द्विकेंद्रित चतुर्भुज

द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और EFGH के लिए पोंसलेट का छिद्र

यूक्लिडियन ज्यामिति में, द्विकेंद्रित चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज होता है जिसमें एक अंतर्वृत्त और एक परिवृत्त दोनों होते है। इन वृत्तों की त्रिज्या और केंद्र को क्रमशः अंतः त्रिज्या और परित्रिज्या कहा जाता है, और अंतः केंद्र और परिधि कहा जाता है। परिभाषा से यह पता चलता है कि द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज और चक्रीय चतुर्भुज दोनों के सभी गुण होते है। इन चतुर्भुजों के अन्य नाम जीवा-स्पर्शरेखा चतुर्भुज और परिबद्ध चतुर्भुज होते है। इसे संभवतः ही कभी दोहरा वृत्त चतुर्भुज और द्विलेखित चतुर्भुज कहा जाता है।

यदि दो वृत्त, एक दूसरे के भीतर, एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का अंतः वृत्त और परिवृत्त होते है, तो परिवृत्त पर प्रत्येक बिंदु एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के शीर्ष होते है जिसमें एक ही अंतः वृत्त और परिवृत्त होता है। यह पोंसेलेट के छिद्र की एक विशेष स्थिति होती है, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन-विक्टर पोंसेलेट (1788-1867) द्वारा सिद्ध किया गया था।

विशेष स्थितियां

एक सही पतंग

द्विकेंद्रित चतुर्भुज के उदाहरण वर्ग, सही और समद्विबाहु स्पर्शरेखा ट्रेपेज़ोइड होते है।

चरित्र चित्रण

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और इसका संपर्क चतुर्भुज WXYZ

भुजाओं a, b, c, d वाला एक उत्तल चतुर्भुज ABCD द्विकेंद्रित होता है यदि और केवल विपरीत भुजाएं स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के लिए प्रमेय और चक्रीय चतुर्भुज गुण को संतुष्ट करती है कि विपरीत कोण पूरक कोण है, वह है,

${\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}$

तीन अन्य लक्षण उन बिंदुओं से संबंधित होते है जहां एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतः वृत्त पक्षों के लिए स्पर्शरेखा होती है। यदि अंतर्वृत्त क्रमश: W, X, Y, Z पर AB, BC, CD, DA की भुजाओं को स्पर्श करता है, तो एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल निम्नलिखित तीन शर्तों में से कोई एक होता है:

• WY, XZ के लंबवत होता है
• ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
• ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

इन तीनों में से पहले का अर्थ होता है कि संपर्क चतुर्भुज WXYZ एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज होता है।

यदि E, F, G, H क्रमशः WX, XY, YZ, ZW के मध्य बिंदु है, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल चतुर्भुज EFGH एक आयत है।

एक अन्य विशेषता के अनुसार, यदि मैं एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःकेंद्र है जहां विपरीत पक्षों के विस्तार J और K पर प्रतिच्छेद करते है, तो चतुर्भुज भी चक्रीय होता है यदि और केवल JIK एक समकोण होता है।

फिर भी एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह होती है कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD चक्रीय होता है यदि और केवल इसकी न्यूटन रेखा इसके संपर्क चतुर्भुज WXYZ की न्यूटन रेखा के लंबवत होती है। (चतुर्भुज की न्यूटन रेखा उसके विकर्णों के मध्यबिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा होती है।)

निर्माण

संपर्क चतुर्भुज WXYZ के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD। एनिमेशन यहाँ देखें

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के निर्माण की एक सरल विधि होती है:

यह केंद्र के चारों ओर त्रिज्या r के साथ अंतः वृत्त C_r से प्रारंभ होता है और फिर अंतः वृत्त C_r में दो लंबवत जीवाओं WY और XZ को खींचता है। जीवाओं के अंतबिंदुओं पर अंतः वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ a, b, c, d को खीचते है। ये चार बिंदुओं A, B, C, D पर प्रतिच्छेद करते है, जो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के शीर्ष होते है। परिवृत्त बनाने के लिए, क्रमशः द्विकेंद्रित चतुर्भुज a की भुजाओं पर दो लम्ब समद्विभाजक p₁, p₂ खिचते है। लंब समद्विभाजक p₁, p₂ परिवृत्त C_R के केंद्र O में प्रतिच्छेद करते है और अंतः वृत्त Cr के केंद्र की दूरी x होती है। परिवृत्त को केंद्र O के चारों ओर खींचा जा सकता है।

इस निर्माण की वैधता इस विशेषता के कारण होती है कि, एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज एबीसीडी में, संपर्क चतुर्भुज WXYZ में लंबवत विकर्ण होते है यदि और केवल अगर स्पर्शरेखा चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज है।

