ति]] वर्णक्रम या [[वर्णक्रमीय घनत्व]] उत्पन्न करने के लिए आवृत्ति-डोमेन प्रतिनिधित्व में जानकारी को सरल बनाना संभव है एक वर्णक्रम विश्लेषक एक उपकरण है जो वर्णक्रम को प्रदर्शित करता है जबकि समय डोमेन चिन्ह को [[आस्टसीलस्कप|आक्रिस्टलीय रूप]] पर देखा जा सकता है। | ||
== प्रकार == | == प्रकार == | ||
जबकि आवृत्ति डोमेन एकवचन में बोला जाता है कई अलग-अलग गणितीय रूपांतरण हैं जिनका उपयोग समय डोमेन कार्यक्रम का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है और आवृत्ति डोमेन विधियों के रूप में संदर्भित किया जाता है ये सबसे आम परिवर्तन हैं जिन क्षेत्रों में उनका उपयोग किया जाता है कुछ आवृत्ति इस प्रकार है- | |||
* | * त्वरित श्रृंखला, आवधिक संकेत, दोलन प्रणाली। | ||
* | * त्वरित रूपांतरण एपेरियोडिक सिग्नल, क्षणिक। | ||
* लाप्लास रूपांतरण | * लाप्लास रूपांतरण [[विद्युत सर्किट|विद्युत]] परिपथ और [[नियंत्रण प्रणाली]]। | ||
* [[जेड ट्रांसफॉर्म]] | * [[जेड ट्रांसफॉर्म]] [[खास समय]] सिग्नल [[अंकीय संकेत प्रक्रिया]]। | ||
* वेवलेट | * वेवलेट रूपांतरण छवि विश्लेषण डेटा संपीड़न। | ||
अधिकतर कोई किसी के बारे में बात कर सकता है {{visible anchor}}किसी भी परिवर्तन के संबंध में उपरोक्त परिवर्तनों को किसी प्रकार की आवृत्ति पर कब्जा करने के रूप में व्याख्या की जा सकता है और इसलिए रूपांतरण डोमेन को आवृत्ति डोमेन के रूप में संदर्भित किया जाता है। | |||
== असतत आवृत्ति डोमेन {{anchor|Discrete}}== | == असतत आवृत्ति डोमेन {{anchor|Discrete}}== | ||
असतत | असतत आवृत्ति डोमेन एक आवृत्ति डोमेन है जो [[कॉन्टिनम (टोपोलॉजी)|टापोलॉजी]] की जगह [[असतत स्थान]] है उदाहरण के लिए असतत रूपांतरण असतत आवृत्ति डोमेन वाले एक असतत समय वाले कार्यक्रम को पकड़ता करता है दूसरी ओर [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण|असतत-समय आवृत्ति रूपांतरण]] असतत समय असतत-समय संकेतों के साथ कार्य करता है जिसमें एक निरंतर आवृत्ति डोमेन होता है <ref> | ||
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}}</ref> | }}</ref>एक [[आवधिक संकेत]] के आवृत्ति रूपांतरण में केवल आधार आवृत्ति और उसके हार्मोनिक्स पर ऊर्जा होती है इसे कहने का एक और तरीका यह है कि असतत आवृत्ति डोमेन का उपयोग करके एक आवधिक संकेत का विश्लेषण किया जा सकता है दोहरे रूप से असतत-समय संकेत एक आवधिक आवृत्ति आवृत्ति को जन्म देता है इन दोनों को मिलाकर यदि हम एक समय संकेत से शुरू करते हैं जो असतत और आवधिक दोनों है तो हमें एक आवृत्ति मिलता है जो असतत और आवधिक दोनों होता है असतत रूपांतरण के लिए यह सामान्य संदर्भ है। | ||
एक [[आवधिक संकेत]] के | |||
== शब्द का इतिहास == | == शब्द का इतिहास == | ||
