रेडॉन माप: Difference between revisions

Revision as of 23:15, 26 May 2023

गणित में (विशेष रूप से माप सिद्धांत में), जोहान रेडॉन के नाम पर एक रेडॉन माप, हॉसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि X के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर एक माप है जो सभी सघन समष्टि समुच्चयों पर परिमित है, सभी बोरेल समुच्चयों पर बाहरी नियमित है, और विवृत समुच्चय पर आंतरिक नियमित।^[1] ये स्थितियाँ गारंटी देती हैं कि माप समष्टि की सांस्थिति के अनुकूल है, और गणितीय विश्लेषण और संख्या सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश माप वस्तुतः रेडॉन माप हैं।

प्रेरणा

एक सामान्य समस्या एक सांस्थितिक समष्टि पर माप की एक ठीक धारणा को खोजना है जो कुछ अर्थों में सांस्थिति के साथ संगत है। ऐसा करने की एक विधि सांस्थितिक समष्टि के बोरेल समुच्चय पर माप को परिभाषित करना है। सामान्यतः इसमें कई समस्याएं हैं: उदाहरण के लिए, इस प्रकार के माप में एक ठीक प्रकार से परिभाषित समर्थन (माप सिद्धांत) नहीं हो सकता है। सिद्धांत को मापने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन समष्टि हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि तक सीमित है, और मात्र उन मापों पर विचार करें जो सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर धनात्मक रैखिक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं (कुछ लेखक इसे रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं)। यह बिना किसी रोग संबंधी समस्या के एक ठीक सिद्धांत पैदा करता है, परन्तु यह उन समष्टि पर लागू नहीं होता है जो स्थानीय रूप से सघन नहीं हैं। यदि गैर-ऋणात्मक मापों पर कोई प्रतिबंध नहीं है और जटिल मापों की अनुमति है, तो रेडॉन मापों को सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर संतत दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि ऐसा रेडॉन माप वास्तविक है तो इसे दो धनात्मक मापों के अंतर में विघटित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक स्वैच्छिक रेडॉन माप को चार धनात्मक रेडॉन मापों में विघटित किया जा सकता है, जहां प्रकार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो धनात्मक रेडॉन मापों के अंतर हैं।

रेडॉन मापों के सिद्धांत में स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए सामान्य सिद्धांत के अधिकांश ठीक गुण हैं, परन्तु यह सभी हौसडॉर्फ सांस्थितिक रिक्त समष्टि पर लागू होता है। रेडॉन माप की परिभाषा का विचार कुछ गुणों को खोजना है जो स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर मापों को चिह्नित करते हैं जो धनात्मक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप होते हैं, और इन गुणों का उपयोग यादृच्छिक हौसडॉर्फ समष्टि पर रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में करते हैं।

परिभाषाएँ

हौसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि X के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर m को माप दें।

माप m को 'आंतरिक नियमित माप' या 'दृढ़' कहा जाता है, यदि किसी विवृत समुच्चय U के लिए, m(U) U के सभी सघन उपसमुच्चय K पर m(K) का सर्वोच्च है।

माप m को 'नियमित माप' कहा जाता है, यदि किसी बोरेल समुच्चय B के लिए, m(B) सभी विवृत समुच्चय U में B युक्त m(U) से कम हो।

माप m को 'स्थानीय रूप से परिमित माप' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु का एक निकटवर्ती U है जिसके लिए m(U) परिमित है।

यदि m स्थानीय रूप से परिमित है, तो यह अनुसरण करता है कि m सघन समुच्चय पर परिमित है, और स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के लिए, विपरीत भी लागू होती है।
इस प्रकार, इस स्थिति में, सघन उपसमुच्चय पर स्थानीय परिमितता को समान रूप से परिमितता द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

माप m को 'रेडॉन माप' कहा जाता है यदि यह आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है। कई स्थितियों में, जैसे स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर परिमित माप, यह बाहरी नियमितता का भी अर्थ है (रेडॉन रिक्त समष्टि भी देखें)।

(रेडॉन माप के सिद्धांत को गैर-हॉउसडॉर्फ स्थानों तक विस्तारित करना संभव है, अनिवार्य रूप से सघन शब्द को प्रत्येक समष्टि संवृत सघन द्वारा प्रतिस्थापित करके। यद्यपि, इस विस्तार के लगभग कोई अनुप्रयोग प्रतीत नहीं होते हैं।)

रेडॉन माप स्थानीय रूप से सघन समष्टि पर

जब अंतर्निहित माप समष्टि स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि होता है, तो सघन समर्थन के साथ संतत फलन के समष्टि पर संतत रैखिक प्रकार्यात्मकता के संदर्भ में रेडॉन माप की परिभाषा व्यक्त की जा सकती है। यह प्रकार्यात्मक विश्लेषण, बोरबाकी (2004)^[which?] और कई अन्य लेखकों द्वारा अपनाए गए दृष्टिकोण के संदर्भ में माप और समाकलन को विकसित करना संभव बनाता है।

माप

निम्नलिखित में X स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि को दर्शाता है। X पर सघन समर्थन (गणित) के साथ संतत वास्तविक-मानित फलन एक सदिश समष्टि ${\mathcal {K}}(X)=C_{C}(X)$ बनाते हैं, जिसे एक प्राकृतिक स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि सांस्थिति दी जा सकती है। वस्तुतः, ${\mathcal {K}}(X)$ रिक्त समष्टि का संघ है ${\mathcal {K}}(X,K)$ सघन समष्टि समुच्चय में निहित समर्थन के साथ संतत फलनों की K. प्रत्येक रिक्त समष्टि ${\mathcal {K}}(X,K)$ स्वाभाविक रूप से समान अभिसरण की सांस्थिति वहन करती है, जो इसे बनच समष्टि बनाती है। परन्तु सांस्थितिक समष्टि के संघ के रूप में सांस्थितिक समष्टि, समष्टि की सीधी सीमा का एक विशेष स्थिति है ${\mathcal {K}}(X)$ रिक्त समष्टि से प्रेरित प्रत्यक्ष सीमा स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक वेक्टर समष्टि सांस्थिति से लैस किया जा सकता है ${\mathcal {K}}(X,K)$ ; यह सांस्थिति एकसमान अभिसरण की सांस्थिति से बेहतर है।

यदि m एक रेडॉन माप है $X,$ फिर मैपिंग

I:f\mapsto \int f(x)\,m(\mathrm {d} x)

से एक सतत धनात्मक रेखीय मानचित्र है ${\mathcal {K}}(X)$ आर के लिए। धनात्मकता का अर्थ है कि आई(एफ) ≥ 0 जब भी एफ एक गैर-ऋणात्मक कार्य है। ऊपर परिभाषित प्रत्यक्ष सीमा सांस्थिति के संबंध में संततता निम्नलिखित स्थिति के बराबर है: X के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय K के लिए एक स्थिर M मौजूद है_K ऐसा है कि, K में निहित समर्थन के साथ X पर प्रत्येक संतत वास्तविक-मानित फलन f के लिए,

|I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.

