हाइपरज्यामेट्रिक फ़ंक्शन

हाइपर ज्यामितीय फलन शब्द कभी-कभी सामान्यीकृत हाइपर ज्यामितीय फलन को संदर्भित करता है। अन्य हाइपर ज्यामितीय फलनो के लिए यह भी देखें।

गणित में, गाऊसी या साधारण हाइपरज्यामितीय फलन ₂F₁(a,b;c;z) 'हाइपरज्यामितीय श्रृंखला' द्वारा प्रस्तुत एक विशेष फलन के रूप में है, जिसमें विशिष्ट या सीमित गणित स्थितियों के रूप में कई अन्य विशेष फलन सम्मलित होते हैं। यह दूसरे क्रम के रैखिक फलन साधारण अवकल समीकरण (ओडीइ) का एक सोलूशन है। तीन नियमित अद्वितीय बिंदुओं के साथ प्रत्येक दूसरे क्रम के रैखिक ओडीइ को इस समीकरण में रूपांतरित किया जा सकता है।

हाइपरज्यामितीय फलन से जुड़े कई हजारों प्रकाशित सर्वसमिका (गणित) में से कुछ की व्यवस्थित सूचियों के लिए एर्डेली एट अल 1953 और ओल्ड डलहुइस 2010 द्वारा संदर्भ फलनो को देखें और इस प्रकार सभी सर्वसमिका को व्यवस्थित करने के लिए कोई ज्ञात प्रणाली नहीं है और वास्तव में कोई ज्ञात कलन विधि जो सभी सर्वसमिका को उत्पन्न कर सकते हैं और कई भिन्न -भिन्न कलन विधि की एक संख्या ज्ञात कर सर्वसमिका की विभिन्न श्रृंखला उत्पन्न करते हैं और इस प्रकार कलन विधि सर्वसमिका की खोज का सिद्धांत एक सक्रिय शोध का विषय बना हुआ है।

इतिहास

हाइपरज्यामितीय श्रृंखला शब्द का पहली बार उपयोग जॉन वालिस ने अपनी 1655 की पुस्तक अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम में किया था।

हाइपरज्यामितीय श्रृंखला का लियोनहार्ड यूलर द्वारा अध्ययन किया गया था, लेकिन कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1813 में पहला पूर्ण व्यवस्थित ट्रीटमेंट दिया गया था

उन्नीसवीं शताब्दी में किए गए अध्ययनों में एर्नस्ट कुममर (1836) के अध्ययन तथा समान ज्यामितीय प्रकार्य के बर्नहार्ड रिमेंन (1857) द्वारा आधारभूत मौलिक लक्षण का वर्णन है और हाइपर ज्यामितीय फलन का अवकलन समीकरण के माध्यम से इसे संतुष्ट करता है।

रीमन ने दिखाया कि जटिल समतल में परीक्षण ₂F₁(z), के लिए द्वितीय क्रम का अवकलन समीकरण है, इसकी तीन नियमित विलक्षणता द्वारा रीमैन क्षेत्र पर विशेषता की जा सकती है।

जिन स्थिति में सोलूशन बीजगणितीय फलन के रूप में हैं, वहां हर्मन श्वार्ज़ (श्वार्ज़ की सूची) द्वारा दिखाया जाता है।

हाइपरज्यामितीय श्रृंखला

हाइपर ज्यामितीय फलन के लिए परिभाषित |z| < 1 शक्ति श्रृंखला द्वारा किया गया है।

$${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .$$

यदि यह अपरिभाषित या अनंत c के रूप में है, तो यह एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक के बराबर होता है। यहाँ (q)_n उभरता हुआ पोचममेर प्रतीक के रूप में है, जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।

$$(q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}$$

यदि a या b एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है तो यह श्रृंखला समाप्त हो जाती है, जहाँ एक बहुपद के लिए फलन कम हो जाता है।

$${}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.$$

|z| ≥ 1 के साथ जटिल तर्क z के लिए इसे जटिल तल में किसी भी पथ के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता रूप से जारी रखा जा सकता है जो शाखा बिंदु 1 और अनंत से बचती है।

