मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा: Difference between revisions

Revision as of 16:59, 27 May 2023

मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत से एक लेम्मा (गणित) है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं के समुच्चय सम्मलित होते हैं (सिद्धांत - वरण के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-वादक पूर्णांक खेल निर्धारित होते है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।

लेम्मा को सामान्यतः निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

होने देना

Γ

क्वांटिफायर (तर्क) # क्वांटिफिकेशन की रेंज और के अंतर्गत बंद एक गैर-स्वयं दोहरी बिंदु वर्ग बनें

\land

, और

≺

ए

Γ

-अच्छी तरह से स्थापित संबंध {{math|ω^ω}रैंक का

θ \in ON

. होने देना

R \subseteq dom(≺) \times ω ω

ऐसा हो

(\forall x \indom(≺))(\exists y)(x R y)

. फिर एक है

Γ

-तय करना

A \subseteq dom(≺) \times ω ω

जो R के लिए एक विकल्प समुच्चय है, वह है:

$(\forall α < θ)(\exists x \indom(≺), y)(| x | ≺ = α \land x A y)$ .
$(\forall x, y)(x A y \to x R y)$ .

एक प्रमाण इस प्रकार चलता है: विरोधाभास के लिए मान लीजिए $θ$ एक न्यूनतम प्रति उदाहरण है, और ठीक करें $≺$ , $R$ , और एक अच्छा सार्वभौमिक समुच्चय $U \subseteq (ω ω) 3$ के लिए $Γ$ -के उपसमुच्चय $(ω ω) 2$ . आसानी से, $θ$ एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए।^[1] के लिए $δ < θ$ , हम कहते हैं $u \in ω ω$ कोड ए $δ$ -चॉइस समुच्चय प्रदान किया गया संपत्ति (1) रखती है $α \leq δ$ का उपयोग करना $A = U u$ और संपत्ति (2) के लिए रखती है $A = U u$ जहां हम प्रतिस्थापित करते हैं $x \in dom(≺)$ साथ $x \in dom(≺) \land | x | ≺ [\leq δ]$ . कम से कम $θ$ , सभी के लिए $δ < θ$ , वहाँ हैं $δ$ -विकल्प समुच्चय।

अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक चुनते हैं $u, v \in ω ω$ और II कब जीतता है $u$ कोडिंग ए $δ 1$ -विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है $δ 1 < θ$ तात्पर्य $v$ कोड ए $δ 2$ -विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है $δ 2 > δ 1$ . I के लिए एक जीतने की रणनीति परिभाषित करती है $Σ 11$ तय करना {{mvar|B}वास्तविक एन्कोडिंग की } $δ$ -विकल्प मनमाने ढंग से बड़े के लिए समुच्चय करता है $δ < θ$ . तब परिभाषित करें

x A y \leftrightarrow (\exists w \in B) U (w, x, y)

,

जो आसानी से काम करता है। दूसरी ओर, मान लीजिए $τ$ II के लिए जीतने की रणनीति है। एस-एम-एन प्रमेय से, चलो $s :(ω ω) 2 \to ω ω$ निरंतर ऐसा हो कि सभी के लिए $ϵ$ , $x$ , $t$ , और $w$ ,

U (s (ϵ, x), t, w) \leftrightarrow (\exists y, z)(y ≺ x \land U (ϵ, y, z) \land U (z, t, w))

.

पुनरावर्तन प्रमेय द्वारा, मौजूद है $ϵ 0$ ऐसा है कि $U (ϵ 0, x, z) \leftrightarrow z = τ (s (ϵ 0, x))$ . एक सीधा इंडक्शन ऑन $| x | ≺$ के लिए $x \in dom(≺)$ पता चलता है कि

(\forall x \indom(≺))(\exists! z) U (ϵ 0, x, z)

,

और

(\forall x \indom(≺), z)(U (ϵ 0, x, z) \to z encodes a choice set of ordinal \geq| x | ≺)

.

तो चलो

x A y \leftrightarrow (\exists z \indom(≺), w)(U (ϵ 0, z, w) \land U (w, x, y))

.^[2]^[3]^[4]

संदर्भ

↑ User 16278263789; Schweber, Noah (9 October 2011). "वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा". MathOverflow. Retrieved 2020-04-06. {{cite web}}: |last1= has generic name (help)CS1 maint: url-status (link)
↑ Babinkostova, Liljana (2011). Set Theory and Its Applications (in English). American Mathematical Society. ISBN 978-0821848128.
↑ Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (October 27, 2005). Handbook of Set Theory (PDF). Springer. p. 2230. ISBN 978-1402048432.
↑ Moschovakis, Yiannis (October 4, 2006). "Ordinal games and playful models". In Alexander S. Kechris; Donald A. Martin; Yiannis N. Moschovakis (eds.). Cabal Seminar 77 – 79: Proceedings, Caltech-UCLA Logic Seminar 1977 – 79. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 839. Berlin: Springer. pp. 169–201. doi:10.1007/BFb0090241. ISBN 978-3-540-38422-9.