1950 और 1960 के दशक की शुरुआत में संचार इंजीनियरिंग में | 1950 और 1960 के दशक की शुरुआत में संचार इंजीनियरिंग में आवृत्ति डोमेन और [[समय क्षेत्र]] का उपयोग 1953 में आवृत्ति डोमेन के साथ हुआ <ref>{{citation | first = L. A. | last = Zadeh | title = Theory of Filtering | journal = Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics | volume = 1 | year = 1953 | pages = 35–51 | doi=10.1137/0101003}}</ref> विवरण के लिए समय डोमेन शब्द की उत्पत्ति देखें।<ref>[http://jeff560.tripod.com/t.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (T)], Jeff Miller, March 25, 2009</ref> | ||
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*{{cite journal |first=B. |last=Boashash |title=Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals |journal=Proceedings of the IEEE |volume=80 |issue=4 |pages=519–538 |date=April 1992 |doi=10.1109/5.135376}}. | *{{cite journal |first=B. |last=Boashash |title=Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals |journal=Proceedings of the IEEE |volume=80 |issue=4 |pages=519–538 |date=April 1992 |doi=10.1109/5.135376}}. | ||
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गणित भौतिकी, विद्युतीयरकण, नियंत्रण प्रणाली अभियांत्रिकी और सांख्यिकी में आवृत्ति कार्यक्षेत्र के संबंध में गणितीय कार्यों या संकेतों के विश्लेषण को संदर्भित करता है[1] सरल शब्दों में कहें कि समय के साथ एक संकेत कैसे बदलता है जबकि एक आवृत्ति-कार्यक्षेत्र यह ग्राफ़ दिखाता है कि आवृत्ति की एक सीमा पर प्रत्येक दिए गए आवृत्ति बैंड के भीतर कितना संकेत है आवृत्ति-कार्यक्षेत्र प्रतिनिधित्व में चरण तरंगों में बदलाव पर जानकारी भी सम्मिलित हो सकती है जिसे मूल समय संकेत को पुनर्प्राप्त करने के लिए आवृत्ति घटकों को पुन: संयोजित करने के लिए प्रत्येक साइन लहर पर लागू किया जाना चाहिए।
किसी दिए गए कार्य या संकेत को गणितीय ऑपरेटरों की एक जोड़ी के साथ समय और आवृत्ति कार्यक्षेत्र के बीच परिवर्तित किया जा सकता है जिसे रूपांतरण कहा जाता है एक उदाहरण फूरियर रूपांतरण है जो समय कार्य को एक कठिन मूल्यवान योग या विभिन्न आवृत्तियों की साइन तरंगों के अभिन्न अंग में परिवर्तित करता है जिसमें आयाम और चरण होते हैं जिनमें से प्रत्येक एक आवृत्ति घटक का प्रतिनिधित्व करता है आवृत्ति घटकों का विस्तार संकेत आवृत्ति-कार्यक्षेत्र का प्रतिनिधित्व है व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण आवृत्ति-कार्यक्षेत्र कार्य को वापस समय-कार्यक्षेत्र कार्य में परिवर्तित करता है विस्तार विश्लेषक एक उपकरण है जिसका उपयोग विद्युतीकरण संकेतों को देखने के लिए किया जाता है।
कुछ विशिष्ट संकेत प्रसंस्करण प्रौद्योगिकी रूपांतरण का उपयोग करती हैं जिसके परिणामस्वरूप एक संयुक्त समय-आवृत्ति कार्यक्षेत्र होता है जिसमें तात्कालिक आवृत्ति समय कार्यक्षेत्र और आवृत्ति कार्यक्षेत्र के बीच एक महत्वपूर्ण कड़ी होती है।
लाभ
किसी समस्या के आवृत्ति-कार्यक्षेत्र प्रतिनिधित्व का उपयोग करने का एक मुख्य कारण गणितीय विश्लेषण को सरल बनाना है रेखीय अंतर समीकरणों द्वारा अधीन गणितीय प्रणालियों के लिए कई वास्तविक अनुप्रयोगों के साथ प्रणालियों का एक बहुत ही महत्वपूर्ण वर्ग प्रणाली के विवरण को समय कार्यक्षेत्र आवृत्ति डोमेन में परिवर्तित करना ही अंतर समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करना होता है जिन्हें हल करना बहुत आसान है।