जैसा c → −m, जहाँ m एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और ₂F₁(z) → ∞. के रूप में गामा फलन के मूल्य गामा Γ(c) गामा फलन से विभाजित होते है।

$$\lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)$$

₂F₁(z) सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला _pF_q,का सबसे सामान्य प्रकार है और इसे मात्र x F(z).के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है

अवकलन सूत्र

सर्वसमिका का उपयोग करना $(a)_{n+1}=a(a+1)_{n}$, यह दिखाया गया है

$${\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$$

और अधिक सामान्यतः ,

$${\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)$$

के रूप में होते है

विशेष स्थिति

कई सामान्य गणितीय फलनो को हाइपर ज्यामितीय फलन के संदर्भ में या इसके सीमित स्थितियों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। कुछ विशिष्ट प्रकार के उदाहरण हैं

$${\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a},\quad (\forall b)\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}$$

जब a=1 और b=c, श्रृंखला एक सामान्य ज्यामितीय श्रृंखला में कम हो जाती है, अर्थात

$${\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}$$

इसका नाम हाइपरज्यामितीय.है और यह फलन ज्यामितीय श्रृंखला के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। कंफ्लुएंट हाइपरज्यामितीय फलन या कुममर का फलन को हाइपर ज्यामितीय फलन की सीमा के रूप में दिया जा सकता है

$$M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)$$

इसलिए सभी फलन जो इसके अनिवार्य रूप से विशेष के रूप में होते है, जैसे बेसेल फलन, को हाइपरज्यामितीय फलनो की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इनमें से अधिकांश उपयोग किए जाने वाले गणितीय भौतिकी के फलनो के रूप में सम्मलित हैं।

लेजेंड्रे फलन एक दूसरे क्रम अवकल समीकरण का 3 नियमित अद्वितीय बिंदुओं के सोलूशन हैं, इसलिए इसे हाइपर ज्यामितीय फलन के संदर्भ में कई विधियों से व्यक्त किया जा सकता है।उदाहरण के लिए हैं,

$${}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)$$

जैकोबी बहुपद P^(α,β)
_n सहित कई लंबकोणीय बहुपदों और उनके विशेष स्थितियों के रूप में लीजेंड्रे बहुपद, चेबिशेव बहुपद, गेगेनबॉयर बहुपद के उपयोग से हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में लिखा जा सकता है।

$${}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)$$

अन्य बहुपद जो विशेष स्थितियों के रूप में उनमें सम्मलित होते हैं, वे क्रावचौक बहुपद, मीक्सनर बहुपद, मीक्सनर-पोलाकजेक बहुपद के रूप में होते है।

दिया गया है, $z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$,

$$\tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.$$

तब

$$\lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z$$

मॉड्यूलर लैम्ब्डा फलन के रूप में होते है, जहां

$$\theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}$$

.

जे-इन्वेरीअन्ट, एक मॉड्यूलर फलन $\lambda (\tau )$, के रूप में तर्कसंगत फलन है।

अपूर्ण बीटा फलन B_x(p,q) से संबंधित होता है।

$$B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)$$

पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन K और E द्वारा दिए गए हैं,

$${\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)\end{aligned}}$$

हाइपरज्यामितीय अवकलन समीकरण

हाइपर ज्यामितीय फलन यूलर के हाइपर ज्यामितीय अवकलन समीकरण का एक सोलूशन है

$$z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.$$

जिसके तीन नियमित अद्वितीय बिंदु 0,1 और ∞ हैं। इस समीकरण का तीन यादृच्छिक नियमित अद्वितीय बिंदुओं पर सामान्यीकरण रिमेंन के अवकल समीकरण द्वारा दिया जाता है और इस प्रकार तीन नियमित अद्वितीय बिन्दुओं वाले किसी भी द्वितीय क्रम के रैखिक अवकलन समीकरण को चर के परिवर्तन द्वारा हाइपरज्यामितीय अवकलन समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।

