आव्यूह विभाजन: Difference between revisions

Revision as of 01:01, 26 May 2023

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के गणितीय अध्ययन में, आव्यूह विभाजन एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो किसी दिए गए आव्यूह को उनके योग या अंतर के रूप में प्रदर्शित करती है। कई पुनरावृत्त विधियां उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणो की प्रणालियां आव्यूह समीकरणों के प्रत्यक्ष समाधान पर निर्भर करती हैं जिसमें त्रिकोणीय आव्यूह की तुलना में अधिक सामान्य आव्यूह सम्मिलित होते हैं। आव्यूह विभाजन के रूप में लिखे जाने पर इन आव्यूह समीकरणों को प्रायः सीधे और कुशलता से हल किया जा सकता है। यह तकनीक 1960 में रिचर्ड एस वर्गा द्वारा तैयार की गई थी।^[1]

नियमित विभाजन

हम आव्यूह (गणित)#रैखिक समीकरणों को हल करना चाहते हैं

\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {k} ,

(1)

जहाँ A एक दिया गया n × n उलटा आव्यूह|गैर-एकवचन आव्यूह है, और k n घटकों के साथ एक दिया गया कॉलम वेक्टर है। हम आव्यूह ए को विभाजित करते हैं

\mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} ,

(2)

जहाँ B और C n × n आव्यूह हैं। यदि, एक मनमाने ढंग से n × n आव्यूह M के लिए, M में गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M ≥ 0 लिखते हैं। यदि M में केवल सकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M > 0 लिखते हैं। इसी तरह, यदि आव्यूह M₁ - एम₂ गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, हम एम लिखते हैं₁ ≥ एम₂.

परिभाषा: ए = बी - सी ए का एक नियमित विभाजन है यदि बी⁻¹ ≥ 0 और C ≥ 0।

हम मानते हैं कि फॉर्म के आव्यूह समीकरण

\mathbf {B} \mathbf {x} =\mathbf {g} ,

(3)

जहाँ g एक दिया गया स्तंभ सदिश है, सदिश x के लिए सीधे हल किया जा सकता है। अगर (2) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है, फिर पुनरावृत्त विधि

\mathbf {B} \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots ,

(4)

जहां एक्स⁽⁰⁾ एक मनमाना सदिश है, किया जा सकता है। समान रूप से, हम लिखते हैं (4) प्रपत्र में

\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots

(5)

आव्यूह डी = बी⁻¹C में अऋणात्मक प्रविष्टियाँ हैं यदि (2) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है।^[2] यह दिखाया जा सकता है कि अगर ए⁻¹ > 0, फिर $\rho (\mathbf {D} )$ <1, जहां $\rho (\mathbf {D} )$ डी के वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार डी एक अभिसारी आव्यूह है। परिणामस्वरूप, पुनरावृत्ति विधि (5) आवश्यक रूप से जैकोबी विधि # अभिसरण है।^[3]^[4] यदि, इसके अलावा, विभाजन (2) चुना जाता है ताकि आव्यूह बी एक विकर्ण आव्यूह हो (विकर्ण प्रविष्टियों के साथ सभी गैर-शून्य, चूंकि बी उलटा आव्यूह होना चाहिए), फिर बी को रैखिक समय में उलटा किया जा सकता है (समय जटिलता देखें)।

आव्यूह पुनरावृत्ति विधि

कई पुनरावृत्ति विधियों को आव्यूह विभाजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि आव्यूह A की विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी गैर शून्य हैं, और हम आव्यूह A को आव्यूह योग के रूप में व्यक्त करते हैं

\mathbf {A} =\mathbf {D} -\mathbf {U} -\mathbf {L} ,

(6)

जहाँ D, A का विकर्ण भाग है, और U और L क्रमशः सख्ती से ऊपरी और निचले त्रिकोणीय आव्यूह n × n आव्यूह हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित हैं।

जैकोबी पद्धति को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {D} ^{-1}(\mathbf {U} +\mathbf {L} )\mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {k} .

^[5]^[6]

(7)

गॉस-सीडेल विधि को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(m)}+(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .

^[7]^[8]

(8)

लगातार अति-विश्राम की विधि को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में दर्शाया जा सकता है

\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}[(1-\omega )\mathbf {D} +\omega \mathbf {U} ]\mathbf {x} ^{(m)}+\omega (\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .

^[9]^[10]

(9)

उदाहरण

नियमित विभाजन

समीकरण में (1), होने देना

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}6&-2&-3\\-1&4&-2\\-3&-1&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}5\\-12\\10\end{pmatrix}}.