इसके विपरीत, रिज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, प्रत्येक धनात्मक रैखिक रूप पर ${\mathcal {K}}(X)$ एक अद्वितीय नियमित बोरेल माप के संबंध में समाकलन के रूप में उत्पन्न होता है।

एक वास्तविक-मानित रेडॉन माप को कोई भी संतत रेखीय रूप में परिभाषित किया गया है ${\mathcal {K}}(X)$ ; वे बिल्कुल दो रेडॉन मापों के अंतर हैं। यह स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि के दोहरे समष्टि के साथ वास्तविक-मानित रेडॉन मापों की पहचान देता है ${\mathcal {K}}(X)$ . इन वास्तविक-मानित रेडॉन मापों को हस्ताक्षरित मापों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, sin(x)dx एक वास्तविक-मानित रेडॉन माप है, परन्तु यह एक विस्तारित हस्ताक्षरित माप भी नहीं है क्योंकि इसे दो मापों के अंतर के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जिनमें से कम से कम एक परिमित है।

कुछ लेखक पूर्ववर्ती दृष्टिकोण का उपयोग परिभाषित करने के लिए (धनात्मक) रेडॉन मापों को धनात्मक रैखिक रूपों पर करते हैं ${\mathcal {K}}(X)$ ; देखना Bourbaki (2004)^[which?], Hewitt & Stromberg (1965) या Dieudonné (1970). इस समुच्चय -अप में एक शब्दावली का उपयोग करना आम है जिसमें उपरोक्त अर्थों में रेडॉन के मापों को धनात्मक माप कहा जाता है और वास्तविक-मान वाले रेडॉन मापों को ऊपर (वास्तविक) माप कहा जाता है।

समाकलन

प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए माप सिद्धांत के निर्माण को पूरा करने के लिए, सघन रूप से समर्थित संतत फलनों से माप (अभिन्न) का विस्तार करना आवश्यक है। यह वास्तविक या जटिल-मानित कार्यों के लिए कई चरणों में निम्नानुसार किया जा सकता है:

ऊपरी अभिन्न μ*(g) की परिभाषा एक निचले अर्ध-धनात्मक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन g की धनात्मक संख्याओं के सर्वोच्च (संभवतः अनंत) के रूप में μ '(h) सघन रूप से समर्थित संतत फलनों h ≤ g के लिए
अपर इंटीग्रल की परिभाषा μ*(f) एक यादृच्छिक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन f के लिए अपर इंटीग्रल μ*(g) के न्यूनतम के रूप में ) कम अर्ध-संतत फलनों के लिए g ≥ f
सदिश समष्टि की परिभाषा F = F(X, μ) X पर सभी कार्यों के समष्टि के रूप में f जिसके लिए ऊपरी अभिन्न μ*(|f|) निरपेक्ष मान परिमित है; निरपेक्ष मान का ऊपरी अभिन्न 'एफ' पर एक अर्ध-मानक को परिभाषित करता है, और 'एफ' अर्ध-मानक द्वारा परिभाषित सांस्थिति के संबंध में एक पूर्ण समष्टि है
समष्टि एल की परिभाषा¹(X, μ) 'अभिन्न कार्य' का संतत सघन रूप से समर्थित कार्यों के समष्टि के F के अंदर क्लोजर (सांस्थिति) के रूप में
एल में कार्यों के लिए 'अभिन्न' की परिभाषा¹(X, μ) संततता द्वारा विस्तार के रूप में (यह सत्यापित करने के बाद कि μ L की सांस्थिति के संबंध में संतत है¹(X, μ))
समुच्चय के सूचक समारोह के अभिन्न (जब यह मौजूद है) के रूप में एक समुच्चय के माप की परिभाषा।

यह सत्यापित करना संभव है कि ये चरण सिद्धांत के समान एक सिद्धांत उत्पन्न करते हैं जो X के प्रत्येक बोरेल समुच्चय को एक संख्या निर्दिष्ट करने वाले फलन के रूप में परिभाषित रेडॉन माप से शुरू होता है।

इस प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक समुच्चय -अप में 'R' पर Lebesgue माप को कुछ तरीकों से पेश किया जा सकता है। सबसे पहले, यह संभव है कि सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के इंटीग्रल के लिए डेनियल अभिन्न या रीमैन इंटीग्रल जैसे प्राथमिक इंटीग्रल पर भरोसा किया जाए, क्योंकि ये इंटीग्रल की सभी प्राथमिक परिभाषाओं के लिए इंटीग्रल हैं। प्राथमिक समाकलन द्वारा परिभाषित माप (ऊपर परिभाषित अर्थ में) सटीक रूप से लेबेस्ग माप है। दूसरा, अगर कोई रीमैन या डेनियल इंटीग्रल या अन्य समान सिद्धांतों पर निर्भरता से बचना चाहता है, तो पहले हार मापों के सामान्य सिद्धांत को विकसित करना संभव है और लेबेसेग माप को 'आर' पर हार माप λ के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्यीकरण की स्थिति को संतुष्ट करता है λ ([0,1]) = 1.

उदाहरण

रेडॉन मापों के सभी उदाहरण निम्नलिखित हैं:

यूक्लिडियन समष्टि पर लेबेस्ग्यू माप (बोरेल सबसमुच्चय तक सीमित);
किसी भी स्थानीय रूप से सघन सामयिक समूह पर हार माप;
किसी भी सामयिक समष्टि पर डायराक माप;
यूक्लिडियन समष्टि पर गाऊसी माप $\mathbb {R} ^{n}$ इसके बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ;
किसी भी पोलिश समष्टि के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर संभाव्यता माप। यह उदाहरण न मात्र पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करता है, बल्कि गैर-स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर कई मापों को शामिल करता है, जैसे अंतराल [0,1] पर वास्तविक-मानित संतत फलनों के समष्टि पर वीनर माप।
एक माप $\mathbb {R}$ एक रेडॉन माप है यदि और मात्र यदि यह स्थानीय रूप से परिमित माप बोरेल माप है।

निम्नलिखित रेडॉन मापों के उदाहरण नहीं हैं:

यूक्लिडियन समष्टि पर माप की गणना एक ऐसे माप का उदाहरण है जो रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से परिमित नहीं है।
क्रमिक संख्या का समष्टि अधिक से अधिक के बराबर $\Omega$ , आदेश सांस्थिति के साथ पहला बेशुमार क्रमसूचक एक सघन सांस्थितिक समष्टि है। वह माप जो किसी भी बोरेल समुच्चय पर 1 के बराबर होता है जिसमें बेशुमार संवृत उपसमुच्चय होता है $[1,\Omega )$ , और 0 अन्यथा, बोरेल है परन्तु रेडॉन नहीं, एक बिंदु समुच्चय के रूप में $\{\Omega \}$ माप शून्य है परन्तु इसके किसी भी विवृत निकटवर्ती में माप 1 है। देखें Schwartz (1974, p. 45).
X को अंतराल होने दें [0, 1) आधे विवृत अंतराल के संग्रह द्वारा उत्पन्न सांस्थिति से लैस $\{[a,b):0\leq a<b\leq 1\}$ . इस सांस्थिति को कभी-कभी सोरगेनफ्रे लाइन भी कहा जाता है। इस सांस्थितिक समष्टि पर, मानक लेबेस्ग्यू माप रेडॉन नहीं है क्योंकि यह आंतरिक नियमित नहीं है, क्योंकि सघन समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य हैं।
मान लीजिए कि Z एक बर्नस्टीन समुच्चय है $[0,1]$ (या कोई पोलिश स्थान)। फिर कोई माप नहीं जो Z पर बिंदुओं पर गायब हो जाता है, एक रेडॉन माप है, क्योंकि Z में कोई भी सघन समुच्चय गणनीय है।
मानक उत्पाद माप पर $(0,1)^{\kappa }$ बेशुमार के लिए $\kappa$ रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि कोई भी सघन समुच्चय बेशुमार रूप से कई संवृत अंतरालों के उत्पाद के भीतर समाहित है, जिनमें से प्रत्येक 1 से छोटा है।

हम ध्यान दें कि, सहज रूप से, रेडॉन माप गणितीय वित्त में विशेष रूप से लेवी प्रक्रियाओं के साथ काम करने के लिए उपयोगी है क्योंकि इसमें लेबेसेग माप और डायराक माप दोनों के गुण हैं, जैसा कि लेबेसेग के विपरीत, एक बिंदु पर एक रेडॉन माप जरूरी नहीं है। माप 0.^[2]

मूल गुण

मॉडरेटेड रेडॉन माप

किसी समष्टि X पर एक रेडॉन माप m दिया गया है, हम एक अन्य माप M (बोरेल समुच्चय पर) लगाकर परिभाषित कर सकते हैं

M(B)=\inf\{m(V)\mid V{\text{ is an open set with }}B\subseteq V\subseteq X\}.