अद्वितीय बिंदुओं पर समाधान

हाइपरज्यामितीय अवकलन समीकरण के सोलूशन हाइपरज्यामितीय श्रृंखला ₂F₁(a,b;c;z) से निर्मित होते हैं। समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र सोलूशन हैं और इस प्रकार तीन अद्वितीय बिंदुओं 0, 1, ∞ में से प्रत्येक पर सामान्यतः x^s के रूप के दो विशेष सोलूशन होते हैं, x एक होलोमॉर्फिक फलन है, जहां s घातांकी समीकरण की दो रुट में से एक है और x एक स्थानीय चर के रूप में है जो नियमित विलक्षण बिंदु पर गायब हो जाता है। यह इस प्रकार 3 × 2 = 6 विशेष सोलूशन देता है।

बिंदु z = 0 के आसपास, दो स्वतंत्र सोलूशन के रूप में हैं, यदि c एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक नहीं है,

$$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)$$

और, इस शर्त पर कि c एक पूर्णांक नहीं है,

$$z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$$

यदि c गैर-सकारात्मक पूर्णांक 1−m है, तो इनमें से पहला सोलूशन उपस्थित नहीं है और इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).$ दूसरा सोलूशन उपस्थित नहीं है जब c 1 से अधिक पूर्णांक है और पहले सोलूशन के बराबर है या इसका प्रतिस्थापन जब c कोई अन्य पूर्णांक है। इसलिए जब c एक पूर्णांक है, तो दूसरे सोलूशन के लिए एक अधिक जटिल अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाना चाहिए और इस प्रकार पहले सोलूशन के बराबर ln(z) है और इसके साथ ही z की शक्तियों में एक और श्रृंखला जिसमें डिगामा फलन के रूप में सम्मलित है। विवरण के लिए ओल्डे डलहुइस (2010) को देखते है।

z = 1 के आसपास, यदि c − a − b एक पूर्णांक नहीं है, तो इसके दो स्वतंत्र सोलूशन होते हैं

$$\,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)$$

और

$$(1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)$$

लगभग z = ∞, यदि a − b एक पूर्णांक नहीं है, तो इसके दो स्वतंत्र सोलूशन होते हैं

$$z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)$$

और

$$z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).$$

दोबारा, जब गैर-अभिन्नता की शर्तें पूरी नहीं होती हैं, तो अन्य सोलूशन उपस्थित होते हैं जो अधिक जटिल रूप में होते हैं।

उपरोक्त 6 समाधानों में से कोई भी 3 रैखिक संबंध को संतुष्ट करता है क्योंकि समाधानों का स्थान 2-आयामी है, (⁶
₃) =20 उनके बीच रैखिक संबंध होता है और जिन्हें संयोजन सूत्र कहा जाता है।

कुममर के 24 सोलूशन

एन अद्वितीय बिंदुओं के साथ एक दूसरे क्रम के फ्यूचियन समीकरण में समरूपता का एक समूह है जो इसके सोलूशन पर कार्य करता है। प्रोजेक्टिवली, कॉक्सेटर समूह W(D_n) के लिए आइसोमोर्फिक क्रम 2ⁿ⁻¹n!.के रूप में होता है हाइपरज्यामितीय समीकरण स्थिति n = 3 है और इस प्रकार क्रमबद्ध 24 के समूह के साथ 4 बिंदुओं पर सममित समूह के लिए आइसोमोर्फिक है। जैसा कि पहले कुममर द्वारा वर्णित किया गया था। सममित समूह की उपस्थिति आकस्मिक होता है और इसमें 3 से अधिक अद्वितीय बिंदुओं के लिए कोई एनालॉग नहीं होता है और कभी-कभी समूह को 3 बिंदुओं पर सममित समूह के विस्तार के रूप में सोचना बेहतर होता है इस प्रकार 3 अद्वितीय बिंदुओं के क्रम परिवर्तन के रूप में कार्य करता है एक क्लेन 4-समूह जिसके तत्व समान संख्या में अद्वितीय बिंदुओं पर घातांक के अंतर के संकेतों को बदलते हैं। कुममर के 24 रूपांतरणों वाले समूह तीन परिवर्तनों द्वारा उत्पन्न किया जाता है जिसमें एक सोलूशन F(a,b;c;z) से लिया जाता है।

$${\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}$$

जो 4 अंक 1, 2, 3, 4 पर सममित समूह के साथ समरूपता के अनुसार पारदर्शिता (12), (23), और (34) के अनुरूप है। इनमें से पहला और तीसरा वास्तव में F(a,b;c;z) के रूप में होते है जबकि दूसरा अवकलन समीकरण का एक स्वतंत्र सोलूशन के रूप में है।)

