अधिकतम सिद्धांत: Difference between revisions

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आंशिक अवकल समीकरणों और ज्यामितीय विश्लेषण के गणितीय क्षेत्रों में, अधिकतम सिद्धांत दीर्घवृत्तीय और परवलयिक अवकल समीकरणों के अध्ययन में मौलिक महत्व के परिणामों और प्रविधियों का एक संग्रह है।

सरलतम स्थिति में, दो चरों $u (x, y)$ के एक फलन पर विचार करें जैसे कि

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0

दुर्बल अधिकतम सिद्धांत, इस समायोजन में कहता है कि $u$ के प्रभावक्षेत्र के किसी भी विवृत पूर्वसंहत उपसमुच्चय $M$ के लिए, $M$ के संवृत होने पर अधिकतम $u$ , $M$ की सीमा पर प्राप्त किया जाता है। प्रबल अधिकतम सिद्धांत कहता है कि, जब तक $u$ एक स्थिर फलन न हो, अधिकतम भी $M$ पर कहीं भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस तरह के कथन दिए गए अवकल समीकरण के हल की एक आकर्षक गुणात्मक चित्र देते हैं। ऐसी गुणात्मक चित्र को कई प्रकार के अवकल समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। कई स्थितियों में, अवकल समीकरणों के हल के विषय में सटीक मात्रात्मक निष्कर्ष निकालने के लिए ऐसे अधिकतम सिद्धांतों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि उनके प्रवणता के आकार पर नियंत्रण है। कोई एकल या सबसे सामान्य अधिकतम सिद्धांत नहीं है जो सभी स्थितियों पर एक साथ अनुप्रयुक्त होता है।

अवमुख अनुकूलन के क्षेत्र में, एक अनुरूप कथन है जो अनुरोध करता है कि एक सघन अवमुख समुच्चय पर अधिकतम अवमुख फलन सीमा पर प्राप्त होता है।^[1]

अंतर्ज्ञान

प्रबल अधिकतम सिद्धांत का आंशिक सूत्रीकरण

यहां हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करते हैं, हालांकि समान सोच को अधिक सामान्य परिदृश्यों तक बढ़ाया जा सकता है। मान लीजिए $M$ , यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है और $u$ , $M$ पर एक C² फलन ऐसा है कि

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0

जहां 1 और $n$ के मध्य प्रत्येक $i$ और $j$ के लिए $a ij$ , $M$ पर $a ij = a ji$ के साथ एक फलन है।

$M$ $x$ में. कुछ विकल्प ठीक करें रेखीय बीजगणित के वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, आव्यूह के सभी आइजन मान $[a ij (x)]$ वास्तविक हैं, और इसका एक अलौकिक आधार है $ℝ n$ आइजन्वेक्टर से मिलकर। द्वारा आइजन मान निरूपित करें $λ i$ और संबंधित आइजन सदिश द्वारा $v i$ , के लिए $i$ 1 से $n$ . फिर अवकल समीकरण, बिंदु पर $x$ , के रूप में दोहराया जा सकता है

\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.

अधिकतम सिद्धांत का सार सरल अवलोकन है कि यदि प्रत्येक आइजन मान धनात्मक है (जो अवकल समीकरण के दीर्घवृत्तीयता के एक निश्चित सूत्रीकरण के समान है) तो उपरोक्त समीकरण हल के दिशात्मक दूसरे अवकलज के एक निश्चित संतुलन को अनुप्रयुक्त करता है। विशेष रूप से, यदि दूसरा दिशात्मक अवकलज नकारात्मक है, तो दूसरा सकारात्मक होना चाहिए। एक काल्पनिक बिंदु पर जहां $u$ को अधिकतम किया जाता है, सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज स्वचालित रूप से गैर-सकारात्मक होते हैं, और उपरोक्त समीकरण द्वारा दर्शाए गए संतुलन के लिए सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज को समान रूप से शून्य होने की आवश्यकता होती है।

इस प्राथमिक तर्क को प्रबल अधिकतम सिद्धांत के एक अतिसूक्ष्म सूत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए तर्क दिया जा सकता है, जो कुछ अतिरिक्त मान्यताओं (जैसे कि निरंतरता) के तहत बताता है। $a$ ), वह $u$ का बिंदु होने पर स्थिर होना चाहिए $M$ कहाँ $u$ अधिकतम है।

ध्यान दें कि उपरोक्त तर्क अप्रभावित है यदि कोई अधिक सामान्य आंशिक अवकल समीकरण पर विचार करता है

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,

चूंकि जोड़ा गया शब्द किसी भी काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर स्वचालित रूप से शून्य होता है। यदि कोई अधिक सामान्य स्थिति पर विचार करता है तो तर्क भी अप्रभावित रहता है

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,

जिसमें पूर्णतः असमानता (> इसके बजाय ≥) होने पर एक स्पष्ट विरोधाभास होने की अतिरिक्त घटनाओं को भी नोट किया जा सकता है इस स्थिति में काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर। शास्त्रीय दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के औपचारिक प्रमाण में यह घटना महत्वपूर्ण है।

प्रबल अधिकतम सिद्धांत की गैर-प्रयोज्यता

हालाँकि, उपरोक्त तर्क अब अनुप्रयुक्त नहीं होता है यदि कोई प्रतिबन्ध पर विचार करता है

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,

अब से संतुलन की स्थिति, जैसा कि एक काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर मूल्यांकन किया गया है $u$ , केवल यह कहता है कि स्पष्ट रूप से गैर-सकारात्मक मात्राओं का भारित औसत गैर-सकारात्मक है। यह तुच्छ रूप से सत्य है, और इसलिए कोई इससे कोई तुच्छ निष्कर्ष नहीं निकाल सकता है। यह किसी भी संख्या में ठोस उदाहरणों से परिलक्षित होता है, जैसे तथ्य यह है कि

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,

और किसी भी विवृत क्षेत्र पर जिसमें मूल फलन हो $- x 2 - y 2$ निश्चित रूप से अधिकतम है।

रैखिक अंडाकार पीडीई के लिए शास्त्रीय दुर्बल अधिकतम सिद्धांत

आवश्यक विचार

मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय को दर्शाता है। यदि एक सुचारू कार्य $u:M\to \mathbb {R}$ एक बिंदु पर अधिकतम होता है $p$ , तो एक स्वचालित रूप से होता है:

$(du)(p)=0$
$(\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,$ एक आव्यूह असमानता के रूप में।

एक आंशिक अवकल समीकरण को एक फलन के विभिन्न अवकलजों के मध्य एक बीजगणितीय संबंध के आरोपण के रूप में देख सकते हैं। तो यदि $u$ एक आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो यह संभव है कि उपरोक्त प्रतिबंधों के पहले और दूसरे अवकलज पर $u$ इस बीजगणितीय संबंध का विरोध करता है। यह अधिकतम सिद्धांत का सार है। स्पष्ट रूप से, इस विचार की प्रयोज्यता प्रश्न में आंशिक अवकल समीकरण पर दृढ़ता से निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, यदि $u$ अवकल समीकरण को हल करता है

\Delta u=|du|^{2}+2,

तो यह होना स्पष्ट रूप से असंभव है $\Delta u\leq 0$ और $du=0$ कार्यक्षेत्र के किसी भी बिंदु पर। तो, उपरोक्त अवलोकन के पश्चात, यह असंभव है $u$ अधिकतम मान लेने के लिए। यदि, इसके बजाय $u$ अवकल समीकरण हल किया $\Delta u=|du|^{2}$ तब किसी के पास ऐसा विरोधाभास नहीं होगा, और अब तक दिए गए विश्लेषण में कुछ भी दिलचस्प नहीं है। यदि $u$ अवकल समीकरण हल किया $\Delta u=|du|^{2}-2,$ तो वही विश्लेषण यह दर्शाएगा $u$ न्यूनतम मान नहीं ले सकता।

ऐसे विश्लेषण की संभावना आंशिक अवकल समीकरणों तक ही सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $u:M\to \mathbb {R}$ ऐसा फलन है

\Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,

जो एक प्रकार का गैर-स्थानीय अवकल समीकरण है, तो ऊपर के समान विश्लेषण से, दाईं ओर की स्वचालित पूर्णतः सकारात्मकता दर्शाती है, कि $u$ अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता।

इस तरह के विश्लेषण की प्रयोज्यता को विभिन्न तरीकों से बढ़ाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, यदि $u$ एक सुसंगत फलन है, तो एक बिंदु के अस्तित्व के बाद से उपरोक्त प्रकार का विरोधाभास सीधे नहीं होता है $p$ कहाँ $\Delta u(p)\leq 0$ आवश्यकता के विपरीत नहीं है $\Delta u=0$ हर जगह। हालांकि, कोई मनमाना वास्तविक संख्या के लिए विचार कर सकता है $s$ , कार्यक्रम $u s$ द्वारा परिभाषित

u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.