माप m बाहरी नियमित है, और स्थानीय रूप से परिमित है, और विवृत समुच्चय के लिए आंतरिक नियमित है। यह सघन और ओपन समुच्चय पर m के साथ मेल खाता है, और m को m से अद्वितीय आंतरिक नियमित माप के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है जो सघन समुच्चय पर m के समान है। माप m को 'मॉडरेट' कहा जाता है यदि M σ-सीमित है; इस स्थिति में माप m और M समान हैं। (यदि m σ-परिमित है तो इसका मतलब यह नहीं है कि M σ-परिमित है, इसलिए संयमित होना σ-परिमित होने से अधिक मजबूत है।)

वंशानुगत रूप से लिंडेलोफ़ समष्टि पर प्रत्येक रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।

माप m का एक उदाहरण जो σ-परिमित है परन्तु मॉडरेट नहीं है, द्वारा दिया गया है Bourbaki (2004, Exercise 5 of section 1)^[which?] निम्नलिखित नुसार। सांस्थितिक समष्टि X ने बिंदुओं (0, y) के वाई-अक्ष द्वारा दिए गए वास्तविक विमान के सबसमुच्चय को बिंदुओं (1/n, m/n) के साथ एक साथ समुच्चय किया है।²) m,n धनात्मक पूर्णांकों के साथ। सांस्थिति इस प्रकार दी गई है। एकल अंक (1/n,m/n²) सभी विवृत समुच्चय हैं। बिंदु (0,y) के निकटवर्ती का एक आधार वेज द्वारा दिया जाता है जिसमें फॉर्म (u,v) के X में सभी बिंदु शामिल होते हैं |v − y| ≤ |यू| ≤ 1/n धनात्मक पूर्णांक n के लिए। यह समष्टि X स्थानीय रूप से सघन है। माप m को y-अक्ष को माप 0 देकर और बिंदु (1/n,m/n) देकर दिया जाता है²) का माप 1/n है^{3</उप>। यह माप आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है, परन्तु बाहरी नियमित नहीं है क्योंकि y-अक्ष वाले किसी भी विवृत समुच्चय में माप अनंत है। विशेष रूप से y-अक्ष का m-माप 0 है परन्तु M-माप अनंत है।}

रेडॉन समष्टि

एक सांस्थितिक समष्टि को रेडॉन समष्टि कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है, और जोरदार रेडॉन यदि प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है। कोई भी सुस्लिन समष्टि जोरदार रेडॉन है, और इसके अलावा प्रत्येक रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।

द्वैत

स्थानीय रूप से सघन हॉउसडॉर्फ समष्टि पर, रेडॉन माप सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर धनात्मक रैखिक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि यह संपत्ति रेडॉन माप की परिभाषा के लिए मुख्य प्रेरणा है।

मीट्रिक समष्टि संरचना

शंकु (रैखिक बीजगणित) ${\mathcal {M}}_{+}(X)$ सभी (धनात्मक) रेडॉन मापों पर $X$ दो मापों के बीच रेडॉन दूरी को परिभाषित करके एक पूर्ण समष्टि मीट्रिक समष्टि की संरचना दी जा सकती है $m_{1},m_{2}\in {\mathcal {M}}_{+}(X)$ होना

\rho (m_{1},m_{2}):=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)(m_{1}-m_{2})(\mathrm {d} x)\ \right|\mathrm {continuous\,} f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.

इस मीट्रिक की कुछ सीमाएँ हैं। उदाहरण के लिए, रेडॉन संभावना का समष्टि पर माप करता है $X$ ,

{\mathcal {P}}(X):=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\},

रेडॉन मीट्रिक के संबंध में सघन समष्टि नहीं है: यानी, यह गारंटी नहीं है कि संभाव्यता मापों के किसी भी क्रम में रेडॉन मीट्रिक के संबंध में अभिसरण होगा, जो कुछ अनुप्रयोगों में कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है। वहीं दूसरी ओर अगर $X$ एक सघन मीट्रिक समष्टि है, तो वासेरस्टीन मीट्रिक बदल जाता है ${\mathcal {P}}(X)$ एक सघन मीट्रिक समष्टि में।

रेडॉन मीट्रिक में अभिसरण का तात्पर्य मापों के कमजोर अभिसरण से है:

\rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,

परन्तु विपरीत निहितार्थ सामान्य रूप से झूठा है। रेडॉन मीट्रिक में मापों के अभिसरण को कभी-कभी मजबूत अभिसरण के रूप में जाना जाता है, जैसा कि कमजोर अभिसरण के विपरीत होता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Folland, Gerald (1999). Real Analysis: Modern techniques and their applications. New York: John Wiley & Sons, Inc. p. 212. ISBN 0-471-31716-0.
↑ Cont, Rama, and Peter Tankov. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall, 2004.

Bourbaki, Nicolas (2004a), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1

Functional-analytic development of the theory of Radon measure and integral on locally compact spaces.

Bourbaki, Nicolas (2004b), Integration II, Springer Verlag, ISBN 3-540-20585-3

Haar measure; Radon measures on general Hausdorff spaces and equivalence between the definitions in terms of linear functionals and locally finite inner regular measures on the Borel sigma-algebra.

Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, vol. 2, Academic Press

Contains a simplified version of Bourbaki's approach, specialised to measures defined on separable metrizable spaces .

Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
König, Heinz (1997), Measure and integration: an advanced course in basic procedures and applications, New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Schwartz, Laurent (1974), Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

बाहरी संबंध

R. A. Minlos (2001) [1994], "Radon measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] Folland, Gerald (1999). Real Analysis: Modern techniques and their applications. New York: John Wiley & Sons, Inc. p. 212. ISBN 0-471-31716-0.

[2] Cont, Rama, and Peter Tankov. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall, 2004.