कुममर के 24 = 6 × 4 परिवर्तनों को हाइपरज्यामितीय फलन में लागू करने से ऊपर दिए गए 6 = 2 × 3 सोलूशन 3 अद्वितीय बिंदुओं में से प्रत्येक पर 2 संभावित घातांकों में से प्रत्येक के अनुरूप होते हैं, जिनमें से प्रत्येक सर्वसमिका के कारण 4 बार प्रकट होता है

$${\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}$$

क्यू-फॉर्म

हाइपरज्यामितीय अवकलन समीकरण को क्यू-फॉर्म में लाया जा सकता है

$${\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0$$

प्रतिस्थापन करके u = wv और पहले-अवकलज शब्द को हटा देने पर एक पाता है

$$Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}$$

और v का सोलूशन दिया गया है

$${\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}$$

जहाँ

$$v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.$$

श्वार्जियन अवकलज हिले 1976, पीपी. 307-401 के संबंध में क्यू-फॉर्म महत्वपूर्ण हैं।

श्वार्ज त्रिकोण के मैप

Main article: श्वार्ज त्रिकोण फलन

श्वार्ज़ त्रिभुज के मैप या श्वार्ज़ s-फलन सोलूशन के जोड़े के अनुपात हैं।

$$s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}$$

जहाँ k बिन्दु 0, 1, ∞ अंकन में से एक है।

$$D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)$$

कभी-कभी प्रयोग भी किया जाता है। ध्यान दें कि कनेक्शन गुणांक त्रिभुज मैप पर मोबियस परिवर्तन के रूप में बन जाते हैं।

ध्यान दें कि प्रत्येक त्रिभुज मानचित्र नियमित अद्वितीय बिंदु z ∈ {0, 1, ∞} पर क्रमशः साथ में है,

$${\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}$$

और

$$s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).$$

λ, μ और ν वास्तविक के विशेष स्थिति में, 0 ≤ λ,μ,ν < 1 के साथ, फिर s-मैप के ऊपरी अर्ध-तल H के अनुरूप मैप के रूप में होते हैं, जो रीमैन क्षेत्र पर त्रिभुजों के अनुरूप होते हैं और जो गोलाकार चाप से घिरे होते हैं। यह मैपिंग श्वार्ज-क्रिस्टोफ़ेल मानचित्रण का वृत्ताकार चाप वाले त्रिभुजों के लिए एक सामान्यीकरण है। अद्वितीय बिंदु 0,1 और ∞ त्रिभुज के शीर्षों पर भेजे जाते हैं। त्रिभुज के कोण क्रमशः πλ, πμ और πν हैं।

इसके अतिरिक्त , λ=1/p, μ=1/q और ν=1/r पूर्णांकों p, q, 'के स्थिति में 'r, फिर त्रिभुज गोले जटिल तल या ऊपरी आधे तल को टाइल करता है, चाहे λ + μ + ν - 1 धनात्मक शून्य या ऋणात्मक रूप में हो और त्रिकोण समूह p, q, r〉 = Δ(p, q, r) के रूप में होते है ।

मोनोड्रोमी समूह

एक हाइपरज्यामितीय समीकरण का मोनोड्रोमी वर्णन करता है कि कैसे मौलिक सोलूशन बदल जाते हैं जब विश्लेषणात्मक रूप से जेड समतल में पथ के चारों ओर जारी रहता है जो उसी बिंदु पर लौटते हैं। जब पथ एक विलक्षणता के चारों ओर घूमता है ₂F₁, समापन बिंदु पर समाधानों का मान प्रारंभिक बिंदु से भिन्न होता है।

