विकासशील सतह: Difference between revisions

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[[Image:Kreiszylinder.svg|thumb|बेलन एक विकासशील सतह का एक उदाहरण है।]]गणित में, एक विकासशील सतह (या टॉर्स: पुरातन) एक चिकनी [[सतह (गणित)]] है जिसमें शून्य गाऊसी वक्रता होती है। अर्थात्, यह एक ऐसी सतह है जो [[विरूपण]] के बिना समतल (गणित) पर समतल (गणित) हो सकती है (अर्थात इसे बिना खिंचाव या संपीड़न के मोड़ा जा सकता है)। इसके विपरीत, यह एक सतह है जिसे [[परिवर्तन (गणित)]] द्वारा एक विमान (यानी फोल्डिंग, बेंडिंग, रोलिंग, कटिंग और/या ग्लूइंग) द्वारा बनाया जा सकता है। [[तीन आयाम]]ों में सभी विकास योग्य सतहें [[शासित सतह]]ें हैं (लेकिन इसके विपरीत नहीं)। चार आयामी अंतरिक्ष में विकास योग्य सतहें हैं {{tmath|\mathbb{R}^4}} जिन पर शासन नहीं है।<ref>{{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | last2=Cohn-Vossen | first2=Stephan | author2-link=Stephan Cohn-Vossen | title=Geometry and the Imagination | publisher=Chelsea | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-8284-1087-8 | year=1952 | pages=341–342}}</ref>
[[Image:Kreiszylinder.svg|thumb|बेलन एक विकसित करने योग्य सतह का एक उदाहरण है।]]गणित में, '''विकसित करने योग्य सतह''' (या टॉर्स: अप्रचलित) शून्य गाऊसी वक्रता के साथ एक समतल सतह है। यह एक ऐसी सतह है जिसे विरूपण के बिना एक तल पर समतल किया जा सकता है (अर्थात इसे बिना तनाव या संपीड़न के बंकित किया जा सकता है)। इसके विपरीत, यह एक सतह है जिसे एक तल (अर्थात "वलन", "बंकन", "शिरोघूर्णन", "कर्तन" और/या "सरेस") को बदलकर बनाया जा सकता है। तीन आयामों में सभी विकास योग्य सतहें (लेकिन इसके विपरीत नहीं) रेखित सतहें हैं। चार आयामी समष्टि {{tmath|\mathbb{R}^4}} में विकसित करने योग्य सतहें हैं जिन्हे रेखित नहीं किया जाता है।<ref>{{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | last2=Cohn-Vossen | first2=Stephan | author2-link=Stephan Cohn-Vossen | title=Geometry and the Imagination | publisher=Chelsea | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-8284-1087-8 | year=1952 | pages=341–342}}</ref>
विमानों के एकल पैरामीटर परिवार के लिफाफे (गणित) को एक विकास योग्य सतह कहा जाता है।
तलों के एकल पैरामीटर वर्ग के आच्छादन (गणित) को एक विकसित करने योग्य सतह कहा जाता है।


== विवरण ==
== विवरण ==


विकासशील सतहों को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में महसूस किया जा सकता है जिनमें सम्मिलित हैं:
विकासशील सतहों को त्रि-आयामी समष्टि में सिद्ध किया जा सकता है जिनमें सम्मिलित हैं:


*[[सिलेंडर (ज्यामिति)]] और, आम तौर पर, सामान्यीकृत सिलेंडर; इसका [[क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति)]] | क्रॉस-सेक्शन कोई भी [[चिकना समारोह|चिकना फलन]] वक्र हो सकता है
*[[सिलेंडर (ज्यामिति)|बेलन (ज्यामिति)]] और, अधिक सामान्य रूप से, सामान्यीकृत बेलन; इसका [[क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति)|अनुप्रस्थ परिच्छेद (ज्यामिति)]] कोई भी [[चिकना समारोह|समतल फलन]] वक्र हो सकता है
*[[शंकु (ज्यामिति)]] और, अधिक सामान्यतः, [[शंक्वाकार सतह]]ें; शीर्ष से दूर (ज्यामिति)
*[[शंकु (ज्यामिति)]] और, अधिक सामान्यतः, शंक्वाकार सतहें; शीर्ष से दूर (ज्यामिति)
* [[oloid]] और [[गोलाकार]] ठोस (ज्यामिति) के एक विशेष परिवार के सदस्य हैं जो एक समतल तल पर लुढ़कने पर अपनी पूरी सतह विकसित कर लेते हैं।
* [[oloid|ओलॉइड]] और स्फेरिकॉन ठोस (ज्यामिति) पदार्थों के एक विशेष वर्ग के सदस्य हैं जो एक समतल तल पर शिरोघूर्णन पर अपनी पूरी सतह विकसित कर लेते हैं।
* विमान (तुच्छ); जिसे एक बेलन के रूप में देखा जा सकता है जिसका अनुप्रस्थ काट एक रेखा है (गणित)
* तल (सामान्य); जिसे एक बेलन के रूप में देखा जा सकता है जिसका परिच्छेद (गणित) एक रेखा है
* [[स्पर्शरेखा]] विकास योग्य सतहें; जो एक स्थानिक [[वक्र]] की स्पर्शरेखा रेखाओं का विस्तार करके निर्मित होते हैं।
* [[स्पर्शरेखा]] विकास योग्य सतहें; जो एक स्थानिक [[वक्र]] की स्पर्शरेखा रेखाओं का विस्तार करके निर्मित होते हैं।
* [[टोरस्र्स]] में एक मीट्रिक है जिसके तहत इसे विकसित किया जा सकता है, जिसे [[नैश एम्बेडिंग प्रमेय]] द्वारा त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है<ref>{{citation
* [[टोरस्र्स|वृतज ठोस-वलय]] में एक दूरीक है जिसके अंतर्गत इसे विकसित किया जा सकता है, जिसे [[नैश एम्बेडिंग प्रमेय|नैश अंत:स्थापन प्रमेय]] द्वारा त्रि-आयामी समष्टि में अंत:स्थापन किया जा सकता है<ref>{{citation
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  }}.</ref> और दो हलकों के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में चार आयामों में एक सरल प्रतिनिधित्व है: [[क्लिफर्ड टोरस]] देखें।
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औपचारिक रूप से, गणित में, एक विकासशील सतह शून्य गॉसियन वक्रता वाली सतह होती है। इसका एक परिणाम यह है कि 3डी-समष्टि में सन्निहित सभी विकास योग्य सतहें शासित सतहें हैं (हालांकि [[hyperboloid]]्स शासित सतहों के उदाहरण हैं जो विकास योग्य नहीं हैं)। इस वजह से, अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को स्थानांतरित करके बनाई गई सतह के रूप में कई विकासशील सतहें वैज्ञानिक दृश्य हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा के एक [[बिंदु (ज्यामिति)]]|अंत-बिंदु को स्थिर रखते हुए एक शंकु का निर्माण किया जाता है, जबकि दूसरे अंत-बिंदु को एक वृत्त में ले जाया जाता है।
औपचारिक रूप से, गणित में, एक विकसित करने योग्य सतह शून्य गॉसियन वक्रता वाली सतह होती है। इसका एक परिणाम यह है कि 3D-समष्टि में सन्निहित सभी विकास योग्य सतहें रेखित सतहें हैं हालांकि अतिपरवलयज रेखज सतहों के उदाहरण हैं जो विकास योग्य नहीं हैं। इस वजह से, समष्टि में एक सीधी रेखा को स्थानांतरित करके बनाई गई सतह के रूप में कई विकासशील सतहें वैज्ञानिक दृश्य हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा के एक [[बिंदु (ज्यामिति)|अंत-बिंदु (ज्यामिति)]] को स्थिर रखते हुए एक शंकु का निर्माण किया जाता है, जबकि दूसरे अंत-बिंदु को एक वृत्त में ले जाया जाता है।
[[File:Comparison of cartography surface development.svg|thumb|लाल रंग में दिखाए गए मानक समानांतरों के साथ स्पर्शरेखा और छेदक बेलनाकार, शंकु और दिगंशीय मानचित्र अनुमानों की तुलना]]


