रेगुलस (ज्यामिति): Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "{{short description|Surface in three-dimensional space}} Image:Ruled hyperboloid.jpg|thumb|right|300px|एक शीट के हाइपरबोलॉइड पर न...") |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
[[Image:Ruled hyperboloid.jpg|thumb|right|300px|एक शीट के हाइपरबोलॉइड पर नियमों को दिखाने के लिए एक रेगुलस और उसके विपरीत के एक हिस्से का एक स्ट्रिंग मॉडल]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक रेगुलस ''आर'' तिरछी रेखाओं का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु एक अनुप्रस्थ (कॉम्बिनेटरिक्स) पर है जो ''आर'' के एक तत्व को केवल एक बार काटता है, और ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु पर एक तिर्यक रेखा ''R'' की रेखा पर स्थित है | [[Image:Ruled hyperboloid.jpg|thumb|right|300px|एक शीट के हाइपरबोलॉइड पर नियमों को दिखाने के लिए एक रेगुलस और उसके विपरीत के एक हिस्से का एक स्ट्रिंग मॉडल]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक रेगुलस ''आर'' तिरछी रेखाओं का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु एक अनुप्रस्थ (कॉम्बिनेटरिक्स) पर है जो ''आर'' के एक तत्व को केवल एक बार काटता है, और ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु पर एक तिर्यक रेखा ''R'' की रेखा पर स्थित है | ||
''आर'' के आड़े-तिरछे सेट का सेट एक विपरीत रेगुलस ''एस'' बनाता है। ℝ | ''आर'' के आड़े-तिरछे सेट का सेट एक विपरीत रेगुलस ''एस'' बनाता है। ℝ<sup>3</sup> में संघ R ∪ S एक शीट के अतिपरवलयज की [[शासित सतह]] है। | ||
तीन तिरछी रेखाएँ एक नियमन निर्धारित करती हैं: | तीन तिरछी रेखाएँ एक नियमन निर्धारित करती हैं: | ||
: तीन तिरछी रेखाओं से मिलने वाली रेखाओं के स्थान को रेगुलस कहा जाता है। तिरछी रेखाएँ#गैलुसी की प्रमेय|गैलुची की प्रमेय दर्शाती है कि रेखाएँ रेगुलस के जनरेटरों (मूल तीन पंक्तियों सहित) से मिलती हैं, एक अन्य संबद्ध रेगुलस बनाती हैं, जैसे कि किसी भी रेगुलस का प्रत्येक जनरेटर दूसरे के प्रत्येक जनरेटर से मिलता है। दो रेगुली एक शासित चतुर्भुज के जनरेटर की दो प्रणालियाँ हैं।<ref>[[H. S. M. Coxeter]] (1969) ''Introduction to Geometry'', page 259, [[John Wiley & Sons]]</ref> | : तीन तिरछी रेखाओं से मिलने वाली रेखाओं के स्थान को रेगुलस कहा जाता है। तिरछी रेखाएँ#गैलुसी की प्रमेय|गैलुची की प्रमेय दर्शाती है कि रेखाएँ रेगुलस के जनरेटरों (मूल तीन पंक्तियों सहित) से मिलती हैं, एक अन्य संबद्ध रेगुलस बनाती हैं, जैसे कि किसी भी रेगुलस का प्रत्येक जनरेटर दूसरे के प्रत्येक जनरेटर से मिलता है। दो रेगुली एक शासित चतुर्भुज के जनरेटर की दो प्रणालियाँ हैं।<ref>[[H. S. M. Coxeter]] (1969) ''Introduction to Geometry'', page 259, [[John Wiley & Sons]]</ref> | ||
[[शार्लेट स्कॉट]] के अनुसार, रेगुलस एक शंकु के गुणों के अत्यंत सरल प्रमाण प्रदान करता है...चासल्स के प्रमेय, ब्रायनचोन के प्रमेय और पास्कल के प्रमेय...<ref>Charlotte Angas Scott (1905) [https://www.ams.org/journals/bull/1905-12-01/S0002-9904-1905-01279-9/S0002-9904-1905-01279-9.pdf The elementary treatment of the conics by means of the regulus], [[Bulletin of the American Mathematical Society]] 12(1): 1–7</ref> | [[शार्लेट स्कॉट]] के अनुसार, रेगुलस एक शंकु के गुणों के अत्यंत सरल प्रमाण प्रदान करता है...चासल्स के प्रमेय, ब्रायनचोन के प्रमेय और पास्कल के प्रमेय...<ref>Charlotte Angas Scott (1905) [https://www.ams.org/journals/bull/1905-12-01/S0002-9904-1905-01279-9/S0002-9904-1905-01279-9.pdf The elementary treatment of the conics by means of the regulus], [[Bulletin of the American Mathematical Society]] 12(1): 1–7</ref> | ||
