रैंक 3 क्रमचय समूह: Difference between revisions

Revision as of 19:11, 29 May 2023

गणितीय परिमित समूह सिद्धांत में एक रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूह एक सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है जैसे कि एक बिंदु के स्थिरक में 3 कक्षाएं होती हैं इन समूहों का अध्ययन हिगमैन द्वारा 1964, 1971में प्रारंभ किया गया था छिटपुट सरल समूहों में से कई को रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूहों के रूप में खोजा गया था।

वर्गीकरण

आदिम रैंक 3 क्रमचय समूह निम्नलिखित वर्गों में से एक है

Cameron (1981) ने उन्हें इस प्रकार वर्गीकृत किया $T\times T\leq G\leq T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z$ जहां T0 का सामाजिक T सरल है और T0 डिग्री √n का 2-सकर्मक समूह है।
Liebeck (1987) ने एक नियमित प्राथमिक एबेलियन सामान्य उपसमूह के साथ वर्गीकृत किया
Bannai (1971–72) ने उन्हें वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण वैकल्पिक समूह है
Kantor & Liebler (1982) ने उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण शास्त्रीय समूह है
Liebeck & Saxl (1986) ने उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण असाधारण या छिटपुट समूह है।

उदाहरण

यदि G समुच्चय S पर कार्य करने वाला कोई 4-सकर्मक समूह है तो S के तत्वों के युग्मों पर इसकी क्रिया रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूह है^[1] विशेष रूप से अधिकांश वैकल्पिक समूहों सममित समूहों और मैथ्यू समूहों में 4-सकर्मक क्रियाएं होती हैं और इसलिए उन्हें रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूहों में बनाया जा सकता है।

प्रक्षेपी सामान्य रेखीय समूह कम से कम 3 आयाम के प्रक्षेपी स्थान में लाइनों पर कार्य करता है एक रैंक -3 क्रमपरिवर्तन समूह है

कई 3-स्थानांतरण समूह रैंक -3 क्रमपरिवर्तन समूह हैं

रैंक-3 क्रमपरिवर्तन समूह के बिंदु-स्थिरक के लिए यह एक कक्षा-3 क्रमपरिवर्तन समूह होने के लिए कक्षाओं में से एक पर कार्य करना साधारण बात है यह रैंक-3 क्रमपरिवर्तन समूहों की कई श्रृंखलाएं देता है जैसे सुजुकी श्रृंखला और फिशर समूहों के साथ समाप्त होने वाली श्रृंखला।

कुछ असामान्य रैंक-3 क्रमपरिवर्तन समूह नीचे सूचीबद्ध हैं।

नीचे दी गई तालिका में प्रत्येक पंक्ति के लिए आकार चिह्नित आकार में ग्रिड में समान चिह्न के बाईं ओर की संख्या पंक्ति में उल्लिखित क्रमपरिवर्तन समूह के लिए क्रमपरिवर्तन समूह की डिग्री है ग्रिड में समान चिह्न के दाईं ओर का योग क्रमपरिवर्तन समूह के एक बिंदु के स्थिरक की तीन कक्षाओं की लंबाई दर्शाता है उदाहरण के लिए शीर्षक के तहत तालिका की पहली पंक्ति में अभिव्यक्ति 15 = 1+6+8 का अर्थ है कि पहली पंक्ति के क्रमपरिवर्तन समूह की डिग्री 15 है और क्रमपरिवर्तन के एक बिंदु के स्थिरक की तीन कक्षाओं की लंबाई समूह क्रमशः 1, 6 और 8 हैं।