यह देखना सीधा है

\Delta u_{s}=se^{x_{1}}.

उपरोक्त विश्लेषण से, यदि $s>0$ तब $u s$ अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता। कोई सीमा पर विचार करना चाह सकता है {{mvar|s}इसे समाप्त करने के लिए } से 0 $u$ भी अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता है। हालांकि, उच्चिष्ठ के बिना कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा के लिए उच्चिष्ठ होना संभव है। फिर भी, यदि $M$ की सीमा ऐसी है $M$ इसकी सीमा के साथ सुसंहत है, फिर मान लीजिए $u$ लगातार सीमा तक बढ़ाया जा सकता है, यह तुरंत अनुसरण करता है कि दोनों $u$ और $u s$ पर अधिकतम मान प्राप्त करें $M\cup \partial M.$ चूंकि हमने दिखाया है $u s$ , एक फलन के रूप में $M$ , अधिकतम नहीं है, यह इस प्रकार है कि अधिकतम बिंदु $u s$ , किसी के लिए $s$ चालू है $\partial M.$ की अनुक्रमिक संहतता द्वारा $\partial M,$ यह इस प्रकार है कि अधिकतम $u$ पर प्राप्त होता है $\partial M.$ सुसंगत फलन के लिए यह दुर्बल अधिकतम सिद्धांत है। यह अपने आप में इस संभावना से इंकार नहीं करता है कि अधिकतम $u$ पर भी कहीं प्राप्त होता है $M$ . यह प्रबल अधिकतम सिद्धांत की सामग्री है, जिसके लिए और विश्लेषण की आवश्यकता है।

विशिष्ट कार्य का उपयोग $e^{x_{1}}$ ऊपर बहुत जरूरी था। जो कुछ मायने रखता था वह एक ऐसा कार्य होना था जो लगातार सीमा तक फैला हो और जिसका लाप्लासियन सख्ती से सकारात्मक हो। तो हम इस्तेमाल कर सकते थे, उदाहरण के लिए,

u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}

उसी प्रभाव से।

रैखिक दीर्घवृत्तीय पीडीई के लिए शास्त्रीय प्रबल अधिकतम सिद्धांत

प्रमाण का सारांश

मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है। मान लीजिए कि $u:M\to \mathbb {R}$ एक द्वि-विभेदक फलन हो जो अपना अधिकतम मान प्राप्त कर ले $C$ . लगता है कि

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.

मान लीजिए कि कोई खोज सकता है (या अस्तित्व को सिद्ध कर सकता है):

एक सुसंहत उपसमुच्चय $Ω$ का $M$ , अरिक्त अभ्यंतर के साथ, जैसे कि $u (x) < C$ सभी के लिए $x$ के अभ्यंतर में $Ω$ , और ऐसा है कि उपस्थित है $x 0$ की सीमा पर $Ω$ साथ $u (x 0) = C$ .
एक सतत फलन $h:\Omega \to \mathbb {R}$ जो के अभ्यंतर पर दो बार अलग-अलग है $Ω$ और साथ

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,

और ऐसा है कि एक है

u + h \leq C

की सीमा पर

Ω

साथ

h (x 0) = 0

तब $L (u + h - C) \geq 0$ पर $Ω$ साथ $u + h - C \leq 0$ की सीमा पर $Ω$ ; दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के अनुसार, किसी के पास है $u + h - C \leq 0$ पर $Ω$ . यह कहने के लिए पुनर्गठित किया जा सकता है

-{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}

सभी के लिए $x$ में $Ω$ . यदि कोई चुनाव कर सकता है $h$ ताकि दाहिने हाथ की ओर स्पष्ट रूप से सकारात्मक प्रकृति हो, तो यह इस तथ्य के लिए एक विरोधाभास प्रदान करेगा कि $x 0$ का अधिकतम बिंदु है $u$ पर $M$ , ताकि इसकी प्रवणता लुप्त हो जाए।

प्रमाण

उपरोक्त कार्यक्रम किया जा सकता है। चुनना $Ω$ गोलाकार वलय होना; एक इसके केंद्र का चयन करता है $x c$ संवृत समुच्चय के निकट एक बिंदु होना $u -1 (C)$ संवृत समुच्चय की तुलना में $\partial M$ , और बाहरी त्रिज्या $R$ को इस केंद्र से तक की दूरी के रूप में चुना गया है $u -1 (C)$ ; मान लीजिए कि $x 0$ इस बाद वाले समुच्चय पर एक बिंदु बनें जो दूरी का अनुभव करता है। भीतरी त्रिज्या $ρ$ मनमाना है। परिभाषित करना

h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.

अब की सीमा $Ω$ में दो गोले होते हैं; बाहरी क्षेत्र पर, एक है $h = 0$ ; चयन के कारण $R$ , किसी के पास $u \leq C$ इस क्षेत्र पर, और इसी तरह $u + h - C \leq 0$ आवश्यकता के साथ सीमा के इस भाग पर रखता है $h (x 0) = 0$ . आंतरिक क्षेत्र पर, एक के पास है $u < C$ . की निरंतरता के कारण $u$ और आंतरिक क्षेत्र की संहतता, कोई भी चुन सकता है $δ > 0$ ऐसा है कि $u + δ < C$ . तब से $h$ इस आंतरिक क्षेत्र पर स्थिर है, कोई भी चयन कर सकता है $ε > 0$ ऐसा है कि $u + h \leq C$ भीतरी क्षेत्र पर, और इसलिए की सम्पूर्ण सीमा पर $Ω$ .

सीधी गणना बताती है

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनके अंतर्गत दाहिनी ओर के गैर-नकारात्मक होने की प्रत्याभूति दी जा सकती है; नीचे प्रमेय का कथन देखें।

अंत में, ध्यान दें कि की दिशात्मक व्युत्पत्ति $h$ पर $x 0$ वलय की आवक-इंगित रेडियल रेखा के साथ पूर्णतः सकारात्मक है। जैसा कि उपरोक्त सारांश में बताया गया है, यह सुनिश्चित करेगा कि इसका एक दिशात्मक व्युत्पन्न $u$ पर $x 0$ अशून्य है, इसके विपरीत है $x 0$ का अधिकतम बिंदु होना $u$ विवृत समुच्चय पर $M$ .

प्रमेय का कथन

हॉफ (1927) के मूल कथन के पश्चात, मोरे और स्मोलर की पुस्तकों में प्रमेय का कथन निम्नलिखित है:

मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय $ℝ n$ है।
प्रत्येक $i$ और $j$ के लिए, 1 और $n$ के मध्य है, $a ij$ और $b i$ संतत फलन $M$ $a ij = a ji$ के साथ है। सभी $x$ के लिए $M$ में, सममित आव्यूह $[a ij]$ धनात्मक-निश्चित है। यदि $u$ अस्थिर है। $C 2$ फलन $M$ पर ऐसा है कि

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$

$M$ पर, तो $u$ , $M$ पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।

निरंतरता की धारणा का बिंदु यह है कि संतत फलन सुसंहत समुच्चयों पर बंधे होते हैं, यहां प्रासंगिक सुसंहत समुच्चय प्रमाण में दिखाई देने वाला गोलाकार वलय है। इसके अतिरिक्त, इसी सिद्धांत के अनुसार, एक संख्या $λ$ है जैसे कि वलय में सभी $x$ के लिए, आव्यूह $[a ij (x)]$ में $λ$ से अधिक या उसके समान सभी ईजेनमान हैं। तब एक $α$ लेता है, जैसा कि प्रमाण में दिखाई देता है, इन सीमाओं के सापेक्ष बड़ा है। इवांस की पुस्तक में थोड़ा दुर्बल सूत्रीकरण है, जिसमें एक धनात्मक संख्या $λ$ मानी जाती है जो कि $M$ में सभी $x$ के लिए $[a ij]$ के ईजेनमान की निचली सीमा है।

प्रमाण के कार्य करने के लिए ये निरंतरता धारणाएं स्पष्ट रूप से सबसे सामान्य संभव नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गिल्बर्ग और ट्रुडिंगर के प्रमेय का कथन, उसी प्रमाण के बाद निम्नलिखित है:

मान लीजिए कि $M$ यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय $ℝ n$ है। प्रत्येक $i$ और $j$ के लिए, 1 और $n$ के
मध्य है तथा $a ij$ और $b i$ फलन $M$ पर $a ij = a ji$ के साथ है। सभी $x$ के लिए $M$ में, सममित आव्यूह $[a ij]$ धनात्मक-निश्चित है और $λ(x)$ के सबसे छोटे ईजेन मान को निरूपित करता है। $\textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}$ और $\textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}$ परिबद्ध फलन $M$ हैं, प्रत्येक $i$ के लिए 1 और $n$ के मध्य है। यदि $u$ अस्थिर है। $C 2$ फलन $M$ पर ऐसा है कि