इसके अलावा आवृत्ति के दृष्टिकोण से एक प्रणाली को देखने से अधिकतर प्रणाली के गुणात्मक व्यवहार की एक सहज समझ मिल सकती है और इसका वर्णन करने के लिए एक वैज्ञानिक नामकरण विकसित हुआ है भौतिक प्रणालियों के व्यवहार को समय-समय पर अलग-अलग इनपुट के रूप में वर्णित करता है आवृत्ति प्रतिक्रिया, लाभ, चरण बदलाव, गुंजयमान आवृत्तियों, समय स्थिर, अनुनाद चौड़ाई, भिगोना कारक, क्यू कारक, हार्मोनिक्स, स्पेक्ट्रम, पावर वर्णक्रमीय घनत्व, ईजेनवेल्यूज, पोल और शून्य जैसे शब्दों का उपयोग करना।
एक ऐसे क्षेत्र का उदाहरण जिसमें आवृत्ति-डोमेन विश्लेषण समय डोमेन की तुलना में बेहतर समझ देता है संगीत है इसमें संगीत वाद्ययंत्रों के संचालन का सिद्धांत और संगीत के टुकड़ों को रिकॉर्ड करने और चर्चा करने के लिए उपयोग की जाने वाली संगीत संकेतन जटिल ध्वनियों को उनके अलग-अलग घटक आवृत्तियों संगीत नोट में तोड़ने पर आधारित है।
परिमाण और चरण
लाप्लास रूपांतरण जेड को बदलने या जेड रूपांतरण का उपयोग करने में आवृत्ति के एक जटिल कार्य द्वारा एक संकेत का वर्णन किया जाता है किसी भी आवृत्ति पर संकेत का घटक एक जटिल संख्या द्वारा दिया जाता है जटिल संख्या और संख्या का तर्क उस घटक का आयाम है और तर्क तरंग का सापेक्ष चरण है उदाहरण के लिए रूपांतरण का उपयोग करके एक ध्वनि तरंग जैसे कि मानव भाषण को विभिन्न आवृत्तियों के घटक स्वरों में तोड़ा जा सकता है प्रत्येक को एक अलग आयाम और चरण की साइन लहर द्वारा दर्शाया जाता है एक प्रणाली की प्रतिक्रिया आवृत्ति के एक समारोह के रूप में एक जटिल कार्य द्वारा भी वर्णित की जा सकती है कई अनुप्रयोगों में चरण की जानकारी महत्वपूर्ण वर्णक्रम को हटाकर आवृत्ति वर्णक्रम या वर्णक्रमीय घनत्व उत्पन्न करने के लिए आवृत्ति-डोमेन प्रतिनिधित्व में जानकारी को सरल बनाना संभव है एक वर्णक्रम विश्लेषक एक उपकरण है जो वर्णक्रम को प्रदर्शित करता है जबकि समय डोमेन चिन्ह को आक्रिस्टलीय रूप पर देखा जा सकता है।
प्रकार
जबकि आवृत्ति डोमेन एकवचन में बोला जाता है कई अलग-अलग गणितीय रूपांतरण हैं जिनका उपयोग समय डोमेन कार्यक्रम का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है और आवृत्ति डोमेन विधियों के रूप में संदर्भित किया जाता है ये सबसे आम परिवर्तन हैं जिन क्षेत्रों में उनका उपयोग किया जाता है कुछ आवृत्ति इस प्रकार है-
- त्वरित श्रृंखला, आवधिक संकेत, दोलन प्रणाली।
- त्वरित रूपांतरण एपेरियोडिक सिग्नल, क्षणिक।
- लाप्लास रूपांतरण विद्युत परिपथ और नियंत्रण प्रणाली।
- जेड ट्रांसफॉर्म खास समय सिग्नल अंकीय संकेत प्रक्रिया।
- वेवलेट रूपांतरण छवि विश्लेषण डेटा संपीड़न।
अधिकतर कोई किसी के बारे में बात कर सकता है {{{1}}}किसी भी परिवर्तन के संबंध में उपरोक्त परिवर्तनों को किसी प्रकार की आवृत्ति पर कब्जा करने के रूप में व्याख्या की जा सकता है और इसलिए रूपांतरण डोमेन को आवृत्ति डोमेन के रूप में संदर्भित किया जाता है।
असतत आवृत्ति डोमेन