एम ₂₃	एम ₂₁ :2 = एल ₃ (4):2 ₂ = पीएएल (3,4)	253 = 1+42+210	23-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में बिंदुओं के जोड़े
एम ₂₃	2 ⁴ :अ ₇	253 = 1+112+140	एस के ब्लॉक (4,7,23)
मैकलॉघलिन समूह एमसीएल	यू ₄ (3)	275 = 1+112+162	मैकलॉघलिन ग्राफ के शिखर पर कार्रवाई
एम ₂₄	एम ₂₂ :2	276 = 1+44+231	24-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में बिंदुओं के जोड़े
जी ₂ (3)	यू ₃ (3): 2	351 = 1+126+244	दो कक्षाएं
जी ₂ (4)	जे ₂	416 = 1+100+315	सुजुकी चेन
एम ₂₄	एम ₁₂ :2	1288 = 1+495+792	24-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में पूरक डोडेकाड के जोड़े
सुजुकी समूह सुज	जी ₂ (4)	1782 = 1+416+1365	सुजुकी चेन
जी ₂ (4)	यू ₃ (4): 2	2016 = 1+975+1040
को ₂	पीएसयू ₆ (2):2	2300 = 1+891+1408
रुदवालिस समूह आरयू	² एफ ₄ (2)	4060 = 1+1755+2304
फाई ₂₂	2. पीएसयू ₆ (2)	3510 = 1+693+2816	3-बदलाव
फाई ₂₂	Ω ₇ (3)	14080 = 1+3159+10920	दो कक्षाएं
फाई ₂₃	2. फाई ₂₂	31671 = 1+3510+28160	3-बदलाव
जी ₂ (8).3	एसयू ₃ (8).6	130816 = 1+32319+98496
फाई ₂₃	PΩ ₈ ⁺ (3).S ₃	137632 = 1+28431+109200
फाई ₂₄ '	फाई ₂₃	306936 = 1+31671+275264	3-बदलाव

संदर्भ

Bannai, Eiichi (1971–72), "Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating groups", Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics, 18: 475–486, ISSN 0040-8980, MR 0357559
Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; Neumaier, Arnold (1989), Distance-regular graphs, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 18, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-50619-5, MR 1002568
Cameron, Peter J. (1981), "Finite permutation groups and finite simple groups", The Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628, doi:10.1112/blms/13.1.1, ISSN 0024-6093, MR 0599634
Higman, Donald G. (1964), "Finite permutation groups of rank 3" (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86 (2): 145–156, doi:10.1007/BF01111335, hdl:2027.42/46298, ISSN 0025-5874, MR 0186724, S2CID 51836896
Higman, Donald G. (1971), "A survey of some questions and results about rank 3 permutation groups", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), vol. 1, Gauthier-Villars, pp. 361–365, MR 0427435
Kantor, William M.; Liebler, Robert A. (1982), "The rank 3 permutation representations of the finite classical groups" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 271 (1): 1–71, doi:10.2307/1998750, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998750, MR 0648077
Liebeck, Martin W. (1987), "The affine permutation groups of rank three", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735, doi:10.1112/plms/s3-54.3.477, ISSN 0024-6115, MR 0879395
Liebeck, Martin W.; Saxl, Jan (1986), "The finite primitive permutation groups of rank three", The Bulletin of the London Mathematical Society, 18 (2): 165–172, doi:10.1112/blms/18.2.165, ISSN 0024-6093, MR 0818821

[1] The three orbits are: the fixed pair itself; those pairs having one element in common with the fixed pair; and those pairs having no element in common with the fixed pair.

[1]

