पारस्परिक विशिष्टता: Difference between revisions
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तार्किकता और प्रायोजनिक सिद्धांत में, यदि दो घटनाएं या प्रस्ताव सह-असंबद्ध या अलग हों, तो वे एक साथ समय पर नहीं घटित हो सकते हैं। एक स्पष्ट उदाहरण एक सिक्के के टॉस के परिणामों का सेट है, जिसके परिणामस्वरूप हेड या टेल हो सकते हैं, लेकिन दोनों नहीं। एक सिक्के के एकल उछाल के परिणाम का स्पष्ट उदाहरण है, जिसमें हेड या टेल दोनों हो सकते हैं,परंतु दोनों एक साथ नहीं हो सकते है। | |||
सिक्का | सिक्का उछाल के उदाहरण में,, सिद्धांतानुसार, दोनों परिणाम संगठित रूप से व्यापक हैं, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक परिणाम होना चाहिए, इसलिए ये दो संभावनाएं साथ में सभी संभावनाओं को पूर्ण करती हैं।<ref>{{cite book |last=Miller |first=Scott |first2=Donald |last2=Childers |title=संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|publisher=Academic Press |edition=Second |year=2012 |page=8 |isbn=978-0-12-386981-4 |quote=The sample space is the collection or set of 'all possible' distinct (collectively exhaustive and mutually exclusive) outcomes of an experiment. }}</ref> यद्यपि,सभी सह-असंबद्ध घटनाएं संगठित रूप से व्यापक नहीं होती हैं। उदाहरण के रूप में, एक छ: मुखी पासा के एकल रोल के परिणाम 1 और 4 सह-असंबद्ध हैं दोनों एक साथ नहीं हो सकते, परंतु ये सम्पूर्ण रूप से व्यापक नहीं हैं, तथा अन्य संभावित परिणाम 2, 3, 5, 6 हैं। | ||
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Revision as of 11:27, 27 May 2023
| Part of a series on statistics |
| Probability theory |
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तार्किकता और प्रायोजनिक सिद्धांत में, यदि दो घटनाएं या प्रस्ताव सह-असंबद्ध या अलग हों, तो वे एक साथ समय पर नहीं घटित हो सकते हैं। एक स्पष्ट उदाहरण एक सिक्के के टॉस के परिणामों का सेट है, जिसके परिणामस्वरूप हेड या टेल हो सकते हैं, लेकिन दोनों नहीं। एक सिक्के के एकल उछाल के परिणाम का स्पष्ट उदाहरण है, जिसमें हेड या टेल दोनों हो सकते हैं,परंतु दोनों एक साथ नहीं हो सकते है।
सिक्का उछाल के उदाहरण में,, सिद्धांतानुसार, दोनों परिणाम संगठित रूप से व्यापक हैं, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक परिणाम होना चाहिए, इसलिए ये दो संभावनाएं साथ में सभी संभावनाओं को पूर्ण करती हैं।[1] यद्यपि,सभी सह-असंबद्ध घटनाएं संगठित रूप से व्यापक नहीं होती हैं। उदाहरण के रूप में, एक छ: मुखी पासा के एकल रोल के परिणाम 1 और 4 सह-असंबद्ध हैं दोनों एक साथ नहीं हो सकते, परंतु ये सम्पूर्ण रूप से व्यापक नहीं हैं, तथा अन्य संभावित परिणाम 2, 3, 5, 6 हैं।
तर्क
तर्क में, दो परस्पर अनन्य तर्कवाक्य ऐसे प्रस्ताव होते हैं जो तार्किक संभावना एक ही समय में एक ही अर्थ में सत्य होते हैं। यह कहना कि संदर्भ के आधार पर दो से अधिक तर्कवाक्य परस्पर अनन्य हैं, का अर्थ है कि यदि दूसरा सत्य है तो एक सत्य नहीं हो सकता है, या उनमें से कम से कम एक सत्य नहीं हो सकता है। जोड़ीदार परस्पर अनन्य शब्द का अर्थ हमेशा यह होता है कि उनमें से दो एक साथ सत्य नहीं हो सकते।
संभावना
