एक्सट ऑपरेटर

गणित में, एक्सट प्रकार्यक होम प्रकार्यक के व्युत्पन्न प्रकार्यक हैं। टॉर प्रकार्यक के साथ, एक्सट तुल्य बीजगणितीय की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें बीजगणितीय सांस्थितिकी के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के अचरों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। समूहों की सह-समरूपता, लाई बीजगणितीय और साहचर्य बीजगणितीय सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला एक्सट समूह एक्सट¹ एक मापांक के विस्तारण को दूसरे के द्वारा वर्गीकृत करता है।

एबेलियन समूहों की विशेष स्थिति में, रेनहोल्ड बेयर (1934) द्वारा एक्सट प्रस्तुत किया गया था। इसका नाम सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैकलेन (1942) द्वारा रखा गया था और सांस्थितिकी (सह-समरूपता के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय) पर अनुप्रयुक्त किया गया था। किसी भी वलय पर मापांक के लिए, एक्सट को हेनरी कार्टन और ईलेनबर्ग ने अपनी 1956 की पुस्तक तुल्य बीजगणितीय में परिभाषित किया गया था।

परिभाषा

मान लीजिए कि R एक वलय और R-मॉड R पर मापांक की श्रेणी है। कोई इसका अर्थ बाएं R-मापांक या दाएं R-मापांक के रूप में ले सकता है। एक नियत R-मापांक A के लिए, मान लीजिए कि R-मापांक में B के लिए T(B) = Hom_R(A, B) है। (यहाँ Hom_R(A, B) A से B तक R-रैखिक प्रतिचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक R-मापांक है यदि R क्रमविनिमेय है)। यह R-मॉड से एबेलियन समूह Ab के वर्ग के लिए एक बाएं सटीक प्रकार्यक है और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक RⁱT हैं। एक्सट समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं।

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B)$

एक पूर्णांक i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई अंतःक्षेपक वियोजन हैं।

$0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,$

B पद को पदच्युत कर दें और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots$

प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, Extⁱ
_R(A, B) की स्थिति i पर इस समष्टि की सह-समरूपता है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, Ext⁰
_R(A, B) प्रतिचित्र Hom_R(A, I⁰) → Hom_R(A, I¹) का केंद्र है, जो Hom_R(A, B) के लिए तुल्याकारी है।

एक वैकल्पिक परिभाषा एक नियत R-मापांक B के लिए प्रकार्यक G(A)=Hom(A, B) का उपयोग करती है। यह एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक है, जिसे विपरीत श्रेणी (R-मॉड)^op से Ab के लिए बाएं सटीक प्रकार्यक के रूप में देखा जा सकता है। एक्सट समूहों को दाहिने व्युत्पन्न प्रकार्यक RⁱG के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A)$

अर्थात, कोई भी प्रक्षेपी वियोजन चयन करें,

$\cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0$

पद A को पदच्युत कर दें, और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .$

तब, Extⁱ
_R(A, B) की स्थिति i पर इस परिसर की सह-समरूपता है।

कार्टन और ईलेनबर्ग ने दर्शाया कि ये निर्माण प्रक्षेपी या अंतःक्षेपी वियोजन के चयन से स्वतंत्र हैं और यह कि दोनों निर्माण एक ही एक्सट समूह उत्पन्न करते हैं। इसके अतिरिक्त, एक नियत वलय R के लिए, एक्सट प्रत्येक चर में एक प्रकार्यक (A में प्रतिपरिवर्ती, B में सहसंयोजक) है।

एक क्रमविनिमेय वलय R और R-मापांक A और B के लिए, Extⁱ
_R(A, B) एक R-मापांक है, (Hom_R(A, B) इस स्थिति में एक R-मापांक है)। एक गैर-क्रमविनिमेय वलय R के लिए, Extⁱ
_R(A, B) सामान्यतः केवल एक एबेलियन समूह है। यदि R एक वलय S पर बीजगणितीय है (जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि S क्रमविनिमेय है), तो Extⁱ
_R(A, B) कम-से-कम S-मापांक है।

