संतुलन समीकरण: Difference between revisions

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{{about|संभाव्यता सिद्धांत में संतुलन समीकरण|रसायन विज्ञान में संतुलित समीकरणों की अवधारणा|रासायनिक समीकरण}}
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संभाव्यता सिद्धांत में, '''संतुलन [[समीकरण]]''' एक समीकरण है जो स्टेट्स या स्टेट्स के समूह के अंदर और बाहर [[मार्कोव श्रृंखला]] से जुड़े संभाव्यता प्रवाह का वर्णन करता है।<ref name="harr">{{Cite book | last = Harrison | first = Peter G. | author-link = Peter G. Harrison | last2 = Patel | first2 = Naresh M. | title = संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग| publisher = Addison-Wesley | year = 1992 | isbn = 0-201-54419-9 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/performancemodel0000harr }}</ref>
संभाव्यता सिद्धांत में, '''संतुलन [[समीकरण]]''' एक समीकरण है जो स्टेट्स या स्टेट्स के समुच्चय के अंदर और बाहर [[मार्कोव श्रृंखला]] से जुड़े संभाव्यता प्रवाह का वर्णन करता है।<ref name="harr">{{Cite book | last = Harrison | first = Peter G. | author-link = Peter G. Harrison | last2 = Patel | first2 = Naresh M. | title = संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग| publisher = Addison-Wesley | year = 1992 | isbn = 0-201-54419-9 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/performancemodel0000harr }}</ref>




== वैश्विक संतुलन ==
== वैश्विक संतुलन ==


'''वैश्विक संतुलन समीकरण''' (पूर्ण संतुलन समीकरण के रूप में भी जाना जाता है<ref name="kelly">{{cite book |title=प्रतिवर्तीता और स्टोकेस्टिक नेटवर्क|last=Kelly |first=F. P. |author-link=Frank Kelly (mathematician) |year=1979 |publisher=J. Wiley |isbn=0-471-27601-4 |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~frank/BOOKS/kelly_book.html }}</ref>) समीकरणों का एक समूह है जो मार्कोव श्रृंखला के [[संतुलन वितरण]] (या किसी भी स्थिर वितरण) को चिह्नित करता है, जब ऐसा वितरण उपस्थित होता है।
'''वैश्विक संतुलन समीकरण''' ('''पूर्ण संतुलन समीकरण''' के रूप में भी जाना जाता है<ref name="kelly">{{cite book |title=प्रतिवर्तीता और स्टोकेस्टिक नेटवर्क|last=Kelly |first=F. P. |author-link=Frank Kelly (mathematician) |year=1979 |publisher=J. Wiley |isbn=0-471-27601-4 |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~frank/BOOKS/kelly_book.html }}</ref>) समीकरणों का एक समुच्चय है जो मार्कोव श्रृंखला के [[संतुलन वितरण]] (या किसी भी स्थिर वितरण) को चिह्नित करता है, जब ऐसा वितरण उपस्थित होता है।


स्टेट स्पेस <math>\mathcal{S}</math> के साथ निरंतर समय मार्कोव श्रृंखला के लिए, स्टेट <math>i</math> से <math>j</math> तक संक्रमण दर <math>q_{ij}</math> द्वारा दी गई है और संतुलन वितरण <math>\pi</math> द्वारा दिया गया है, वैश्विक संतुलन समीकरण<ref>{{cite conference | first = K.M. | last = Chandy | author-link = K. Mani Chandy | title = सामान्य कतारबद्ध नेटवर्क के लिए विश्लेषण और समाधान| book-title = Proc. Sixth Annual Princeton Conference on Information Sciences and Systems, Princeton U. | pages = 224&ndash;228 | date = March 1972 | location = Princeton, N.J. }}</ref> द्वारा दिए गए हैं
स्टेट स्पेस <math>\mathcal{S}</math> के साथ निरंतर समय मार्कोव श्रृंखला के लिए, स्टेट <math>i</math> से <math>j</math> तक संक्रमण दर <math>q_{ij}</math> द्वारा दी गई है और संतुलन वितरण <math>\pi</math> द्वारा दिया गया है, वैश्विक संतुलन समीकरण<ref>{{cite conference | first = K.M. | last = Chandy | author-link = K. Mani Chandy | title = सामान्य कतारबद्ध नेटवर्क के लिए विश्लेषण और समाधान| book-title = Proc. Sixth Annual Princeton Conference on Information Sciences and Systems, Princeton U. | pages = 224&ndash;228 | date = March 1972 | location = Princeton, N.J. }}</ref> द्वारा दिए गए हैं
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{{See also|विस्तृत संतुलन}}
{{See also|विस्तृत संतुलन}}