क्षेत्र

चार मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के क्षेत्रफल K को चतुर्भुज की चार मात्राओं के रूप में कई अलग-अलग विधियों से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भुजाएँ a, b, c, d है, तो क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है:$\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$ इसे स्पर्शरेखा चतुर्भुज क्षेत्रफल के क्षेत्र के लिए सीधे त्रिकोणमितीय सूत्र से भी प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इसका विलोम सही नहीं होता है: कुछ चतुर्भुज जो द्विकेंद्रित नहीं होते है उनका भी क्षेत्रफल होता है $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$ ऐसे चतुर्भुज का एक उदाहरण एक गैर-वर्ग आयत होता है।

क्षेत्र को स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों e, f, g, h के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).$

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का सूत्र जिसका केंद्र है:$K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.$ यदि एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंड k, l और विकर्ण p, q है, तो इसका क्षेत्रफल है

$K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.$

यदि के, एल स्पर्शरेखा तार है और एम, एन चतुर्भुज के विशेष रेखा खंड है, तो क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है

$K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl$

इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि चतुर्भुज उस स्थिति में शून्य होता है।

यदि M और N विकर्णों के मध्य बिंदु है, और E और F विपरीत भुजाओं के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है

$K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}$

जहाँ अंतः वृत्त का केंद्र होता है।

तीन मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो विपरीत भुजाओं और विकर्णों के बीच के कोण θ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

:$K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.$

दो आसन्न कोणों और अंतः वृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में, क्षेत्र द्वारा दिया गया है:

$K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).$

क्षेत्र को परिमाप R और अंतः त्रिज्या r के रूप में दिया गया है

$K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta$

जहाँ θ विकर्णों के बीच का कोण होता है।

यदि एम और एन विकर्णों के मध्य बिंदु है, और ई और एफ विपरीत पक्षों के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो क्षेत्र को भी व्यक्त किया जा सकता है

$K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}$

जहाँ Q अंतः वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली रेखा EF होती है।

असमानताएं

यदि r और R क्रमशः अंतरत्रिज्या और परिकत्रिज्या है, तो क्षेत्र K असमानता को संतुष्ट करता है

$\displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.$

दोनों ओर समानता तभी होती है जब चतुर्भुज एक वर्ग होता है।

क्षेत्र के लिए एक और असमानता है

$K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$

जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या है।

पिछले एक की तुलना में क्षेत्र के लिए एक समान ऊपरी सीमा देने वाली समान असमानता है:

$K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})$

इसके अतिरिक्त, भुजाओं a, b, c, d और अर्द्धपरिधि s के साथ:

$2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};$

$6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};$

$4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).$

कोण सूत्र

यदि a, b, c, d एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में क्रमशः AB, BC, CD, DA भुजाओं की लंबाई होती है, तो इसके शीर्ष कोणों की गणना त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ की जा सकती है:

$\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},$

$\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.$

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए समान अंकन का उपयोग करते हुए निम्नलिखित सूत्र धारण करते है:

$\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},$

$\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},$

$\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},$

$\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.$

विकर्णों के बीच के कोण θ से गणना की जा सकती है

$\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.$

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज की अन्तः त्रिज्या r भुजाओं a, b, c, d के अनुसार निर्धारित होती है

$\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.$

परिवृत्त R को सूत्र के एक विशेष स्थिति के रूप में दिया गया है। यह है

$\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.$

अंतर्त्रिज्या को लगातार स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों ई, एफ, जी, एच के अनुसार भी व्यक्त किया जा सकता है

$\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.$

ये दो सूत्र वास्तव में एक चक्रीय चतुर्भुज होने के लिए अंतः त्रिज्या आर के साथ एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें होती है।

द्विकेंद्रित चतुर्भुज की चार भुजाएं a, b, c, d, चतुर्थक के चार समाधान होते है

$y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0$

जहां s अर्द्धपरिधि है, और r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या है।

असमानताएं

परिधि R और अंतः त्रिज्या r असमानता को संतुष्ट करते है

$R\geq {\sqrt {2}}r$

जिसे 1948 में एल. फेजेस टूथ ने प्रमाणित किया था। यह समानता के साथ तभी होता है जब दो वृत्त संकेंद्रित होते है (एक दूसरे के समान केंद्र होते है), तो चतुर्भुज एक वर्ग होते है। असमानता को कई अलग-अलग विधियों से प्रमाणित किया जा सकता है, एक उपरोक्त क्षेत्र के लिए दोहरी असमानता का उपयोग करके प्रमाणित किया जा सकता है।

पिछली असमानता का विस्तार है

${\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1$

जहां दोनों तरफ समानता है और चतुर्भुज एक वर्ग होता है।

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज की अर्धपरिधि संतुष्ट करती है

${\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r$

जहाँ r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या होती है।

इसके अतिरिक्त,

$2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}$

तथा

$abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).$

केंद्र और परिधि के बीच की दूरी

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD जिसका अंतःकेन्द्र I और परिकेन्द्र O है