(10)

आइए विभाजन लागू करें (7) जिसका उपयोग जैकोबी विधि में किया जाता है: हम A को इस तरह विभाजित करते हैं कि B में A के विकर्ण तत्वों के सभी सम्मिलित हैं, और C में A के विकर्ण तत्वों के सभी सम्मिलित हैं। , अस्वीकृत। (बेशक यह आव्यूह को दो आव्यूह में विभाजित करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है।) हमारे पास है

{\begin{aligned}&\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\1&0&2\\3&1&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}

(11)

{\begin{aligned}&\mathbf {A^{-1}} ={\frac {1}{47}}{\begin{pmatrix}18&13&16\\11&21&15\\13&12&22\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{6}}&0&0\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}&0\\[4pt]0&0&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {D} =\mathbf {B^{-1}C} ={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}k} ={\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

चूंकि बी⁻¹ ≥ 0 और C ≥ 0, विभाजन (11) एक नियमित विभाजन है। से एक⁻¹ > 0, वर्णक्रमीय त्रिज्या $\rho (\mathbf {D} )$ <1. (डी के अनुमानित eigenvalues हैं $\lambda _{i}\approx -0.4599820,-0.3397859,0.7997679.$ ) इसलिए, आव्यूह डी अभिसारी है और विधि (5) आवश्यक रूप से समस्या के लिए अभिसरण करता है (10). ध्यान दें कि ए के विकर्ण तत्व शून्य से अधिक हैं, ए के ऑफ-विकर्ण तत्व सभी शून्य से कम हैं और ए सख्ती से तिरछे प्रभावशाली है।^[11] प्रक्रिया (5) समस्या पर लागू (10) फिर रूप लेता है

\mathbf {x} ^{(m+1)}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots

(12)

समीकरण का सटीक हल (12) है

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}.

(13)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (12) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं $x (0) = (0.0, 0.0, 0.0) T$ . तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), हालांकि धीरे-धीरे।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.83333	-3.0000	2.0000
0.83333	-1.7917	1.9000
1.1861	-1.8417	2.1417
1.2903	-1.6326	2.3433
1.4608	-1.5058	2.4477
1.5553	-1.4110	2.5753
1.6507	-1.3235	2.6510
1.7177	-1.2618	2.7257
1.7756	-1.2077	2.7783
1.8199	-1.1670	2.8238

जैकोबी विधि

जैसा कि ऊपर बताया गया है, जैकोबी विधि (7) विशिष्ट नियमित विभाजन के समान है (11) ऊपर दिखाया गया है।

गॉस-सीडेल विधि

चूँकि समस्या में आव्यूह A की विकर्ण प्रविष्टियाँ (10) सभी अशून्य हैं, हम आव्यूह A को विभाजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं (6), कहाँ

\mathbf {D} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\3&1&0\end{pmatrix}}.

(14)

हमारे पास तब है

{\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}20&0&0\\5&30&0\\13&6&24\end{pmatrix}},\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}U} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}},\quad \mathbf {(D-L)^{-1}k} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

गॉस-सीडेल विधि (8) समस्या पर लागू (10) रूप लेता है

\mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots

(15)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (15) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं $x (0) = (0.0, 0.0, 0.0) T$ . तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), ऊपर वर्णित जैकोबी विधि से कुछ तेज।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.8333	-2.7917	1.9417
0.8736	-1.8107	2.1620
1.3108	-1.5913	2.4682
1.5370	-1.3817	2.6459
1.6957	-1.2531	2.7668
1.7990	-1.1668	2.8461
1.8675	-1.1101	2.8985
1.9126	-1.0726	2.9330
1.9423	-1.0479	2.9558
1.9619	-1.0316	2.9708

क्रमिक अति-विश्राम विधि

चलो ω = 1.1। विभाजन का उपयोग करना (14) समस्या में आव्यूह A का (10) क्रमिक अति-विश्राम विधि के लिए, हमारे पास है

{\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0.55&3&0\\1.441&0.66&2.4\end{pmatrix}},\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}[(1-\omega )D+\omega U]} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}},\end{aligned}}

{\begin{aligned}&\mathbf {\omega (D-\omega L)^{-1}k} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

लगातार अति-विश्राम विधि (9) समस्या पर लागू (10) रूप लेता है

\mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots

(16)

समीकरण के लिए पहले कुछ पुनरावृति (16) से शुरू होकर नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं $x (0) = (0.0, 0.0, 0.0) T$ . तालिका से कोई भी देख सकता है कि विधि स्पष्ट रूप से समाधान में परिवर्तित हो रही है (13), ऊपर वर्णित गॉस-सीडेल विधि से थोड़ा तेज।