असतत आवृत्ति डोमेन एक आवृत्ति डोमेन है जो टापोलॉजी की जगह असतत स्थान है उदाहरण के लिए असतत रूपांतरण असतत आवृत्ति डोमेन वाले एक असतत समय वाले कार्यक्रम को पकड़ता करता है दूसरी ओर असतत-समय आवृत्ति रूपांतरण असतत समय असतत-समय संकेतों के साथ कार्य करता है जिसमें एक निरंतर आवृत्ति डोमेन होता है [2][3]एक आवधिक संकेत के आवृत्ति रूपांतरण में केवल आधार आवृत्ति और उसके हार्मोनिक्स पर ऊर्जा होती है इसे कहने का एक और तरीका यह है कि असतत आवृत्ति डोमेन का उपयोग करके एक आवधिक संकेत का विश्लेषण किया जा सकता है दोहरे रूप से असतत-समय संकेत एक आवधिक आवृत्ति आवृत्ति को जन्म देता है इन दोनों को मिलाकर यदि हम एक समय संकेत से शुरू करते हैं जो असतत और आवधिक दोनों है तो हमें एक आवृत्ति मिलता है जो असतत और आवधिक दोनों होता है असतत रूपांतरण के लिए यह सामान्य संदर्भ है।
शब्द का इतिहास
1950 और 1960 के दशक की शुरुआत में संचार इंजीनियरिंग में आवृत्ति डोमेन और समय क्षेत्र का उपयोग 1953 में आवृत्ति डोमेन के साथ हुआ [4] विवरण के लिए समय डोमेन शब्द की उत्पत्ति देखें।[5]
यह भी देखें
- बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)
- ब्लैकमैन-तुकी परिवर्तन
- समान स्थान वाले डेटा में आवधिकता की गणना के लिए फूरियर विश्लेषण
- असमान स्थान वाले डेटा में आवधिकता की गणना के लिए कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
- शॉर्ट-टाइम फूरियर रूपांतरण
- समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
- समय-आवृत्ति विश्लेषण
- छोटा लहर
- वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म - डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग, संकेत संपीड़न
संदर्भ
- ↑ Broughton, S. A.; Bryan, K. (2008). Discrete Fourier Analysis and Wavelets: Applications to Signal and Image Processing. New York: Wiley. p. 72.
- ↑ C. Britton Rorabaugh (1998). DSP primer. McGraw-Hill Professional. p. 153. ISBN 978-0-07-054004-0.
- ↑ Shanbao Tong and Nitish Vyomesh Thakor (2009). Quantitative EEG analysis methods and clinical applications. Artech House. p. 53. ISBN 978-1-59693-204-3.
- ↑ Zadeh, L. A. (1953), "Theory of Filtering", Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1: 35–51, doi:10.1137/0101003
- ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (T), Jeff Miller, March 25, 2009
Goldshleger, N., Shamir, O., Basson, U., Zaady, E. (2019). Frequency Domain Electromagnetic Method (FDEM) as tool to study contamination at the sub-soil layer. Geoscience 9 (9), 382.
अग्रिम पठन
- Boashash, B. (Sep 1988). "Note on the Use of the Wigner Distribution for Time Frequency Signal Analysis" (PDF). IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 36 (9): 1518–1521. doi:10.1109/29.90380..
- Boashash, B. (April 1992). "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals". Proceedings of the IEEE. 80 (4): 519–538. doi:10.1109/5.135376..
