टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी): Difference between revisions
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स्केलर (गणित), [[यूक्लिडियन वेक्टर]] और दूसरे क्रम के [[ टेन्सर |टेन्सर]] के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] सातत्य यांत्रिकी में अधिक उपयोग के हैं। इन डेरिवेटिव का उपयोग नॉनलाइनियर लोच और [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)]] के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए [[एल्गोरिदम]] के डिजाइन में।<ref name=Simo98>J. C. Simo and T. J. R. Hughes, 1998, ''Computational Inelasticity'', Springer</ref> | |||
दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का व्यवस्थित विधि प्रदान करता है।<ref name=Marsden00>J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, ''Mathematical Foundations of Elasticity'', Dover.</ref> | |||
स्केलर (गणित), [[यूक्लिडियन वेक्टर]] और दूसरे क्रम के [[ टेन्सर ]] के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] सातत्य यांत्रिकी में | |||
दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का | |||
== वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव == | == वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव == | ||
विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है। | विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है। | ||
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<math display="block">\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha=0}</math> | <math display="block">\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha=0}</math> | ||
सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद | सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद स्केलर उत्पन्न करता है, और यदि यू यूनिट वेक्टर है तो यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है। | ||
गुण: | गुण: | ||
# | # यदि <math>f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v}) + f_2(\mathbf{v})</math> तब <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u}</math> | ||
# | # यदि <math>f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v})~ f_2(\mathbf{v})</math> तब <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} \cdot \mathbf{u} \right)~f_2(\mathbf{v}) + f_1(\mathbf{v})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)</math> | ||
# | # यदि <math>f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v}))</math> तब <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}</math> | ||
=== सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स === | === सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स === | ||
चलो f(v) सदिश v का | चलो f(v) सदिश v का सदिश मान फलन हो। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके डॉट उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block"> \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u} ) \right]_{\alpha = 0}</math> | <math display="block"> \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u} ) \right]_{\alpha = 0}</math> | ||
सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद | सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद वेक्टर उत्पन्न करता है, और यदि यू इकाई वेक्टर है, तो दिशात्मक यू में, v पर f का डेरिवेटिव देता है। | ||
गुण: | गुण: | ||
# | # यदि <math>\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_2(\mathbf{v})</math> तब <math>\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u} </math> | ||
# | # यदि <math>\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v})</math> तब <math>\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}\right)\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)</math> | ||
# | # यदि <math>\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{f}_2(\mathbf{v}))</math> तब <math>\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{f}_2}\cdot\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)</math> | ||
===दूसरे क्रम के टेंसरों के स्केलर वैल्यू वाले कार्यों के डेरिवेटिव === | ===दूसरे क्रम के टेंसरों के स्केलर वैल्यू वाले कार्यों के डेरिवेटिव === | ||
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गुण: | गुण: | ||
# | # यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S}) + f_2(\boldsymbol{S})</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} </math> | ||
# | # यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S})~ f_2(\boldsymbol{S})</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)~f_2(\boldsymbol{S}) + f_1(\boldsymbol{S})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math> | ||
# | # यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(f_2(\boldsymbol{S}))</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math> | ||
===दूसरे क्रम के टेंसर === के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव | ===दूसरे क्रम के टेंसर === के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव | ||