$x_{1}^{(m)}$	$x_{2}^{(m)}$	$x_{3}^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.9167	-3.0479	2.1345
0.8814	-1.5788	2.2209
1.4711	-1.5161	2.6153
1.6521	-1.2557	2.7526
1.8050	-1.1641	2.8599
1.8823	-1.0930	2.9158
1.9314	-1.0559	2.9508
1.9593	-1.0327	2.9709
1.9761	-1.0185	2.9829
1.9862	-1.0113	2.9901

यह भी देखें

↑ Varga (1960)
↑ Varga (1960, pp. 121–122)
↑ Varga (1960, pp. 122–123)
↑ Varga (1962, p. 89)
↑ Burden & Faires (1993, p. 408)
↑ Varga (1962, p. 88)
↑ Burden & Faires (1993, p. 411)
↑ Varga (1962, p. 88)
↑ Burden & Faires (1993, p. 416)
↑ Varga (1962, p. 88)
↑ Burden & Faires (1993, p. 371)

संदर्भ

Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3.
Varga, Richard S. (1960). "Factorization and Normalized Iterative Methods". In Langer, Rudolph E. (ed.). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. pp. 121–142. LCCN 60-60003.
Varga, Richard S. (1962), Matrix Iterative Analysis, New Jersey: Prentice-Hall, LCCN 62-21277.

[1] Varga (1960)

[2] Varga (1960, pp. 121–122)

[3] Varga (1960, pp. 122–123)

[4] Varga (1962, p. 89)

[5] Burden & Faires (1993, p. 408)

[6] Varga (1962, p. 88)

[7] Burden & Faires (1993, p. 411)

[8] Varga (1962, p. 88)

[9] Burden & Faires (1993, p. 416)

[10] Varga (1962, p. 88)

[11] Burden & Faires (1993, p. 371)