[[संक्रमण दर मैट्रिक्स]] के साथ निरंतर समय के लिए मार्कोव श्रृंखला (CTMC)। <math>Q</math>, अगर <math>\pi_i</math> ऐसे पाया जा सकता है कि प्रत्येक जोड़ी स्टेट्स के लिए <math>i</math> और <math>j</math>
निरंतर समय के लिए [[संक्रमण दर मैट्रिक्स]] <math>Q</math> के साथ मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) यदि <math>\pi_i</math> इस प्रकार पाया जा सकता है कि स्टेट्स की प्रत्येक जोड़ी के लिए <math>i</math> और <math>j</math>
::<math>\pi_i q_{ij} = \pi_j q_{ji}</math>
::<math>\pi_i q_{ij} = \pi_j q_{ji}</math>
रखता है, फिर योग करके <math>j</math>, वैश्विक संतुलन समीकरण संतुष्ट हैं और <math>\pi</math> प्रक्रिया का स्थिर वितरण है।<ref name="boch">{{Cite book | last = Bocharov| first = Pavel Petrovich| last2 = D'Apice| first2 = C.| last3 = Pechinkin| first3 = A.V.| last4 = Salerno| first4 = S.| title = क्यूइंग सिद्धांत| publisher = Walter de Gruyter| year = 2004| pages = 37| isbn = 90-6764-398-X}}</ref> यदि इस तरह का समाधान पाया जा सकता है तो परिणामी समीकरण आमतौर पर वैश्विक संतुलन समीकरणों को सीधे हल करने की तुलना में बहुत आसान होते हैं।<ref name="grass" />
धारण करता है, तो <math>j</math> पर योग करके, वैश्विक संतुलन समीकरण संतुष्ट होते हैं और <math>\pi</math> प्रक्रिया का स्थिर वितरण है।<ref name="boch">{{Cite book | last = Bocharov| first = Pavel Petrovich| last2 = D'Apice| first2 = C.| last3 = Pechinkin| first3 = A.V.| last4 = Salerno| first4 = S.| title = क्यूइंग सिद्धांत| publisher = Walter de Gruyter| year = 2004| pages = 37| isbn = 90-6764-398-X}}</ref> यदि इस प्रकार का समाधान पाया जा सकता है तो परिणामी समीकरण सामान्यतः वैश्विक संतुलन समीकरणों का सीधे समाधान करने की तुलना में बहुत आसान होते हैं।<ref name="grass" />


CTMC उत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि स्टेट्स की प्रत्येक जोड़ी के लिए विस्तृत संतुलन शर्तें संतुष्ट हैं <math>i</math> और <math>j</math>.
सीटीएमसी उत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि स्टेट्स की प्रत्येक जोड़ी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए विस्तृत संतुलन शर्तें संतुष्ट हैं .


संक्रमण मैट्रिक्स के साथ एक [[असतत समय मार्कोव श्रृंखला]] (DTMC)। <math>P</math> और संतुलन वितरण <math>\pi</math> यदि सभी जोड़ियों के लिए विस्तृत संतुलन में कहा जाता है <math>i</math> और <math>j</math>,<ref>{{cite book |title=मार्कोव जंजीरों|last=Norris |first=James R. |author-link=James R. Norris |year=1998 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-63396-6 |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~james/Markov/ |accessdate=2010-09-11}}</ref>
संक्रमण मैट्रिक्स <math>P</math> और संतुलन वितरण <math>\pi</math> के साथ एक [[असतत समय मार्कोव श्रृंखला]] (डीटीएमसी) को विस्तृत संतुलन में कहा जाता है यदि सभी जोड़े <math>i</math> और <math>j</math> के लिए,<ref>{{cite book |title=मार्कोव जंजीरों|last=Norris |first=James R. |author-link=James R. Norris |year=1998 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-63396-6 |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~james/Markov/ |accessdate=2010-09-11}}</ref>
::<math>\pi_i p_{ij} = \pi_j p_{ji}.</math>
::<math>\pi_i p_{ij} = \pi_j p_{ji}.</math>
जब एक समाधान पाया जा सकता है, जैसा कि सीटीएमसी के मामले में होता है, तो गणना आमतौर पर वैश्विक संतुलन समीकरणों को सीधे हल करने की तुलना में बहुत तेज होती है।
जब एक समाधान पाया जा सकता है, जैसा कि सीटीएमसी के स्थिति में होता है, तो गणना सामान्यतः वैश्विक संतुलन समीकरणों का सीधे समाधान करने की तुलना में बहुत तेज होती है।