@@ Line 22: / Line 22: @@
 नीचे दी गई तालिका में प्रत्येक पंक्ति के लिए आकार चिह्नित आकार में ग्रिड में समान चिह्न के बाईं ओर की संख्या पंक्ति में उल्लिखित क्रमपरिवर्तन समूह के लिए क्रमपरिवर्तन समूह की डिग्री है ग्रिड में समान चिह्न के दाईं ओर का योग क्रमपरिवर्तन समूह के एक बिंदु के स्थिरक की तीन कक्षाओं की लंबाई दर्शाता है उदाहरण के लिए शीर्षक के तहत तालिका की पहली पंक्ति में अभिव्यक्ति 15 = 1+6+8 का अर्थ है कि पहली पंक्ति के  क्रमपरिवर्तन समूह की डिग्री 15 है और क्रमपरिवर्तन के एक बिंदु के स्थिरक की तीन कक्षाओं की लंबाई समूह क्रमशः 1, 6 और 8 हैं।
 {| class="wikitable"
+|एम <sub>23</sub>
+|एम <sub>21</sub> :2 = एल <sub>3</sub> (4):2 <sub>2</sub> = पीएएल (3,4)
+|253 = 1+42+210
+|23-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में बिंदुओं के जोड़े
 |-
-! Group !! Point stabilizer !! size !! Comments
+|एम <sub>23</sub>
-|-
+|2 <sup>4</sup> :अ <sub>7</sub>
-| A<sub>6</sub> = L<sub>2</sub>(9) = Sp<sub>4</sub>(2)' = M<sub>10</sub>' || S<sub>4</sub> || 15 = 1+6+8 || Pairs of points, or sets of 3 blocks of 2, in the 6-point permutation representation; two classes
+|253 = 1+112+140
-|-
+|एस के ब्लॉक (4,7,23)
-| A<sub>9</sub> || L<sub>2</sub>(8):3 || 120 = 1+56+63 || Projective line P<sub>1</sub>(8); two classes
-|-
-| A<sub>10</sub> || (A<sub>5</sub>×A<sub>5</sub>):4 || 126 = 1+25+100 || Sets of 2 blocks of 5 in the natural 10-point permutation representation
-|-
-| L<sub>2</sub>(8) || 7:2 = Dih(7) || 36 = 1+14+21 || Pairs of points in P<sub>1</sub>(8)
-|-
-| L<sub>3</sub>(4) || A<sub>6</sub> || 56 = 1+10+45 || Hyperovals in P<sub>2</sub>(4); three classes
-|-
-| L<sub>4</sub>(3) || PSp<sub>4</sub>(3):2 || 117 = 1+36+80 || Symplectic polarities of P<sub>3</sub>(3); two classes
-|-
-| G<sub>2</sub>(2)' = U<sub>3</sub>(3) || PSL<sub>3</sub>(2) || 36 = 1+14+21 || [[Suzuki chain]]
-|-
-| U<sub>3</sub>(5) || A<sub>7</sub> || 50 = 1+7+42 || The action on the vertices of the [[Hoffman-Singleton graph]]; three classes
-|-
-| U<sub>4</sub>(3) || L<sub>3</sub>(4) || 162 = 1+56+105 || Two classes
-|-
-| Sp<sub>6</sub>(2) || G<sub>2</sub>(2) = U<sub>3</sub>(3):2 || 120 = 1+56+63 || The Chevalley group of type G<sub>2</sub> acting on the octonion algebra over GF(2)
-|-
-| Ω<sub>7</sub>(3) || G<sub>2</sub>(3) || 1080 = 1+351+728 || The Chevalley group of type G<sub>2</sub> acting on the imaginary octonions of the octonion algebra over GF(3); two classes
-|-
-| U<sub>6</sub>(2) || U<sub>4</sub>(3):2<sub>2</sub> || 1408 = 1+567+840 || The point stabilizer is the image of the linear representation resulting from "bringing down" the complex representation of Mitchell's group (a complex reflection group) modulo 2; three classes
-|-
-| [[Mathieu group|M<sub>11</sub>]] || M<sub>9</sub>:2 = 3<sup>2</sup>:SD<sub>16</sub> || 55 = 1+18+36 || Pairs of points in the 11-point permutation representation
-|-
-| [[Mathieu group|M<sub>12</sub>]] || M<sub>10</sub>:2 = A<sub>6</sub>.2<sup>2</sup> = PΓL(2,9) || 66 = 1+20+45 || Pairs of points, or pairs of complementary blocks of S(5,6,12), in the 12-point permutation representation; two classes
-|-
-| [[Mathieu group|M<sub>22</sub>]] || 2<sup>4</sup>:A<sub>6</sub> || 77 = 1+16+60 || Blocks of S(3,6,22)
-|-
-| [[Janko group J2|J<sub>2</sub>]] || U<sub>3</sub>(3) || 100 = 1+36+63 || [[Suzuki chain]]; the action on the vertices of the [[Hall-Janko graph]]
-|-
-| [[Higman–Sims group|Higman-Sims group HS]] || [[Mathieu group|M<sub>22</sub>]] || 100 = 1+22+77 || The action on the vertices of the [[Higman-Sims graph]]
-|-