=== आवेदन ===
=== अनुप्रयोग ===
{{comparison_of_cartography_surface_development.svg|300px}}
विकासशील सतहों के कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।
विकासशील सतहों के कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।


विकास योग्य तंत्र ऐसे तंत्र हैं जो एक विकास योग्य सतह के अनुरूप होते हैं और सतह से गति (तैनाती) प्रदर्शित कर सकते हैं।<ref>{{Cite web|url=https://www.compliantmechanisms.byu.edu/about-developable-mechanisms|title=विकास योग्य तंत्र {{!}} विकास योग्य तंत्र के बारे में|website=compliantmechanisms|language=en|access-date=2019-02-14}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Howell|first1=Larry L.|last2=Lang|first2=Robert J.|last3=Magleby|first3=Spencer P.|last4=Zimmerman|first4=Trent K.|last5=Nelson|first5=Todd G.|date=2019-02-13|title=विकास योग्य सतहों पर विकास योग्य तंत्र|journal=Science Robotics|language=en|volume=4|issue=27|pages=eaau5171|doi=10.1126/scirobotics.aau5171|pmid=33137737|issn=2470-9476|doi-access=free}}</ref> कई [[नक्शानवीसी]] मानचित्र अनुमानों में पृथ्वी को एक विकास योग्य सतह पर प्रक्षेपित करना और फिर सतह को समतल पर एक क्षेत्र में खोलना सम्मिलित है।
विकास योग्य तंत्र ऐसे तंत्र हैं जो एक विकसित करने योग्य सतह के अनुरूप होते हैं और सतह से गति (परिनियोजित) प्रदर्शित कर सकते हैं।<ref>{{Cite web|url=https://www.compliantmechanisms.byu.edu/about-developable-mechanisms|title=विकास योग्य तंत्र {{!}} विकास योग्य तंत्र के बारे में|website=compliantmechanisms|language=en|access-date=2019-02-14}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Howell|first1=Larry L.|last2=Lang|first2=Robert J.|last3=Magleby|first3=Spencer P.|last4=Zimmerman|first4=Trent K.|last5=Nelson|first5=Todd G.|date=2019-02-13|title=विकास योग्य सतहों पर विकास योग्य तंत्र|journal=Science Robotics|language=en|volume=4|issue=27|pages=eaau5171|doi=10.1126/scirobotics.aau5171|pmid=33137737|issn=2470-9476|doi-access=free}}</ref>  


चूंकि विकास योग्य सतहों का निर्माण एक सपाट शीट को झुकाकर किया जा सकता है, वे शीट धातु, [[नालीदार फाइबरबोर्ड]] और [[प्लाईवुड]] से वस्तुओं के निर्माण में भी महत्वपूर्ण हैं। एक [[उद्योग ([[धरती]]शास्त्र)]] जो बड़े पैमाने पर विकसित सतहों का उपयोग करता है, [[जहाज निर्माण]] है।<ref>{{Citation | last1=Nolan | first1=T. J. | title=Computer-Aided Design of Developable Hull Surfaces | publisher=University Microfilms International | location=Ann Arbor| year=1970}}</ref>
कई मानचित्रीय अनुमानों में पृथ्वी को एक विकसित करने योग्य सतह पर प्रक्षेपित करना और फिर सतह को समतल पर एक क्षेत्र में अनियंत्रित करना सम्मिलित है।


