असाधारण समरूपता

गणित में, एक असाधारण समरूपता, जिसे आकस्मिक समरूपता भी कहा जाता है, गणितीय वस्तुओं के दो घटकों, (समान्यतः अनंत) ai और bj के बीच एक समरूपता है, जो आकस्मिक है, क्योंकि यह इस तरह के समरूपता के सामान्य प्रतिरूप का उदाहरण नहीं है। इन संयोगों को कभी-कभी सामान्य ज्ञान की स्थिति माना जाता है,लेकिन अन्य स्थितियों में वे असाधारण वस्तुओं जैसे परिणामी घटनाओं को जन्म दे सकते हैं।निम्नलिखित में, संयोग उन संरचनाओं के अनुसार आयोजित किए जाते हैं जहाँ वे घटित होते हैं।

समूह

परिमित सरल समूह

परिमित सरल समूहों की श्रृंखला के बीच असाधारण समरूपता में ज्यादातर प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह और वैकल्पिक समूह समिलित होते हैं, और ये हैं:

• $\operatorname {PSL} _{2}(4)\cong \operatorname {PSL} _{2}(5)\cong A_{5},$ सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह (अनुक्रम 60) - विंशफलकी समरूपता;
• $\operatorname {PSL} _{2}(7)\cong \operatorname {PSL} _{3}(2),$ दूसरा सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह (अनुक्रम 168) -PSL (2,7);
• $\operatorname {PSL} _{2}(9)\cong A_{6};$
• $\operatorname {PSL} _{4}(2)\cong A_{8};$
• $\operatorname {PSU} _{4}(2)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3),$ प्रक्षेपी विशेष लंबकोणीय समूह और प्रक्षेपी सममिती समूह के बीच।

वैकल्पिक समूह और सममित समूह

See also: S6 की असाधारण बाहरी स्वसमाकृतिकता

पाँच चतुष्फलकीय का यौगिक विंशफलकी समूह और पाँच अक्षरों पर वैकल्पिक समूह के बीच असाधारण समरूपता को व्यक्त करता है।

सममित/वैकल्पिक समूहों और लाई प्रकार/बहुतलीय समूहों के छोटे समूहों के बीच संयोग हैं:

• $S_{3}\cong \operatorname {PSL} _{2}(2)\cong {}$ अनुक्रम 6 का द्वितल समूह,
• $A_{4}\cong \operatorname {PSL} _{2}(3)\cong {}$ चतुष्फलकीय समूह,
• $S_{4}\cong \operatorname {PGL} _{2}(3)\cong \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} /4)\cong {}$ चतुष्फलकीय समूह $\cong$ अष्टफलकीय समूह,
• $A_{5}\cong \operatorname {PSL} _{2}(4)\cong \operatorname {PSL} _{2}(5)\cong {}$ विंशफलकी समूह,
• $S_{5}\cong \operatorname {P\Gamma L} _{2}(4)\cong \operatorname {PGL} _{2}(5)$,
• $A_{6}\cong \operatorname {PSL} _{2}(9)\cong \operatorname {Sp} _{4}(2)',$
• $S_{6}\cong \operatorname {Sp} _{4}(2),$
• $A_{8}\cong \operatorname {PSL} _{4}(2)\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2)',$
• $S_{8}\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2).$

इन सभी को रैखिक बीजगणित का उपयोग करके एक व्यवस्थित तरीके से समझाया जा सकता है (और $S_{n}$ पर $n$-स्पेस) दाईं ओर से बाईं ओर जाने वाली समरूपता को परिभाषित करने के लिए। (उपरोक्त समरूपता के लिए $A_{8}$ और $S_{8}$ असाधारण समरूपता $\operatorname {SL} _{4}/\mu _{2}\cong \operatorname {SO} _{6}$.) के माध्यम से जुड़े हुए हैं।

नियमित बहुकोणीय की समरूपता के साथ कुछ संयोग भी हैं: वैकल्पिक समूह a₅ विंशफलकी समूह (स्वयं एक असाधारण वस्तु) से सहमत है, और वैकल्पिक समूह a₅ का दोहरा बाइनरी विंशफलकी समूह है।

तुच्छ समूह

तुच्छ समूह कई तरह से उत्पन्न होता है। तुच्छ समूह को प्रायः चिरप्रतिष्ठित परिवार की शुरुआत से छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए:

• $C_{1}$, अनुक्रम 1 का चक्रीय समूह;
• $A_{0}\cong A_{1}\cong A_{2}$, 0, 1, या 2 अक्षरों पर वैकल्पिक समूह;
• $S_{0}\cong S_{1}$, 0 या 1 अक्षरों पर सममित समूह;
• $\operatorname {GL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {SL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (0,\mathbb {K} )$, 0-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक समूह;
• $\operatorname {SL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (1,\mathbb {K} )$, 1-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक समूह
• और अन्य।

वृत्त

वृत्त S⁰, S¹, और S³ समूह संरचनाओं को स्वीकार करते हैं, जिन्हें कई तरह से वर्णित किया जा सकता है:

• $S^{0}\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} ^{\times }$, अंतिम पूर्णांकों की इकाइयों का समूह है;
• $S^{1}\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong {}$ वृत्त समूह;
• $S^{3}\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong {}$ चतुष्‍टयी इकाई

चक्रणी समूह

$\operatorname {Spin} (1)$, $\operatorname {Spin} (2)$ और $\operatorname {Spin} (3)$ के अतिरिक्त ऊपर, उच्च आयामी स्पिन समूहों के लिए समरूपताएं हैं:

• $\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$
• $\operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {Sp} (2)$
• $\operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)$

इसके अतिरिक्त, चक्रणी(8) (8) में एक असाधारण क्रम 3 परीक्षण स्वसमाकृतिकता है।

कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख

See also: Klein correspondence

डायनकिन आरेखों के कुछ असाधारण समरूपताएं है, समरूपता को साकार करने वाले संबंधित कॉक्सेटर समूहों और बहुतलीय के समरूपताएं, साथ ही लाई बीजगणित के समरूपताएं है, जिनकी मूल तंत्र समान आरेखों द्वारा वर्णित हैं। ये:

आकृति	डायनकिन वर्गीकरण	लाई बीजगणित	बहुतलीय
	A1 = B1 = C1	${\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}$	-
$\cong$	A2 = I2(2)	-	2-एकमुखी नियमित 3-गॉन (समबाहु त्रिभुज) है
	BC2 = I2(4)	${\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}$	2-घन 2-रेखित बहुतलीय नियमित 4-गॉन (वर्ग) है
$\cong$	A1 × A1 = D2	${\mathfrak {sl}}_{2}\oplus {\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{4}$	-
$\cong$	A3 = D3	${\mathfrak {sl}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}$	3-एकमुखी 3-डेमीअतिविम (नियमित चतुष्फलक) है

यह भी देखें

• असाधारण वस्तु
• गणितीय संयोग, संख्यात्मक संयोगों के लिए