-| [[Mathieu group|M<sub>22</sub>]] || A<sub>7</sub> || 176 = 1+70+105 || Two classes
-|-
-| [[Mathieu group|M<sub>23</sub>]] || M<sub>21</sub>:2 = L<sub>3</sub>(4):2<sub>2</sub> = PΣL(3,4) || 253 = 1+42+210 || Pairs of points in the 23-point permutation representation
-|-
-| [[Mathieu group|M<sub>23</sub>]] || 2<sup>4</sup>:A<sub>7</sub> || 253 = 1+112+140 || Blocks of S(4,7,23)
 |-
-| [[McLaughlin group (mathematics)|McLaughlin group McL]] || U<sub>4</sub>(3) || 275 = 1+112+162 || The action on the vertices of the [[McLaughlin graph]]
+|मैकलॉघलिन समूह एमसीएल
+|यू <sub>4</sub> (3)
+|275 = 1+112+162
+|मैकलॉघलिन ग्राफ के शिखर पर कार्रवाई
 |-
-| [[Mathieu group|M<sub>24</sub>]] || M<sub>22</sub>:2 || 276 = 1+44+231 || Pairs of points in the 24-point permutation representation
+|एम <sub>24</sub>
+|एम <sub>22</sub> :2
+|276 = 1+44+231
+|24-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में बिंदुओं के जोड़े
 |-
-| G<sub>2</sub>(3) || U<sub>3</sub>(3):2 || 351 = 1+126+244 || Two classes
+|जी <sub>2</sub> (3)
+|यू <sub>3</sub> (3): 2
+|351 = 1+126+244
+|दो कक्षाएं
 |-
-| G<sub>2</sub>(4) || [[Janko group J2|J<sub>2</sub>]] || 416 = 1+100+315 || [[Suzuki chain]]
+|जी <sub>2</sub> (4)
+|जे <sub>2</sub>
+|416 = 1+100+315
+|सुजुकी चेन
 |-
-| [[Mathieu group|M<sub>24</sub>]] || M<sub>12</sub>:2 || 1288 = 1+495+792 || Pairs of complementary dodecads in the 24-point permutation representation
+|एम <sub>24</sub>
+|एम <sub>12</sub> :2
+|1288 = 1+495+792
+|24-बिंदु क्रमचय प्रतिनिधित्व में पूरक डोडेकाड के जोड़े
 |-
-| [[sporadic Suzuki group|Suzuki group Suz]] || G<sub>2</sub>(4) || 1782 = 1+416+1365 || [[Suzuki chain]]
+|सुजुकी समूह सुज
+|जी <sub>2</sub> (4)
+|1782 = 1+416+1365
+|सुजुकी चेन
 |-
-||G<sub>2</sub>(4) || U<sub>3</sub>(4):2 || 2016 = 1+975+1040 ||
+|जी <sub>2</sub> (4)
+|यू <sub>3</sub> (4): 2
+|2016 = 1+975+1040
+|
 |-
-|[[Conway group Co2|Co<sub>2</sub>]] || PSU<sub>6</sub>(2):2 || 2300 = 1+891+1408 ||
+|को <sub>2</sub>
+|पीएसयू <sub>6</sub> (2):2
+|2300 = 1+891+1408
+|
 |-
-|[[Rudvalis group|Rudvalis group Ru]] || [[Tits group|<sup>2</sup>F<sub>4</sub>(2)]] || 4060 = 1+1755+2304 ||
+|रुदवालिस समूह आरयू
+|<sup>2</sup> एफ <sub>4</sub> (2)
+|4060 = 1+1755+2304
+|
 |-
-|[[Fischer group Fi22|Fi<sub>22</sub>]] || 2.PSU<sub>6</sub>(2) || 3510 = 1+693+2816 || [[3-transposition group|3-transpositions]]
+|फाई <sub>22</sub>
+|2. पीएसयू <sub>6</sub> (2)
+|3510 = 1+693+2816
+|3-बदलाव
 |-
-|[[Fischer group Fi22|Fi<sub>22</sub>]] || Ω<sub>7</sub>(3) || 14080 = 1+3159+10920 || Two classes
+|फाई <sub>22</sub>
+|Ω <sub>7</sub> (3)
+|14080 = 1+3159+10920
+|दो कक्षाएं
 |-
-|[[Fischer group Fi23|Fi<sub>23</sub>]] || 2.[[Fischer group|Fi<sub>22</sub>]] || 31671 = 1+3510+28160 || [[3-transposition group|3-transpositions]]
+|फाई <sub>23</sub>
+|2. फाई <sub>22</sub>
+|31671 = 1+3510+28160
+|3-बदलाव
 |-
-| G<sub>2</sub>(8).3 || SU<sub>3</sub>(8).6 || 130816 = 1+32319+98496 ||
+|जी <sub>2</sub> (8).3
+|एसयू <sub>3</sub> (8).6
+|130816 = 1+32319+98496
+|
 |-
-|[[Fischer group Fi23|Fi<sub>23</sub>]] || PΩ<sub>8</sub><sup>+</sup>(3).S<sub>3</sub> || 137632 = 1+28431+109200 ||
+|फाई <sub>23</sub>
-|-
+|PΩ <sub>8</sub> <sup>+</sup> (3).S <sub>3</sub>
-|[[Fischer group Fi24|Fi<sub>24</sub>]]' || [[Fischer group|Fi<sub>23</sub>]] || 306936 = 1+31671+275264 || [[3-transposition group|3-transpositions]]
+|137632 = 1+28431+109200
+|
 |-
+|फाई <sub>24</sub> '
+|फाई <sub>23</sub>
+|306936 = 1+31671+275264
+|3-बदलाव
 |}
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