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 {{Short description|Radon measure}}
-गणित में (विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में), [[जोहान रैडॉन|जोहान रेडॉन]] के नाम पर एक रेडॉन माप, [[हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस|हॉसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' के [[बोरेल सेट|बोरेल समुच्चय]] के σ-बीजगणित जो सभी पर परिमित सिग्मा बीजगणित पर एक माप (गणित) है| है [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]] समुच्चय , सभी बोरेल समुच्चय पर बाहरी नियमित माप, और खुले समुच्चय समुच्चय पर आंतरिक नियमित माप।<ref>{{cite book |last=Folland |first=Gerald |date=1999 |title=Real Analysis: Modern techniques and their applications |url=https://archive.org/details/realanalysismode00foll_670 |url-access=limited |location=New York |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |isbn=0-471-31716-0 |page=[https://archive.org/details/realanalysismode00foll_670/page/n224 212] }}</ref> ये स्थितियाँ गारंटी देती हैं कि माप अंतरिक्ष की टोपोलॉजी के अनुकूल है, और [[गणितीय विश्लेषण]] और [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश उपाय वास्तव में रेडॉन उपाय हैं।
+गणित में (विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में), [[जोहान रैडॉन|जोहान रेडॉन]] के नाम पर एक रेडॉन माप, [[हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस|हॉसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' के [[बोरेल सेट|बोरेल समुच्चय]] के σ-बीजगणित पर एक माप है जो सभी [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन समष्टि]] समुच्चयों पर परिमित है, सभी बोरेल समुच्चयों पर बाहरी नियमित है, और विवृत समुच्चय पर आंतरिक नियमित।<ref>{{cite book |last=Folland |first=Gerald |date=1999 |title=Real Analysis: Modern techniques and their applications |url=https://archive.org/details/realanalysismode00foll_670 |url-access=limited |location=New York |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |isbn=0-471-31716-0 |page=[https://archive.org/details/realanalysismode00foll_670/page/n224 212] }}</ref> ये स्थितियाँ गारंटी देती हैं कि माप समष्टि की सांस्थिति के अनुकूल है, और [[गणितीय विश्लेषण]] और [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश माप वस्तुतः रेडॉन माप हैं।
 == प्रेरणा ==
-एक सामान्य समस्या एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] पर माप की एक अच्छी धारणा को खोजना है जो कुछ अर्थों में टोपोलॉजी के साथ संगत है। ऐसा करने का एक तरीका सांस्थितिक समष्टि के बोरेल समुच्चय पर माप को परिभाषित करना है। सामान्य तौर पर इसमें कई समस्याएं हैं: उदाहरण के लिए, इस तरह के माप में एक अच्छी तरह से परिभाषित [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] नहीं हो सकता है। सिद्धांत को मापने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान]] हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान तक सीमित है, और केवल उन उपायों पर विचार करें जो कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ [[निरंतर कार्य]]ों के स्थान पर सकारात्मक [[रैखिक कार्यात्मक]]ताओं के अनुरूप हैं (कुछ लेखक इसे रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं)। यह बिना किसी रोग संबंधी समस्या के एक अच्छा सिद्धांत पैदा करता है, लेकिन यह उन जगहों पर लागू नहीं होता है जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं। यदि गैर-नकारात्मक उपायों पर कोई प्रतिबंध नहीं है और जटिल उपायों की अनुमति है, तो रेडॉन उपायों को कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थान पर निरंतर दोहरे स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि ऐसा रेडॉन माप वास्तविक है तो इसे दो सकारात्मक मापों के अंतर में विघटित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक स्वैच्छिक रेडॉन माप को चार सकारात्मक रेडॉन उपायों में विघटित किया जा सकता है, जहां कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो सकारात्मक रेडॉन उपायों के अंतर हैं।
+एक सामान्य समस्या एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] पर माप की एक ठीक धारणा को खोजना है जो कुछ अर्थों में सांस्थिति के साथ संगत है। ऐसा करने की एक विधि सांस्थितिक समष्टि के बोरेल समुच्चय पर माप को परिभाषित करना है। सामान्यतः इसमें कई समस्याएं हैं: उदाहरण के लिए, इस प्रकार के माप में एक ठीक प्रकार से परिभाषित [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] नहीं हो सकता है। सिद्धांत को मापने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|स्थानीय रूप से सघन]] समष्टि हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि तक सीमित है, और मात्र उन मापों पर विचार करें जो सघन समर्थन के साथ [[निरंतर कार्य|संतत फलनों]] के समष्टि पर धनात्मक [[रैखिक कार्यात्मक|रैखिक प्रकार्यात्मकताओं]] के अनुरूप हैं (कुछ लेखक इसे रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं)। यह बिना किसी रोग संबंधी समस्या के एक ठीक सिद्धांत पैदा करता है, परन्तु यह उन समष्टि पर लागू नहीं होता है जो स्थानीय रूप से सघन नहीं हैं। यदि गैर-ऋणात्मक मापों पर कोई प्रतिबंध नहीं है और जटिल मापों की अनुमति है, तो रेडॉन मापों को सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर संतत दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि ऐसा रेडॉन माप वास्तविक है तो इसे दो धनात्मक मापों के अंतर में विघटित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक स्वैच्छिक रेडॉन माप को चार धनात्मक रेडॉन मापों में विघटित किया जा सकता है, जहां प्रकार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो धनात्मक रेडॉन मापों के अंतर हैं।
-रेडॉन उपायों के सिद्धांत में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के लिए सामान्य सिद्धांत के अधिकांश अच्छे गुण हैं, लेकिन यह सभी हौसडॉर्फ सांस्थितिक रिक्त स्थान पर लागू होता है। रेडॉन माप की परिभाषा का विचार कुछ गुणों को खोजना है जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान पर उपायों को चिह्नित करते हैं जो सकारात्मक कार्यात्मकताओं के अनुरूप होते हैं, और इन गुणों का उपयोग मनमाने ढंग से हौसडॉर्फ अंतरिक्ष पर रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में करते हैं।
+रेडॉन मापों के सिद्धांत में स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए सामान्य सिद्धांत के अधिकांश ठीक गुण हैं, परन्तु यह सभी हौसडॉर्फ सांस्थितिक रिक्त समष्टि पर लागू होता है। रेडॉन माप की परिभाषा का विचार कुछ गुणों को खोजना है जो स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर मापों को चिह्नित करते हैं जो धनात्मक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप होते हैं, और इन गुणों का उपयोग यादृच्छिक हौसडॉर्फ समष्टि पर रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में करते हैं।
 == परिभाषाएँ ==
-हौसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि एक्स के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर एम को माप दें।
+हौसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि X के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर m को माप दें।
-माप m को 'आंतरिक नियमित माप' या 'तंग' कहा जाता है, यदि किसी खुले समुच्चय U के लिए, m(U) U के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K पर m(K) का सर्वोच्च है।
+माप m को 'आंतरिक नियमित माप' या 'दृढ़' कहा जाता है, यदि किसी विवृत समुच्चय U के लिए, m(U) U के सभी सघन उपसमुच्चय K पर m(K) का सर्वोच्च है।
-माप m को 'नियमित माप' कहा जाता है, यदि किसी बोरेल समुच्चय B के लिए, m(B) सभी खुले समुच्चय U में B युक्त m(U) से कम हो।