एक [[परिमित ज्यामिति]] PG(3, q) में, एक रेगुलस में q + 1 रेखाएँ होती हैं।<ref>[[Albrecht Beutelspacher]] & Ute Rosenbaum (1998) ''Projective Geometry'', page 72, [[Cambridge University Press]] {{ISBN|0-521-48277-1}}</ref> उदाहरण के लिए, 1954 में [[विलियम एज (गणितज्ञ)]] ने पीजी (3,3) में प्रत्येक चार पंक्तियों के रेगुली की एक जोड़ी का वर्णन किया।<ref>[[W. L. Edge]] (1954) "Geometry of three dimensions over GF(3)", [[Proceedings of the Royal Society]] A 222: 262–86 {{doi|10.1098/rspa.1954.0068}}</ref> | एक [[परिमित ज्यामिति]] PG(3, q) में, एक रेगुलस में q + 1 रेखाएँ होती हैं।<ref>[[Albrecht Beutelspacher]] & Ute Rosenbaum (1998) ''Projective Geometry'', page 72, [[Cambridge University Press]] {{ISBN|0-521-48277-1}}</ref> उदाहरण के लिए, 1954 में [[विलियम एज (गणितज्ञ)]] ने पीजी (3,3) में प्रत्येक चार पंक्तियों के रेगुली की एक जोड़ी का वर्णन किया।<ref>[[W. L. Edge]] (1954) "Geometry of three dimensions over GF(3)", [[Proceedings of the Royal Society]] A 222: 262–86 {{doi|10.1098/rspa.1954.0068}}</ref> | ||
रॉबर्ट जे.टी. बेल ने वर्णन किया कि कैसे एक चलती हुई सीधी रेखा द्वारा रेगुलस उत्पन्न किया जाता है। सबसे पहले, हाइपरबोलाइड <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} \ = \ 1</math> के रूप में गिना जाता है | रॉबर्ट जे.टी. बेल ने वर्णन किया कि कैसे एक चलती हुई सीधी रेखा द्वारा रेगुलस उत्पन्न किया जाता है। सबसे पहले, हाइपरबोलाइड <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} \ = \ 1</math> के रूप में गिना जाता है | ||
:<math>\left(\frac{x}{a} + \frac{z}{c}\right) \left(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}\right) \ =\ \left(1 + \frac{y}{b}\right) \left(1 - \frac{y}{b}\right) .</math> फिर लाइनों की दो प्रणालियाँ, λ और μ द्वारा पैरामीट्रिज्ड इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं: | :<math>\left(\frac{x}{a} + \frac{z}{c}\right) \left(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}\right) \ =\ \left(1 + \frac{y}{b}\right) \left(1 - \frac{y}{b}\right) .</math> फिर लाइनों की दो प्रणालियाँ, λ और μ द्वारा पैरामीट्रिज्ड इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं: | ||
| Line 13: | Line 15: | ||
:<math>\frac{x}{a} - \frac{z}{c} \ =\ \mu \left(1 + \frac{y}{b}\right), \quad \frac{x}{a} + \frac{z}{c} \ =\ \frac{1}{\mu} \left(1 - \frac{y}{b}\right) .</math> | :<math>\frac{x}{a} - \frac{z}{c} \ =\ \mu \left(1 + \frac{y}{b}\right), \quad \frac{x}{a} + \frac{z}{c} \ =\ \frac{1}{\mu} \left(1 - \frac{y}{b}\right) .</math> | ||
पंक्तियों के पहले सेट का कोई सदस्य दूसरे का सदस्य नहीं है। जैसा कि λ या μ भिन्न होता है, हाइपरबोलॉइड उत्पन्न होता है। दो सेट एक रेगुलस और उसके विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] का उपयोग करते हुए, बेल साबित करता है कि एक सेट में कोई दो जनरेटर एक दूसरे को नहीं काटते हैं, और यह कि विपरीत रेगुली में कोई भी दो जनरेटर एक दूसरे को काटते हैं और उस बिंदु पर हाइपरबोलॉइड के लिए समतल स्पर्शरेखा बनाते हैं। (पृष्ठ 155)।<ref>[[Robert J. T. Bell]] (1910) [https://archive.org/details/elementarytreati033329mbp/page/n119 An Elementary Treatise on Co-ordinate Geometry of Three Dimensions], page 148, via [[Internet Archive]]</ref> | पंक्तियों के पहले सेट का कोई सदस्य दूसरे का सदस्य नहीं है। जैसा कि λ या μ भिन्न होता है, हाइपरबोलॉइड उत्पन्न होता है। दो सेट एक रेगुलस और उसके विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] का उपयोग करते हुए, बेल साबित करता है कि एक सेट में कोई दो जनरेटर एक दूसरे को नहीं काटते हैं, और यह कि विपरीत रेगुली में कोई भी दो जनरेटर एक दूसरे को काटते हैं और उस बिंदु पर हाइपरबोलॉइड के लिए समतल स्पर्शरेखा बनाते हैं। (पृष्ठ 155)।<ref>[[Robert J. T. Bell]] (1910) [https://archive.org/details/elementarytreati033329mbp/page/n119 An Elementary Treatise on Co-ordinate Geometry of Three Dimensions], page 148, via [[Internet Archive]]</ref> | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* {{section link| | * {{section link|ट्रांसलेशन प्लेन#रेगुली और रेगुलर स्प्रेड}} | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