होने देना <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो <math>\boldsymbol{S}</math>. फिर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> इसके संबंध में <math>\boldsymbol{S}</math> (या कि <math>\boldsymbol{S}</math>) दिशा में <math>\boldsymbol{T}</math> चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है | होने देना <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो <math>\boldsymbol{S}</math>. फिर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> इसके संबंध में <math>\boldsymbol{S}</math> (या कि <math>\boldsymbol{S}</math>) दिशा में <math>\boldsymbol{T}</math> चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block">\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}</math> | <math display="block">\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}</math> | ||
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गुण: | गुण: | ||
# | # यदि <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})</math> तब <math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} </math> | ||
# | # यदि <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})</math> तब <math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_1 (\boldsymbol{S}) \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math> | ||
# | # यदि <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> तब <math> \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math> | ||
# | # यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math> | ||
== टेंसर क्षेत्र का [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] == | |||
ढाल, <math>\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}</math>, टेंसर क्षेत्र का <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> मनमाना स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है: | |||
== टेंसर | |||
ढाल, <math>\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}</math>, | |||
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}\cdot\mathbf{c} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \quad \cfrac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{T}(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{c})</math> | <math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}\cdot\mathbf{c} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \quad \cfrac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{T}(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{c})</math> | ||
ऑर्डर n के टेंसर | ऑर्डर n के टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट ऑर्डर n+1 का टेंसर क्षेत्र है। | ||
=== कार्टेशियन निर्देशांक === | === कार्टेशियन निर्देशांक === | ||
{{Einstein_summation_convention}} | {{Einstein_summation_convention}} | ||
यदि <math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math> कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर हैं, बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित किया गया है (<math>x_1, x_2, x_3</math>), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट <math>\boldsymbol{T}</math> द्वारा दिया गया है | |||
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i </math> | <math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i </math> | ||
Line 77: | Line 70: | ||
= \left[\cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i\right]\cdot\mathbf{c} \qquad \square | = \left[\cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i\right]\cdot\mathbf{c} \qquad \square | ||
\end{align} </math>}} | \end{align} </math>}} | ||
चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर | चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर क्षेत्र के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math>. | ||
<math display="block"> \begin{align} | <math display="block"> \begin{align} | ||
\boldsymbol{\nabla}\phi & = \cfrac{\partial\phi}{\partial x_i}~\mathbf{e}_i = \phi_{,i} ~\mathbf{e}_i \\ | \boldsymbol{\nabla}\phi & = \cfrac{\partial\phi}{\partial x_i}~\mathbf{e}_i = \phi_{,i} ~\mathbf{e}_i \\ | ||
Line 84: | Line 77: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
=== वक्रीय निर्देशांक === | === वक्रीय निर्देशांक === | ||
{{main|Tensors in curvilinear coordinates}} | {{main|Tensors in curvilinear coordinates}} | ||
{{Einstein_summation_convention}} | {{Einstein_summation_convention}} | ||
यदि <math>\mathbf{g}^1,\mathbf{g}^2,\mathbf{g}^3</math> [[वक्रीय निर्देशांक]] प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है (<math>\xi^1, \xi^2, \xi^3</math>), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट <math>\boldsymbol{T}</math> द्वारा दिया गया है (देखें <ref>R. W. Ogden, 2000, ''Nonlinear Elastic Deformations'', Dover.</ref> सबूत के लिए।) | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \frac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial \xi^i}\otimes\mathbf{g}^i | \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \frac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial \xi^i}\otimes\mathbf{g}^i | ||
</math> | </math> | ||