+माप m को 'नियमित माप' कहा जाता है, यदि किसी बोरेल समुच्चय B के लिए, m(B) सभी विवृत समुच्चय U में B युक्त m(U) से कम हो।
-माप m को 'स्थानीय रूप से परिमित माप' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस U है जिसके लिए m(U) परिमित है।
+माप m को 'स्थानीय रूप से परिमित माप' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु का एक निकटवर्ती U है जिसके लिए m(U) परिमित है।
-यदि m स्थानीय रूप से परिमित है, तो यह अनुसरण करता है कि m कॉम्पैक्ट समुच्चय पर परिमित है, और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए, बातचीत भी लागू होती है।<br>
+यदि m स्थानीय रूप से परिमित है, तो यह अनुसरण करता है कि m सघन समुच्चय पर परिमित है, और स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के लिए, विपरीत भी लागू होती है।<br>इस प्रकार, इस स्थिति में, सघन उपसमुच्चय पर स्थानीय परिमितता को समान रूप से परिमितता द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
-इस प्रकार, इस मामले में, कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर स्थानीय परिमितता को समान रूप से परिमितता द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
-माप m को 'रेडॉन माप' कहा जाता है यदि यह आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है। कई स्थितियों में, जैसे स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान पर परिमित उपाय, यह बाहरी नियमितता का भी अर्थ है (रेडॉन माप #रेडॉन रिक्त स्थान भी देखें)।
+माप m को 'रेडॉन माप' कहा जाता है यदि यह आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है। कई स्थितियों में, जैसे स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर परिमित माप, यह बाहरी नियमितता का भी अर्थ है (रेडॉन रिक्त समष्टि भी देखें)।
-(रेडॉन माप के सिद्धांत को गैर-हॉउसडॉर्फ स्थानों तक विस्तारित करना संभव है, अनिवार्य रूप से कॉम्पैक्ट शब्द को हर जगह बंद कॉम्पैक्ट द्वारा प्रतिस्थापित करके। हालांकि, इस विस्तार के लगभग कोई अनुप्रयोग प्रतीत नहीं होते हैं।)
+(रेडॉन माप के सिद्धांत को गैर-हॉउसडॉर्फ स्थानों तक विस्तारित करना संभव है, अनिवार्य रूप से सघन शब्द को प्रत्येक समष्टि संवृत सघन द्वारा प्रतिस्थापित करके। यद्यपि, इस विस्तार के लगभग कोई अनुप्रयोग प्रतीत नहीं होते हैं।)
-== रेडॉन [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] स्पेस == पर मापता है
+== रेडॉन माप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|स्थानीय रूप से सघन]] समष्टि पर ==
+जब अंतर्निहित माप समष्टि स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि होता है, तो सघन समर्थन के साथ संतत फलन के समष्टि पर संतत रैखिक प्रकार्यात्मकता के संदर्भ में रेडॉन माप की परिभाषा व्यक्त की जा सकती है। यह [[कार्यात्मक विश्लेषण|प्रकार्यात्मक विश्लेषण]], {{harvtxt|बोरबाकी|2004}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}} और कई अन्य लेखकों द्वारा अपनाए गए दृष्टिकोण के संदर्भ में माप और समाकलन को विकसित करना संभव बनाता है।
-जब अंतर्निहित माप स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सांस्थितिक समष्टि होता है, तो रेडॉन माप की परिभाषा को निरंतर फ़ंक्शन रैखिक मैप फ़ंक्शंस के संदर्भ में समर्थन (गणित) # कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर फ़ंक्शन के स्थान पर व्यक्त किया जा सकता है। यह [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के संदर्भ में माप और एकीकरण को विकसित करना संभव बनाता है, जो कि एक दृष्टिकोण है {{harvtxt|Bourbaki|2004}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}} और कई अन्य लेखक।
+=== माप ===
-=== उपाय ===
+निम्नलिखित में X स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि को दर्शाता है। X पर सघन समर्थन (गणित) के साथ संतत वास्तविक-मानित फलन एक [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] <math>\mathcal{K}(X)=C_C(X)</math>बनाते हैं, जिसे एक प्राकृतिक स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि सांस्थिति दी जा सकती है। वस्तुतः, <math>\mathcal{K}(X)</math> रिक्त समष्टि का संघ है <math>\mathcal{K}(X,K)</math> सघन समष्टि समुच्चय में निहित समर्थन के साथ संतत फलनों की K. प्रत्येक रिक्त समष्टि <math>\mathcal{K}(X,K)</math> स्वाभाविक रूप से समान अभिसरण की सांस्थिति वहन करती है, जो इसे [[बनच स्थान|बनच]] समष्टि बनाती है। परन्तु सांस्थितिक समष्टि के संघ के रूप में सांस्थितिक समष्टि, समष्टि की सीधी सीमा का एक विशेष स्थिति है <math>\mathcal{K}(X)</math> रिक्त समष्टि से प्रेरित प्रत्यक्ष सीमा [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक वेक्टर समष्टि]] सांस्थिति से लैस किया जा सकता है <math>\mathcal{K}(X,K)</math>; यह सांस्थिति एकसमान अभिसरण की सांस्थिति से बेहतर है।
-निम्नलिखित में X स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सांस्थितिक समष्टि को दर्शाता है। समर्थन (गणित) के साथ निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन #X पर कॉम्पैक्ट समर्थन एक [[सदिश स्थल]] बनाता है <math>\mathcal{K}(X)=C_C(X)</math>, जिसे एक प्राकृतिक स्थानीय रूप से उत्तल अंतरिक्ष टोपोलॉजी दी जा सकती है। वास्तव में, <math>\mathcal{K}(X)</math> रिक्त स्थान का संघ है <math>\mathcal{K}(X,K)</math> कॉम्पैक्ट स्पेस समुच्चय में निहित समर्थन के साथ निरंतर कार्यों की K. प्रत्येक रिक्त स्थान <math>\mathcal{K}(X,K)</math> स्वाभाविक रूप से समान अभिसरण की टोपोलॉजी वहन करती है, जो इसे [[बनच स्थान]] बनाती है। लेकिन सांस्थितिक समष्टि के संघ के रूप में सांस्थितिक समष्टि, स्पेस की सीधी सीमा का एक विशेष मामला है <math>\mathcal{K}(X)</math> रिक्त स्थान से प्रेरित प्रत्यक्ष सीमा [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक वेक्टर स्पेस]] टोपोलॉजी से लैस किया जा सकता है <math>\mathcal{K}(X,K)</math>; यह टोपोलॉजी एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी से बेहतर है।
 यदि m एक रेडॉन माप है <math>X,</math> फिर मैपिंग
 :: <math> I : f \mapsto \int f(x)\, m(\mathrm d x) </math>
-से एक सतत सकारात्मक रेखीय मानचित्र है <math>\mathcal{K}(X)</math> आर के लिए। सकारात्मकता का अर्थ है कि ''आई''(''एफ'') ≥ 0 जब भी ''एफ'' एक गैर-नकारात्मक कार्य है। ऊपर परिभाषित प्रत्यक्ष सीमा टोपोलॉजी के संबंध में निरंतरता निम्नलिखित स्थिति के बराबर है: ''X'' के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय ''K'' के लिए एक स्थिर ''M'' मौजूद है<sub>''K''</sub> ऐसा है कि, K में निहित समर्थन के साथ X पर प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन f के लिए,
+से एक सतत धनात्मक रेखीय मानचित्र है <math>\mathcal{K}(X)</math> आर के लिए। धनात्मकता का अर्थ है कि ''आई''(''एफ'') ≥ 0 जब भी ''एफ'' एक गैर-ऋणात्मक कार्य है। ऊपर परिभाषित प्रत्यक्ष सीमा सांस्थिति के संबंध में संततता निम्नलिखित स्थिति के बराबर है: ''X'' के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय ''K'' के लिए एक स्थिर ''M'' मौजूद है<sub>''K''</sub> ऐसा है कि, K में निहित समर्थन के साथ X पर प्रत्येक संतत वास्तविक-मानित फलन f के लिए,
 :: <math> |I(f)| \leq M_K  \sup_{x\in X} |f(x)|. </math>
-इसके विपरीत, रिज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, प्रत्येक सकारात्मक रैखिक रूप पर <math>\mathcal{K}(X)</math> एक अद्वितीय नियमित बोरेल उपाय के संबंध में एकीकरण के रूप में उत्पन्न होता है।
+इसके विपरीत, रिज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, प्रत्येक धनात्मक रैखिक रूप पर <math>\mathcal{K}(X)</math> एक अद्वितीय नियमित बोरेल माप के संबंध में समाकलन के रूप में उत्पन्न होता है।