{{Reflist}} | {{Reflist}} | ||
* [[H. G. Forder]] (1950) | * [[H. G. Forder|एच जी फ़ोर्डेर]] (1950) ज्यामिति, पृष्ठ 118, हचिन्सन यूनिवर्सिटी लाइब्रेरी. | ||
[[Category: ज्यामिति]] [[Category: चतुष्कोण]] | [[Category: ज्यामिति]] [[Category: चतुष्कोण]] | ||
Revision as of 11:36, 24 May 2023
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक रेगुलस आर तिरछी रेखाओं का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु एक अनुप्रस्थ (कॉम्बिनेटरिक्स) पर है जो आर के एक तत्व को केवल एक बार काटता है, और ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु पर एक तिर्यक रेखा R की रेखा पर स्थित है
आर के आड़े-तिरछे सेट का सेट एक विपरीत रेगुलस एस बनाता है। ℝ3 में संघ R ∪ S एक शीट के अतिपरवलयज की शासित सतह है।
तीन तिरछी रेखाएँ एक नियमन निर्धारित करती हैं:
- तीन तिरछी रेखाओं से मिलने वाली रेखाओं के स्थान को रेगुलस कहा जाता है। तिरछी रेखाएँ#गैलुसी की प्रमेय|गैलुची की प्रमेय दर्शाती है कि रेखाएँ रेगुलस के जनरेटरों (मूल तीन पंक्तियों सहित) से मिलती हैं, एक अन्य संबद्ध रेगुलस बनाती हैं, जैसे कि किसी भी रेगुलस का प्रत्येक जनरेटर दूसरे के प्रत्येक जनरेटर से मिलता है। दो रेगुली एक शासित चतुर्भुज के जनरेटर की दो प्रणालियाँ हैं।[1]
शार्लेट स्कॉट के अनुसार, रेगुलस एक शंकु के गुणों के अत्यंत सरल प्रमाण प्रदान करता है...चासल्स के प्रमेय, ब्रायनचोन के प्रमेय और पास्कल के प्रमेय...[2]
एक परिमित ज्यामिति PG(3, q) में, एक रेगुलस में q + 1 रेखाएँ होती हैं।[3] उदाहरण के लिए, 1954 में विलियम एज (गणितज्ञ) ने पीजी (3,3) में प्रत्येक चार पंक्तियों के रेगुली की एक जोड़ी का वर्णन किया।[4]
रॉबर्ट जे.टी. बेल ने वर्णन किया कि कैसे एक चलती हुई सीधी रेखा द्वारा रेगुलस उत्पन्न किया जाता है। सबसे पहले, हाइपरबोलाइड के रूप में गिना जाता है
- फिर लाइनों की दो प्रणालियाँ, λ और μ द्वारा पैरामीट्रिज्ड इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं:
- और
पंक्तियों के पहले सेट का कोई सदस्य दूसरे का सदस्य नहीं है। जैसा कि λ या μ भिन्न होता है, हाइपरबोलॉइड उत्पन्न होता है। दो सेट एक रेगुलस और उसके विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग करते हुए, बेल साबित करता है कि एक सेट में कोई दो जनरेटर एक दूसरे को नहीं काटते हैं, और यह कि विपरीत रेगुली में कोई भी दो जनरेटर एक दूसरे को काटते हैं और उस बिंदु पर हाइपरबोलॉइड के लिए समतल स्पर्शरेखा बनाते हैं। (पृष्ठ 155)।[5]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, page 259, John Wiley & Sons
- ↑ Charlotte Angas Scott (1905) The elementary treatment of the conics by means of the regulus, Bulletin of the American Mathematical Society 12(1): 1–7
- ↑ Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry, page 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1
- ↑ W. L. Edge (1954) "Geometry of three dimensions over GF(3)", Proceedings of the Royal Society A 222: 262–86 doi:10.1098/rspa.1954.0068
- ↑ Robert J. T. Bell (1910) An Elementary Treatise on Co-ordinate Geometry of Three Dimensions, page 148, via Internet Archive
- एच जी फ़ोर्डेर (1950) ज्यामिति, पृष्ठ 118, हचिन्सन यूनिवर्सिटी लाइब्रेरी.