हाइपरज्यामितीय समीकरण के दो मौलिक सोलूशन एक रैखिक परिवर्तन द्वारा एक दूसरे से संबंधित होते हैं; इस प्रकार मोनोड्रोमी एक मैपिंग समूह समरूपतावाद के रूप में है

$$\pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )$$

जहां प₁ मौलिक समूह है। दूसरे शब्दों में, मोनोड्रोमी मौलिक समूह का दो आयामी रैखिक प्रतिनिधित्व है। समीकरण का मोनोड्रोमी समूह इस मानचित्र की छवि है, अर्थात मोनोड्रोमी मैट्रिसेस द्वारा उत्पन्न समूह के रूप में होते है और मौलिक समूह के मोनोड्रोमी प्रतिनिधित्व को अद्वितीय बिंदुओं पर घातांक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से गणना की जाती है। यदि (α, α'), (β, β') और (γ,γ') 0, 1 और ∞ पर चर घातांक हैं, तो z₀ लेने पर 0 के पास ले जाने पर 0 और 1 के आस-पास के लूप में मोनोड्रोमी मैट्रिसेस होते हैं,

$${\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$$

कहाँ

$$\mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.$$

यदि 1−a, c−a−b, a−b हर k, l, m के साथ गैर-पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं तो मोनोड्रोमी समूह परिमित है यदि और केवल $1/k+1/l+1/m>1$, श्वार्ज़ की सूची या कोवासिक कलन विधि को देखें।

अभिन्न सूत्र

यूलर प्रकार

यदि बी बीटा फलन है तो

$$\mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,$$

बशर्ते कि z एक ऐसी वास्तविक संख्या नहीं है, जैसे कि यह 1 से अधिक या उसके बराबर है। यह द्विपद प्रमेय का उपयोग करके (1 − zx)^−a का विस्तार करके सिद्ध किया जा सकता है और फिर 1 से छोटे निरपेक्ष मान के साथ z के लिए शब्द द्वारा शब्द को एकीकृत कर सकता है और कहीं और विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा जब z एक वास्तविक संख्या 1 से अधिक या उसके बराबर है, तो विश्लेषणात्मक निरंतरता का उपयोग किया जाना चाहिए क्योंकि (1 − zx) समाकल के समर्थन में किसी बिंदु पर शून्य है, इसलिए समाकलन का मान अपरिभाषित हो सकता है। यह 1748 में यूलर द्वारा दिया गया था और इसका तात्पर्य यूलर और फाफ के अतिज्यामितीय परिवर्तनों से है।

अन्य रिप्रजेंटेशन, अन्य प्रमुख शाखाओं के अनुरूप समान समाकलित दिए गए हैं, लेकिन विभिन्न क्रम में अद्वितीय को बंद करने के लिए एक बंद पोचममेर चक्र होने के लिए एकीकरण का मार्ग लेते हैं। इस तरह के रास्ते मोनोड्रोमी एक्शन के अनुरूप होते हैं।

बार्न्स अभिन्न

बार्न्स समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए बार्न्स ने अवशेष के सिद्धांत जटिल विश्लेषण का उपयोग किया हैं।

$${\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds$$

जैसा

$${\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),$$

जहां ध्रुवों 0, 1, 2... को ध्रुवों −a, −a − 1, ..., −b, −b − 1, ... से अलग करने के लिए समोच्च रेखा खींची गई है। यह तब तक मान्य है जब तक z एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या नहीं है।

जॉन ट्रांसफॉर्म

गॉस हाइपर ज्यामितीय फलन को जॉन ट्रांसफ़ॉर्म (गेलफ़ैंड, गिंडिकिन & एंड ग्रेव 2003, 2.1.2).के रूप में लिखा जा सकता है।

गॉस के सन्निहित संबंध

छह फलन के रूप में है

$${}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)$$

₂F₁(a, b; c; z).के सन्निकट कहलाते हैं। गॉस ने दिखाया ₂F₁(a, b; c; z) को a, b, c, और z. के संदर्भ में परिमेय गुणांक वाले इसके सन्निहित फलनो में से किन्हीं दो के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, यह देता है।

$${\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15$$

संबंध के दाहिने हाथ की किन्हीं दो रेखाओं की सर्वसमिका करके दिया गया है

$${\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}$$

जहाँ F = ₂F₁(a, b; c; z), F(a+) = ₂F₁(a + 1, b; c; z), और इसी तरह बार-बार इन संबंधों को लागू करने से एक रैखिक संबंध खत्म हो जाता है C(z) प्रपत्र के किसी भी तीन फलनो के बीच होता है