चूंकि विकास योग्य सतहों का निर्माण एक समतल शीट को मोड़कर किया जा सकता है, वे शीट धातु, [[नालीदार फाइबरबोर्ड|कार्डबोर्ड]] और [[प्लाईवुड]] से वस्तुओं के निर्माण में भी महत्वपूर्ण हैं। एक उद्योग जो बड़े पैमाने पर विकसित सतहों का उपयोग करता है वह जहाज निर्माण है।<ref>{{Citation | last1=Nolan | first1=T. J. | title=Computer-Aided Design of Developable Hull Surfaces | publisher=University Microfilms International | location=Ann Arbor| year=1970}}</ref>


== गैर-विकासशील सतह ==


अधिकांश चिकनी सतहें (और सामान्य रूप से अधिकांश सतहें) विकास योग्य सतहें नहीं हैं। गैर-विकासशील सतहों को विभिन्न रूप से डबल वक्रता, दोगुनी [[घुमावदार]], यौगिक वक्रता, गैर-शून्य गॉसियन वक्रता आदि के रूप में संदर्भित किया जाता है।
 
== गैर-विकसित करने योग्य सतह ==
 
अधिकांश समतल सतहें (और सामान्य रूप से अधिकांश सतहें) विकास योग्य सतहें नहीं हैं। गैर-विकासशील सतहों को विभिन्न रूप से द्वैत वक्रता, दोगुनी [[घुमावदार|वक्रित]], यौगिक वक्रता, गैर-शून्य गॉसियन वक्रता आदि के रूप में संदर्भित किया जाता है।


सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गैर-विकासशील सतहों में से कुछ हैं:
सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गैर-विकासशील सतहों में से कुछ हैं:


* गोले किसी भी [[मीट्रिक टेंसर]] के अंतर्गत विकसित करने योग्य सतह नहीं हैं क्योंकि उन्हें समतल पर नहीं उतारा जा सकता।
* गोले किसी भी [[मीट्रिक टेंसर|दूरीक]] के अंतर्गत विकसित करने योग्य सतह नहीं हैं क्योंकि उन्हें एक समतल पर अनियंत्रित नहीं किया जा सकता है।
* हेलिकॉइड एक शासित सतह है - लेकिन ऊपर उल्लिखित शासित सतहों के विपरीत, यह एक विकास योग्य सतह नहीं है।
* कुंडलिनीरूप एक रेखज सतह है - लेकिन ऊपर उल्लिखित रेखज सतहों के विपरीत, यह एक विकसित करने योग्य सतह नहीं है।
* अतिपरवलयिक परवलयज और अतिपरवलयज थोड़ी अलग दोहरी शासित सतहें हैं - लेकिन ऊपर वर्णित शासित सतहों के विपरीत, कोई भी एक विकास योग्य सतह नहीं है।
* अतिपरवलयिक परवलयज और अतिपरवलयज आंशिक अलग दोहरी रेखज सतहें हैं - लेकिन ऊपर वर्णित रेखज सतहों के विपरीत, कोई भी एक विकसित करने योग्य सतह नहीं है।


=== गैर-विकास योग्य सतहों के अनुप्रयोग ===
=== गैर-विकास योग्य सतहों के अनुप्रयोग ===


कई [[net]]्स और तन्य संरचनाएं और इसी तरह के निर्माण (किसी भी) दोगुने घुमावदार रूप का उपयोग करके ताकत हासिल करते हैं।
कई ग्रिडशेल्स और तन्य संरचनाएं और इसी तरह के निर्माण (किसी भी) दोगुने वक्रित रूप का उपयोग करके सामर्थ्य प्राप्त करते हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


*[[विकास (अंतर ज्यामिति)]]
*[[विकास (अंतर ज्यामिति)]]
* विकास योग्य रोलर
* विकास योग्य बेलन


