आदर्श (समुच्चय सिद्धांत)

सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, आदर्श सेट (गणित) का आंशिक क्रम संग्रह है जिसे छोटा या नगण्य माना जाता है। आदर्श के एक तत्व के प्रत्येक उपसमुच्चय को भी आदर्श में होना चाहिए (यह इस विचार को संहिताबद्ध करता है कि एक आदर्श लघुता की धारणा है), और आदर्श के किन्हीं दो तत्वों का संघ (सेट सिद्धांत) भी आदर्श में होना चाहिए।

अधिक औपचारिक रूप से, एक सेट दिया $X,$ एक आदर्श $I$ पर $X$ के सत्ता स्थापित का एक खाली सेट सब सेट है $X,$ ऐसा है कि:

1. $\varnothing \in I,$
2. अगर $A\in I$ और $B\subseteq A,$ तब $B\in I,$ और
3. अगर $A,B\in I$ तब $A\cup B\in I.$

कुछ लेखक चौथी शर्त जोड़ते हुए कहते हैं कि $X$ स्वयं में $I$ नहीं है ; ऐसे अतिरिक्त गुण वाले आदर्श उचित आदर्श कहलाते हैं

जहां प्रासंगिक आदेश शामिल किया गया है वहां सेट-सैद्धांतिक अर्थों में आदर्श (आदेश सिद्धांत) अर्थों में बिल्कुल आदर्श हैं। इसके अलावा,अंतर्निहित सेट के पॉवरसेट द्वारा गठित बूलियन रिंग पर रिंग-सैद्धांतिक अर्थों में बिल्कुल आदर्श हैं। आदर्श की दोहरी धारणा एक फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) है।

शब्दावली

एक आदर्श का एक तत्व $I$ बताया गया $I$-null या $I$-negligible, या केवल null या negligible यदि आदर्श $I$ सन्दर्भ से समझा जाता है। अगर $I$ पर आदर्श है $X,$ फिर का एक उपसमुच्चय $X$ बताया गया $I$-positive (या केवल positive) अगर यह है not का एक तत्व $I.$ सबका संग्रह $I$-के धनात्मक उपसमुच्चय $X$ निरूपित किया जाता है $I^{+}.$ अगर $I$ पर उचित आदर्श है $X$ और प्रत्येक के लिए $A\subseteq X$ दोनों में से एक $A\in I$ या $X\setminus A\in I,$ तब $I$ एक हैprime ideal.

आदर्शों के उदाहरण

सामान्य उदाहरण

• किसी भी सेट के लिए $X$ और कोई भी मनमाने ढंग से चुना गया सबसेट $B\subseteq X,$ के उपसमुच्चय $B$ पर एक आदर्श बनाना $X.$ परिमित के लिए $X,$ सभी आदर्श इसी रूप के हैं।
• किसी भी समुच्चय का परिमित समुच्चय $X$ पर एक आदर्श बनाना $X.$
• किसी भी माप स्थान के लिए, माप शून्य के सेट के सबसेट।
• किसी भी माप स्थान के लिए, परिमित माप के सेट। इसमें परिमित उपसमुच्चय (गणना माप का उपयोग करके) और नीचे छोटे सेट शामिल हैं।
• एक सेट पर एक जन्मशास्त्र $X$ एक आदर्श है कि आवरण (टोपोलॉजी) $X.$ * एक गैर खाली परिवार ${\mathcal {B}}$ के सबसेट का $X$ पर उचित आदर्श है $X$ अगर और केवल अगर इसकी dual में $X,$ जिसे निरूपित और परिभाषित किया गया है $X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\},$ एक उचित फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) चालू है $X$ (फ़िल्टर है proper अगर यह बराबर नहीं है $\wp (X)$). सत्ता स्थापित का दोहरा $\wp (X)$ स्वयं है; वह है, $X\setminus \wp (X)=\wp (X).$ इस प्रकार एक गैर-खाली परिवार ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ पर आदर्श है $X$ अगर और केवल अगर यह दोहरी है $X\setminus {\mathcal {B}}$ पर दोहरा आदर्श है $X$ (जो परिभाषा के अनुसार या तो पावर सेट है $\wp (X)$ या फिर एक उचित फ़िल्टर चालू करें $X$).