इस परिभाषा से हमारे पास स्केलर | इस परिभाषा से हमारे पास स्केलर क्षेत्र के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math>. | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\boldsymbol{\nabla}\phi & = \frac{\partial\phi}{\partial\xi^i}~\mathbf{g}^i \\ | \boldsymbol{\nabla}\phi & = \frac{\partial\phi}{\partial\xi^i}~\mathbf{g}^i \\ | ||
Line 108: | Line 99: | ||
\Gamma_{ij}^k = \frac{\partial\mathbf{g}_i}{\partial\xi^j}\cdot\mathbf{g}^k = -\mathbf{g}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{g}^k}{\partial\xi^j} | \Gamma_{ij}^k = \frac{\partial\mathbf{g}_i}{\partial\xi^j}\cdot\mathbf{g}^k = -\mathbf{g}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{g}^k}{\partial\xi^j} | ||
</math> | </math> | ||
==== बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक ==== | ==== बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक ==== | ||
बेलनाकार निर्देशांक में, ढाल द्वारा दिया जाता है | बेलनाकार निर्देशांक में, ढाल द्वारा दिया जाता है | ||
Line 158: | Line 147: | ||
+ \frac{1}{r}~\frac{\partial S_{zz}}{\partial\theta}~ \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta | + \frac{1}{r}~\frac{\partial S_{zz}}{\partial\theta}~ \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
== टेंसर क्षेत्र का [[विचलन]] == | |||
टेंसर क्षेत्र का विचलन <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके परिभाषित किया गया है | |||
== टेंसर | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = | (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = | ||
Line 167: | Line 154: | ||
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \text{tr}(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}) | \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \text{tr}(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}) | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ c | जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र है। यदि <math>\boldsymbol{T}</math> क्रम n > 1 का टेन्सर क्षेत्र है तो क्षेत्र का विचलन क्रम n− 1 का टेन्सर है। | ||
=== कार्टेशियन निर्देशांक === | === कार्टेशियन निर्देशांक === | ||
Line 178: | Line 165: | ||
जहां रिक्की कैलकुस # आंशिक डेरिवेटिव के लिए भेदभाव का उपयोग सबसे सही अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दें कि | जहां रिक्की कैलकुस # आंशिक डेरिवेटिव के लिए भेदभाव का उपयोग सबसे सही अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दें कि | ||
<math display="block">\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} \neq \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}^\textsf{T}.</math> | <math display="block">\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} \neq \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}^\textsf{T}.</math> | ||
सममित दूसरे क्रम के टेंसर के लिए, विचलन को अधिकांशतः इस रूप में भी लिखा जाता है<ref name=Hjelmstad2004>{{cite book|last1=Hjelmstad|first1=Keith|title=संरचनात्मक यांत्रिकी के मूल तत्व|date=2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780387233307|page=45}}</ref> | |||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
Line 184: | Line 171: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है | उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है | ||
<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}</math> कार्टेशियन घटक रूप में ( | <math>\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}</math> कार्टेशियन घटक रूप में (अधिकांशतः इसे भी लिखा जाता है | ||
<math>\operatorname{div}\boldsymbol{S}</math>). ध्यान दें कि इस तरह की परिभाषा इस लेख के बाकी हिस्सों के अनुरूप नहीं है (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)। | <math>\operatorname{div}\boldsymbol{S}</math>). ध्यान दें कि इस तरह की परिभाषा इस लेख के बाकी हिस्सों के अनुरूप नहीं है (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)। | ||
अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है <math>\boldsymbol{S}</math>, और पारंपरिक है। यह | अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है <math>\boldsymbol{S}</math>, और पारंपरिक है। यह उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में द्वितीय कोटि का टेंसर (मैट्रिक्स) <math>\mathbf{S}</math> वेक्टर फ़ंक्शन का ढाल है <math>\mathbf{v}</math>. | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
Line 211: | Line 198: | ||
\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{v} | \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{v} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
=== वक्रीय निर्देशांक === | === वक्रीय निर्देशांक === | ||
{{main|Tensors in curvilinear coordinates}} | {{main|Tensors in curvilinear coordinates}} | ||
{{Einstein_summation_convention}} | {{Einstein_summation_convention}} | ||
घुमावदार निर्देशांक में, | घुमावदार निर्देशांक में, सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन <math>\boldsymbol{S}</math> हैं | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} | \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} | ||
Line 223: | Line 208: | ||
&= \left(\cfrac{\partial S_{ik}}{\partial \xi_i}- S_{lk}~\Gamma_{ii}^l - S_{il}~\Gamma_{ik}^l\right)~\mathbf{g}^k | &= \left(\cfrac{\partial S_{ik}}{\partial \xi_i}- S_{lk}~\Gamma_{ii}^l - S_{il}~\Gamma_{ik}^l\right)~\mathbf{g}^k | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
सामान्यतः अधिक, | |||
<math display="block"> \begin{align} | <math display="block"> \begin{align} | ||
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} & = \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}~S_{lj} - \Gamma^l_{kj}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}^j \\[8pt] | \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} & = \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}~S_{lj} - \Gamma^l_{kj}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}^j \\[8pt] | ||
Line 255: | Line 240: | ||
+ \frac{\partial S_{zz}}{\partial z}~\mathbf{e}_z | + \frac{\partial S_{zz}}{\partial z}~\mathbf{e}_z | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
== टेंसर क्षेत्र का कर्ल == | |||
ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर क्षेत्र का [[कर्ल (गणित)]]। <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके भी परिभाषित किया गया है | |||
== टेंसर | |||
ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर | |||
<math display="block">(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}) ~;\qquad (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{c})</math> | <math display="block">(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}) ~;\qquad (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{c})</math> | ||
जहाँ c | जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र है। | ||
=== प्रथम-क्रम टेंसर (वेक्टर) | === प्रथम-क्रम टेंसर (वेक्टर) क्षेत्र का कर्ल === | ||
सदिश क्षेत्र v और स्वेच्छ अचर सदिश c पर विचार करें। सूचकांक संकेतन में, क्रॉस उत्पाद किसके द्वारा दिया जाता है | |||
<math display="block"> \mathbf{v} \times \mathbf{c} = \varepsilon_{ijk}~v_j~c_k~\mathbf{e}_i </math> | <math display="block"> \mathbf{v} \times \mathbf{c} = \varepsilon_{ijk}~v_j~c_k~\mathbf{e}_i </math> | ||
कहाँ <math>\varepsilon_{ijk}</math> क्रमचय प्रतीक है, अन्यथा लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब, | कहाँ <math>\varepsilon_{ijk}</math> क्रमचय प्रतीक है, अन्यथा लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब, | ||
Line 273: | Line 256: | ||
=== दूसरे क्रम के टेंसर | === दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का कर्ल === | ||
दूसरे क्रम के टेंसर के लिए <math>\boldsymbol{S}</math> | दूसरे क्रम के टेंसर के लिए <math>\boldsymbol{S}</math> | ||
<math display="block"> \mathbf{c}\cdot\boldsymbol{S} = c_m~S_{mj}~\mathbf{e}_j </math> | <math display="block"> \mathbf{c}\cdot\boldsymbol{S} = c_m~S_{mj}~\mathbf{e}_j </math> | ||
Line 281: | Line 264: | ||
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{S} = \varepsilon_{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_m | <math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{S} = \varepsilon_{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_m | ||
</math> | </math> | ||
=== टेंसर क्षेत्र के कर्ल से संबंधित पहचान === | |||
टेंसर क्षेत्र के कर्ल से जुड़ी सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली पहचान, <math>\boldsymbol{T}</math>, है | |||
=== टेंसर | |||
टेंसर क्षेत्र के कर्ल से जुड़ी सबसे अधिक | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}) = \boldsymbol{0} | \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}) = \boldsymbol{0} | ||
</math> | </math> | ||
यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए है। दूसरे क्रम के टेंसर के महत्वपूर्ण | यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए है। दूसरे क्रम के टेंसर के महत्वपूर्ण स्थितियों के लिए, <math>\boldsymbol{S}</math>, इस पहचान का तात्पर्य है | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{0} \quad \implies \quad S_{mi,j} - S_{mj,i} = 0 | \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{0} \quad \implies \quad S_{mi,j} - S_{mj,i} = 0 | ||
</math> | </math> | ||
== दूसरे क्रम के टेंसर == के निर्धारक का व्युत्पन्न | == दूसरे क्रम के टेंसर == के निर्धारक का व्युत्पन्न | ||
दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न <math>\boldsymbol{A}</math> द्वारा दिया गया है | दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न <math>\boldsymbol{A}</math> द्वारा दिया गया है | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{A}}\det(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})~\left[\boldsymbol{A}^{-1}\right]^\textsf{T} ~. | \frac{\partial}{\partial\boldsymbol{A}}\det(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})~\left[\boldsymbol{A}^{-1}\right]^\textsf{T} ~. | ||
</math> | </math> | ||
असामान्य आधार में, के घटक <math>\boldsymbol{A}</math> मैट्रिक्स ए के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में, दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स के कॉफ़ैक्टर्स से मेल खाती है। | |||
{{math proof| proof = Let <math>\boldsymbol{A}</math> be a second order tensor and let <math>f(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})</math>. Then, from the definition of the derivative of a scalar valued function of a tensor, we have | {{math proof| proof = Let <math>\boldsymbol{A}</math> be a second order tensor and let <math>f(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})</math>. Then, from the definition of the derivative of a scalar valued function of a tensor, we have | ||
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== दूसरे क्रम के टेंसर == के आक्रमणकारियों के डेरिवेटिव | == दूसरे क्रम के टेंसर == के आक्रमणकारियों के डेरिवेटिव | ||
दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं | दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
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== दूसरे क्रम की पहचान टेंसर == का व्युत्पन्न | == दूसरे क्रम की पहचान टेंसर == का व्युत्पन्न | ||
होने देना <math>\boldsymbol{\mathit{1}}</math> दूसरे क्रम की पहचान टेंसर बनें। फिर दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में इस टेंसर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{A}</math> द्वारा दिया गया है | होने देना <math>\boldsymbol{\mathit{1}}</math> दूसरे क्रम की पहचान टेंसर बनें। फिर दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में इस टेंसर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{A}</math> द्वारा दिया गया है | ||
<math display="block"> \frac{\partial \boldsymbol{\mathit{1}}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{0}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathit{0}}</math> | <math display="block"> \frac{\partial \boldsymbol{\mathit{1}}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{0}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathit{0}}</math> | ||
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~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l | ~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l | ||
</math> | </math> | ||
== दूसरे क्रम के टेंसर == के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न | == दूसरे क्रम के टेंसर == के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न | ||
होने देना <math>\boldsymbol{A}</math> और <math>\boldsymbol{T}</math> दो दूसरे क्रम के टेंसर बनें, फिर | होने देना <math>\boldsymbol{A}</math> और <math>\boldsymbol{T}</math> दो दूसरे क्रम के टेंसर बनें, फिर | ||
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\frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}}~T_{kl} = - A^{-1}_{jk}~T_{lk}~A^{-1}_{li} \implies \frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}} = - A^{-1}_{li}~A^{-1}_{jk} | \frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}}~T_{kl} = - A^{-1}_{jk}~T_{lk}~A^{-1}_{li} \implies \frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}} = - A^{-1}_{li}~A^{-1}_{jk} | ||
</math> | </math> | ||
यदि टेंसर <math>\boldsymbol{A}</math> तब सममित है | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}} = -\cfrac{1}{2}\left(A^{-1}_{ik}~A^{-1}_{jl} + A^{-1}_{il}~A^{-1}_{jk}\right) | \frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}} = -\cfrac{1}{2}\left(A^{-1}_{ik}~A^{-1}_{jl} + A^{-1}_{il}~A^{-1}_{jk}\right) | ||
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== भागों द्वारा एकीकरण == | == भागों द्वारा एकीकरण == | ||
[[File:StressMeasures.png|thumb|400px|कार्यक्षेत्र <math>\Omega</math>, इसकी सीमा <math>\Gamma</math> और जावक इकाई सामान्य <math>\mathbf{n}</math>]]सातत्य यांत्रिकी में टेंसर डेरिवेटिव से संबंधित | [[File:StressMeasures.png|thumb|400px|कार्यक्षेत्र <math>\Omega</math>, इसकी सीमा <math>\Gamma</math> और जावक इकाई सामान्य <math>\mathbf{n}</math>]]सातत्य यांत्रिकी में टेंसर डेरिवेटिव से संबंधित अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेशन भागों द्वारा एकीकरण है। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\int_{\Omega} \boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n} \otimes (\boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{G})\,d\Gamma - \int_{\Omega} \boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}\,d\Omega | \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n} \otimes (\boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{G})\,d\Gamma - \int_{\Omega} \boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}\,d\Omega | ||
</math> | </math> | ||
कहाँ <math>\boldsymbol{F}</math> और <math>\boldsymbol{G}</math> मनमाना क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं, <math>\mathbf{n}</math> उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर | कहाँ <math>\boldsymbol{F}</math> और <math>\boldsymbol{G}</math> मनमाना क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं, <math>\mathbf{n}</math> उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर क्षेत्र परिभाषित हैं, <math>\otimes</math> सामान्यीकृत टेंसर उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और <math>\boldsymbol{\nabla}</math> सामान्यीकृत ढाल ऑपरेटर है। कब <math>\boldsymbol{F}</math> पहचान टेन्सर के बराबर है, हमें डायवर्जेंस प्रमेय मिलता है | ||
<math display="block"> \int_{\Omega}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes\boldsymbol{G}\,d\Gamma \,. </math> | <math display="block"> \int_{\Omega}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes\boldsymbol{G}\,d\Gamma \,. </math> | ||
हम कार्टेशियन इंडेक्स नोटेशन में भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को व्यक्त कर सकते हैं | हम कार्टेशियन इंडेक्स नोटेशन में भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को व्यक्त कर सकते हैं | ||
Line 577: | Line 564: | ||
\int_{\Omega} F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,. | \int_{\Omega} F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,. | ||
</math> | </math> | ||
विशेष | विशेष स्थितियों के लिए जहां टेन्सर उत्पाद संचालन सूचकांक का संकुचन है और ढाल संचालन विचलन है, और दोनों <math>\boldsymbol{F}</math> और <math>\boldsymbol{G}</math> दूसरे क्रम के टेंसर हैं, हमारे पास हैं | ||
<math display="block"> \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{G})\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\cdot\left(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T}\right)\,d\Gamma - \int_{\Omega} (\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}):\boldsymbol{G}^\textsf{T}\,d\Omega \,. </math> | <math display="block"> \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{G})\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\cdot\left(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T}\right)\,d\Gamma - \int_{\Omega} (\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}):\boldsymbol{G}^\textsf{T}\,d\Omega \,. </math> | ||
इंडेक्स नोटेशन में, | इंडेक्स नोटेशन में, | ||
<math display="block"> \int_{\Omega} F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,. </math> | <math display="block"> \int_{\Omega} F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,. </math> | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] | * [[सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] |
Revision as of 12:28, 20 May 2023
स्केलर (गणित), यूक्लिडियन वेक्टर और दूसरे क्रम के टेन्सर के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के दिशात्मक व्युत्पन्न सातत्य यांत्रिकी में अधिक उपयोग के हैं। इन डेरिवेटिव का उपयोग नॉनलाइनियर लोच और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए एल्गोरिदम के डिजाइन में।[1] दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का व्यवस्थित विधि प्रदान करता है।[2]
वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव
विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है।
सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के डेरिवेटिव्स
मान लीजिए कि f('v') सदिश 'v' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'v' (या 'v') के संबंध में f('v') का व्युत्पन्न 'वेक्टर' है जो किसी भी वेक्टर 'यू' के साथ अपने डॉट उत्पाद के माध्यम से परिभाषित होता है
गुण:
- यदि तब
- यदि तब
- यदि तब
सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स
चलो f(v) सदिश v का सदिश मान फलन हो। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके डॉट उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है
गुण:
- यदि तब
- यदि तब
- यदि तब
दूसरे क्रम के टेंसरों के स्केलर वैल्यू वाले कार्यों के डेरिवेटिव
होने देना दूसरे क्रम के टेंसर का वास्तविक मूल्यवान कार्य हो . फिर की व्युत्पत्ति इसके संबंध में (या कि ) दिशा में दूसरे क्रम के टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है
गुण:
- यदि तब
- यदि तब
- यदि तब
===दूसरे क्रम के टेंसर === के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव
होने देना दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो . फिर की व्युत्पत्ति इसके संबंध में (या कि ) दिशा में चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है
गुण:
- यदि तब
- यदि तब
- यदि तब
- यदि तब
टेंसर क्षेत्र का ग्रेडियेंट
ढाल, , टेंसर क्षेत्र का मनमाना स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
कार्टेशियन निर्देशांक
- Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.
यदि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर हैं, बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित किया गया है (), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट द्वारा दिया गया है
The vectors x and c can be written as and . Let y := x + αc. In that case the gradient is given by
चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर क्षेत्र के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं , सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र .
वक्रीय निर्देशांक
- Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.
यदि वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है (), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट द्वारा दिया गया है (देखें [3] सबूत के लिए।)
बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक
बेलनाकार निर्देशांक में, ढाल द्वारा दिया जाता है