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$

$M$ पर, तो $u$ , $M$ पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।

जैसा कि पहले से ही एक आयामी स्थिति में देखा गया है, इन कथनों को सामान्य द्वितीय-क्रम रैखिक दीर्घवृत्तीय समीकरण तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साधारण अवकल समीकरण $y ″ + 2 y = 0$ में ज्यावक्रीय हल है, जिसमें निश्चित रूप से आंतरिक उच्चिष्ठता है। यह उच्च-आयामी स्थिति तक फैला हुआ है, जहां प्रायः ईजेनफलन समीकरणों के हल $Δ u + cu = 0$ होते हैं जिसमें आंतरिक उच्चिष्ठता है। c का चिह्न प्रासंगिक है, जैसा कि एक आयामी स्थिति में भी देखा गया है; उदाहरण के लिए, $y ″ - 2 y = 0$ के हल चरघातांकी हैं और ऐसे फलनों की उच्चिष्ठता की प्रकृति ज्यावक्रीय फलनों से काफी भिन्न होती है।

यह भी देखें

संदर्भ

शोध लेख

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चेंग, एस.वाई.; यौ, एस.टी. रीमानियन मैनिफोल्ड्स और उनके ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर विभेदक समीकरण। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 28 (1975), नहीं। 3, 333-354।
गिदास, बी.; नी, वी मिंग; अधिकतम सिद्धांत के माध्यम से निरेनबर्ग, एल। समरूपता और संबंधित गुण। कॉम। गणित। भौतिक। 68 (1979), नहीं। 3, 209–243।
गिदास, बी.; नी, वी मिंग; निरेनबर्ग, एल। गैर-रेखीय दीर्घवृत्तीय समीकरणों के सकारात्मक हलों की समरूपता $R n$ . गणितीय विश्लेषण और अनुप्रयोग, भाग ए, पीपी। 369-402, अभिभाषक। गणित में। पूरक। स्टड।, 7 ए, अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क-लंदन, 1981।
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यौ, शिंग तुंग। पूर्ण रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर सुसंगत कार्य करता है। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 28 (1975), 201–228।
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पाठ्यपुस्तकें

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Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp. ISBN 3-540-41160-7
Ladyženskaja, O. A.; Solonnikov, V. A.; Uralʹceva, N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. Translated from the Russian by S. Smith. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 23 American Mathematical Society, Providence, R.I. 1968 xi+648 pp.
Ladyzhenskaya, Olga A.; Ural'tseva, Nina N. Linear and quasilinear elliptic equations. Translated from the Russian by Scripta Technica, Inc. Translation editor: Leon Ehrenpreis. Academic Press, New York-London 1968 xviii+495 pp.
Lieberman, Gary M. Second order parabolic differential equations. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996. xii+439 pp. ISBN 981-02-2883-X
Morrey, Charles B., Jr. Multiple integrals in the calculus of variations. Reprint of the 1966 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2008. x+506 pp. ISBN 978-3-540-69915-6
Protter, Murray H.; Weinberger, Hans F. Maximum principles in differential equations. Corrected reprint of the 1967 original. Springer-Verlag, New York, 1984. x+261 pp. ISBN 0-387-96068-6
Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.
Smoller, Joel. Shock waves and reaction-diffusion equations. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 258. Springer-Verlag, New York, 1994. xxiv+632 pp. ISBN 0-387-94259-9 [Category:Mathematical principle

[1] Chapter 32 of Rockafellar (1970).