उपद्रव प्रमेय

फस प्रमेय किसी भी द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के लिए अंतः त्रिज्या r, परिवृत्त R और अंतः केन्द्र और परिकेन्द्र O के बीच की दूरी x के बीच संबंध देता है। सम्बन्ध है

${\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},$

या समकक्ष है

$\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.$

यह 1792 में निकोलस फस (1755-1826) द्वारा प्राप्त किया गया था। एक्स के लिए समाधान है

$x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.$

फस की प्रमेय, जो कि ज्यामिति में यूलर की प्रमेय के अनुरूप होती है। द्विकेंद्रित चतुर्भुजों के लिए त्रिभुजों के लिए यूलर की प्रमेय कहती है कि यदि एक चतुर्भुज द्विकेन्द्रित होती है, तो इसके दो संबद्ध वृत्त उपरोक्त समीकरणों के अनुसार संबंधित होता है। वास्तव में इसका विलोम भी धारण करता है: दिए गए दो वृत्त (एक दूसरे के भीतर) जिनकी त्रिज्या R और r होती है और उनके केंद्रों के बीच दूरी x होती है जो फस के प्रमेय में स्थिति को संतुष्ट करते है, उनमें से एक उत्तल चतुर्भुज उपस्थित होता है और दूसरे को स्पर्श करता है। (और फिर पोंसेलेट के समापन प्रमेय द्वारा, उनमें से कई असीम रूप से उपस्थित होता है)।

इसको लागू करने के लिए $x^{2}\geq 0$ आर और आर के संदर्भ में एक्स के लिए फस के प्रमेय की अभिव्यक्ति के लिए उपर्युक्त असमानता प्राप्त करने की एक और विधि होती है $R\geq {\sqrt {2}}r.$ एक सामान्यीकरण है

$2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.$

कार्लिट्ज की पहचान

अंतरवृत्त और परिवृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी x के लिए एक अन्य सूत्र अमेरिकी गणितज्ञ लियोनार्ड कार्लिट्ज (1907-1999) के कारण होता है। यह प्रकट करता है कि

$\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu$

जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या होती है, और

$\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}$

जहाँ a, b, c, d द्विकेंद्रित चतुर्भुज की भुजाएँ होती है।

स्पर्शरेखा की लंबाई और भुजाओं के लिए असमानताएँ

स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए विशेष रेखा खंड ई, एफ, जी, एच निम्नलिखित असमानताएं होती है:

$4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}$

तथा

$4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})$

जहाँ r अन्तः त्रिज्या है, R परिकत्रिज्या होती है, और x अन्त: केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी होती है। पक्ष a, b, c, d असमानताओं को संतुष्ट करते है

$8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}$

तथा

$4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).$

केंद्र के अन्य गुण

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में परिकेन्द्र, अंतः केन्द्र और विकर्णों का प्रतिच्छेद संरेख होता है।

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के केंद्र और शीर्षों के बीच की दूरियों के संबंध में निम्नलिखित समानता होती है:

${\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

जहां r अंतः त्रिज्या है।

यदि P एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में विकर्णों का प्रतिच्छेदन होता है जिसका केंद्र है

${\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.$

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज ABCD में अंतर्त्रिज्या r और परिकत्रिज्या R से संबंधित एक असमानता है

$4r^{2}\leq AI\cdot CI+BI\cdot DI\leq 2R^{2}$

विकर्णों के गुण

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई को चक्रीय चतुर्भुज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक चक्रीय चतुर्भुज और एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में क्रमशः धारण करने वाले सूत्र होते है।

विकर्णों p और q के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में, निम्नलिखित सर्वसमिका धारण करता है:

$\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1$

जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या है। इस समानता को फिर से लिखा जा सकता है

$r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}$

या, इसे विकर्णों के गुणनफल के लिए द्विघात समीकरण के रूप में हल करता है

$pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).$

द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों p, q के गुणनफल के लिए असमानता है

$\displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}$

जहाँ a, b, c, d भुजाएँ है। यह 1967 में एस क्लैमकिन द्वारा सिद्ध किया गया था।

चार केंद्र एक वृत्त पर स्थित है

बता दें कि ABCD एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज है और O इसके परिवृत्त का केंद्र है। फिर चार त्रिभुजों △OAB, △OBC, △OCD, △ODA के अंतः केन्द्र एक वृत्त पर स्थित होते है।

यह भी देखें

• द्विकेंद्रित बहुभुज
• भूतपूर्व स्पर्शरेखा चतुर्भुज

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• चतुष्कोष
• अन्तःवृत्त
• अगर और केवल अगर
• अधिक कोण
• सीधा
• केंद्र में
• आवश्यक और पर्याप्त स्थिति
• राग (ज्यामिति)
• स्पर्शरेखा
• शिखर (ज्यामिति)
• दंडवत द्विभाजक
• असमानता (गणित)
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