$${}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),$$

जहाँ m, n और l पूर्णांक हैं।

गॉस का निरंतर अंश

Main article: Gauss continued fraction

गॉस ने एक सतत अंश के रूप में दो हाइपरज्यामितीय फलनो के भागफल को लिखने के कई विधि देने के लिए सन्निहित संबंधों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए देखें,

$${\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}$$

परिवर्तन सूत्र

परिवर्तन सूत्र तर्क z के विभिन्न मूल्यों पर दो हाइपरज्यामितीय कार्यों से संबंधित हैं।

आंशिक रैखिक परिवर्तन

यूलर का परिवर्तन है

$${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).$$

यह दो फाफ रूपांतरणों को जोड़कर संदर्भित करता है।

$${\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}$$

जो बदले में यूलर के अभिन्न प्रतिनिधित्व का अनुसरण करता है। यूलर के पहले और दूसरे परिवर्तनों के विस्तार के लिए राठी & और पेरिस (2007) और राखा & और राठी (2011) को देखें।.इसे रैखिक संयोजन के रूप में भी लिखा जा सकता है

$${\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}$$

द्विघात परिवर्तन

यदि दो संख्याएँ 1 − c, c − 1, a − b, b − a, a + b − c, c − a − b बराबर हैं या उनमें से एक 1/2 है तो एक 'द्विघात परिवर्तन' होता है और इस प्रकार द्विघात समीकरण से संबंधित z के भिन्न मान से इसे जोड़ने वाला हाइपरज्यामितीय फलन हैं। पहला उदाहरण कुममर (1836) द्वारा दिया गया था और एक पूरी सूची गौरसैट (1881) द्वारा दी गई थी। एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में है

$${}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)$$

उच्च क्रम परिवर्तन

यदि 1−c, a−b, a+b−c संकेतों से भिन्न है या उनमें से दो 1/3 या −1/3 हैं, तो हाइपरज्यामितीय फलन का 'घन रूपांतरण होता है, जो इसे z के भिन्न मान से जोड़ता है यह एक घन समीकरण से संबंधित है। पहला उदाहरण गौरसैट (1881) ने दिया था। एक विशिष्ट उदाहरण है।

$${}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)$$

घात 4 और 6 के कुछ परिवर्तन भी हैं। जो अन्य घात के परिवर्तन केवल तभी उपस्थित होते हैं जब a, b, और c कुछ परिमेय संख्याएँ के रूप में होती है (विदुनस 2005). उदाहरण के लिए देखते है,

$${}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).$$

विशेष बिंदुओं पर मान z

विशेष बिंदुओं पर सारांश सूत्रों की सूची के लिए स्लेटर 1966, परिशिष्ट III देखें, जिनमें से अधिकांश बेली (1935) में भी दिखाई देते हैं। गेसल एंड स्टैंटन (1982) अधिक बिंदुओं पर और अधिक मूल्यांकन देता है। कोएफ़ (1995) दिखाता है कि इनमें से अधिकांश पहचानों को कंप्यूटर कलनविधि द्वारा कैसे सत्यापित किया जा सकता है।

Z = 1 पर विशेष मान

गॉस का योग प्रमेय, कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर, सर्वसमिका है

$${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)$$

जो यूलर के अभिन्न सूत्र z = 1 रखने पर अनुसरण करता है। इसमें एक विशेष स्थितियों के रूप में वैंडरमोंड सर्वसमिका के रूप में सम्मलित है।

विशेष स्थितियों के लिए जहां $a=-m$,

$${}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}$$

डगल का सूत्र इसे z = 1 पर द्विपक्षीय हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के लिए सामान्यीकृत करता है

कुममर प्रमेय (z = −1)