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-{{hatnote|This article describes the maximum principle in the theory of partial differential equations. For the maximum principle in optimal control theory, see [[Pontryagin's maximum principle]]. For the theorem in complex analysis, see [[Maximum modulus principle]].}}
+{{hatnote|यह लेख आंशिक अवकल समीकरणों के सिद्धांत में अधिकतम सिद्धांत का वर्णन करता है। इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में अधिकतम सिद्धांत के लिए, [[पोंट्रीगिन का अधिकतम सिद्धांत]] देखें। जटिल विश्लेषण में प्रमेय के लिए, [[अधिकतम मापांक सिद्धांत]] देखें।}}
-[[आंशिक अंतर समीकरण]]ों और [[ज्यामितीय विश्लेषण]] के गणितीय क्षेत्रों में, अधिकतम सिद्धांत [[अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण]] और [[परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण]] अंतर समीकरणों के अध्ययन में मौलिक महत्व के परिणामों और तकनीकों का एक संग्रह है।
+[[आंशिक अंतर समीकरण|आंशिक अवकल समीकरणों]] और [[ज्यामितीय विश्लेषण]] के गणितीय क्षेत्रों में, अधिकतम सिद्धांत [[अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण|दीर्घवृत्तीय]] और [[परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण|परवलयिक]] अवकल समीकरणों के अध्ययन में मौलिक महत्व के परिणामों और प्रविधियों का एक संग्रह है।
-सरलतम स्थिति में, दो चरों के एक फलन पर विचार करें {{math|''u''(''x'',''y'')}} ऐसा है कि
+सरलतम स्थिति में, दो चरों {{math|''u''(''x'',''y'')}} के एक फलन पर विचार करें जैसे कि
-:<math>\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.</math>
+:<math>\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0</math>
-कमजोर अधिकतम सिद्धांत, इस सेटिंग में, किसी भी खुले प्रीकॉम्पैक्ट सबसेट के लिए कहता है {{mvar|M}} के डोमेन का {{mvar|u}}, अधिकतम {{mvar|u}} के बंद होने पर {{mvar|M}} की सीमा पर प्राप्त होता है {{mvar|M}}. मजबूत अधिकतम सिद्धांत कहता है कि, जब तक {{mvar|u}} एक स्थिर कार्य है, अधिकतम भी कहीं भी हासिल नहीं किया जा सकता है {{mvar|M}} अपने आप।
+दुर्बल अधिकतम सिद्धांत, इस समायोजन में कहता है कि {{mvar|u}} के प्रभावक्षेत्र के किसी भी विवृत पूर्वसंहत उपसमुच्चय {{mvar|M}}  के लिए, {{mvar|M}}  के संवृत होने पर अधिकतम {{mvar|u}}, {{mvar|M}}  की सीमा पर प्राप्त किया जाता है। प्रबल अधिकतम सिद्धांत कहता है कि, जब तक {{mvar|u}} एक स्थिर फलन न हो, अधिकतम भी {{mvar|M}}  पर कहीं भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
-इस तरह के बयान दिए गए अंतर समीकरण के समाधान की एक आकर्षक गुणात्मक तस्वीर देते हैं। ऐसी गुणात्मक तस्वीर को कई प्रकार के अंतर समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। कई स्थितियों में, अंतर समीकरणों के समाधान के बारे में सटीक मात्रात्मक निष्कर्ष निकालने के लिए ऐसे अधिकतम सिद्धांतों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि उनके ढाल के आकार पर नियंत्रण। कोई एकल या सबसे सामान्य अधिकतम सिद्धांत नहीं है जो सभी स्थितियों पर एक साथ लागू होता है।
+इस तरह के कथन दिए गए अवकल समीकरण के हल की एक आकर्षक गुणात्मक चित्र देते हैं। ऐसी गुणात्मक चित्र को कई प्रकार के अवकल समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। कई स्थितियों में, अवकल समीकरणों के हल के विषय में सटीक मात्रात्मक निष्कर्ष निकालने के लिए ऐसे अधिकतम सिद्धांतों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि उनके प्रवणता के आकार पर नियंत्रण है। कोई एकल या सबसे सामान्य अधिकतम सिद्धांत नहीं है जो सभी स्थितियों पर एक साथ अनुप्रयुक्त होता है।
-[[उत्तल अनुकूलन]] के क्षेत्र में, एक समान कथन है जो दावा करता है कि एक [[कॉम्पैक्ट सेट]] [[उत्तल सेट]] पर अधिकतम उत्तल फ़ंक्शन [[सीमा (टोपोलॉजी)]] पर प्राप्त होता है।<ref>Chapter 32 of [[R. Tyrrell Rockafellar|Rockafellar]] (1970).</ref>
+[[उत्तल अनुकूलन|अवमुख]] [[उत्तल अनुकूलन|अनुकूलन]] के क्षेत्र में, एक अनुरूप कथन है जो अनुरोध करता है कि एक [[कॉम्पैक्ट सेट|सघन]] [[उत्तल सेट|अवमुख समुच्चय]] पर अधिकतम अवमुख फलन [[सीमा (टोपोलॉजी)|सीमा]] पर प्राप्त होता है।<ref>Chapter 32 of [[R. Tyrrell Rockafellar|Rockafellar]] (1970).</ref>
 == अंतर्ज्ञान ==
-===मजबूत अधिकतम सिद्धांत === का आंशिक सूत्रीकरण
+=== प्रबल अधिकतम सिद्धांत का आंशिक सूत्रीकरण ===
-यहां हम सबसे सरल मामले पर विचार करते हैं, हालांकि समान सोच को अधिक सामान्य परिदृश्यों तक बढ़ाया जा सकता है। होने देना {{mvar|M}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक खुला उपसमुच्चय बनें और दें {{mvar|u}} एक हो {{math|''C''<sup>2</sup>}} कार्य चालू है {{mvar|M}} ऐसा है कि
+यहां हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करते हैं, हालांकि समान सोच को अधिक सामान्य परिदृश्यों तक बढ़ाया जा सकता है। मान लीजिए {{mvar|M}}, यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है और {{mvar|u}}, {{mvar|M}}  पर एक ''C''<sup>2</sup> फलन ऐसा है कि
 :<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}=0</math>
-जहां प्रत्येक के लिए {{mvar|i}} और {{mvar|j}} 1 और के बीच {{mvar|n}}, {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} एक फंक्शन है {{mvar|M}} साथ {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''a''<sub>''ji''</sub>}}.
+जहां 1 और {{mvar|n}} के मध्य प्रत्येक {{mvar|i}} और {{mvar|j}} के लिए {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}}, {{mvar|M}}  पर {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''a''<sub>''ji''</sub>}} के साथ एक फलन है।
-कुछ विकल्प ठीक करें {{mvar|x}} में {{mvar|M}}. रेखीय बीजगणित के [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के अनुसार, मैट्रिक्स के सभी eigenvalues {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>(''x'')]}} वास्तविक हैं, और इसका एक अलौकिक आधार है {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} eigenvectors से मिलकर। द्वारा eigenvalues निरूपित करें {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} और संबंधित eigenvectors द्वारा {{math|''v''<sub>''i''</sub>}}, के लिए {{mvar|i}} 1 से {{mvar|n}}. फिर अंतर समीकरण, बिंदु पर {{mvar|x}}, के रूप में दोहराया जा सकता है
+{{mvar|M}}  {{mvar|x}} में. कुछ विकल्प ठीक करें रेखीय बीजगणित के [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के अनुसार, आव्यूह के सभी आइजन मान {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>(''x'')]}} वास्तविक हैं, और इसका एक अलौकिक आधार है {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} आइजन्वेक्टर से मिलकर। द्वारा  आइजन मान निरूपित करें {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} और संबंधित आइजन सदिश द्वारा {{math|''v''<sub>''i''</sub>}}, के लिए {{mvar|i}} 1 से {{mvar|n}}. फिर अवकल समीकरण, बिंदु पर {{mvar|x}}, के रूप में दोहराया जा सकता है
 :<math>\sum_{i=1}^n \lambda_i \left. \frac{d^2}{dt^2}\right|_{t=0}\big(u(x+tv_i)\big)=0.</math>
-अधिकतम सिद्धांत का सार सरल अवलोकन है कि यदि प्रत्येक eigenvalue धनात्मक है (जो अंतर समीकरण के दीर्घवृत्तीयता के एक निश्चित सूत्रीकरण के बराबर है) तो उपरोक्त समीकरण समाधान के दिशात्मक दूसरे डेरिवेटिव के एक निश्चित संतुलन को लागू करता है। विशेष रूप से, यदि दूसरा दिशात्मक डेरिवेटिव नकारात्मक है, तो दूसरा सकारात्मक होना चाहिए। एक काल्पनिक बिंदु पर जहां {{mvar|u}} को अधिकतम किया जाता है, सभी दिशात्मक द्वितीय डेरिवेटिव स्वचालित रूप से गैर-सकारात्मक होते हैं, और उपरोक्त समीकरण द्वारा दर्शाए गए संतुलन के लिए सभी दिशात्मक द्वितीय डेरिवेटिव को समान रूप से शून्य होने की आवश्यकता होती है।