== स्थानीय संतुलन ==
== स्थानीय संतुलन ==


कुछ स्थितियों में, वैश्विक संतुलन समीकरणों के दोनों ओर की शर्तें रद्द हो जाती हैं। तब वैश्विक संतुलन समीकरणों को स्थानीय संतुलन समीकरणों (आंशिक संतुलन समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) का एक समूह देने के लिए विभाजित किया जा सकता है।<ref name="kelly" />स्वतंत्र संतुलन समीकरण<ref>{{Cite journal | last = Baskett | first = F. | last2 = Chandy | first2 = K. Mani | author2-link = K. Mani Chandy | last3 = Muntz | first3 = R.R. | last4 = Palacios | first4 = F.G. | title = ग्राहकों के विभिन्न वर्गों के साथ कतारों का खुला, बंद और मिश्रित नेटवर्क| journal = Journal of the ACM | volume = 22 | pages = 248&ndash;260 | year = 1975 | issue = 2 | doi = 10.1145/321879.321887| doi-access = free }}</ref> या व्यक्तिगत संतुलन समीकरण<ref name="whittle">{{Cite journal | last1 = Whittle | first1 = P. | author-link = Peter Whittle (mathematician)| title = एक खुली प्रवासन प्रक्रिया के लिए संतुलन वितरण| journal = Journal of Applied Probability | volume = 5 | issue = 3 | pages = 567–571 | doi = 10.2307/3211921 | jstor = 3211921| year = 1968 }}</ref>).<ref name="harr" />इन संतुलन समीकरणों पर सर्वप्रथम पीटर व्हिटल (गणितज्ञ) ने विचार किया था।<ref name="whittle" /><ref>{{Cite journal | last1 = Chao | first1 = X. | last2 = Miyazawa | first2 = M. | title = On Quasi-Reversibility and Local Balance: An Alternative Derivation of the Product-Form Results | journal = Operations Research | volume = 46 | issue = 6 | pages = 927–933 | doi = 10.1287/opre.46.6.927 | jstor = 222945| year = 1998 }}</ref> परिणामी समीकरण कहीं विस्तृत संतुलन और वैश्विक संतुलन समीकरणों के बीच हैं। कोई भी समाधान <math>\pi</math> स्थानीय संतुलन समीकरणों के लिए हमेशा वैश्विक संतुलन समीकरणों का समाधान होता है (हम संबंधित स्थानीय संतुलन समीकरणों को जोड़ कर वैश्विक संतुलन समीकरणों को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं), लेकिन बातचीत हमेशा सत्य नहीं होती है।<ref name="kelly" />अक्सर, स्थानीय संतुलन समीकरणों का निर्माण कुछ शर्तों के लिए वैश्विक संतुलन समीकरणों में बाहरी योगों को हटाने के बराबर होता है।<ref name="harr" />
कुछ स्थितियों में, वैश्विक संतुलन समीकरणों के दोनों ओर की शर्तें निरस्त हो जाती हैं। तब वैश्विक संतुलन समीकरणों को स्थानीय संतुलन समीकरणों (आंशिक संतुलन समीकरण<ref name="kelly" /> स्वतंत्र संतुलन समीकरण<ref>{{Cite journal | last = Baskett | first = F. | last2 = Chandy | first2 = K. Mani | author2-link = K. Mani Chandy | last3 = Muntz | first3 = R.R. | last4 = Palacios | first4 = F.G. | title = ग्राहकों के विभिन्न वर्गों के साथ कतारों का खुला, बंद और मिश्रित नेटवर्क| journal = Journal of the ACM | volume = 22 | pages = 248&ndash;260 | year = 1975 | issue = 2 | doi = 10.1145/321879.321887| doi-access = free }}</ref> या व्यक्तिगत संतुलन समीकरण<ref name="whittle">{{Cite journal | last1 = Whittle | first1 = P. | author-link = Peter Whittle (mathematician)| title = एक खुली प्रवासन प्रक्रिया के लिए संतुलन वितरण| journal = Journal of Applied Probability | volume = 5 | issue = 3 | pages = 567–571 | doi = 10.2307/3211921 | jstor = 3211921| year = 1968 }}</ref> के रूप में भी जाना जाता है) का एक समुच्चय देने के लिए विभाजित किया जा सकता है।<ref name="harr" /> इन संतुलन समीकरणों पर सर्वप्रथम पीटर व्हिटल (गणितज्ञ) ने विचार किया था।<ref name="whittle" /><ref>{{Cite journal | last1 = Chao | first1 = X. | last2 = Miyazawa | first2 = M. | title = On Quasi-Reversibility and Local Balance: An Alternative Derivation of the Product-Form Results | journal = Operations Research | volume = 46 | issue = 6 | pages = 927–933 | doi = 10.1287/opre.46.6.927 | jstor = 222945| year = 1998 }}</ref> परिणामी समीकरण कहीं विस्तृत संतुलन और वैश्विक संतुलन समीकरणों के बीच हैं। कोई भी समाधान <math>\pi</math> स्थानीय संतुलन समीकरणों के लिए सदैव वैश्विक संतुलन समीकरणों (हम संबंधित स्थानीय संतुलन समीकरणों को जोड़ कर वैश्विक संतुलन समीकरणों को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं) का समाधान होता है, किन्तु व्युत्क्रम सदैव सत्य नहीं होती है।<ref name="kelly" /> अधिकांश, स्थानीय संतुलन समीकरणों का निर्माण कुछ शर्तों के लिए वैश्विक संतुलन समीकरणों में बाहरी योगों को हटाने के बराबर होता है।<ref name="harr" />