ऐसे कई स्थितियों हैं, जहां z = −1 पर z = −1 पर z = −1 को z = 1 में बदलने के लिए द्विघात परिवर्तन का उपयोग करके और फिर परिणाम का मूल्यांकन करने के लिए गॉस के प्रमेय का उपयोग करके हाइपरज्यामितीय फलनो का मूल्यांकन किया जा सकता है।. एक विशिष्ट उदाहरण कुममर का प्रमेय है, जिसका नाम अर्न्स्ट कुममर के नाम पर रखा गया है

$${}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}$$

जो कुममर के द्विघात रूपांतरणों से अनुसरण करता है

$${\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}$$

और पहली सर्वसमिका में z = −1 रखकर गॉस की प्रमेय। कुममर के योग के सामान्यीकरण के लिए लावोई, ग्रोनडिन & और राथी (1996).को देखें

Z = 1/2 पर मान

गॉस का दूसरा योग प्रमेय है

$$_{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.$$

बेली का प्रमेय है

$$_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.$$

गॉस के दूसरे संकलन प्रमेय और बेली के योग प्रमेय के सामान्यीकरण के लिए लावोई, ग्रोनडिन & और राथी (1996).को देखें

अन्य बिंदु

मापदंडों के विशेष तर्कसंगत मूल्यों पर एक बीजगणितीय संख्या के रूप में हाइपर ज्यामितीय फलन देने वाले कई अन्य सूत्र हैं, जिनमें से कुछ में सूचीबद्ध हैं गेसल & स्टैंटन (1982) और कोएफ़ (1995). द्वारा कुछ विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं

$${}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},$$

जिसे इस रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है

$$T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)$$

जब भी −π < x < π और T (सामान्यीकृत) चेबीशेव बहुपद के रूप में है।

यह भी देखें

• अपेल श्रृंखला, हाइपरज्यामितीय श्रृंखला का 2-चर सामान्यीकरण रूप में होता है
• मौलिक हाइपर ज्यामितीय श्रृंखला जहां शब्दों का अनुपात सूचकांक का एक आवधिक फलन के रूप में होता है
• द्विपक्षीय हाइपरज्यामितीय श्रृंखला _pH_p सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के समान हैं, लेकिन सभी पूर्णांकों पर अभिव्यक्त हैं
• द्विपद श्रृंखला ₁F₀ के रूप में है
• कंफ्लुएंट अतिज्यामितीय श्रृंखला ₁F₁(a;c;z) के रूप में है
• दीर्घवृत्तीय हाइपर ज्यामितीय श्रृंखला जहां शब्दों का अनुपात सूचकांक का एक दीर्घवृत्तीय फलन है
• यूलर हाइपर ज्यामितीय समाकलन, का रिप्रेजेंटेशन ₂F₁ है
• फॉक्स एच-फलन , मीजर जी-फंक्शन का विस्तार होता है
• फॉक्स-राइट फलन, सामान्यीकृत हाइपर ज्यामितीय फलन का एक सामान्यीकरण रूप होता है
• हाइपरज्यामितीय समीकरण का फ्रोबेनियस समाधान के रूप में है
• आई. एम. गेलफैंड द्वारा प्रस्तुत किया गया है और सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय फलन के रूप में है।
• सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला _pF_q जहां शब्दों का अनुपात सूचकांक का तर्कसंगत फलन है
• ज्यामितीय श्रृंखला, जहां शब्दों का अनुपात स्थिर है
• ह्यून फलन, , चार नियमित अद्वितीय बिंदुओं के साथ दूसरे क्रम के ओडीइ का समाधान के रूप में होता है
• हॉर्न फलन , दो चर में 34 विशिष्ट कन्वर्जेन्स हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के रूप में होती है
• हम्बर्ट श्रृंखला 2 चर के 7 हाइपरज्यामितीय फलन के रूप में है।
• हाइपरज्यामितीय वितरण, एक असतत संभाव्यता वितरण के रूप में है।
• एक आव्यूह तर्क का हाइपर ज्यामितीय फलन हाइपर ज्यामितीय श्रृंखला का बहुभिन्न रूपी सामान्यीकरण होता है
• काम्पे डे फेरिएट फलन दो चरों की हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के रूप में होती है
• लॉरिसेला हाइपरज्यामितीय श्रृंखला, तीन चरों की अतिज्यामितीय श्रृंखला होती है
• मैक्रोबर्ट ई-फलन, सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला का एक विस्तार _pF_q स्थितियों में p>q+1 के रूप में होती है।
• मेजर जी-फलन, सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला का एक विस्तार _pF_q स्थितियों में p>q+1.के रूप में होती है।
• मॉड्यूलर हाइपरज्यामितीय श्रृंखला, दीर्घवृत्तीय अतिज्यामितीय श्रृंखला का एक समाप्ति रूप होता है
• थीटा हाइपरज्यामितीय श्रृंखला, एक विशेष प्रकार की दीर्घवृत्तीय अतिज्यामितीय श्रृंखला के रूप में होता है।
• विरासोरो कन्फॉर्मल ब्लॉक, द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में विशेष फलन, जो कुछ स्थितियों में हाइपर ज्यामितीय फलनो को कम करते हैं।