प्रायिकता सिद्धांत में, घटनाएँ ई1, और2, ..., औरn पारस्परिक रूप से अपवर्जी कहा जाता है यदि उनमें से किसी एक के घटित होने का अर्थ शेष n − 1 घटनाओं का न होना है। इसलिए, दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ दोनों घटित नहीं हो सकतीं। औपचारिक रूप से कहा गया है, उनमें से प्रत्येक दो का प्रतिच्छेदन खाली है (शून्य घटना): A ∩ B = ∅। नतीजतन, पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं में संपत्ति होती है: P(A ∩ B) = 0।[2] उदाहरण के लिए, एक मानक 52-कार्ड डेक में दो रंगों के साथ ऐसा कार्ड बनाना असंभव है जो लाल और क्लब दोनों हो क्योंकि क्लब हमेशा काले होते हैं। यदि गड्डी से केवल एक पत्ता निकाला जाता है, या तो एक लाल पत्ता (हृदय या हीरा) या एक काला पत्ता (कुदाल या कुदाल) निकाला जाएगा। जब A और B परस्पर अपवर्जी हैं, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).[3] उदाहरण के लिए लाल कार्ड या क्लब निकालने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, लाल कार्ड निकालने की प्रायिकता और क्लब निकालने की प्रायिकता को एक साथ जोड़ें। मानक 52-कार्ड डेक में, छब्बीस लाल कार्ड और तेरह क्लब होते हैं: 26/52 + 13/52 = 39/52 या 3/4।
लाल कार्ड और क्लब दोनों को निकालने के लिए कम से कम दो कार्ड बनाने होंगे। दो ड्रा में ऐसा करने की संभावना इस बात पर निर्भर करती है कि क्या पहले निकाले गए कार्ड को दूसरी ड्राइंग से पहले बदल दिया गया था क्योंकि प्रतिस्थापन के बिना पहला कार्ड निकाले जाने के बाद एक कार्ड कम होता है। अलग-अलग घटनाओं (लाल, और क्लब) की संभावनाओं को जोड़ने के बजाय गुणा किया जाता है। बिना प्रतिस्थापन के दो आरेखणों में एक लाल और एक क्लब निकालने की प्रायिकता है 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652, या 13/51। प्रतिस्थापन के साथ, संभावना होगी 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704, या 13/52।
संभाव्यता सिद्धांत में, शब्द या दोनों घटनाओं के होने की संभावना के लिए अनुमति देता है। एक या दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता को P(A ∪ B) से दर्शाया जाता है और सामान्य तौर पर, यह P(A) + P(B) - P(A ∩ B) के बराबर होती है।[3]इसलिए, लाल कार्ड या राजा बनाने के मामले में, लाल राजा, लाल गैर-राजा, या काले राजा में से किसी एक को चित्रित करना एक सफलता माना जाता है। एक मानक 52-कार्ड डेक में, छब्बीस लाल कार्ड और चार बादशाह होते हैं, जिनमें से दो लाल होते हैं, इसलिए एक लाल या बादशाह निकालने की प्रायिकता 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/ 52.
घटनाएँ सामूहिक रूप से संपूर्ण होती हैं यदि उन संभावित घटनाओं से परिणामों की सभी संभावनाएँ समाप्त हो जाती हैं, इसलिए उन परिणामों में से कम से कम एक परिणाम अवश्य होना चाहिए। संभावना है कि कम से कम एक घटना घटित होगी एक के बराबर है।[4] उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक रूप से एक सिक्का उछालने की केवल दो संभावनाएँ हैं। एक सिर को फड़फड़ाना और एक पूंछ को फड़फड़ाना सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाएँ हैं, और एक सिर या पूंछ के फड़कने की संभावना है। घटनाएँ परस्पर अनन्य और सामूहिक रूप से संपूर्ण दोनों हो सकती हैं।[4]एक सिक्का उछालने के मामले में, एक सिर फड़फड़ाना और एक पूंछ फड़फड़ाना भी परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं। दोनों परिणाम एक ही परीक्षण के लिए नहीं हो सकते (अर्थात, जब एक सिक्का केवल एक बार फ़्लिप किया जाता है)। 1: 1/2 + 1/2 = 1 की प्रायिकता प्राप्त करने के लिए एक सिर को फड़फड़ाने की संभावना और एक पूंछ को फड़फड़ाने की संभावना को जोड़ा जा सकता है।[5]
सांख्यिकी