+अधिकतम सिद्धांत का सार सरल अवलोकन है कि यदि प्रत्येक आइजन मान धनात्मक है (जो अवकल समीकरण के दीर्घवृत्तीयता के एक निश्चित सूत्रीकरण के समान है) तो उपरोक्त समीकरण हल के दिशात्मक दूसरे अवकलज के एक निश्चित संतुलन को अनुप्रयुक्त करता है। विशेष रूप से, यदि दूसरा दिशात्मक अवकलज नकारात्मक है, तो दूसरा सकारात्मक होना चाहिए। एक काल्पनिक बिंदु पर जहां {{mvar|u}} को अधिकतम किया जाता है, सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज स्वचालित रूप से गैर-सकारात्मक होते हैं, और उपरोक्त समीकरण द्वारा दर्शाए गए संतुलन के लिए सभी दिशात्मक द्वितीय अवकलज को समान रूप से शून्य होने की आवश्यकता होती है।
-इस प्राथमिक तर्क को मजबूत अधिकतम सिद्धांत के एक अतिसूक्ष्म सूत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए तर्क दिया जा सकता है, जो कुछ अतिरिक्त मान्यताओं (जैसे कि निरंतरता) के तहत बताता है। {{mvar|a}}), वह {{mvar|u}} का बिंदु होने पर स्थिर होना चाहिए {{mvar|M}} कहाँ {{mvar|u}} अधिकतम है।
+इस प्राथमिक तर्क को प्रबल अधिकतम सिद्धांत के एक अतिसूक्ष्म सूत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए तर्क दिया जा सकता है, जो कुछ अतिरिक्त मान्यताओं (जैसे कि निरंतरता) के तहत बताता है। {{mvar|a}}), वह {{mvar|u}} का बिंदु होने पर स्थिर होना चाहिए {{mvar|M}} कहाँ {{mvar|u}} अधिकतम है।
-ध्यान दें कि उपरोक्त तर्क अप्रभावित है यदि कोई अधिक सामान्य आंशिक अंतर समीकरण पर विचार करता है
+ध्यान दें कि उपरोक्त तर्क अप्रभावित है यदि कोई अधिक सामान्य आंशिक अवकल समीकरण पर विचार करता है
 :<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}=0,</math>
 चूंकि जोड़ा गया शब्द किसी भी काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर स्वचालित रूप से शून्य होता है। यदि कोई अधिक सामान्य स्थिति पर विचार करता है तो तर्क भी अप्रभावित रहता है
 :<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i \, \partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0,</math>
-जिसमें सख्त असमानता होने पर एक स्पष्ट विरोधाभास होने की अतिरिक्त घटनाओं को भी नोट किया जा सकता है ({{mvar|>}} इसके बजाय {{mvar|≥}}) इस स्थिति में काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर। शास्त्रीय कमजोर अधिकतम सिद्धांत के औपचारिक प्रमाण में यह घटना महत्वपूर्ण है।
+जिसमें पूर्णतः असमानता (> इसके बजाय ≥) होने पर एक स्पष्ट विरोधाभास होने की अतिरिक्त घटनाओं को भी नोट किया जा सकता है इस स्थिति में काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर। शास्त्रीय दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के औपचारिक प्रमाण में यह घटना महत्वपूर्ण है।
-=== मजबूत अधिकतम सिद्धांत की गैर-प्रयोज्यता ===
+=== प्रबल अधिकतम सिद्धांत की गैर-प्रयोज्यता ===
-हालाँकि, उपरोक्त तर्क अब लागू नहीं होता है यदि कोई शर्त पर विचार करता है
+हालाँकि, उपरोक्त तर्क अब अनुप्रयुक्त नहीं होता है यदि कोई प्रतिबन्ध पर विचार करता है
 :<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^n b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\leq 0,</math>
 अब से संतुलन की स्थिति, जैसा कि एक काल्पनिक अधिकतम बिंदु पर मूल्यांकन किया गया है {{mvar|u}}, केवल यह कहता है कि स्पष्ट रूप से गैर-सकारात्मक मात्राओं का भारित औसत गैर-सकारात्मक है। यह तुच्छ रूप से सत्य है, और इसलिए कोई इससे कोई तुच्छ निष्कर्ष नहीं निकाल सकता है। यह किसी भी संख्या में ठोस उदाहरणों से परिलक्षित होता है, जैसे तथ्य यह है कि
 :<math>\frac{\partial^2}{\partial x^2}\big({-x}^2-y^2\big)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\big({-x}^2-y^2\big)\leq 0,</math>
-और किसी भी खुले क्षेत्र पर जिसमें मूल फलन हो {{math|−''x''<sup>2</sup>−''y''<sup>2</sup>}} निश्चित रूप से अधिकतम है।
+और किसी भी विवृत क्षेत्र पर जिसमें मूल फलन हो {{math|−''x''<sup>2</sup>−''y''<sup>2</sup>}} निश्चित रूप से अधिकतम है।
-== रैखिक अंडाकार पीडीई == के लिए शास्त्रीय कमजोर अधिकतम सिद्धांत
+== रैखिक अंडाकार पीडीई के लिए शास्त्रीय दुर्बल अधिकतम सिद्धांत ==
 === आवश्यक विचार ===
-होने देना {{mvar|M}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय को दर्शाता है। यदि एक सुचारू कार्य <math>u:M\to\mathbb{R}</math> एक बिंदु पर अधिकतम होता है {{mvar|p}}, तो एक स्वचालित रूप से होता है:
+मान लीजिए कि {{mvar|M}} यूक्लिडीय समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय को दर्शाता है। यदि एक सुचारू कार्य <math>u:M\to\mathbb{R}</math> एक बिंदु पर अधिकतम होता है {{mvar|p}}, तो एक स्वचालित रूप से होता है:
 * <math>(du)(p)=0</math>
-* <math>(\nabla^2 u)(p)\leq 0,</math> एक मैट्रिक्स असमानता के रूप में।
+* <math>(\nabla^2 u)(p)\leq 0,</math> एक आव्यूह असमानता के रूप में।
-एक आंशिक अवकल समीकरण को एक फलन के विभिन्न अवकलजों के बीच एक बीजगणितीय संबंध के आरोपण के रूप में देख सकते हैं। तो यदि {{mvar|u}} एक आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो यह संभव है कि उपरोक्त शर्तों के पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर {{mvar|u}} इस बीजगणितीय संबंध का विरोध करता है। यह अधिकतम सिद्धांत का सार है। स्पष्ट रूप से, इस विचार की प्रयोज्यता प्रश्न में आंशिक अंतर समीकरण पर दृढ़ता से निर्भर करती है।
+एक आंशिक अवकल समीकरण को एक फलन के विभिन्न अवकलजों के मध्य एक बीजगणितीय संबंध के आरोपण के रूप में देख सकते हैं। तो यदि {{mvar|u}} एक आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो यह संभव है कि उपरोक्त प्रतिबंधों के पहले और दूसरे अवकलज पर {{mvar|u}} इस बीजगणितीय संबंध का विरोध करता है। यह अधिकतम सिद्धांत का सार है। स्पष्ट रूप से, इस विचार की प्रयोज्यता प्रश्न में आंशिक अवकल समीकरण पर दृढ़ता से निर्भर करती है।
-उदाहरण के लिए, अगर {{mvar|u}} अवकल समीकरण को हल करता है
+उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|u}} अवकल समीकरण को हल करता है
 :<math>\Delta u=|du|^2+2,</math>
-तो यह होना स्पष्ट रूप से असंभव है <math>\Delta u\leq 0</math> और <math>du=0</math> डोमेन के किसी भी बिंदु पर। तो, उपरोक्त अवलोकन के बाद, यह असंभव है {{mvar|u}} अधिकतम मान लेने के लिए। अगर, इसके बजाय {{mvar|u}} अवकल समीकरण हल किया <math>\Delta u=|du|^2</math> तब किसी के पास ऐसा विरोधाभास नहीं होगा, और अब तक दिए गए विश्लेषण में कुछ भी दिलचस्प नहीं है। अगर {{mvar|u}} अवकल समीकरण हल किया <math>\Delta u=|du|^2-2,</math> तो वही विश्लेषण यह दिखाएगा {{mvar|u}} न्यूनतम मान नहीं ले सकता।
+तो यह होना स्पष्ट रूप से असंभव है <math>\Delta u\leq 0</math> और <math>du=0</math> कार्यक्षेत्र के किसी भी बिंदु पर। तो, उपरोक्त अवलोकन के पश्चात, यह असंभव है {{mvar|u}} अधिकतम मान लेने के लिए। यदि, इसके बजाय {{mvar|u}} अवकल समीकरण हल किया <math>\Delta u=|du|^2</math> तब किसी के पास ऐसा विरोधाभास नहीं होगा, और अब तक दिए गए विश्लेषण में कुछ भी दिलचस्प नहीं है। यदि {{mvar|u}} अवकल समीकरण हल किया <math>\Delta u=|du|^2-2,</math> तो वही विश्लेषण यह दर्शाएगा {{mvar|u}} न्यूनतम मान नहीं ले सकता।
-ऐसे विश्लेषण की संभावना आंशिक अवकल समीकरणों तक ही सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, अगर <math>u:M\to\mathbb{R}</math> ऐसा कार्य है
+ऐसे विश्लेषण की संभावना आंशिक अवकल समीकरणों तक ही सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि <math>u:M\to\mathbb{R}</math> ऐसा फलन है
 :<math>\Delta u-|du|^4=\int_M e^{u(x)}\,dx,</math>
-जो एक प्रकार का गैर-स्थानीय अंतर समीकरण है, तो ऊपर के समान विश्लेषण से, दाईं ओर की स्वचालित सख्त सकारात्मकता दिखाती है, कि {{mvar|u}} अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता।