एक्सट के गुणधर्म

यहाँ एक्सट समूहों के कुछ मूलभूत गुणधर्म और संगणनाएँ दी गई हैं।

• Ext⁰
  _R(A, B) ≅ Hom_R(A, B) किसी भी R-मापांक A और B के लिए है।

• Extⁱ
  _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए, यदि R-मापांक A प्रक्षेपी मापांक है (उदाहरण के लिए, मुफ्त मापांक ) या यदि B अंतःक्षेपक मापांक है।

• बातचीत भी रखती है:
  • यदि Ext¹
    _R(A, B) = 0 सभी B के लिए, तो A प्रक्षेपी (और इसलिए Extⁱ
    _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए) है।
  • यदि Ext¹
    _R(A, B) = 0 सभी A के लिए, फिर B अंतःक्षेपी (और इसलिए एक्सटⁱ
    _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए) है।

• $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0$ सभी i ≥ 2 और सभी एबेलियन समूहों A और B के लिए है।
• यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और u में R एक शून्य भाजक नहीं है, तब

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

किसी भी R-मापांक B के लिए है। यहां B [u] B के u-विमोटन उपसमूह {x ∈ B: ux = 0} को दर्शाता है। $\mathbb {Z}$ के पूर्णांकों को R का वलय मान लेना, किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह A के लिए, इस परिकलन $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$ का उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है।

• पिछले उदाहरण को सामान्य करते हुए, जब कोई पहला मापांक कोज़ल समष्टि का उपयोग करके किसी नियमित अनुक्रम द्वारा एक क्रमविनिमेय वलय का भागफल होता है, तो कोई एक्सट समूहों की गणना कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि R क्षेत्रक k पर बहुपद वलय k[x₁,...,x_n] है, तो Ext^*
  _R(k,k) Ext¹ में n जनक पर k के ऊपर बाह्य बीजगणितीय S है। इसके अतिरिक्त, Ext^*
  _R(k,k) बहुपद वलय R है; यह कोज़ल द्वैतता का एक उदाहरण है।

• व्युत्पन्न प्रकार्यकों के सामान्य गुणों के अनुसार, एक्सट के लिए दो मूल सटीक अनुक्रम हैं। सर्वप्रथम, R-मापांक के एक छोटे सटीक अनुक्रम 0 → K → L → M → 0 प्ररूप के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है।

$0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots$

किसी भी R-मापांक A के लिए है। इसके अतिरिक्त, एक छोटे सटीक अनुक्रम 0 → K → L → M → 0 प्ररूप के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है।

$0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots$

किसी भी R-मापांक B के लिए है।

• एक्सट पहले चर में प्रत्यक्ष योग (संभवतः अनंत) लेता है और दूसरे चर में प्रत्यक्ष उत्पाद को उत्पादों में लेता है। वह है:

${\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}$

• मान लीजिए कि A एक क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय R पर अंतिम रूप से उत्पन्न मापांक है। फिर एक्सट के स्थानीयकरण के साथ इस अर्थ में प्रारंभ होता है कि R में प्रत्येक गुणात्मक रूप से संवृत समुच्चय S के लिए, प्रत्येक R-मापांक B और प्रत्येक पूर्णांक i है।

$S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right)$

एक्सट और विस्तारण

विस्तारण की समानता

एक्सट समूह मापांक के विस्तार से उनके संबंध से अपना नाम प्राप्त करते हैं। दिए गए R-मापांक A और B, B द्वारा A का विस्तारण R-मापांक का एक छोटा सटीक अनुक्रम है।

$0\to B\to E\to A\to 0$

दो विस्तारण,

$0\to B\to E\to A\to 0$

$0\to B\to E'\to A\to 0$

एक क्रमविनिमेय आरेख होने पर समतुल्य कहा जाता है (A द्वारा B के विस्तारण के रूप में):