संदर्भ

• Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR 1688958.
• Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series (PDF). Cambridge University Press. Archived from the original (PDF) on 2017-06-24. Retrieved 2016-07-23.
• Beukers, Frits (2002), Gauss' hypergeometric function. (lecture notes reviewing basics, as well as triangle maps and monodromy)
• Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "हाइपरज्यामेट्रिक फ़ंक्शन", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions (PDF). Vol. I. New York – Toronto – London: McGraw–Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR 0058756.
• Gasper, George & Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Gauss, Carl Friedrich (1813). "Disquisitiones generales circa seriem infinitam   $1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}$". Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (in Latina). Göttingen. 2.
• Gelfand, I. M.; Gindikin, S.G. & Graev, M.I. (2003) [2000]. Selected topics in integral geometry. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 220. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2932-5. MR 2000133.
• Gessel, Ira & Stanton, Dennis (1982). "Strange evaluations of hypergeometric series". SIAM Journal on Mathematical Analysis. 13 (2): 295–308. doi:10.1137/0513021. ISSN 0036-1410. MR 0647127.
• Goursat, Édouard (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (in français). 10: 3–142. doi:10.24033/asens.207. Retrieved 2008-10-16.
• Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
• Hille, Einar (1976). Ordinary differential equations in the complex domain. Dover. ISBN 0-486-69620-0.
• Ince, E. L. (1944). Ordinary Differential Equations. Dover Publications.
• Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in Deutsch). Vol. 39. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1. MR 0668700.
• Koepf, Wolfram (1995). "Algorithms for m-fold hypergeometric summation". Journal of Symbolic Computation. 20 (4): 399–417. doi:10.1006/jsco.1995.1056. ISSN 0747-7171. MR 1384455.
• Kummer, Ernst Eduard (1836). "Über die hypergeometrische Reihe $1+{\tfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+\cdots$". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch). 15: 39–83, 127–172. ISSN 0075-4102.
• Lavoie, J. L.; Grondin, F.; Rathie, A.K. (1996). "Generalizations of Whipple's theorem on the sum of a ₃F₂". J. Comput. Appl. Math. 72 (2): 293–300. doi:10.1016/0377-0427(95)00279-0.
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (2007). "Section 6.13. Hypergeometric Functions". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). "Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem". Bull. Korean Math. Soc. 48 (1): 151–156. doi:10.4134/BKMS.2011.48.1.151.
• Rathie, Arjun K.; Paris, R.B. (2007). "An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series". Far East J. Math. Sci. 27 (1): 43–48.
• Riemann, Bernhard (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen". Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (in Deutsch). Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3–22. (a reprint of this paper can be found in "All publications of Riemann" (PDF).)
• Slater, Lucy Joan (1960). Confluent hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. MR 0107026.
• Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
• Vidunas, Raimundas (2005). "Transformations of some Gauss hypergeometric functions". Journal of Symbolic Computation. 178 (1–2): 473–487. arXiv:math/0310436. Bibcode:2005JCoAM.178..473V. doi:10.1016/j.cam.2004.09.053. S2CID 119596800.
• Wall, H.S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company, Inc.
• Whittaker, E.T. & Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
• Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. MR 1453580.

बाहरी संबंध

• "Hypergeometric function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions (University of Oxford, MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
• Weisstein, Eric W. "Hypergeometric Function". MathWorld.