+जो एक प्रकार का गैर-स्थानीय अवकल समीकरण है, तो ऊपर के समान विश्लेषण से, दाईं ओर की स्वचालित पूर्णतः सकारात्मकता दर्शाती है, कि {{mvar|u}} अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता।
-इस तरह के विश्लेषण की प्रयोज्यता को विभिन्न तरीकों से बढ़ाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, अगर {{mvar|u}} एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है, तो एक बिंदु के अस्तित्व के बाद से उपरोक्त प्रकार का विरोधाभास सीधे नहीं होता है {{mvar|p}} कहाँ <math>\Delta u(p)\leq 0</math> आवश्यकता के विपरीत नहीं है <math>\Delta u=0</math> हर जगह। हालांकि, कोई मनमाना वास्तविक संख्या के लिए विचार कर सकता है {{mvar|s}}, कार्यक्रम {{math|''u''<sub>''s''</sub>}} द्वारा परिभाषित
+इस तरह के विश्लेषण की प्रयोज्यता को विभिन्न तरीकों से बढ़ाने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|u}} एक सुसंगत फलन है, तो एक बिंदु के अस्तित्व के बाद से उपरोक्त प्रकार का विरोधाभास सीधे नहीं होता है {{mvar|p}} कहाँ <math>\Delta u(p)\leq 0</math> आवश्यकता के विपरीत नहीं है <math>\Delta u=0</math> हर जगह। हालांकि, कोई मनमाना वास्तविक संख्या के लिए विचार कर सकता है {{mvar|s}}, कार्यक्रम {{math|''u''<sub>''s''</sub>}} द्वारा परिभाषित
 :<math>u_s(x)=u(x)+se^{x_1}.</math>
 यह देखना सीधा है
 :<math>\Delta u_s=se^{x_1}.</math>
-उपरोक्त विश्लेषण से, यदि <math>s>0</math> तब {{math|''u''<sub>''s''</sub>}} अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता। कोई सीमा पर विचार करना चाह सकता है {{mvar|s}इसे समाप्त करने के लिए } से 0 {{mvar|u}} भी अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता है। हालांकि, मैक्सिमा के बिना कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा के लिए मैक्सिमा होना संभव है। बहरहाल, अगर {{mvar|M}} की सीमा ऐसी है {{mvar|M}} इसकी सीमा के साथ कॉम्पैक्ट है, फिर मान लीजिए {{mvar|u}} लगातार सीमा तक बढ़ाया जा सकता है, यह तुरंत अनुसरण करता है कि दोनों {{mvar|u}} और {{math|''u''<sub>''s''</sub>}} पर अधिकतम मान प्राप्त करें <math>M\cup\partial M.</math> चूंकि हमने दिखाया है {{math|''u''<sub>''s''</sub>}}, एक समारोह के रूप में {{mvar|M}}, अधिकतम नहीं है, यह इस प्रकार है कि अधिकतम बिंदु {{math|''u''<sub>''s''</sub>}}, किसी के लिए {{mvar|s}} चालू है <math>\partial M.</math> की अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस द्वारा <math>\partial M,</math> यह इस प्रकार है कि अधिकतम {{mvar|u}} पर प्राप्त होता है <math>\partial M.</math> हार्मोनिक कार्यों के लिए यह कमजोर अधिकतम सिद्धांत है। यह अपने आप में इस संभावना से इंकार नहीं करता है कि अधिकतम {{mvar|u}} पर भी कहीं प्राप्त होता है {{mvar|M}}. यह मजबूत अधिकतम सिद्धांत की सामग्री है, जिसके लिए और विश्लेषण की आवश्यकता है।
+उपरोक्त विश्लेषण से, यदि <math>s>0</math> तब {{math|''u''<sub>''s''</sub>}} अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता। कोई सीमा पर विचार करना चाह सकता है {{mvar|s}इसे समाप्त करने के लिए } से 0 {{mvar|u}} भी अधिकतम मान प्राप्त नहीं कर सकता है। हालांकि, उच्चिष्ठ के बिना कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा के लिए उच्चिष्ठ होना संभव है। फिर भी, यदि {{mvar|M}} की सीमा ऐसी है {{mvar|M}} इसकी सीमा के साथ सुसंहत है, फिर मान लीजिए {{mvar|u}} लगातार सीमा तक बढ़ाया जा सकता है, यह तुरंत अनुसरण करता है कि दोनों {{mvar|u}} और {{math|''u''<sub>''s''</sub>}} पर अधिकतम मान प्राप्त करें <math>M\cup\partial M.</math> चूंकि हमने दिखाया है {{math|''u''<sub>''s''</sub>}}, एक फलन के रूप में {{mvar|M}}, अधिकतम नहीं है, यह इस प्रकार है कि अधिकतम बिंदु {{math|''u''<sub>''s''</sub>}}, किसी के लिए {{mvar|s}} चालू है <math>\partial M.</math> की अनुक्रमिक संहतता द्वारा <math>\partial M,</math> यह इस प्रकार है कि अधिकतम {{mvar|u}} पर प्राप्त होता है <math>\partial M.</math> सुसंगत फलन के लिए यह दुर्बल अधिकतम सिद्धांत है। यह अपने आप में इस संभावना से इंकार नहीं करता है कि अधिकतम {{mvar|u}} पर भी कहीं प्राप्त होता है {{mvar|M}}. यह प्रबल अधिकतम सिद्धांत की सामग्री है, जिसके लिए और विश्लेषण की आवश्यकता है।
 विशिष्ट कार्य का उपयोग <math>e^{x_1}</math> ऊपर बहुत जरूरी था। जो कुछ मायने रखता था वह एक ऐसा कार्य होना था जो लगातार सीमा तक फैला हो और जिसका लाप्लासियन सख्ती से सकारात्मक हो। तो हम इस्तेमाल कर सकते थे, उदाहरण के लिए,
@@ Line 64: / Line 64: @@
 उसी प्रभाव से।
-== रैखिक अण्डाकार पीडीई == के लिए शास्त्रीय मजबूत अधिकतम सिद्धांत
+== रैखिक दीर्घवृत्तीय पीडीई के लिए शास्त्रीय प्रबल अधिकतम सिद्धांत ==
-=== सबूत का सारांश ===
+=== प्रमाण का सारांश ===
-होने देना {{mvar|M}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक खुला उपसमुच्चय हो। होने देना <math>u:M\to\mathbb{R}</math> एक द्वि-विभेदक फलन हो जो अपना अधिकतम मान प्राप्त कर ले {{mvar|C}}. लगता है कि
+मान लीजिए कि {{mvar|M}} यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय है। मान लीजिए कि <math>u:M\to\mathbb{R}</math> एक द्वि-विभेदक फलन हो जो अपना अधिकतम मान प्राप्त कर ले {{mvar|C}}. लगता है कि
 :<math>a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0.</math>
-मान लीजिए कि कोई खोज सकता है (या अस्तित्व को साबित कर सकता है):
+मान लीजिए कि कोई खोज सकता है (या अस्तित्व को सिद्ध कर सकता है):
-* एक कॉम्पैक्ट सबसेट {{mvar|Ω}} का {{mvar|M}}, गैर-खाली इंटीरियर के साथ, जैसे कि {{math|''u''(''x'') < ''C''}} सभी के लिए {{mvar|x}} के इंटीरियर में {{mvar|Ω}}, और ऐसा है कि मौजूद है {{math|''x''<sub>0</sub>}} की सीमा पर {{mvar|Ω}} साथ {{math|''u''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''C''}}.
+* एक सुसंहत उपसमुच्चय {{mvar|Ω}} का {{mvar|M}}, अरिक्त अभ्यंतर के साथ, जैसे कि {{math|''u''(''x'') < ''C''}} सभी के लिए {{mvar|x}} के अभ्यंतर में {{mvar|Ω}}, और ऐसा है कि उपस्थित है {{math|''x''<sub>0</sub>}} की सीमा पर {{mvar|Ω}} साथ {{math|''u''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''C''}}.
-* एक सतत कार्य <math>h:\Omega\to\mathbb{R}</math> जो के इंटीरियर पर दो बार अलग-अलग है {{mvar|Ω}} और साथ
+* एक सतत फलन <math>h:\Omega\to\mathbb{R}</math> जो के अभ्यंतर पर दो बार अलग-अलग है {{mvar|Ω}} और साथ
 ::<math>a_{ij}\frac{\partial^2h}{\partial x^i\,\partial x^j}+b_i\frac{\partial h}{\partial x^i}\geq 0,</math>
 : और ऐसा है कि एक है {{math|''u'' + ''h'' ≤ ''C''}} की सीमा पर {{mvar|Ω}} साथ {{math|''h''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} 0}}
-तब {{math|''L''(''u'' + ''h'' − ''C'') ≥ 0}} पर {{mvar|Ω}} साथ {{math|''u'' + ''h'' − ''C'' ≤ 0}} की सीमा पर {{mvar|Ω}}; कमजोर अधिकतम सिद्धांत के अनुसार, किसी के पास है {{math|''u'' + ''h'' − ''C'' ≤ 0}} पर {{mvar|Ω}}. यह कहने के लिए पुनर्गठित किया जा सकता है
+तब {{math|''L''(''u'' + ''h'' − ''C'') ≥ 0}} पर {{mvar|Ω}} साथ {{math|''u'' + ''h'' − ''C'' ≤ 0}} की सीमा पर {{mvar|Ω}}; दुर्बल अधिकतम सिद्धांत के अनुसार, किसी के पास है {{math|''u'' + ''h'' − ''C'' ≤ 0}} पर {{mvar|Ω}}. यह कहने के लिए पुनर्गठित किया जा सकता है
 :<math>-\frac{u(x)-u(x_0)}{|x-x_0|}\geq \frac{h(x)-h(x_0)}{|x-x_0|}</math>
-सभी के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|Ω}}. अगर कोई चुनाव कर सकता है {{mvar|h}} ताकि दाहिने हाथ की ओर स्पष्ट रूप से सकारात्मक प्रकृति हो, तो यह इस तथ्य के लिए एक विरोधाभास प्रदान करेगा कि {{math|''x''<sub>0</sub>}} का अधिकतम बिंदु है {{mvar|u}} पर {{mvar|M}}, ताकि इसकी ग्रेडिएंट गायब हो जाए।