-एक वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन माप को ''कोई भी'' निरंतर रेखीय रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathcal{K}(X)</math>; वे बिल्कुल दो रेडॉन उपायों के अंतर हैं। यह स्थानीय रूप से उत्तल स्थान के दोहरे स्थान के साथ वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन उपायों की पहचान देता है <math>\mathcal{K}(X)</math>. इन वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन उपायों को [[हस्ताक्षरित उपाय]]ों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, sin(x)dx एक वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन माप है, लेकिन यह एक विस्तारित हस्ताक्षरित माप भी नहीं है क्योंकि इसे दो मापों के अंतर के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जिनमें से कम से कम एक परिमित है।
+एक वास्तविक-मानित रेडॉन माप को ''कोई भी'' संतत रेखीय रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathcal{K}(X)</math>; वे बिल्कुल दो रेडॉन मापों के अंतर हैं। यह स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि के दोहरे समष्टि के साथ वास्तविक-मानित रेडॉन मापों की पहचान देता है <math>\mathcal{K}(X)</math>. इन वास्तविक-मानित रेडॉन मापों को [[हस्ताक्षरित उपाय|हस्ताक्षरित माप]]ों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, sin(x)dx एक वास्तविक-मानित रेडॉन माप है, परन्तु यह एक विस्तारित हस्ताक्षरित माप भी नहीं है क्योंकि इसे दो मापों के अंतर के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जिनमें से कम से कम एक परिमित है।
-कुछ लेखक पूर्ववर्ती दृष्टिकोण का उपयोग परिभाषित करने के लिए (सकारात्मक) रेडॉन उपायों को सकारात्मक रैखिक रूपों पर करते हैं <math>\mathcal{K}(X)</math>; देखना {{harvtxt|Bourbaki|2004}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}}, {{harvtxt|Hewitt|Stromberg|1965}} या {{harvtxt|Dieudonné|1970}}. इस समुच्चय -अप में एक शब्दावली का उपयोग करना आम है जिसमें उपरोक्त अर्थों में रेडॉन के उपायों को सकारात्मक उपाय कहा जाता है और वास्तविक-मूल्य वाले रेडॉन उपायों को ऊपर (वास्तविक) उपाय कहा जाता है।
+कुछ लेखक पूर्ववर्ती दृष्टिकोण का उपयोग परिभाषित करने के लिए (धनात्मक) रेडॉन मापों को धनात्मक रैखिक रूपों पर करते हैं <math>\mathcal{K}(X)</math>; देखना {{harvtxt|Bourbaki|2004}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}}, {{harvtxt|Hewitt|Stromberg|1965}} या {{harvtxt|Dieudonné|1970}}. इस समुच्चय -अप में एक शब्दावली का उपयोग करना आम है जिसमें उपरोक्त अर्थों में रेडॉन के मापों को धनात्मक माप कहा जाता है और वास्तविक-मान वाले रेडॉन मापों को ऊपर (वास्तविक) माप कहा जाता है।
-=== एकीकरण ===
+=== समाकलन ===
-कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के लिए माप सिद्धांत के निर्माण को पूरा करने के लिए, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित निरंतर कार्यों से माप (अभिन्न) का विस्तार करना आवश्यक है। यह वास्तविक या जटिल-मूल्यवान कार्यों के लिए कई चरणों में निम्नानुसार किया जा सकता है:
+प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए माप सिद्धांत के निर्माण को पूरा करने के लिए, सघन रूप से समर्थित संतत फलनों से माप (अभिन्न) का विस्तार करना आवश्यक है। यह वास्तविक या जटिल-मानित कार्यों के लिए कई चरणों में निम्नानुसार किया जा सकता है:
-# ऊपरी अभिन्न ''μ''*(''g'') की परिभाषा एक निचले अर्ध-सकारात्मक धनात्मक (वास्तविक-मूल्यवान) फ़ंक्शन ''g'' की सकारात्मक संख्याओं के सर्वोच्च (संभवतः अनंत) के रूप में ''μ'' '(''h'') कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित निरंतर कार्यों ''h'' ≤ ''g'' के लिए
+# ऊपरी अभिन्न ''μ''*(''g'') की परिभाषा एक निचले अर्ध-धनात्मक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन ''g'' की धनात्मक संख्याओं के सर्वोच्च (संभवतः अनंत) के रूप में ''μ'' '(''h'') सघन रूप से समर्थित संतत फलनों ''h'' ≤ ''g'' के लिए
-# अपर इंटीग्रल की परिभाषा ''μ''*(''f'') एक मनमाने ढंग से सकारात्मक (वास्तविक-मूल्यवान) फ़ंक्शन ''f'' के लिए अपर इंटीग्रल ''μ''*(''g) के न्यूनतम के रूप में '') कम अर्ध-निरंतर कार्यों के लिए ''g'' ≥ ''f''
+# अपर इंटीग्रल की परिभाषा ''μ''*(''f'') एक यादृच्छिक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन ''f'' के लिए अपर इंटीग्रल ''μ''*(''g) के न्यूनतम के रूप में '') कम अर्ध-संतत फलनों के लिए ''g'' ≥ ''f''
-# सदिश स्थान की परिभाषा ''F'' = ''F''(''X'', ''μ'') X पर सभी कार्यों के स्थान के रूप में ''f'' जिसके लिए ऊपरी अभिन्न ''μ''*(|''f''|) निरपेक्ष मान परिमित है; निरपेक्ष मान का ऊपरी अभिन्न 'एफ' पर एक अर्ध-मानक को परिभाषित करता है, और 'एफ' अर्ध-मानक द्वारा परिभाषित टोपोलॉजी के संबंध में एक पूर्ण स्थान है
+# सदिश समष्टि की परिभाषा ''F'' = ''F''(''X'', ''μ'') X पर सभी कार्यों के समष्टि के रूप में ''f'' जिसके लिए ऊपरी अभिन्न ''μ''*(|''f''|) निरपेक्ष मान परिमित है; निरपेक्ष मान का ऊपरी अभिन्न 'एफ' पर एक अर्ध-मानक को परिभाषित करता है, और 'एफ' अर्ध-मानक द्वारा परिभाषित सांस्थिति के संबंध में एक पूर्ण समष्टि है
-# अंतरिक्ष ''एल'' की परिभाषा<sup>1</sup>(X, μ) 'अभिन्न कार्य' का निरंतर कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों के स्थान के F के अंदर [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] के रूप में
+# समष्टि ''एल'' की परिभाषा<sup>1</sup>(X, μ) 'अभिन्न कार्य' का संतत सघन रूप से समर्थित कार्यों के समष्टि के F के अंदर [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|क्लोजर (सांस्थिति)]] के रूप में
-# एल में कार्यों के लिए 'अभिन्न' की परिभाषा<sup>1</sup>(X, μ) निरंतरता द्वारा विस्तार के रूप में (यह सत्यापित करने के बाद कि μ L की टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर है<sup>1</sup>(एक्स, μ))
+# एल में कार्यों के लिए 'अभिन्न' की परिभाषा<sup>1</sup>(X, μ) संततता द्वारा विस्तार के रूप में (यह सत्यापित करने के बाद कि μ L की सांस्थिति के संबंध में संतत है<sup>1</sup>(X, μ))
 # समुच्चय के [[सूचक समारोह]] के अभिन्न (जब यह मौजूद है) के रूप में एक समुच्चय के माप की परिभाषा।
-यह सत्यापित करना संभव है कि ये चरण सिद्धांत के समान एक सिद्धांत उत्पन्न करते हैं जो एक्स के प्रत्येक बोरेल समुच्चय को एक संख्या निर्दिष्ट करने वाले फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित रेडॉन माप से शुरू होता है।
+यह सत्यापित करना संभव है कि ये चरण सिद्धांत के समान एक सिद्धांत उत्पन्न करते हैं जो X के प्रत्येक बोरेल समुच्चय को एक संख्या निर्दिष्ट करने वाले फलन के रूप में परिभाषित रेडॉन माप से शुरू होता है।
-इस कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक समुच्चय -अप में 'R' पर Lebesgue माप को कुछ तरीकों से पेश किया जा सकता है। सबसे पहले, यह संभव है कि कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के इंटीग्रल के लिए [[ डेनियल अभिन्न |डेनियल अभिन्न]] या [[रीमैन इंटीग्रल]] जैसे प्राथमिक इंटीग्रल पर भरोसा किया जाए, क्योंकि ये इंटीग्रल की सभी प्राथमिक परिभाषाओं के लिए इंटीग्रल हैं। प्राथमिक एकीकरण द्वारा परिभाषित माप (ऊपर परिभाषित अर्थ में) सटीक रूप से [[लेबेस्ग उपाय]] है। दूसरा, अगर कोई रीमैन या डेनियल इंटीग्रल या अन्य समान सिद्धांतों पर निर्भरता से बचना चाहता है, तो पहले हार उपायों के सामान्य सिद्धांत को विकसित करना संभव है और लेबेसेग माप को 'आर' पर हार उपाय λ के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्यीकरण की स्थिति को संतुष्ट करता है λ ([0,1]) = 1.
