आइसोडायनामिक बिंदु

  Circles of Apollonius; isodynamic points S and S' at their intersections

  Interior angle bisectors, used to construct the circles

  Exterior angle bisectors, also used to construct the circles

यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आइसोडायनामिक बिंदु त्रिभुज से जुड़े बिंदु होते हैं, इन गुणों के साथ कि इन बिंदुओं में से किसी एक पर केंद्रित व्युत्क्रम ज्यामिति दिए गए त्रिकोण को एक समबाहु त्रिभुज में बदल देती है, और यह कि आइसोडायनामिक बिंदु से त्रिभुज के शीर्ष तक की दूरी त्रिभुज की विपरीत भुजाओं की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं। त्रिभुज जो समानता (ज्यामिति) होते हैं, सतह से संबंधित स्थानों में आइसोडायनामिक बिंदु होते हैं, इसलिए आइसोडायनामिक बिंदु त्रिकोण केंद्र हैं, और अन्य त्रिकोण केंद्रों के विपरीत आइसोडायनामिक बिंदु भी मोबियस परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं। एक त्रिभुज जो स्वयं समबाहु है, उसके केन्द्रक पर (साथ ही इसके लंबकेन्द्र, इसके अंत:केन्द्र, और इसके परिकेन्द्र, जो समवर्ती हैं) एक अद्वितीय समगतिकीय बिंदु होता है; प्रत्येक गैर-समबाहु त्रिभुज में दो आइसोडायनामिक बिंदु होते हैं। आइसोडायनामिक बिन्दुओं का सर्वप्रथम अध्ययन और नामकरण जोसेफ न्युबर्ग (1885). द्वारा किया गया था।

दूरी अनुपात

आइसोडायनामिक बिंदुओं को मूल रूप से बिंदुओं के जोड़े के बीच की दूरी के अनुपात (या उत्पादों के समतुल्य) की कुछ समानताओं से परिभाषित किया गया था। यदि $S$ और $S'$ त्रिभुज के आइसोडायनामिक बिंदु हैं $ABC$, फिर दूरी के तीन उत्पाद $AS\cdot BC=BS\cdot AC=CS\cdot AB$ बराबर हैं। समान समानताएं भी धारण करती हैं $S'$. समान रूप से उत्पाद सूत्र, दूरियों के लिए $AS$, $BS$, और $CS$ संगत त्रिभुज भुजाओं की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं $BC$, $AC$, और $AB$.

$S$ और $S'$ त्रिभुज के त्रिभुज से जुड़े एपोलोनियस के तीन वृत्तों के आम प्रतिच्छेदन बिंदु हैं $ABC$, तीन वृत्त जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज के एक शीर्ष से होकर गुजरता है और अन्य दो शीर्षों की दूरियों का एक स्थिर अनुपात बनाए रखता है।अत: रेखा $SS'$ एपोलोनियस के मंडलियों के तीन जोड़े में से प्रत्येक के लिए सामान्य मूल अक्ष है। रेखा खंड का लंबवत द्विभाजक $SS'$ लेमोइन रेखा है जिसमें एपोलोनियस के वृत्तों के तीन केंद्र हैं।

परिवर्तन

आइसोडायनामिक बिंदु $S$ और एक त्रिकोण का $S'$ $ABC$ को उनके गुणों द्वारा सतह के परिवर्तनों के संबंध में और विशेष रूप से व्युत्क्रम और मोबियस परिवर्तनों (कई व्युत्क्रमों के उत्पाद) के संबंध में परिभाषित किया जा सकता है।

त्रिकोण का उलटा $ABC$ एक आइसोडायनामिक बिंदु के संबंध में मूल त्रिभुज को एक समबाहु त्रिभुज में बदल देता है।त्रिभुज के परिवृत्त के संबंध में उलटा $ABC$ त्रिभुज को अपरिवर्तनीय छोड़ देता है लेकिन एक आइसोडायनामिक बिंदु को दूसरे में बदल देता है।

अधिक सामान्यतः, आइसोडायनामिक बिंदु मोबियस परिवर्तनों के तहत समकक्ष होते हैं: एक परिवर्तन के आइसोडायनामिक बिंदुओं की अनियंत्रित जोड़ी $ABC$ जोड़ी पर लागू समान परिवर्तन के बराबर है $\{S,S'\}$. अलग-अलग आइसोडायनामिक बिंदु मोबियस परिवर्तनों द्वारा तय किए जाते हैं जो कि परिधि के आंतरिक भाग को मैप करते हैं $ABC$ रूपांतरित त्रिभुज के परिवृत्त के आंतरिक भाग में, और परिवृत्त के आंतरिक और बाहरी का आदान-प्रदान करने वाले परिवर्तनों द्वारा अदला-बदली की जाती है।

कोण

तीन वृत्त, प्रत्येक परिवृत्त और एक दूसरे के साथ π/3 का कोण बनाते हुए, पहले आइसोडायनामिक बिंदु पर मिलते हैं।