+सभी के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|Ω}}. यदि कोई चुनाव कर सकता है {{mvar|h}} ताकि दाहिने हाथ की ओर स्पष्ट रूप से सकारात्मक प्रकृति हो, तो यह इस तथ्य के लिए एक विरोधाभास प्रदान करेगा कि {{math|''x''<sub>0</sub>}} का अधिकतम बिंदु है {{mvar|u}} पर {{mvar|M}}, ताकि इसकी प्रवणता लुप्त हो जाए।
 === प्रमाण ===
-उपरोक्त कार्यक्रम किया जा सकता है। चुनना {{mvar|Ω}} गोलाकार वलय होना; एक इसके केंद्र का चयन करता है {{math|''x''<sub>c</sub>}} बंद सेट के करीब एक बिंदु होना {{math|''u''<sup>−1</sup>(''C'')}} बंद सेट की तुलना में {{math|∂''M''}}, और बाहरी त्रिज्या {{mvar|R}} को इस केंद्र से तक की दूरी के रूप में चुना गया है {{math|''u''<sup>−1</sup>(''C'')}}; होने देना {{math|''x''<sub>0</sub>}} इस बाद वाले सेट पर एक बिंदु बनें जो दूरी का एहसास करता है। भीतरी त्रिज्या {{mvar|ρ}} मनमाना है। परिभाषित करना
+उपरोक्त कार्यक्रम किया जा सकता है। चुनना {{mvar|Ω}} गोलाकार वलय होना; एक इसके केंद्र का चयन करता है {{math|''x''<sub>c</sub>}} संवृत समुच्चय के निकट एक बिंदु होना {{math|''u''<sup>−1</sup>(''C'')}} संवृत समुच्चय की तुलना में {{math|∂''M''}}, और बाहरी त्रिज्या {{mvar|R}} को इस केंद्र से तक की दूरी के रूप में चुना गया है {{math|''u''<sup>−1</sup>(''C'')}}; मान लीजिए कि {{math|''x''<sub>0</sub>}} इस बाद वाले समुच्चय पर एक बिंदु बनें जो दूरी का अनुभव करता है। भीतरी त्रिज्या {{mvar|ρ}} मनमाना है। परिभाषित करना
 :<math>h(x)=\varepsilon\Big(e^{-\alpha|x-x_{\text{c}}|^2}-e^{-\alpha R^2}\Big).</math>
-अब की सीमा {{mvar|Ω}} में दो गोले होते हैं; बाहरी क्षेत्र पर, एक है {{math|''h'' {{=}} 0}}; चयन के कारण {{mvar|R}}, किसी के पास {{math|''u'' ≤ ''C''}} इस क्षेत्र पर, और इसी तरह {{math|''u'' + ''h'' − ''C'' ≤ 0}} आवश्यकता के साथ सीमा के इस भाग पर रखता है {{math|''h''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} 0}}. आंतरिक क्षेत्र पर, एक के पास है {{math|''u'' < ''C''}}. की निरंतरता के कारण {{mvar|u}} और आंतरिक क्षेत्र की कॉम्पैक्टनेस, कोई भी चुन सकता है {{math|''δ'' > 0}} ऐसा है कि {{math|''u'' + ''δ'' < ''C''}}. तब से {{mvar|h}} इस आंतरिक क्षेत्र पर स्थिर है, कोई भी चयन कर सकता है {{math|''ε'' > 0}} ऐसा है कि {{math|''u'' + ''h'' ≤ ''C''}} भीतरी क्षेत्र पर, और इसलिए की पूरी सीमा पर {{mvar|Ω}}.
+अब की सीमा {{mvar|Ω}} में दो गोले होते हैं; बाहरी क्षेत्र पर, एक है {{math|''h'' {{=}} 0}}; चयन के कारण {{mvar|R}}, किसी के पास {{math|''u'' ≤ ''C''}} इस क्षेत्र पर, और इसी तरह {{math|''u'' + ''h'' − ''C'' ≤ 0}} आवश्यकता के साथ सीमा के इस भाग पर रखता है {{math|''h''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} 0}}. आंतरिक क्षेत्र पर, एक के पास है {{math|''u'' < ''C''}}. की निरंतरता के कारण {{mvar|u}} और आंतरिक क्षेत्र की संहतता, कोई भी चुन सकता है {{math|''δ'' > 0}} ऐसा है कि {{math|''u'' + ''δ'' < ''C''}}. तब से {{mvar|h}} इस आंतरिक क्षेत्र पर स्थिर है, कोई भी चयन कर सकता है {{math|''ε'' > 0}} ऐसा है कि {{math|''u'' + ''h'' ≤ ''C''}} भीतरी क्षेत्र पर, और इसलिए की सम्पूर्ण सीमा पर {{mvar|Ω}}.
 सीधी गणना बताती है
 :<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2h}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial h}{\partial x^i}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha|x-x_{\text{c}}|^2}\left(4\alpha\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\big(x^i-x_{\text{c}}^i\big)\big(x^j-x_{\text{c}}^j\big)-2\sum_{i=1}^n a_{ii}-2 \sum_{i=1}^n b_i\big(x^i-x_{\text{c}}^i\big)\right).</math>
-ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनके तहत दाहिनी ओर के गैर-नकारात्मक होने की गारंटी दी जा सकती है; नीचे प्रमेय का कथन देखें।
+ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनके अंतर्गत दाहिनी ओर के गैर-नकारात्मक होने की प्रत्याभूति दी जा सकती है; नीचे प्रमेय का कथन देखें।
-अंत में, ध्यान दें कि की दिशात्मक व्युत्पत्ति {{mvar|h}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} वलय की आवक-इंगित रेडियल रेखा के साथ सख्ती से सकारात्मक है। जैसा कि उपरोक्त सारांश में बताया गया है, यह सुनिश्चित करेगा कि इसका एक दिशात्मक व्युत्पन्न {{mvar|u}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} अशून्य है, इसके विपरीत है {{math|''x''<sub>0</sub>}} का अधिकतम बिंदु होना {{mvar|u}} खुले सेट पर {{mvar|M}}.
+अंत में, ध्यान दें कि की दिशात्मक व्युत्पत्ति {{mvar|h}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} वलय की आवक-इंगित रेडियल रेखा के साथ पूर्णतः सकारात्मक है। जैसा कि उपरोक्त सारांश में बताया गया है, यह सुनिश्चित करेगा कि इसका एक दिशात्मक व्युत्पन्न {{mvar|u}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} अशून्य है, इसके विपरीत है {{math|''x''<sub>0</sub>}} का अधिकतम बिंदु होना {{mvar|u}} विवृत समुच्चय पर {{mvar|M}}.
 === प्रमेय का कथन ===
-हॉफ (1927) के मूल कथन के बाद मोरे और स्मोलर की पुस्तकों में प्रमेय का कथन निम्नलिखित है:
+हॉफ (1927) के मूल कथन के पश्चात, मोरे और स्मोलर की पुस्तकों में प्रमेय का कथन निम्नलिखित है:
-{{blockquote|Let {{mvar|M}} be an open subset of Euclidean space {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}. For each {{mvar|i}} and {{mvar|j}} between 1 and {{mvar|n}}, let {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} and {{math|''b''<sub>''i''</sub>}} be continuous functions on {{mvar|M}} with {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''a''<sub>''ji''</sub>}}. Suppose that  for all {{mvar|x}} in {{mvar|M}}, the symmetric matrix {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>]}} is positive-definite. If {{mvar|u}} is a nonconstant {{math|''C''<sup>2</sup>}} function on {{mvar|M}} such that
+{{blockquote|मान लीजिए कि {{mvar|M}} यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} है।
+प्रत्येक {{mvar|i}} और {{mvar|j}} के लिए, 1 और {{mvar|n}} के मध्य है, {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} और {{math|''b''<sub>''i''</sub>}} संतत फलन {{mvar|M}} {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''a''<sub>''ji''</sub>}} के साथ है। सभी {{mvar|x}} के लिए {{mvar|M}} में, सममित आव्यूह {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>]}} धनात्मक-निश्चित है। यदि {{mvar|u}} अस्थिर है। {{math|''C''<sup>2</sup>}} फलन
+ {{mvar|M}} पर ऐसा है कि
 :<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0</math>
-on {{mvar|M}}, then {{mvar|u}} does not attain a maximum value on {{mvar|M}}.}}
+ {{mvar|M}} पर, तो {{mvar|u}}, {{mvar|M}} पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।}}
-निरंतरता की धारणा का बिंदु यह है कि निरंतर कार्य कॉम्पैक्ट सेटों पर बंधे होते हैं, यहां प्रासंगिक कॉम्पैक्ट सेट प्रमाण में दिखाई देने वाला गोलाकार वलय है। इसके अलावा, उसी सिद्धांत से, एक संख्या है {{mvar|λ}} ऐसा कि सभी के लिए {{mvar|x}} वलय में, मैट्रिक्स {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>(''x'')]}} के सभी eigenvalues से अधिक या उसके बराबर हैं {{mvar|λ}}. एक फिर लेता है {{mvar|α}}, जैसा कि प्रमाण में दिख रहा है, इन सीमाओं के सापेक्ष बड़ा होना। इवांस की पुस्तक का सूत्रीकरण थोड़ा कमजोर है, जिसमें एक धनात्मक संख्या मानी जाती है {{mvar|λ}} जो कि eigenvalues की निचली सीमा है {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>]}} सभी के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|M}}.
-सबूत के काम करने के लिए ये निरंतरता धारणाएं स्पष्ट रूप से सबसे सामान्य संभव नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गिल्बर्ग और ट्रुडिंगर के प्रमेय का बयान, उसी प्रमाण के बाद निम्नलिखित है:
+निरंतरता की धारणा का बिंदु यह है कि संतत फलन सुसंहत समुच्चयों पर बंधे होते हैं, यहां प्रासंगिक सुसंहत समुच्चय प्रमाण में दिखाई देने वाला गोलाकार वलय है। इसके अतिरिक्त, इसी सिद्धांत के अनुसार, एक संख्या {{mvar|λ}} है जैसे कि वलय में सभी {{mvar|x}} के लिए, आव्यूह {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>(''x'')]}} में {{mvar|λ}} से अधिक या उसके समान सभी ईजेनमान हैं। तब एक {{mvar|α}} लेता है, जैसा कि प्रमाण में दिखाई देता है, इन सीमाओं के सापेक्ष बड़ा है। इवांस की पुस्तक में थोड़ा दुर्बल सूत्रीकरण है, जिसमें एक धनात्मक संख्या {{mvar|λ}} मानी जाती है जो कि {{mvar|M}}  में सभी {{mvar|x}} के लिए {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>]}} के ईजेनमान की निचली सीमा है।
-{{blockquote|Let {{mvar|M}} be an open subset of Euclidean space {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}. For each {{mvar|i}} and {{mvar|j}} between 1 and {{mvar|n}}, let {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} and {{math|''b''<sub>''i''</sub>}} be functions on {{mvar|M}} with {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''a''<sub>''ji''</sub>}}. Suppose that  for all {{mvar|x}} in {{mvar|M}}, the symmetric matrix {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>]}} is positive-definite, and let {{math|λ(x)}} denote its smallest eigenvalue. Suppose that <math>\textstyle\frac{a_{ii}}{\lambda}</math> and <math>\textstyle\frac{|b_i|}{\lambda}</math> are bounded functions on {{mvar|M}} for each {{mvar|i}} between 1 and {{mvar|n}}. If {{mvar|u}} is a nonconstant {{math|''C''<sup>2</sup>}} function on {{mvar|M}} such that
+प्रमाण के कार्य करने के लिए ये निरंतरता धारणाएं स्पष्ट रूप से सबसे सामान्य संभव नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गिल्बर्ग और ट्रुडिंगर के प्रमेय का कथन, उसी प्रमाण के बाद निम्नलिखित है:
+{{blockquote|मान लीजिए कि {{mvar|M}} यूक्लिडीय समष्टि का एक विवृत उपसमुच्चय {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} है। प्रत्येक {{mvar|i}} और {{mvar|j}} के लिए, 1 और {{mvar|n}} के
+मध्य है तथा {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} और {{math|''b''<sub>''i''</sub>}} फलन {{mvar|M}} पर {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''a''<sub>''ji''</sub>}} के साथ है। सभी {{mvar|x}} के लिए {{mvar|M}} में, सममित आव्यूह {{math|[''a''<sub>''ij''</sub>]}} धनात्मक-निश्चित है और {{math|λ(x)}} के सबसे छोटे ईजेन मान को निरूपित करता है। <math>\textstyle\frac{a_{ii}}{\lambda}</math> और <math>\textstyle\frac{|b_i|}{\lambda}</math> परिबद्ध फलन {{mvar|M}} हैं, प्रत्येक {{mvar|i}} के लिए 1 और {{mvar|n}} के मध्य है। यदि {{mvar|u}} अस्थिर है। {{math|''C''<sup>2</sup>}} फलन {{mvar|M}} पर ऐसा है कि
 :<math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x^i\,\partial x^j}+\sum_{i=1}^nb_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\geq 0</math>
-on {{mvar|M}}, then {{mvar|u}} does not attain a maximum value on {{mvar|M}}.}}
+{{mvar|M}} पर, तो {{mvar|u}}, {{mvar|M}} पर अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।}}
-जैसा कि पहले से ही एक आयामी मामले में देखा गया है, इन कथनों को सामान्य द्वितीय-क्रम रैखिक अण्डाकार समीकरण तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साधारण अंतर समीकरण {{math|''y''{{''}} + 2''y'' {{=}} 0}} साइनसोइडल समाधान है, जिसमें निश्चित रूप से आंतरिक मैक्सिमा है। यह उच्च-आयामी मामले तक फैला हुआ है, जहां अक्सर ईजेनफंक्शन समीकरणों के समाधान होते हैं {{math|Δ''u'' + ''cu'' {{=}} 0}} जिसमें इंटीरियर मैक्सिमा है। सी का चिह्न प्रासंगिक है, जैसा कि एक आयामी मामले में भी देखा गया है; उदाहरण के लिए समाधान {{math|''y''{{''}} - 2''y'' {{=}} 0}} चरघातांकी होते हैं, और ऐसे फलनों की उच्चिष्ठता की प्रकृति ज्यावक्रीय फलनों से काफी भिन्न होती है।
+जैसा कि पहले से ही एक आयामी स्थिति में देखा गया है, इन कथनों को सामान्य द्वितीय-क्रम रैखिक दीर्घवृत्तीय समीकरण तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साधारण अवकल समीकरण {{math|''y''{{''}} + 2''y'' {{=}} 0}} में ज्यावक्रीय हल है, जिसमें निश्चित रूप से आंतरिक उच्चिष्ठता है। यह उच्च-आयामी स्थिति तक फैला हुआ है, जहां प्रायः ईजेनफलन समीकरणों के हल {{math|Δ''u'' + ''cu'' {{=}} 0}} होते हैं जिसमें आंतरिक उच्चिष्ठता है। ''c'' का चिह्न प्रासंगिक है, जैसा कि एक आयामी स्थिति में भी देखा गया है; उदाहरण के लिए, {{math|''y''{{''}} - 2''y'' {{=}} 0}} के हल चरघातांकी हैं और ऐसे फलनों की उच्चिष्ठता की प्रकृति ज्यावक्रीय फलनों से काफी भिन्न होती है।
 == यह भी देखें ==
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 * चेंग, एस.वाई.; यौ, एस.टी. रीमानियन मैनिफोल्ड्स और उनके ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर विभेदक समीकरण। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 28 (1975), नहीं। 3, 333-354।
 * गिदास, बी.; नी, वी मिंग; अधिकतम सिद्धांत के माध्यम से निरेनबर्ग, एल। समरूपता और संबंधित गुण। कॉम। गणित। भौतिक। 68 (1979), नहीं। 3, 209–243।
-* गिदास, बी.; नी, वी मिंग; निरेनबर्ग, एल। गैर-रेखीय अण्डाकार समीकरणों के सकारात्मक समाधानों की समरूपता {{math|R<sup>''n''</sup>}}. गणितीय विश्लेषण और अनुप्रयोग, भाग ए, पीपी। 369-402, अभिभाषक। गणित में। पूरक। स्टड।, 7 ए, अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क-लंदन, 1981।
+* गिदास, बी.; नी, वी मिंग; निरेनबर्ग, एल। गैर-रेखीय दीर्घवृत्तीय समीकरणों के सकारात्मक हलों की समरूपता {{math|R<sup>''n''</sup>}}. गणितीय विश्लेषण और अनुप्रयोग, भाग ए, पीपी। 369-402, अभिभाषक। गणित में। पूरक। स्टड।, 7 ए, अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क-लंदन, 1981।
 * हैमिल्टन, रिचर्ड एस. धनात्मक वक्रता संचालिका के साथ चार-कई गुना। जे डिफरेंशियल जियोम। 24 (1986), नहीं। 2, 153-179।
 * ई। हॉफ। एलीमेंटेयर बेमेरकुंगेन Über डाई लोसुंगेन पार्टिएलर डिफरेंशियल ग्लीचुंगेन ज़्वाइटर ऑर्डनंग वोम एलिप्टिसचेन टाइपस। सितबर। प्रीस। अकद। विस। बर्लिन 19 (1927), 147-152।
-* हॉफ, एबरहार्ड। द्वितीय कोटि के रैखिक अण्डाकार अवकल समीकरणों पर एक टिप्पणी। प्रक्रिया। आमेर। गणित। समाज। 3 (1952), 791-793।
+* हॉफ, एबरहार्ड। द्वितीय कोटि के रैखिक दीर्घवृत्तीय अवकल समीकरणों पर एक टिप्पणी। प्रक्रिया। आमेर। गणित। समाज। 3 (1952), 791-793।
-* निरेनबर्ग, लुइस। परवलयिक समीकरणों के लिए एक मजबूत अधिकतम सिद्धांत। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 6 (1953), 167-177।
+* निरेनबर्ग, लुइस। परवलयिक समीकरणों के लिए एक प्रबल अधिकतम सिद्धांत। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 6 (1953), 167-177।
 * ओमोरी, हिदेकी। रीमानियन मैनिफोल्ड्स का आइसोमेट्रिक निमज्जन। जे गणित। समाज। जेपीएन। 19 (1967), 205-214।
-* यौ, शिंग तुंग। पूर्ण रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर हार्मोनिक कार्य करता है। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 28 (1975), 201–228।
+* यौ, शिंग तुंग। पूर्ण रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर सुसंगत कार्य करता है। कॉम। शुद्ध सेब। गणित। 28 (1975), 201–228।
 * क्रेबर्ग, एच. जे. ए. आर्थिक प्रक्रियाओं में इष्टतम नियंत्रण के अधिकतम सिद्धांत पर, 1969 (ट्रॉनहैम, एनटीएच, सोशियलोकोनॉमिस्क संस्थान https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in) -आर्थिक-प्रक्रिया/ओसीएलसी/23714026)

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