This mathematics-related article is a stub. You can help Wikipedia by expanding it.

[1] User 16278263789; Schweber, Noah (9 October 2011). "वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा". MathOverflow. Retrieved 2020-04-06. {{cite web}}: |last1= has generic name (help)CS1 maint: url-status (link)

[2] Babinkostova, Liljana (2011). Set Theory and Its Applications (in English). American Mathematical Society. ISBN 978-0821848128.

[3] Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (October 27, 2005). Handbook of Set Theory (PDF). Springer. p. 2230. ISBN 978-1402048432.

[4] Moschovakis, Yiannis (October 4, 2006). "Ordinal games and playful models". In Alexander S. Kechris; Donald A. Martin; Yiannis N. Moschovakis (eds.). Cabal Seminar 77 – 79: Proceedings, Caltech-UCLA Logic Seminar 1977 – 79. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 839. Berlin: Springer. pp. 169–201. doi:10.1007/BFb0090241. ISBN 978-3-540-38422-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-Moschovakis कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक सेट सिद्धांत से एक [[लेम्मा (गणित)]] है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के तहत [[वास्तविक संख्या]]ओं के सेट शामिल होते हैं (सिद्धांत - पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-खिलाड़ी पूर्णांक खेल निर्धारित होता है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।
+मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत से एक [[लेम्मा (गणित)]] है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के अंतर्गत [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय सम्मलित होते हैं (सिद्धांत - वरण के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-वादक पूर्णांक खेल निर्धारित होते है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।
-लेम्मा को आम तौर पर निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
+लेम्मा को सामान्यतः निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
-:होने देना {{mvar|Γ}} क्वांटिफायर (तर्क) # क्वांटिफिकेशन की रेंज और के तहत बंद एक गैर-स्वयं दोहरी बिंदु वर्ग बनें {{math|∧}}, और {{math|≺}} ए {{mvar|Γ}}-अच्छी तरह से स्थापित संबंध {{math|''ω<sup>ω</sup>''}रैंक का {{math|''θ'' ∈ ON}}. होने देना {{math|R ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} ऐसा हो {{math|(∀''x''∈dom(≺))(∃''y'')(''x'' R ''y'')}}. फिर एक है {{mvar|Γ}}-तय करना {{math|A ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} जो R के लिए एक विकल्प सेट है, वह है:
+:होने देना {{mvar|Γ}} क्वांटिफायर (तर्क) # क्वांटिफिकेशन की रेंज और के अंतर्गत बंद एक गैर-स्वयं दोहरी बिंदु वर्ग बनें {{math|∧}}, और {{math|≺}} ए {{mvar|Γ}}-अच्छी तरह से स्थापित संबंध {{math|''ω<sup>ω</sup>''}रैंक का {{math|''θ'' ∈ ON}}. होने देना {{math|R ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} ऐसा हो {{math|(∀''x''∈dom(≺))(∃''y'')(''x'' R ''y'')}}. फिर एक है {{mvar|Γ}}-तय करना {{math|A ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} जो R के लिए एक विकल्प समुच्चय है, वह है:
   <!--Note that the specific numbering of these properties is used in the proof below.-->
 # {{math|(∀''α''<''θ'')(∃''x''∈dom(≺),''y'')({{mabs|''x''}}<sub>≺</sub>{{=}}''α'' ∧ ''x'' A ''y'')}}.
 # {{math|(∀''x'',''y'')(''x'' A ''y'' → ''x'' R ''y'')}}.
-एक प्रमाण इस प्रकार चलता है: विरोधाभास के लिए मान लीजिए {{mvar|θ}} एक न्यूनतम प्रति उदाहरण है, और ठीक करें {{math|≺}}, {{math|R}}, और एक अच्छा सार्वभौमिक सेट {{math|''U'' ⊆ (''ω<sup>ω</sup>'')<sup>3</sup>}} के लिए {{mvar|Γ}}-के उपसमुच्चय {{math|(''ω<sup>ω</sup>'')<sup>2</sup>}}. आसानी से, {{mvar|θ}} एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए।<ref>{{Cite web|url=https://mathoverflow.net/questions/77573/moschovakis-coding-lemma|title=वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा|last1=User 16278263789|last2=Schweber|first2=Noah|date=|website=MathOverflow|publication-date=9 October 2011|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-04-06}}</ref> के लिए {{math|''δ'' < ''θ''}}, हम कहते हैं {{math|''u'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} कोड ए {{mvar|δ}}-चॉइस सेट प्रदान किया गया संपत्ति (1) रखती है {{math|''α'' ≤ ''δ''}} का उपयोग करना {{math|A {{=}} ''U u''}} और संपत्ति (2) के लिए रखती है {{math|A {{=}} ''U u''}} जहां हम प्रतिस्थापित करते हैं {{math|''x'' ∈ dom(≺)}} साथ {{math|''x'' ∈ dom(≺) ∧ {{mabs|''x''}} ≺ [≤''δ'']}}. कम से कम {{mvar|θ}}, सभी के लिए {{math|''δ'' < ''θ''}}, वहाँ हैं {{math|δ}}-विकल्प सेट।
+एक प्रमाण इस प्रकार चलता है: विरोधाभास के लिए मान लीजिए {{mvar|θ}} एक न्यूनतम प्रति उदाहरण है, और ठीक करें {{math|≺}}, {{math|R}}, और एक अच्छा सार्वभौमिक समुच्चय {{math|''U'' ⊆ (''ω<sup>ω</sup>'')<sup>3</sup>}} के लिए {{mvar|Γ}}-के उपसमुच्चय {{math|(''ω<sup>ω</sup>'')<sup>2</sup>}}. आसानी से, {{mvar|θ}} एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए।<ref>{{Cite web|url=https://mathoverflow.net/questions/77573/moschovakis-coding-lemma|title=वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा|last1=User 16278263789|last2=Schweber|first2=Noah|date=|website=MathOverflow|publication-date=9 October 2011|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-04-06}}</ref> के लिए {{math|''δ'' < ''θ''}}, हम कहते हैं {{math|''u'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} कोड ए {{mvar|δ}}-चॉइस समुच्चय प्रदान किया गया संपत्ति (1) रखती है {{math|''α'' ≤ ''δ''}} का उपयोग करना {{math|A {{=}} ''U u''}} और संपत्ति (2) के लिए रखती है {{math|A {{=}} ''U u''}} जहां हम प्रतिस्थापित करते हैं {{math|''x'' ∈ dom(≺)}} साथ {{math|''x'' ∈ dom(≺) ∧ {{mabs|''x''}} ≺ [≤''δ'']}}. कम से कम {{mvar|θ}}, सभी के लिए {{math|''δ'' < ''θ''}}, वहाँ हैं {{math|δ}}-विकल्प समुच्चय।
-अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक चुनते हैं {{math|''u'',''v'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} और II कब जीतता है {{mvar|u}} कोडिंग ए {{math|''δ''<sub>1</sub>}}-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है {{math|''δ''<sub>1</sub> < ''θ''}} तात्पर्य {{mvar|v}} कोड ए {{math|''δ''<sub>2</sub>}}-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है {{math|''δ''<sub>2</sub> > ''δ''<sub>1</sub>}}. I के लिए एक जीतने की रणनीति परिभाषित करती है {{math|Σ{{su|b=1|p=1}}}} तय करना {{mvar|B}वास्तविक एन्कोडिंग की } {{mvar|δ}}-विकल्प मनमाने ढंग से बड़े के लिए सेट करता है {{math|''δ'' < ''θ''}}. तब परिभाषित करें
+अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक चुनते हैं {{math|''u'',''v'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} और II कब जीतता है {{mvar|u}} कोडिंग ए {{math|''δ''<sub>1</sub>}}-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है {{math|''δ''<sub>1</sub> < ''θ''}} तात्पर्य {{mvar|v}} कोड ए {{math|''δ''<sub>2</sub>}}-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है {{math|''δ''<sub>2</sub> > ''δ''<sub>1</sub>}}. I के लिए एक जीतने की रणनीति परिभाषित करती है {{math|Σ{{su|b=1|p=1}}}} तय करना {{mvar|B}वास्तविक एन्कोडिंग की } {{mvar|δ}}-विकल्प मनमाने ढंग से बड़े के लिए समुच्चय करता है {{math|''δ'' < ''θ''}}. तब परिभाषित करें
 :{{math|''x'' A ''y'' ↔ (∃''w''∈''B'')''U''(''w'',''x'',''y'')}},
 जो आसानी से काम करता है। दूसरी ओर, मान लीजिए {{mvar|τ}} II के लिए जीतने की रणनीति है। [[एस-एम-एन प्रमेय]] से, चलो {{math|''s'':(''ω<sup>ω</sup>'')<sup>2</sup> → ''ω<sup>ω</sup>''}} निरंतर ऐसा हो कि सभी के लिए {{mvar|ϵ}}, {{mvar|x}}, {{mvar|t}}, और {{mvar|w}},

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

Anonymous

Search

मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 16:59, 27 May 2023

संदर्भ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा: Difference between revisions

Revision as of 16:59, 27 May 2023

संदर्भ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories