सम्मिश्र माप

गणित में, विशेष रूप से सिद्धांत को मापने के लिए, सम्मिश्र माप (गणित) की अवधारणा को सम्मिश्र संख्या मान देकर सामान्यीकृत करता है। दूसरे शब्दों में, कोई समुच्चय (गणित) की अनुमति देता है जिसका आकार (लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन) एक सम्मिश्र संख्या है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, सम्मिश्र उपाय $\mu$ सिग्मा-बीजगणित पर $(X,\Sigma )$ एक सम्मिश्र-मूल्यवान फलन है (गणित)

$\mu :\Sigma \to \mathbb {C}$

वह है सिग्मा योगात्मकता (सिग्मा-एडिटिव)। दूसरे शब्दों में, किसी भी क्रम के लिए $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ से संबंधित अलग समुच्चय की $\Sigma$, किसी के पास

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\in \mathbb {C} .$

जैसा $\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}$ किसी भी क्रमपरिवर्तन (आक्षेप) के लिए $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$, यह इस प्रकार है कि $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$ बिना शर्त अभिसरण (इसलिए पूर्ण अभिसरण)।

सम्मिश्र माप के संबंध में एकीकरण

सम्मिश्र माप के संबंध में एकसम्मिश्र-मूल्यवान मापने योग्य फलन के अभिन्न अंग को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे लेबेसेग एक माप (गणित) के संबंध में एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान मापने योग्य फलन का अभिन्न अंग है। गैर-नकारात्मक उपाय, अनुमानित करके सरल फलनों के साथ एक औसत दर्जे का फलन। साधारण एकीकरण के मामले में, यह अधिक सामान्य अभिन्न अस्तित्व में विफल हो सकता है, या इसका मान अनंत हो सकता है (रीमैन क्षेत्र)।

एक अन्य दृष्टिकोण खरोंच से एकीकरण के सिद्धांत को विकसित नहीं करना है, बल्कि गैर-नकारात्मक माप के संबंध में वास्तविक-मूल्यवान फलन के अभिन्न अंग की पहले से उपलब्ध अवधारणा का उपयोग करना है। उस अंत तक, यह एक त्वरित जाँच है कि वास्तविक और काल्पनिक भाग μ₁ और μ₂ एकसम्मिश्र माप μ परिमित-मूल्यवान हस्ताक्षरित उपाय हैं। हन अपघटन प्रमेय | हैन-जॉर्डन अपघटन को इन उपायों के रूप में विभाजित करने के लिए लागू किया जा सकता है

$\mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}$

और

$\mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}$

कहाँ μ₁⁺, एम₁⁻, म₂⁺, एम₂⁻ परिमित-मूल्यवान गैर-नकारात्मक उपाय हैं (जो कुछ अर्थों में अद्वितीय हैं)। फिर, एक मापने योग्य फलन f के लिए जो इस समय के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, कोई भी परिभाषित कर सकता है

$\int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)$

जब तक दायीं ओर की अभिव्यक्ति परिभाषित है, यानी, सभी चार इंटीग्रल मौजूद हैं और जब उन्हें जोड़ते हैं तो अनिश्चित रूप से ∞−∞ का सामना नहीं होता है।

अब एकसम्मिश्र-मूल्यवान औसत दर्जे का फलन दिया गया है, कोई भी इसके वास्तविक और काल्पनिक घटकों को अलग से एकीकृत कर सकता है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है और परिभाषित किया गया है, जैसा कि अपेक्षित है,

$\int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .$

एकसम्मिश्र माप और ध्रुवीय अपघटन की भिन्नता

एकसम्मिश्र माप μ के लिए, कोई इसकी विविधता, या पूर्ण मान को परिभाषित करता है, |μ| सूत्र द्वारा

$|\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|$

जहाँ A Σ में है और अंतिम असम्बद्ध समुच्चय के सभी अनुक्रमों पर चलता है (A_n)_n जिसका संघ ( समुच्चय सिद्धांत) ए है। समुच्चय ए के केवल परिमित विभाजन को मापने योग्य समुच्चय में लेते हुए, एक समान परिभाषा प्राप्त करता है।

यह पता चला है कि |μ| एक गैर-नकारात्मक परिमित उपाय है। उसी तरह जैसे एकसम्मिश्र संख्या को एकसम्मिश्र संख्या में दर्शाया जा सकता है, एकसम्मिश्र माप के लिए एक ध्रुवीय अपघटन होता है: वास्तविक मूल्यों के साथ एक औसत दर्जे का फलन मौजूद होता है जैसे कि

$d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,$

अर्थ

$\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |$

किसी भी पूरी तरह से पूर्णांक मापने योग्य फलन f के लिए, यानी f संतोषजनक

$\int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .$

रेडॉन-निकोडीम प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि भिन्नता एक उपाय है और ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व है।

जटिल उपायों का स्थान

दोसम्मिश्र उपायों का योग एकसम्मिश्र उपाय है, जैसा कि एकसम्मिश्र संख्या द्वारा एकसम्मिश्र माप का उत्पाद है। कहने का तात्पर्य यह है कि किसी माप स्थान (X, Σ) पर सभीसम्मिश्र मापों का समुच्चयसम्मिश्र संख्याओं के ऊपर एक सदिश स्थान बनाता है। इसके अलावा, कुल भिन्नता $\|\cdot \|$ के रूप में परिभाषित

$\|\mu \|=|\mu |(X)\,$

एक सामान्य (गणित) है, जिसके संबंध मेंसम्मिश्र उपायों का स्थान एक बनच स्थान है।

यह भी देखें

• रिज्ज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय
• हस्ताक्षरित उपाय
• वेक्टर माप

बाहरी संबंध

• Complex measure on MathWorld