प्राकृतिक संख्या पर आदर्श

• प्राकृतिक संख्याओं के सभी परिमित समुच्चयों के आदर्श को फिन द्वारा निरूपित किया जाता है।
• summable ideal}अल प्राकृतिक संख्याओं पर, निरूपित ${\mathcal {I}}_{1/n},$ सभी सेटों का संग्रह है $A$ प्राकृतिक संख्याओं की जैसे कि योग $\sum _{n\in A}{\frac {1}{n+1}}$ परिमित है। छोटा सेट (कॉम्बिनेटरिक्स) देखें।
• ideal of asymptotically zero-density sets}ts प्राकृतिक संख्याओं पर, निरूपित ${\mathcal {Z}}_{0},$ सभी सेटों का संग्रह है $A$ प्राकृत संख्याओं का ऐसा कि प्राकृत संख्याओं का अंश कम से कम $n$ जिसका संबंध है $A,$ के रूप में शून्य हो जाता है $n$ अनंत की ओर जाता है। (अर्थात, स्पर्शोन्मुख घनत्व $A$ शून्य है।)

वास्तविक संख्या पर आदर्श

• measure ideal}अल सभी सेटों का संग्रह है $A$ वास्तविक संख्याओं का, जैसे कि लेबेस्ग का माप $A$ शून्य है।
• meager ideal}al वास्तविक संख्याओं के सभी अल्प समुच्चयों का संग्रह है।

अन्य सेटों पर आदर्श

• अगर $\lambda$ बेशुमार सह-अस्तित्व की एक क्रमिक संख्या है, nonstationary ideal पर $\lambda$ के सभी उपसमूहों का संग्रह है $\lambda$ जो स्थिर समुच्चय नहीं हैं। डब्ल्यू ह्यूग वुडिन द्वारा इस आदर्श का व्यापक अध्ययन किया गया है।

आदर्शों पर संचालन

आदर्श दिए I और J अंतर्निहित सेट पर X और Y क्रमशः, एक उत्पाद बनाता है $I\times J$ कार्टेशियन उत्पाद पर $X\times Y,$ इस प्रकार है: किसी भी उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq X\times Y,$

$$A\in I\times J\quad {\text{ if and only if }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I$$

अर्थात्, उत्पाद आदर्श में एक सेट नगण्य है यदि केवल एक नगण्य संग्रह है x-निर्देशांक एक गैर-नगण्य स्लाइस के अनुरूप हैं A में y-दिशा। (शायद स्पष्ट: एक सेट है positive उत्पाद आदर्श में अगर सकारात्मक रूप से कई x-निर्देशांक सकारात्मक स्लाइस के अनुरूप हैं।)

एक आदर्श I एक सेट पर X एक तुल्यता संबंध को प्रेरित करता है $\wp (X),$ का पावरसेट X, मानते हुए A और B समकक्ष होना (के लिए $A,B$ के उपसमुच्चय X) अगर और केवल अगर के सममित अंतर A और B का एक तत्व है I. का भागफल सेट $\wp (X)$ इस तुल्यता संबंध से एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है, जिसे निरूपित किया गया है $\wp (X)/I$ (पी का पी पढ़ें X ख़िलाफ़ I ).

हर आदर्श के लिए एक संबंधित फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) होता है, जिसे इसका कहा जाता है dual filter. अगर I पर एक आदर्श है X, फिर का दोहरा फ़िल्टर I सभी सेटों का संग्रह है $X\setminus A,$ कहाँ A का एक तत्व है I. (यहाँ $X\setminus A$ के सापेक्ष पूरक को दर्शाता है A में X; अर्थात्, के सभी तत्वों का संग्रह X वे हैं not में A).

आदर्शों के बीच संबंध

अगर $I$ और $J$ पर आदर्श हैं $X$ और $Y$ क्रमश, $I$ और $J$ हैं Rudin–Keisler isomorphic यदि वे अपने अंतर्निहित सेटों के तत्वों के नाम बदलने के अलावा एक ही आदर्श हैं (नगण्य सेटों को अनदेखा कर रहे हैं)। अधिक औपचारिक रूप से, आवश्यकता यह है कि सेट हों $A$ और $B,$ घटक $I$ और $J$ क्रमशः, और एक आक्षेप $\varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,$ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए $C\setminus X,$ $C\in I$ अगर और केवल अगर की छवि (गणित)। $C$ अंतर्गत $\varphi \in J.$ अगर $I$ और $J$ रुडिन-कीस्लर आइसोमॉर्फिक हैं, फिर $\wp (X)/I$ और $\wp (Y)/J$ बूलियन बीजगणित के रूप में आइसोमोर्फिक हैं। आदर्शों के रुडिन-कीस्लर समरूपता द्वारा प्रेरित भागफल बूलियन बीजगणित की समरूपता कहलाती है trivial isomorphisms.

यह भी देखें

• Bornology
• Filter (mathematics) – In mathematics, a special subset of a partially ordered set
• Filter (set theory)
• Ideal (order theory)
• Ideal (ring theory) – Additive subgroup of a mathematical ring that absorbs multiplication
• [[Pi-system|π-system]]
• σ-ideal

संदर्भ

• Farah, Ilijas (November 2000). Analytic quotients: Theory of liftings for quotients over analytic ideals on the integers. Memoirs of the AMS. American Mathematical Society. ISBN 9780821821176.