+इस प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक समुच्चय -अप में 'R' पर Lebesgue माप को कुछ तरीकों से पेश किया जा सकता है। सबसे पहले, यह संभव है कि सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के इंटीग्रल के लिए [[ डेनियल अभिन्न |डेनियल अभिन्न]] या [[रीमैन इंटीग्रल]] जैसे प्राथमिक इंटीग्रल पर भरोसा किया जाए, क्योंकि ये इंटीग्रल की सभी प्राथमिक परिभाषाओं के लिए इंटीग्रल हैं। प्राथमिक समाकलन द्वारा परिभाषित माप (ऊपर परिभाषित अर्थ में) सटीक रूप से [[लेबेस्ग उपाय|लेबेस्ग माप]] है। दूसरा, अगर कोई रीमैन या डेनियल इंटीग्रल या अन्य समान सिद्धांतों पर निर्भरता से बचना चाहता है, तो पहले हार मापों के सामान्य सिद्धांत को विकसित करना संभव है और लेबेसेग माप को 'आर' पर हार माप λ के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्यीकरण की स्थिति को संतुष्ट करता है λ ([0,1]) = 1.
 == उदाहरण ==
-रेडॉन उपायों के सभी उदाहरण निम्नलिखित हैं:
+रेडॉन मापों के सभी उदाहरण निम्नलिखित हैं:
-* [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] पर लेबेस्ग्यू उपाय (बोरेल सबसमुच्चय तक सीमित);
+* [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] पर लेबेस्ग्यू माप (बोरेल सबसमुच्चय तक सीमित);
-* किसी भी [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सामयिक समूह]] पर हार उपाय;
+* किसी भी [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सामयिक समूह|स्थानीय रूप से सघन सामयिक समूह]] पर हार माप;
-* किसी भी सामयिक स्थान पर डायराक माप;
+* किसी भी सामयिक समष्टि पर डायराक माप;
-* यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर [[गाऊसी माप]] <math>\mathbb{R}^n</math> इसके बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ;
+* यूक्लिडियन समष्टि पर [[गाऊसी माप]] <math>\mathbb{R}^n</math> इसके बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ;
-* किसी भी [[पोलिश स्थान]] के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर [[संभाव्यता उपाय]]। यह उदाहरण न केवल पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करता है, बल्कि गैर-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान पर कई उपायों को शामिल करता है, जैसे अंतराल [0,1] पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के स्थान पर [[वीनर माप]]।
+* किसी भी [[पोलिश स्थान|पोलिश]] समष्टि के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर [[संभाव्यता उपाय|संभाव्यता माप]]। यह उदाहरण न मात्र पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करता है, बल्कि गैर-स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर कई मापों को शामिल करता है, जैसे अंतराल [0,1] पर वास्तविक-मानित संतत फलनों के समष्टि पर [[वीनर माप]]।
-* एक उपाय <math>\mathbb{R}</math> एक रेडॉन माप है यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से परिमित माप बोरेल माप है।
+* एक माप <math>\mathbb{R}</math> एक रेडॉन माप है यदि और मात्र यदि यह स्थानीय रूप से परिमित माप बोरेल माप है।
-निम्नलिखित रेडॉन उपायों के उदाहरण नहीं हैं:
+निम्नलिखित रेडॉन मापों के उदाहरण नहीं हैं:
-*यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर माप की गणना एक ऐसे माप का उदाहरण है जो रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से परिमित नहीं है।
+*यूक्लिडियन समष्टि पर माप की गणना एक ऐसे माप का उदाहरण है जो रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से परिमित नहीं है।
-*क्रमिक संख्या का स्थान अधिक से अधिक के बराबर <math>\Omega</math>, [[ आदेश टोपोलॉजी |आदेश टोपोलॉजी]] के साथ [[पहला बेशुमार क्रमसूचक]] एक कॉम्पैक्ट सांस्थितिक समष्टि है। वह माप जो किसी भी बोरेल समुच्चय पर 1 के बराबर होता है जिसमें बेशुमार बंद उपसमुच्चय होता है <math>[1,\Omega)</math>, और 0 अन्यथा, बोरेल है लेकिन रेडॉन नहीं, एक बिंदु समुच्चय के रूप में <math>\{\Omega\}</math> माप शून्य है लेकिन इसके किसी भी खुले पड़ोस में माप 1 है। देखें {{harvtxt|Schwartz|1974|p=45}}.
+*क्रमिक संख्या का समष्टि अधिक से अधिक के बराबर <math>\Omega</math>, [[ आदेश टोपोलॉजी |आदेश सांस्थिति]] के साथ [[पहला बेशुमार क्रमसूचक]] एक सघन सांस्थितिक समष्टि है। वह माप जो किसी भी बोरेल समुच्चय पर 1 के बराबर होता है जिसमें बेशुमार संवृत उपसमुच्चय होता है <math>[1,\Omega)</math>, और 0 अन्यथा, बोरेल है परन्तु रेडॉन नहीं, एक बिंदु समुच्चय के रूप में <math>\{\Omega\}</math> माप शून्य है परन्तु इसके किसी भी विवृत निकटवर्ती में माप 1 है। देखें {{harvtxt|Schwartz|1974|p=45}}.
-* X को अंतराल होने दें [0, 1) आधे खुले अंतराल के संग्रह द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी से लैस <math>\{ [a,b): 0\leq a< b\leq 1\}</math>. इस टोपोलॉजी को कभी-कभी [[सोरगेनफ्रे लाइन]] भी कहा जाता है। इस सांस्थितिक समष्टि पर, मानक लेबेस्ग्यू उपाय रेडॉन नहीं है क्योंकि यह आंतरिक नियमित नहीं है, क्योंकि कॉम्पैक्ट समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य हैं।
+* X को अंतराल होने दें [0, 1) आधे विवृत अंतराल के संग्रह द्वारा उत्पन्न सांस्थिति से लैस <math>\{ [a,b): 0\leq a< b\leq 1\}</math>. इस सांस्थिति को कभी-कभी [[सोरगेनफ्रे लाइन]] भी कहा जाता है। इस सांस्थितिक समष्टि पर, मानक लेबेस्ग्यू माप रेडॉन नहीं है क्योंकि यह आंतरिक नियमित नहीं है, क्योंकि सघन समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य हैं।
-* मान लीजिए कि Z एक [[बर्नस्टीन सेट|बर्नस्टीन समुच्चय]] है <math>[0,1]</math> (या कोई पोलिश स्थान)। फिर कोई माप नहीं जो Z पर बिंदुओं पर गायब हो जाता है, एक रेडॉन माप है, क्योंकि Z में कोई भी कॉम्पैक्ट समुच्चय गणनीय है।
+* मान लीजिए कि Z एक [[बर्नस्टीन सेट|बर्नस्टीन समुच्चय]] है <math>[0,1]</math> (या कोई पोलिश स्थान)। फिर कोई माप नहीं जो Z पर बिंदुओं पर गायब हो जाता है, एक रेडॉन माप है, क्योंकि Z में कोई भी सघन समुच्चय गणनीय है।
-* मानक [[उत्पाद माप]] पर <math>(0,1)^\kappa</math> बेशुमार के लिए <math>\kappa</math> रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि कोई भी कॉम्पैक्ट समुच्चय बेशुमार रूप से कई बंद अंतरालों के उत्पाद के भीतर समाहित है, जिनमें से प्रत्येक 1 से छोटा है।
+* मानक [[उत्पाद माप]] पर <math>(0,1)^\kappa</math> बेशुमार के लिए <math>\kappa</math> रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि कोई भी सघन समुच्चय बेशुमार रूप से कई संवृत अंतरालों के उत्पाद के भीतर समाहित है, जिनमें से प्रत्येक 1 से छोटा है।
-हम ध्यान दें कि, सहज रूप से, रेडॉन माप गणितीय वित्त में विशेष रूप से लेवी प्रक्रियाओं के साथ काम करने के लिए उपयोगी है क्योंकि इसमें लेबेसेग माप और डायराक उपाय दोनों के गुण हैं, जैसा कि लेबेसेग के विपरीत, एक बिंदु पर एक रेडॉन माप जरूरी नहीं है। उपाय 0.<ref>Cont, Rama, and Peter Tankov. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall, 2004.</ref>
+हम ध्यान दें कि, सहज रूप से, रेडॉन माप गणितीय वित्त में विशेष रूप से लेवी प्रक्रियाओं के साथ काम करने के लिए उपयोगी है क्योंकि इसमें लेबेसेग माप और डायराक माप दोनों के गुण हैं, जैसा कि लेबेसेग के विपरीत, एक बिंदु पर एक रेडॉन माप जरूरी नहीं है। माप 0.<ref>Cont, Rama, and Peter Tankov. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall, 2004.</ref>
 == मूल गुण ==
-=== मॉडरेटेड रेडॉन उपाय ===
+=== मॉडरेटेड रेडॉन माप ===
-किसी स्थान X पर एक रेडॉन माप m दिया गया है, हम एक अन्य माप M (बोरेल समुच्चय पर) लगाकर परिभाषित कर सकते हैं
+किसी समष्टि X पर एक रेडॉन माप m दिया गया है, हम एक अन्य माप M (बोरेल समुच्चय पर) लगाकर परिभाषित कर सकते हैं
 :<math>M(B) = \inf\{ m(V) \mid V \text{ is an open set with } B \subseteq V \subseteq X \} .</math>