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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*गॉसियन वक्रता
*गॉसियन वक्रता
*समतलता (गणित)
*समतलता (गणित)
*विमान (गणित)
*तल (गणित)
*लिफाफा (गणित)
*लिफाफा (गणित)
*घन ज्यामिति)
*घन ज्यामिति)
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* {{MathWorld |title=Developable Surface |id=DevelopableSurface}}
* {{MathWorld |title=Developable Surface |id=DevelopableSurface}}
* [http://www.rhino3.de/design/modeling/developable/ Examples of developable surfaces on the Rhino3DE website]
* [http://www.rhino3.de/design/modeling/developable/ Examples of developable surfaces on the Rhino3DE website]
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Latest revision as of 16:19, 30 May 2023

बेलन एक विकसित करने योग्य सतह का एक उदाहरण है।

गणित में, विकसित करने योग्य सतह (या टॉर्स: अप्रचलित) शून्य गाऊसी वक्रता के साथ एक समतल सतह है। यह एक ऐसी सतह है जिसे विरूपण के बिना एक तल पर समतल किया जा सकता है (अर्थात इसे बिना तनाव या संपीड़न के बंकित किया जा सकता है)। इसके विपरीत, यह एक सतह है जिसे एक तल (अर्थात "वलन", "बंकन", "शिरोघूर्णन", "कर्तन" और/या "सरेस") को बदलकर बनाया जा सकता है। तीन आयामों में सभी विकास योग्य सतहें (लेकिन इसके विपरीत नहीं) रेखित सतहें हैं। चार आयामी समष्टि में विकसित करने योग्य सतहें हैं जिन्हे रेखित नहीं किया जाता है।[1]

तलों के एकल पैरामीटर वर्ग के आच्छादन (गणित) को एक विकसित करने योग्य सतह कहा जाता है।

विवरण

विकासशील सतहों को त्रि-आयामी समष्टि में सिद्ध किया जा सकता है जिनमें सम्मिलित हैं:

  • बेलन (ज्यामिति) और, अधिक सामान्य रूप से, सामान्यीकृत बेलन; इसका अनुप्रस्थ परिच्छेद (ज्यामिति) कोई भी समतल फलन वक्र हो सकता है
  • शंकु (ज्यामिति) और, अधिक सामान्यतः, शंक्वाकार सतहें; शीर्ष से दूर (ज्यामिति)
  • ओलॉइड और स्फेरिकॉन ठोस (ज्यामिति) पदार्थों के एक विशेष वर्ग के सदस्य हैं जो एक समतल तल पर शिरोघूर्णन पर अपनी पूरी सतह विकसित कर लेते हैं।
  • तल (सामान्य); जिसे एक बेलन के रूप में देखा जा सकता है जिसका परिच्छेद (गणित) एक रेखा है
  • स्पर्शरेखा विकास योग्य सतहें; जो एक स्थानिक वक्र की स्पर्शरेखा रेखाओं का विस्तार करके निर्मित होते हैं।
  • वृतज ठोस-वलय में एक दूरीक है जिसके अंतर्गत इसे विकसित किया जा सकता है, जिसे नैश अंत:स्थापन प्रमेय द्वारा त्रि-आयामी समष्टि में अंत:स्थापन किया जा सकता है[2] और दो वृत्तों के कार्तीय गुणन के रूप में चार आयामों में एक सरल प्रतिनिधित्व है और क्लिफर्ड वृतज ठोस-वलय भी देखें।

औपचारिक रूप से, गणित में, एक विकसित करने योग्य सतह शून्य गॉसियन वक्रता वाली सतह होती है। इसका एक परिणाम यह है कि 3D-समष्टि में सन्निहित सभी विकास योग्य सतहें रेखित सतहें हैं हालांकि अतिपरवलयज रेखज सतहों के उदाहरण हैं जो विकास योग्य नहीं हैं। इस वजह से, समष्टि में एक सीधी रेखा को स्थानांतरित करके बनाई गई सतह के रूप में कई विकासशील सतहें वैज्ञानिक दृश्य हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा के एक अंत-बिंदु (ज्यामिति) को स्थिर रखते हुए एक शंकु का निर्माण किया जाता है, जबकि दूसरे अंत-बिंदु को एक वृत्त में ले जाया जाता है।