1980 के दशक के दौरान यह सोचा गया था कि [[उत्पाद-रूप समाधान]] | उत्पाद-रूप संतुलन वितरण के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है,<ref>{{Cite journal | first = Richard J. | last = Boucherie | first2 = N.M. | last2 = van Dijk | title = सकारात्मक और नकारात्मक ग्राहकों के साथ कतारबद्ध नेटवर्क में स्थानीय संतुलन| journal = Annals of Operations Research | year = 1994 | pages = 463&ndash;492 | volume = 48 | issue = 5 | doi=10.1007/bf02033315| url = https://www.researchgate.net/publication/225825899_Local_balance_in_queueing_networks_with_positive_and_negative_customers| hdl = 1871/12327 | hdl-access = free }}</ref><ref>{{Cite journal | first = K. Mani | last = Chandy | author-link = K. Mani Chandy | first2 = J.H., Jr | last2 = Howard | first3 = D.F. | last3 = Towsley | title = कतारबद्ध नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र और स्थानीय संतुलन| url = http://portal.acm.org/citation.cfm?id=322009 | journal = Journal of the ACM | year = 1977 | pages = 250&ndash;263 | volume = 24 | issue = 2 | doi=10.1145/322003.322009| doi-access = free }}</ref> लेकिन [[Erol Gelenbe]] के [[जी नेटवर्क]] मॉडल ने दिखाया कि ऐसा नहीं है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.2307/3214781 | title = ट्रिगर ग्राहक आंदोलन के साथ जी-नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | date = Sep 1993 | pages = 742–748 | jstor = 3214781}}</ref>
1980 के दशक के समय यह सोचा गया था कि [[उत्पाद-रूप समाधान|उत्पाद-रूप संतुलन]] वितरण के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है,<ref>{{Cite journal | first = Richard J. | last = Boucherie | first2 = N.M. | last2 = van Dijk | title = सकारात्मक और नकारात्मक ग्राहकों के साथ कतारबद्ध नेटवर्क में स्थानीय संतुलन| journal = Annals of Operations Research | year = 1994 | pages = 463&ndash;492 | volume = 48 | issue = 5 | doi=10.1007/bf02033315| url = https://www.researchgate.net/publication/225825899_Local_balance_in_queueing_networks_with_positive_and_negative_customers| hdl = 1871/12327 | hdl-access = free }}</ref><ref>{{Cite journal | first = K. Mani | last = Chandy | author-link = K. Mani Chandy | first2 = J.H., Jr | last2 = Howard | first3 = D.F. | last3 = Towsley | title = कतारबद्ध नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र और स्थानीय संतुलन| url = http://portal.acm.org/citation.cfm?id=322009 | journal = Journal of the ACM | year = 1977 | pages = 250&ndash;263 | volume = 24 | issue = 2 | doi=10.1145/322003.322009| doi-access = free }}</ref> किन्तु [[Erol Gelenbe|एरोल गेलेनबे]] के [[जी नेटवर्क]] मॉडल ने दिखाया कि ऐसा नहीं है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.2307/3214781 | title = ट्रिगर ग्राहक आंदोलन के साथ जी-नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | date = Sep 1993 | pages = 742–748 | jstor = 3214781}}</ref>