-माप एम बाहरी नियमित है, और स्थानीय रूप से परिमित है, और खुले समुच्चय के लिए आंतरिक नियमित है। यह कॉम्पैक्ट और ओपन समुच्चय पर एम के साथ मेल खाता है, और एम को एम से अद्वितीय आंतरिक नियमित माप के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है जो कॉम्पैक्ट समुच्चय पर एम के समान है। माप m को 'मॉडरेट' कहा जाता है यदि M σ-सीमित है; इस स्थिति में माप m और M समान हैं। (यदि m σ-परिमित है तो इसका मतलब यह नहीं है कि M σ-परिमित है, इसलिए संयमित होना σ-परिमित होने से अधिक मजबूत है।)
+माप m बाहरी नियमित है, और स्थानीय रूप से परिमित है, और विवृत समुच्चय के लिए आंतरिक नियमित है। यह सघन और ओपन समुच्चय पर m के साथ मेल खाता है, और m को m से अद्वितीय आंतरिक नियमित माप के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है जो सघन समुच्चय पर m के समान है। माप m को 'मॉडरेट' कहा जाता है यदि M σ-सीमित है; इस स्थिति में माप m और M समान हैं। (यदि m σ-परिमित है तो इसका मतलब यह नहीं है कि M σ-परिमित है, इसलिए संयमित होना σ-परिमित होने से अधिक मजबूत है।)
-वंशानुगत रूप से लिंडेलोफ़ स्थान पर प्रत्येक रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।
+वंशानुगत रूप से लिंडेलोफ़ समष्टि पर प्रत्येक रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।
-माप m का एक उदाहरण जो σ-परिमित है लेकिन मॉडरेट नहीं है, द्वारा दिया गया है {{harvtxt|Bourbaki|2004|loc=Exercise 5 of section 1}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}} निम्नलिखित नुसार। सांस्थितिक समष्टि एक्स ने बिंदुओं (0, y) के वाई-अक्ष द्वारा दिए गए वास्तविक विमान के सबसमुच्चय को बिंदुओं (1/n, m/n) के साथ एक साथ समुच्चय किया है।<sup>2</sup>) m,n धनात्मक पूर्णांकों के साथ। टोपोलॉजी इस प्रकार दी गई है। एकल अंक (1/n,m/n<sup>2</sup>) सभी खुले समुच्चय हैं। बिंदु (0,y) के पड़ोस का एक आधार वेज द्वारा दिया जाता है जिसमें फॉर्म (u,v) के X में सभी बिंदु शामिल होते हैं |v − y| ≤ |यू| ≤ 1/n धनात्मक पूर्णांक n के लिए। यह स्पेस एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। माप m को y-अक्ष को माप 0 देकर और बिंदु (1/n,m/n) देकर दिया जाता है<sup>2</sup>) का माप 1/n है<sup>3</उप>। यह माप आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है, लेकिन बाहरी नियमित नहीं है क्योंकि y-अक्ष वाले किसी भी खुले समुच्चय में माप अनंत है। विशेष रूप से y-अक्ष का m-माप 0 है लेकिन M-माप अनंत है।
+माप m का एक उदाहरण जो σ-परिमित है परन्तु मॉडरेट नहीं है, द्वारा दिया गया है {{harvtxt|Bourbaki|2004|loc=Exercise 5 of section 1}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}} निम्नलिखित नुसार। सांस्थितिक समष्टि X ने बिंदुओं (0, y) के वाई-अक्ष द्वारा दिए गए वास्तविक विमान के सबसमुच्चय को बिंदुओं (1/n, m/n) के साथ एक साथ समुच्चय किया है।<sup>2</sup>) m,n धनात्मक पूर्णांकों के साथ। सांस्थिति इस प्रकार दी गई है। एकल अंक (1/n,m/n<sup>2</sup>) सभी विवृत समुच्चय हैं। बिंदु (0,y) के निकटवर्ती का एक आधार वेज द्वारा दिया जाता है जिसमें फॉर्म (u,v) के X में सभी बिंदु शामिल होते हैं |v − y| ≤ |यू| ≤ 1/n धनात्मक पूर्णांक n के लिए। यह समष्टि X स्थानीय रूप से सघन है। माप m को y-अक्ष को माप 0 देकर और बिंदु (1/n,m/n) देकर दिया जाता है<sup>2</sup>) का माप 1/n है<sup>3</उप>। यह माप आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है, परन्तु बाहरी नियमित नहीं है क्योंकि y-अक्ष वाले किसी भी विवृत समुच्चय में माप अनंत है। विशेष रूप से y-अक्ष का m-माप 0 है परन्तु M-माप अनंत है।
-=== रेडॉन स्पेस ===
+=== रेडॉन समष्टि ===
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-एक सांस्थितिक समष्टि को रेडॉन स्पेस कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है, और जोरदार रेडॉन यदि प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है। कोई भी [[सुस्लिन अंतरिक्ष]] जोरदार रेडॉन है, और इसके अलावा हर रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।
+एक सांस्थितिक समष्टि को रेडॉन समष्टि कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है, और जोरदार रेडॉन यदि प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है। कोई भी [[सुस्लिन अंतरिक्ष|सुस्लिन समष्टि]] जोरदार रेडॉन है, और इसके अलावा प्रत्येक रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।
 === द्वैत ===
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर, रेडॉन उपाय कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थान पर सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि यह संपत्ति रेडॉन माप की परिभाषा के लिए मुख्य प्रेरणा है।
+स्थानीय रूप से सघन हॉउसडॉर्फ समष्टि पर, रेडॉन माप सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर धनात्मक रैखिक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि यह संपत्ति रेडॉन माप की परिभाषा के लिए मुख्य प्रेरणा है।
-=== मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना ===
+=== मीट्रिक समष्टि संरचना ===
-[[शंकु (रैखिक बीजगणित)]] <math>\mathcal{M}_{+} (X)</math> सभी (सकारात्मक) रेडॉन उपायों पर <math>X</math> दो उपायों के बीच रेडॉन दूरी को परिभाषित करके एक पूर्ण अंतरिक्ष मीट्रिक अंतरिक्ष की संरचना दी जा सकती है <math>m_1, m_2 \in \mathcal{M}_{+} (X)</math> होना
+[[शंकु (रैखिक बीजगणित)]] <math>\mathcal{M}_{+} (X)</math> सभी (धनात्मक) रेडॉन मापों पर <math>X</math> दो मापों के बीच रेडॉन दूरी को परिभाषित करके एक पूर्ण समष्टि मीट्रिक समष्टि की संरचना दी जा सकती है <math>m_1, m_2 \in \mathcal{M}_{+} (X)</math> होना
 :<math>\rho (m_{1}, m_{2}) := \sup \left\{ \left. \int_{X} f(x) (m_1 - m_2) (\mathrm d x) \ \right| \mathrm{continuous\,} f : X \to [-1, 1] \subset \mathbb{R} \right\}.</math>
-इस मीट्रिक की कुछ सीमाएँ हैं। उदाहरण के लिए, रेडॉन संभावना का स्थान पर उपाय करता है <math>X</math>,
+इस मीट्रिक की कुछ सीमाएँ हैं। उदाहरण के लिए, रेडॉन संभावना का समष्टि पर माप करता है <math>X</math>,
 :<math>\mathcal{P} (X) := \{ m \in \mathcal{M}_{+} (X) \mid m (X) = 1 \},</math>
-रेडॉन मीट्रिक के संबंध में कॉम्पैक्ट स्पेस नहीं है: यानी, यह गारंटी नहीं है कि संभाव्यता उपायों के किसी भी क्रम में रेडॉन मीट्रिक के संबंध में अभिसरण होगा, जो कुछ अनुप्रयोगों में कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है। वहीं दूसरी ओर अगर <math>X</math> एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान है, तो
+रेडॉन मीट्रिक के संबंध में सघन समष्टि नहीं है: यानी, यह गारंटी नहीं है कि संभाव्यता मापों के किसी भी क्रम में रेडॉन मीट्रिक के संबंध में अभिसरण होगा, जो कुछ अनुप्रयोगों में कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है। वहीं दूसरी ओर अगर <math>X</math> एक सघन मीट्रिक समष्टि है, तो
-[[वासेरस्टीन मीट्रिक]] बदल जाता है <math>\mathcal{P} (X)</math> एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक अंतरिक्ष में।
+[[वासेरस्टीन मीट्रिक]] बदल जाता है <math>\mathcal{P} (X)</math> एक सघन मीट्रिक समष्टि में।
-रेडॉन मीट्रिक में अभिसरण का तात्पर्य उपायों के कमजोर अभिसरण से है:
+रेडॉन मीट्रिक में अभिसरण का तात्पर्य मापों के कमजोर अभिसरण से है:
 :<math>\rho (m_{n}, m) \to 0 \Rightarrow m_{n} \rightharpoonup m,</math>
-लेकिन विपरीत निहितार्थ सामान्य रूप से झूठा है। रेडॉन मीट्रिक में उपायों के अभिसरण को कभी-कभी मजबूत अभिसरण के रूप में जाना जाता है, जैसा कि कमजोर अभिसरण के विपरीत होता है।
+परन्तु विपरीत निहितार्थ सामान्य रूप से झूठा है। रेडॉन मीट्रिक में मापों के अभिसरण को कभी-कभी मजबूत अभिसरण के रूप में जाना जाता है, जैसा कि कमजोर अभिसरण के विपरीत होता है।
 == यह भी देखें ==

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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रेडॉन माप स्थानीय रूप से सघन समष्टि पर