ध्यान दें कि पाँच लेम्मा का तात्पर्य है कि मध्य शर समरूपता है। A द्वारा B के विस्तारण को विभाजन कहा जाता है यदि यह नगण्य विस्तारण के समान है।

$0\to B\to A\oplus B\to A\to 0$

A द्वारा B के विस्तारण के समतुल्य वर्गों और Ext¹
_R(A, B) के तत्वों के मध्य एक-से-एक सामंजस्य है। नगण्य विस्तारण Ext¹
_R(A, B) के शून्य तत्व से मेल खाता है।

विस्तारण का बेयर योग

बेयर योग Ext¹
_R(A, B) पर एबेलियन समूह संरचना का एक स्पष्ट विवरण है, B द्वारा A के विस्तारण के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, दो विस्तारण दिए गए,

$0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0$

और

$0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,$

पहले $A$ पर पुलबैक तैयार करें,

$\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}$

फिर भागफल मापांक बनाएं,

$Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}$

E और E' का बेयर योग विस्तारण है।

$0\to B\to Y\to A\to 0$

जहां पहला प्रतिचित्र $b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ और दूसरा $(e,e')\mapsto g(e)=g'(e')$ है।

विस्तारण की समतुल्यता तक, बेयर योग क्रमविनिमेय है और पहचान तत्व के रूप में नगण्य विस्तारण है। एक विस्तारण 0 → B → E → A → 0 का ऋणात्मक एक ही मापांक E को सम्मिलित करने वाला विस्तारण है, परन्तु समरूपता B → E के साथ इसके ऋणात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

एबेलियन श्रेणियों में एक्सट का निर्माण

नोबुओ योनेदा ने एबेलियन समूहों Extⁿ
_C(A, B) को परिभाषित किया, किसी एबेलियन श्रेणी C में वस्तुओं A और B के लिए; यह वियोजन के संदर्भ में परिभाषा से सहमत है यदि C के पास पर्याप्त प्रक्षेपीय या पर्याप्त अंतःक्षेपक हैं। सर्वप्रथम, Ext⁰
_C(A, B) = Hom_C(A, B) हैं। अगला, Ext¹
_C(A, B) B द्वारा A के विस्तारण के समतुल्य वर्गों का समुच्चय है, जो बेयर योग के अंतर्गत एक एबेलियन समूह बनाता है। अंत में, उच्च एक्सट समूह Extⁿ
_C(A, B) को n-विस्तारण के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सटीक अनुक्रम हैं।

$0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0$

दो आयामों की पहचान करने वाले संबंध से उत्पन्न तुल्यता संबंध के अंतर्गत है।

${\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}$

यदि प्रतिचित्र $X_{m}\to X'_{m}$है, {1, 2, ..., n} में सभी m के लिए है, ताकि प्रत्येक परिणामी वर्ग परिवर्तित हो जाए।

यदि कोई श्रृंखला मानचित्र ξ → ξ' है जो A और B पर तत्समक है।

उपर्युक्त दो n-आयामों, A पर $X_{1}$ और $X'_{1}$ का पुलबैक $X''_{1}$ और B के अंतर्गत $X_{n}$ और $X'_{n}$ का बहिकर्षी $X''_{n}$ का बेयर योग देने से बनता है, फिर विस्तारण का बेयर योग है।

$0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0$

व्युत्पन्न श्रेणी और योनेदा उत्पाद

एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एबेलियन श्रेणी C में एक्सट समूहों को C व्युत्पन्न श्रेणी D(C) से संबंधित श्रेणी में आकारिकी के समुच्चयों के रूप में देखा जा सकता है। व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुएं C में वस्तुओं के परिसर हैं। विशेष रूप से, किसी के पास है

$\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i])$

जहां C की एक वस्तु को डिग्री शून्य में केंद्रित एक जटिल के रूप में देखा जाता है और [i] का अर्थ है। एक जटिल i चरणों को बाईं ओर स्थानांतरित करना है। इस व्याख्या से, एक द्विरेखीय प्रतिचित्र है, जिसे कभी-कभी योनेदा उत्पाद कहा जाता है:

$\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C)$

जो केवल व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिता की रचना है।

योनेडा उत्पाद को अधिक प्राथमिक शब्दों में भी वर्णित किया जा सकता है। i = j = 0 के लिए, गुणनफल C श्रेणी के प्रतिचित्रों का संघटन है। सामान्यतः, उत्पाद को दो योनेडा विस्तारण को एक साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, योनेडा उत्पाद को वियोजन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (यह व्युत्पन्न श्रेणी की परिभाषा के समीप है)। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि R-मापांक A, B, C के साथ R वलय है और P, Q और T के प्रक्षेपी वियोजन A, B, C है। फिर Extⁱ
_R(A, B) को श्रृंखला प्रतिचित्र P → Q[i] के श्रृंखला समस्थेयता कक्षाओं के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। योनेदा उत्पाद श्रृंखला प्रतिचित्र बनाकर दिया गया है:

$P\to Q[i]\to T[i+j]$

इनमें से किसी भी व्याख्या से, योनेदा उत्पाद साहचर्य है। फलस्वरूप, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$ किसी भी R-मापांक A के लिए एक श्रेणीबद्ध वलय है। उदाहरण के लिए, यह समूह सह-समरूपता $H^{*}(G,\mathbb {Z} )$ पर वलय संरचना देता है, चूंकि इसे $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )$ के रूप में देखा जा सकता है। योनेडा उत्पाद की सहचारिता द्वारा भी: किसी भी R-मापांक A और B के लिए, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)$ पर एक मापांक $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$ है।

महत्वपूर्ण विशेष स्थिति

• समूह सह-समरूपता $H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ G एक समूह है, M पूर्णांकों पर G का एक समूह प्रतिनिधित्व और $\mathbb {Z} [G]$ G का समूह वलय है।

• क्षेत्रक k और A-द्विप्रतिरूपक M पर बीजगणितीय A के लिए, होशचाइल्ड सह-समरूपता द्वारा परिभाषित किया गया है:

$HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M)$

• लाई बीजगणितीय सह-समरूपता $H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ ${\mathfrak {g}}$ क्रमविनिमेय वलय k पर एक लाई बीजगणित है, M एक ${\mathfrak {g}}$-मापांक है और $U{\mathfrak {g}}$ सार्वभौमिक आवृत बीजगणितीय है।

• एक सांस्थितिक समष्टि X के लिए, पूली सह-समरूपता को इस $H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A)$ रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यहाँ एक्सट को X पर एबेलियन समूहों के पुली की एबेलियन श्रेणी में लिया गया है और $\mathbb {Z} _{X}$ स्थानीय स्थिरांक, $\mathbb {Z}$-मूल्यवान फलन की पूली ​​है।

• अवशिष्ट क्षेत्रक k के साथ क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)$ एक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणितीय π*(R) पर k का सार्वभौमिक आवृत बीजगणितीय है, जिसे R के समस्थेयता लाई बीजगणितीय के रूप में जाना जाता है (सटीक होने के लिए, जब k की विलक्षणता 2 होती है, π*(R) को एक समायोजित लाई बीजगणितीय के रूप में देखा जा सकता है)। एंड्रे-क्विलन सह-समरूपता D*(k/R,k) से π*(R) तक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणितीय की एक प्राकृतिक समरूपता है, जो एक समरूपता है यदि k में विलक्षणता शून्य है।

यह भी देखें

• वैश्विक आयाम
• अवरोध वियोजन
• ग्रोथेंडिक समूह
• ग्रोथेंडिक स्थानीय द्वंद्व

संदर्भ

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• Baer, Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift, 38 (1): 375–416, doi:10.1007/BF01170643, Zbl 0009.01101
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04991-2, MR 0077480
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942), "Group extensions and homology", Annals of Mathematics, 43 (4): 757–931, doi:10.2307/1968966, JSTOR 1968966, MR 0007108
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