आँकड़ों और प्रतिगमन विश्लेषण में, एक आश्रित और स्वतंत्र चर जो केवल दो संभावित मान ले सकते हैं, एक डमी चर (सांख्यिकी) कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, यह मान 0 पर ले सकता है यदि अवलोकन एक सफेद विषय का है या 1 यदि अवलोकन एक काले विषय का है। दो संभावित मूल्यों से जुड़ी दो संभावित श्रेणियां परस्पर अनन्य हैं, इसलिए कोई भी अवलोकन एक से अधिक श्रेणी में नहीं आता है, और श्रेणियां संपूर्ण हैं, ताकि प्रत्येक अवलोकन किसी न किसी श्रेणी में आ जाए। कभी-कभी तीन या अधिक संभावित श्रेणियां होती हैं, जो जोड़ीदार रूप से परस्पर अनन्य होती हैं और सामूहिक रूप से संपूर्ण होती हैं - उदाहरण के लिए, 18 वर्ष से कम आयु, 18 से 64 वर्ष की आयु, और 65 वर्ष या उससे अधिक आयु। इस मामले में डमी वैरिएबल का एक सेट बनाया गया है, प्रत्येक डमी वैरिएबल में दो पारस्परिक रूप से अनन्य और संयुक्त रूप से संपूर्ण श्रेणियां हैं - इस उदाहरण में, एक डमी वैरिएबल (डी कहा जाता है)1) 1 के बराबर होगा यदि आयु 18 से कम है, और अन्यथा 0 के बराबर होगी; एक दूसरा डमी वैरिएबल (जिसे D2) 1 के बराबर होगा यदि आयु 18-64 की सीमा में है, और 0 अन्यथा। इस सेट-अप में, डमी वेरिएबल जोड़े (D1, डी2) के मान (1,0) (18 से कम), (0,1) (18 और 64 के बीच), या (0,0) (65 या पुराने) (लेकिन (1,1) नहीं) हो सकते हैं, जो निरर्थक होगा इसका अर्थ है कि एक मनाया गया विषय 18 वर्ष से कम और 18 और 64 के बीच है)। तब डमी चरों को प्रतिगमन में स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर के रूप में शामिल किया जा सकता है। डमी चरों की संख्या हमेशा श्रेणियों की संख्या से एक कम होती है: दो श्रेणियों काले और सफेद के साथ उन्हें अलग करने के लिए एक एकल डमी चर होता है, जबकि तीन आयु वर्गों के साथ उन्हें अलग करने के लिए दो डमी चर की आवश्यकता होती है।
ऐसे गुणात्मक डेटा का उपयोग आश्रित चरों के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक शोधकर्ता व्याख्यात्मक चर के रूप में परिवार की आय या जाति का उपयोग करके यह अनुमान लगा सकता है कि किसी को गिरफ्तार किया गया है या नहीं। यहाँ समझाया जाने वाला चर एक डमी चर है जो 0 के बराबर होता है यदि देखे गए विषय को गिरफ्तार नहीं किया जाता है और 1 के बराबर होता है यदि विषय को गिरफ्तार नहीं किया जाता है। ऐसी स्थिति में, साधारण न्यूनतम वर्ग (मूल प्रतिगमन तकनीक) को व्यापक रूप से अपर्याप्त के रूप में देखा जाता है; इसके बजाय प्रोबिट प्रतिगमन या संभार तन्त्र परावर्तन का उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, कभी-कभी आश्रित चर के लिए तीन या अधिक श्रेणियां होती हैं - उदाहरण के लिए, कोई शुल्क नहीं, शुल्क और मौत की सजा। इस स्थिति में, बहुराष्ट्रीय प्रोबिट या बहुराष्ट्रीय लॉगिट तकनीक का उपयोग किया जाता है।
यह भी देखें
- विपरीतता
- द्विभाजन
- असंबद्ध सेट
- इधर कुआ उधर खाई
- घटना संरचना
- आक्सीमोरण
- समकालिकता
टिप्पणियाँ
- ↑ Miller, Scott; Childers, Donald (2012). संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाएं (Second ed.). Academic Press. p. 8. ISBN 978-0-12-386981-4.
The sample space is the collection or set of 'all possible' distinct (collectively exhaustive and mutually exclusive) outcomes of an experiment.
- ↑ intmath.com; Mutually Exclusive Events. Interactive Mathematics. December 28, 2008.
- ↑ 3.0 3.1 Stats: Probability Rules.
- ↑ 4.0 4.1 Scott Bierman. A Probability Primer. Carleton College. Pages 3-4.
- ↑ "गैर-परस्पर अनन्य परिणाम। क्लिफ्स नोट्स।". Archived from the original on 2009-05-28. Retrieved 2009-07-10.
संदर्भ
- Whitlock, Michael C.; Schluter, Dolph (2008). The Analysis of Biological Data. Roberts and Co. ISBN 978-0-9815194-0-1.
- Lind, Douglas A.; Marchal, William G.; Wathen, Samuel A. (2003). Basic Statistics for Business & Economics (4th ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-247104-2.