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Latest revision as of 10:49, 30 May 2023

This article is about संभाव्यता सिद्धांत में संतुलन समीकरण. For रसायन विज्ञान में संतुलित समीकरणों की अवधारणा, see रासायनिक समीकरण.

संभाव्यता सिद्धांत में, संतुलन समीकरण एक समीकरण है जो स्टेट्स या स्टेट्स के समुच्चय के अंदर और बाहर मार्कोव श्रृंखला से जुड़े संभाव्यता प्रवाह का वर्णन करता है।[1]


वैश्विक संतुलन

वैश्विक संतुलन समीकरण (पूर्ण संतुलन समीकरण के रूप में भी जाना जाता है[2]) समीकरणों का एक समुच्चय है जो मार्कोव श्रृंखला के संतुलन वितरण (या किसी भी स्थिर वितरण) को चिह्नित करता है, जब ऐसा वितरण उपस्थित होता है।

स्टेट स्पेस के साथ निरंतर समय मार्कोव श्रृंखला के लिए, स्टेट से तक संक्रमण दर द्वारा दी गई है और संतुलन वितरण द्वारा दिया गया है, वैश्विक संतुलन समीकरण[3] द्वारा दिए गए हैं

या समकक्ष

सभी के लिए। यहां स्टेट से स्टेट तक संभाव्यता प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। तो बायां हाथ स्टेट के बाहर से कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है i के अतिरिक्त अन्य स्टेट्स में, जबकि दाहिना हाथ सभी स्टेट्स स्टेट में के कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः अधिकांश क्यूइंग मॉडल के लिए समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान करने के लिए यह कम्प्यूटेशनल रूप से अट्रैक्टिव है।[4]


विस्तृत संतुलन

See also: विस्तृत संतुलन

निरंतर समय के लिए संक्रमण दर मैट्रिक्स के साथ मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) यदि इस प्रकार पाया जा सकता है कि स्टेट्स की प्रत्येक जोड़ी के लिए और

धारण करता है, तो पर योग करके, वैश्विक संतुलन समीकरण संतुष्ट होते हैं और प्रक्रिया का स्थिर वितरण है।[5] यदि इस प्रकार का समाधान पाया जा सकता है तो परिणामी समीकरण सामान्यतः वैश्विक संतुलन समीकरणों का सीधे समाधान करने की तुलना में बहुत आसान होते हैं।[4]

सीटीएमसी उत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि स्टेट्स की प्रत्येक जोड़ी और के लिए विस्तृत संतुलन शर्तें संतुष्ट हैं .

संक्रमण मैट्रिक्स और संतुलन वितरण के साथ एक असतत समय मार्कोव श्रृंखला (डीटीएमसी) को विस्तृत संतुलन में कहा जाता है यदि सभी जोड़े और के लिए,[6]

जब एक समाधान पाया जा सकता है, जैसा कि सीटीएमसी के स्थिति में होता है, तो गणना सामान्यतः वैश्विक संतुलन समीकरणों का सीधे समाधान करने की तुलना में बहुत तेज होती है।