एपोलोनियस के वृत्तों के प्रतिच्छेदन होने के साथ-साथ, प्रत्येक समगतिकी बिंदु वृत्तों के एक और त्रिगुण का प्रतिच्छेदन बिंदु है। पहला आइसोडायनेमिक बिंदु बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से तीन वृत्तों का प्रतिच्छेदन है $AB$, $AC$, और $BC$, जहाँ इनमें से प्रत्येक वृत्त त्रिभुज के परिवृत्त को प्रतिच्छेद करता है $ABC$ शीर्ष कोण 2π/3 के साथ एक लेंस (ज्यामिति) बनाने के लिए। इसी तरह, दूसरा आइसोडायनामिक बिंदु तीन वृत्तों का प्रतिच्छेदन है जो परिवृत्त को काटकर शीर्ष कोण π/3 के साथ लेंस बनाता है।

त्रिभुज के शीर्षों के साथ पहले आइसोडायनामिक बिंदु द्वारा गठित कोण समीकरणों को संतुष्ट करते हैं $ASB=ACB+\pi /3$, $ASC=ABC+\pi /3$, और $BSC=BAC+\pi /3$. समान रूप से, दूसरे आइसोडायनामिक बिंदु द्वारा गठित कोण समीकरणों को संतुष्ट करते हैं$AS'B=ACB-\pi /3$, $AS'C=ABC-\pi /3$, और $BS'C=BAC-\pi /3$.

एक आइसोडायनामिक बिंदु का पेडल त्रिकोण, त्रिभुज से लंब गिराने से बनता है $S$ त्रिभुज की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक के लिए $ABC$, समबाहु है, जिस प्रकार परावर्तित होकर त्रिभुज बनता है $S$ त्रिकोण के प्रत्येक तरफ। त्रिभुज में अंकित सभी समबाहु त्रिभुजों में से $ABC$, पहले आइसोडायनामिक बिंदु का पेडल त्रिकोण न्यूनतम क्षेत्रफल वाला है।

अतिरिक्त गुण

आइसोडायनामिक बिन्दु त्रिभुज के दो प्रारूप बिन्दुओं के समद्विबाहु संयुग्मी होते हैं $ABC$, और जो इसके विपरीत भी संभव है।

न्युबर्ग क्यूबिक में दोनों आइसोडायनामिक बिंदु होते हैं।

यदि एक वृत्त को तीन चापों में विभाजित किया जाता है, तो चाप के समापन बिंदुओं का पहला आइसोडायनामिक बिंदु वृत्त के भीतर अद्वितीय बिंदु होता है, इस गुण के साथ कि तीन चापों में से प्रत्येक समान रूप से उस बिंदु से शुरू होने वाली ब्राउनियन गति द्वारा पहुँचा जाने वाला पहला चाप होने की संभावना है। अर्थात्, आइसोडायनामिक बिंदु वह बिंदु है जिसके लिए तीन चापों का हार्मोनिक माप बराबर होता है।

एक अविभाज्य बहुपद दिया गया है $P(z)=z^{3}+az^{2}+bz+c$ जिनके शून्य त्रिभुज के शीर्ष हैं जटिल तल में $T$, के आइसोडायनामिक बिंदु $T$ बहुपद के शून्यक हैं $I(z)=(a^{2}-3b)z^{2}+(ab-9c)z+b^{2}-3ac$. ध्यान दें कि $I(z)$ का एक स्थिर गुणक है $\mathrm {Discriminant} _{u}(nP(u)+(z-u)P'(u))$, जहां $n$ की डिग्री $P$ है। यह निर्माण डिग्री के बहुपदों के लिए आइसोडायनामिक बिंदुओं का सामान्यीकरण करता है $n\geq 3$ इस अर्थ में कि उपरोक्त विभेदक के शून्य मोबियस परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय हैं। जहां अभिव्यंजक $nP(u)+(z-u)P'(u)$ का ध्रुवीय व्युत्पन्न है $P(u)$ पोल के साथ $z$.

साथ में, साथ $P$ और $n$ उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है, (सामान्यीकृत) के आइसोडायनामिक बिंदु $P$ जटिल द्विघात बहुपद का महत्वपूर्ण मान हैं $f(z)=z-nP(z)/P'(z)$. जहां $f(z)$ वह व्यंजक है जो रिलैक्स न्यूटन की विधि में रिलैक्सेशन पैरामीटर के साथ प्रकट होता है $n$. बहुपदों के अतिरिक्त तर्कसंगत फलन के लिए एक समान निर्माण उपस्थित है।

निर्माण

दिए गए त्रिभुज की परावर्तित प्रतियों और भीतर की ओर इंगित करने वाले समबाहु त्रिभुजों से आइसोडायनामिक बिंदु का निर्माण।

एपोलोनियस का शीर्ष के माध्यम से वृत्त त्रिभुज का $A$ रेखाओं द्वारा बनाए गए दो कोणों के दो (आंतरिक और बाह्य) कोण समद्विभाजक ज्ञात करके $ABC$ की रचना की जा सकती है $AB$ और $AC$ शीर्ष पर $A$, और इन समद्विभाजक रेखाओं को रेखा से प्रतिच्छेद करता $BC$। इन दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच का रेखा खंड एपोलोनियस के वृत्त का व्यास है। इनमें से दो वृत्तों का निर्माण करके और उनके दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाकर आइसोडायनामिक बिंदुओं को पाया जा सकता है।

एक अन्य कम्पास और सीधे-किनारे के निर्माण में प्रतिबिंब का पता लगाना सम्मलित है $A'$ शिखर का $A$ रेखा के पार $BC$ (वृत्तों के प्रतिच्छेदन पर केंद्रित है $B$ और $C$ के माध्यम से $A$), और एक तरफ की ओर एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करना $BC$ त्रिकोण का (शीर्ष $A''$ इस त्रिभुज के दो वृत्तों का प्रतिच्छेदन है $BC$ उनकी त्रिज्या के रूप में)। रेखा $A'A''$ समान रूप से निर्मित रेखाओं को पार करता है $B'B''$ और $C'C''$ पहले आइसोडायनामिक बिंदु पर। दूसरे आइसोडायनामिक बिंदु का निर्माण इसी तरह किया जा सकता है, लेकिन समबाहु त्रिभुजों को अंदर की बजाय बाहर की ओर खड़ा किया जाता है।

वैकल्पिक रूप से, पहले आइसोडायनामिक बिंदु की स्थिति की गणना उसके त्रिरेखीय निर्देशांक से की जा सकती है, जो हैं

$\sin(A+\pi /3):\sin(B+\pi /3):\sin(C+\pi /3).$

दूसरा आइसोडायनामिक बिंदु त्रिरेखीय निर्देशांक का उपयोग करता है जिसमें एक समान सूत्र सम्मलित होता है $-\pi /3$ के स्थान पर $\pi /3$.

संदर्भ

• Bottema, Oene (2008), Topics in elementary geometry (2nd ed.), Springer, p. 108, ISBN 9780387781303.
• Carver, Walter B. (1956), "Some geometry of the triangle", American Mathematical Monthly, 63 (9): 32–50, doi:10.2307/2309843, JSTOR 2309843.
• Casey, John (1893), A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections: containing an account of its most recent extensions, with numerous examples, Dublin University Press series, Hodges, Figgis, & Co., p. 303.
• Evans, Lawrence S. (2002), "A rapid construction of some triangle centers" (PDF), Forum Geometricorum, 2: 67–70, MR 1907780.
• Eves, Howard Whitley (1995), College geometry, Jones & Bartlett Learning, pp. 69–70, ISBN 9780867204759.
• Hägg, Christian; Shapiro, Boris; Shapiro, Michael (2023), "Introducing isodynamic points for binary forms and their ratios", Complex Anal Synerg, 9 (2), doi:10.1007/s40627-022-00112-4.
• Iannaccone, Andrew; Walden, Byron (2003), The Conformal Center of a Triangle or a Quadrilateral, Harvey Mudd College Department of Mathematics.
• Johnson, Roger A. (1917), "Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem", American Mathematical Monthly, 24 (7): 313–317, doi:10.2307/2973552, JSTOR 2973552.
• Kimberling, Clark (1993), "Functional equations associated with triangle geometry" (PDF), Aequationes Mathematicae, 45 (2–3): 127–152, doi:10.1007/BF01855873, MR 1212380, S2CID 189834484.
• Moon, Tarik Adnan (2010), "The Apollonian circles and isodynamic points" (PDF), Mathematical Reflections (6), archived from the original (PDF) on 2013-04-20, retrieved 2012-03-22.
• Neuberg, J. (1885), "Sur le quadrilatère harmonique", Mathesis (in French), 5: 202–204, 217–221, 265–269{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). The definition of isodynamic points is in a footnote on page 204.
• Rigby, J. F. (1988), "Napoleon revisited", Journal of Geometry, 33 (1–2): 129–146, doi:10.1007/BF01230612, MR 0963992, S2CID 189876799. The discussion of isodynamic points is on pp. 138–139. Rigby calls them "Napoleon points", but that name more commonly refers to a different triangle center, the point of concurrence between the lines connecting the vertices of Napoleon's equilateral triangle with the opposite vertices of the given triangle.
• Wildberger, N. J. (2008), "Neuberg cubics over finite fields", Algebraic geometry and its applications, Ser. Number Theory Appl., vol. 5, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, pp. 488–504, arXiv:0806.2495, doi:10.1142/9789812793430_0027, MR 2484072, S2CID 115159205. See especially p. 498.

बाहरी संबंध

• आइसोडायनामिक बिंदु X(15) और X(16 में त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश, द्वारा क्लार्क किम्बरलिंग
• Weisstein, Eric W. पॉइंट्स.html "आइसोडायनामिक पॉइंट्स". MathWorld. {{cite web}}: Check |url= value (help)