लाल रंग में दिखाए गए मानक समानांतरों के साथ स्पर्शरेखा और छेदक बेलनाकार, शंकु और दिगंशीय मानचित्र अनुमानों की तुलना

अनुप्रयोग

विकासशील सतहों के कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।

विकास योग्य तंत्र ऐसे तंत्र हैं जो एक विकसित करने योग्य सतह के अनुरूप होते हैं और सतह से गति (परिनियोजित) प्रदर्शित कर सकते हैं।[3][4]

कई मानचित्रीय अनुमानों में पृथ्वी को एक विकसित करने योग्य सतह पर प्रक्षेपित करना और फिर सतह को समतल पर एक क्षेत्र में अनियंत्रित करना सम्मिलित है।

चूंकि विकास योग्य सतहों का निर्माण एक समतल शीट को मोड़कर किया जा सकता है, वे शीट धातु, कार्डबोर्ड और प्लाईवुड से वस्तुओं के निर्माण में भी महत्वपूर्ण हैं। एक उद्योग जो बड़े पैमाने पर विकसित सतहों का उपयोग करता है वह जहाज निर्माण है।[5]


गैर-विकसित करने योग्य सतह

अधिकांश समतल सतहें (और सामान्य रूप से अधिकांश सतहें) विकास योग्य सतहें नहीं हैं। गैर-विकासशील सतहों को विभिन्न रूप से द्वैत वक्रता, दोगुनी वक्रित, यौगिक वक्रता, गैर-शून्य गॉसियन वक्रता आदि के रूप में संदर्भित किया जाता है।

सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गैर-विकासशील सतहों में से कुछ हैं:

  • गोले किसी भी दूरीक के अंतर्गत विकसित करने योग्य सतह नहीं हैं क्योंकि उन्हें एक समतल पर अनियंत्रित नहीं किया जा सकता है।
  • कुंडलिनीरूप एक रेखज सतह है - लेकिन ऊपर उल्लिखित रेखज सतहों के विपरीत, यह एक विकसित करने योग्य सतह नहीं है।
  • अतिपरवलयिक परवलयज और अतिपरवलयज आंशिक अलग दोहरी रेखज सतहें हैं - लेकिन ऊपर वर्णित रेखज सतहों के विपरीत, कोई भी एक विकसित करने योग्य सतह नहीं है।

गैर-विकास योग्य सतहों के अनुप्रयोग

कई ग्रिडशेल्स और तन्य संरचनाएं और इसी तरह के निर्माण (किसी भी) दोगुने वक्रित रूप का उपयोग करके सामर्थ्य प्राप्त करते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, pp. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8
  2. ↑ Borrelli, V.; Jabrane, S.; Lazarus, F.; Thibert, B. (April 2012), "Flat tori in three-dimensional space and convex integration", Proceedings of the National Academy of Sciences, 109 (19): 7218–7223, doi:10.1073/pnas.1118478109, PMC 3358891, PMID 22523238.
  3. ↑ "विकास योग्य तंत्र | विकास योग्य तंत्र के बारे में". compliantmechanisms (in English). Retrieved 2019-02-14.
  4. ↑ Howell, Larry L.; Lang, Robert J.; Magleby, Spencer P.; Zimmerman, Trent K.; Nelson, Todd G. (2019-02-13). "विकास योग्य सतहों पर विकास योग्य तंत्र". Science Robotics (in English). 4 (27): eaau5171. doi:10.1126/scirobotics.aau5171. ISSN 2470-9476. PMID 33137737.
  5. ↑ Nolan, T. J. (1970), Computer-Aided Design of Developable Hull Surfaces, Ann Arbor: University Microfilms International


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  • चार आयामी समष्टि
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  • वृत्त
  • तन्यता संरचना
  • विकासशील रोलर

बाहरी संबंध

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