स्थानीय संतुलन

कुछ स्थितियों में, वैश्विक संतुलन समीकरणों के दोनों ओर की शर्तें निरस्त हो जाती हैं। तब वैश्विक संतुलन समीकरणों को स्थानीय संतुलन समीकरणों (आंशिक संतुलन समीकरण[2] स्वतंत्र संतुलन समीकरण[7] या व्यक्तिगत संतुलन समीकरण[8] के रूप में भी जाना जाता है) का एक समुच्चय देने के लिए विभाजित किया जा सकता है।[1] इन संतुलन समीकरणों पर सर्वप्रथम पीटर व्हिटल (गणितज्ञ) ने विचार किया था।[8][9] परिणामी समीकरण कहीं विस्तृत संतुलन और वैश्विक संतुलन समीकरणों के बीच हैं। कोई भी समाधान स्थानीय संतुलन समीकरणों के लिए सदैव वैश्विक संतुलन समीकरणों (हम संबंधित स्थानीय संतुलन समीकरणों को जोड़ कर वैश्विक संतुलन समीकरणों को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं) का समाधान होता है, किन्तु व्युत्क्रम सदैव सत्य नहीं होती है।[2] अधिकांश, स्थानीय संतुलन समीकरणों का निर्माण कुछ शर्तों के लिए वैश्विक संतुलन समीकरणों में बाहरी योगों को हटाने के बराबर होता है।[1]

1980 के दशक के समय यह सोचा गया था कि उत्पाद-रूप संतुलन वितरण के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है,[10][11] किन्तु एरोल गेलेनबे के जी नेटवर्क मॉडल ने दिखाया कि ऐसा नहीं है।[12]


टिप्पणियाँ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Harrison, Peter G.; Patel, Naresh M. (1992). संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग. Addison-Wesley. ISBN 0-201-54419-9.
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 Kelly, F. P. (1979). प्रतिवर्तीता और स्टोकेस्टिक नेटवर्क. J. Wiley. ISBN 0-471-27601-4.
  3. ↑ Chandy, K.M. (March 1972). "सामान्य कतारबद्ध नेटवर्क के लिए विश्लेषण और समाधान". Proc. Sixth Annual Princeton Conference on Information Sciences and Systems, Princeton U. Princeton, N.J. pp. 224–228.
  4. ↑ 4.0 4.1 Grassman, Winfried K. (2000). कम्प्यूटेशनल संभावना. Springer. ISBN 0-7923-8617-5.
  5. ↑ Bocharov, Pavel Petrovich; D'Apice, C.; Pechinkin, A.V.; Salerno, S. (2004). क्यूइंग सिद्धांत. Walter de Gruyter. p. 37. ISBN 90-6764-398-X.
  6. ↑ Norris, James R. (1998). मार्कोव जंजीरों. Cambridge University Press. ISBN 0-521-63396-6. Retrieved 2010-09-11.
  7. ↑ Baskett, F.; Chandy, K. Mani; Muntz, R.R.; Palacios, F.G. (1975). "ग्राहकों के विभिन्न वर्गों के साथ कतारों का खुला, बंद और मिश्रित नेटवर्क". Journal of the ACM. 22 (2): 248–260. doi:10.1145/321879.321887.
  8. ↑ 8.0 8.1 Whittle, P. (1968). "एक खुली प्रवासन प्रक्रिया के लिए संतुलन वितरण". Journal of Applied Probability. 5 (3): 567–571. doi:10.2307/3211921. JSTOR 3211921.
  9. ↑ Chao, X.; Miyazawa, M. (1998). "On Quasi-Reversibility and Local Balance: An Alternative Derivation of the Product-Form Results". Operations Research. 46 (6): 927–933. doi:10.1287/opre.46.6.927. JSTOR 222945.
  10. ↑ Boucherie, Richard J.; van Dijk, N.M. (1994). "सकारात्मक और नकारात्मक ग्राहकों के साथ कतारबद्ध नेटवर्क में स्थानीय संतुलन". Annals of Operations Research. 48 (5): 463–492. doi:10.1007/bf02033315. hdl:1871/12327.
  11. ↑ Chandy, K. Mani; Howard, J.H., Jr; Towsley, D.F. (1977). "कतारबद्ध नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र और स्थानीय संतुलन". Journal of the ACM. 24 (2): 250–263. doi:10.1145/322003.322009.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  12. ↑ Gelenbe, Erol (Sep 1993). "ट्रिगर ग्राहक आंदोलन के साथ जी-नेटवर्क". Journal of Applied Probability. 30 (3): 742–748. doi:10.2307/3214781. JSTOR 3214781. 
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