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 {{Short description|Representation of a matrix as a sum}}
-[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] के गणित अनुशासन में, एक मैट्रिक्स विभाजन एक अभिव्यक्ति है जो किसी दिए गए [[मैट्रिक्स (गणित)]] को मैट्रिक्स के योग या अंतर के रूप में दर्शाता है। कई पुनरावृत्त विधियां (उदाहरण के लिए, [[अंतर समीकरण]]ों की प्रणालियों के लिए) मैट्रिक्स समीकरणों के प्रत्यक्ष समाधान पर निर्भर करती हैं जिसमें [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] की तुलना में अधिक सामान्य मैट्रिक्स शामिल होते हैं। मैट्रिक्स विभाजन के रूप में लिखे जाने पर इन मैट्रिक्स समीकरणों को अक्सर सीधे और कुशलता से हल किया जा सकता है। यह तकनीक 1960 में रिचर्ड एस वर्गा द्वारा तैयार की गई थी।<ref>{{harvtxt|Varga|1960}}</ref>
+[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] के गणितीय अध्ययन में, आव्यूह विभाजन एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो किसी दिए गए [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] को उनके योग या अंतर के रूप में प्रदर्शित करती है। कई पुनरावृत्त विधियां उदाहरण के लिए, [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणो]] की प्रणालियां आव्यूह समीकरणों के प्रत्यक्ष समाधान पर निर्भर करती हैं जिसमें [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] की तुलना में अधिक सामान्य आव्यूह सम्मिलित होते हैं। आव्यूह विभाजन के रूप में लिखे जाने पर इन आव्यूह समीकरणों को प्रायः सीधे और कुशलता से हल किया जा सकता है। यह तकनीक 1960 में रिचर्ड एस वर्गा द्वारा तैयार की गई थी।<ref>{{harvtxt|Varga|1960}}</ref>
 == नियमित विभाजन ==
-हम मैट्रिक्स (गणित)#रैखिक समीकरणों को हल करना चाहते हैं
+हम आव्यूह (गणित)#रैखिक समीकरणों को हल करना चाहते हैं
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf A \mathbf x = \mathbf k,  </math>|{{EquationRef|1}}}}
-जहाँ A एक दिया गया ''n'' × ''n'' [[उलटा मैट्रिक्स]]|गैर-एकवचन मैट्रिक्स है, और k ''n'' घटकों के साथ एक दिया गया [[कॉलम वेक्टर]] है। हम मैट्रिक्स ए को विभाजित करते हैं
+जहाँ A एक दिया गया ''n'' × ''n'' [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा आव्यूह]]|गैर-एकवचन आव्यूह है, और k ''n'' घटकों के साथ एक दिया गया [[कॉलम वेक्टर]] है। हम आव्यूह ए को विभाजित करते हैं
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf A = \mathbf B - \mathbf C, </math>|{{EquationRef|2}}}}
-जहाँ B और C ''n'' × ''n'' आव्यूह हैं। यदि, एक मनमाने ढंग से ''n'' × ''n'' मैट्रिक्स M के लिए, M में गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M ≥ 0 लिखते हैं। यदि M में केवल सकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M > 0 लिखते हैं। इसी तरह, यदि मैट्रिक्स M<sub>1</sub> - एम<sub>2</sub> गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, हम एम लिखते हैं<sub>1</sub> ≥ एम<sub>2</sub>.
+जहाँ B और C ''n'' × ''n'' आव्यूह हैं। यदि, एक मनमाने ढंग से ''n'' × ''n'' आव्यूह M के लिए, M में गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M ≥ 0 लिखते हैं। यदि M में केवल सकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M > 0 लिखते हैं। इसी तरह, यदि आव्यूह M<sub>1</sub> - एम<sub>2</sub> गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, हम एम लिखते हैं<sub>1</sub> ≥ एम<sub>2</sub>.
 परिभाषा: ए = बी - सी ए का एक नियमित विभाजन है यदि बी<sup>−1</sup> ≥ 0 और C ≥ 0।
-हम मानते हैं कि फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण
+हम मानते हैं कि फॉर्म के आव्यूह समीकरण
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf B \mathbf x = \mathbf g,  </math>|{{EquationRef|3}}}}
@@ Line 28: / Line 28: @@
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf x^{(m+1)} = \mathbf B^{-1} \mathbf C \mathbf x^{(m)} + \mathbf B^{-1} \mathbf k, \quad m = 0, 1, 2, \ldots  </math>|{{EquationRef|5}}}}
-मैट्रिक्स डी = बी<sup>−1</sup>C में अऋणात्मक प्रविष्टियाँ हैं यदि ({{EquationNote|2}}) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>{{harvtxt|Varga|1960|pp=121–122}}</ref>
+आव्यूह डी = बी<sup>−1</sup>C में अऋणात्मक प्रविष्टियाँ हैं यदि ({{EquationNote|2}}) ए के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>{{harvtxt|Varga|1960|pp=121–122}}</ref>
-यह दिखाया जा सकता है कि अगर ए<sup>−1</sup> > 0, फिर <math>\rho (\mathbf D)</math> <1, जहां <math>\rho (\mathbf D)</math> डी के [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार डी एक अभिसारी मैट्रिक्स है। परिणामस्वरूप, पुनरावृत्ति विधि ({{EquationNote|5}}) आवश्यक रूप से जैकोबी विधि # अभिसरण है।<ref>{{harvtxt|Varga|1960|pp=122–123}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1962|p=89}}</ref>
+यह दिखाया जा सकता है कि अगर ए<sup>−1</sup> > 0, फिर <math>\rho (\mathbf D)</math> <1, जहां <math>\rho (\mathbf D)</math> डी के [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार डी एक अभिसारी आव्यूह है। परिणामस्वरूप, पुनरावृत्ति विधि ({{EquationNote|5}}) आवश्यक रूप से जैकोबी विधि # अभिसरण है।<ref>{{harvtxt|Varga|1960|pp=122–123}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1962|p=89}}</ref>
-यदि, इसके अलावा, विभाजन ({{EquationNote|2}}) चुना जाता है ताकि मैट्रिक्स बी एक [[विकर्ण मैट्रिक्स]] हो (विकर्ण प्रविष्टियों के साथ सभी गैर-शून्य, चूंकि बी उलटा मैट्रिक्स होना चाहिए), फिर बी को रैखिक समय में उलटा किया जा सकता है ([[समय जटिलता]] देखें)।
+यदि, इसके अलावा, विभाजन ({{EquationNote|2}}) चुना जाता है ताकि आव्यूह बी एक [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] हो (विकर्ण प्रविष्टियों के साथ सभी गैर-शून्य, चूंकि बी उलटा आव्यूह होना चाहिए), फिर बी को रैखिक समय में उलटा किया जा सकता है ([[समय जटिलता]] देखें)।
-== मैट्रिक्स पुनरावृत्ति विधि ==
+== आव्यूह पुनरावृत्ति विधि ==
-कई पुनरावृत्ति विधियों को मैट्रिक्स विभाजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स A की विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी गैर शून्य हैं, और हम मैट्रिक्स A को मैट्रिक्स योग के रूप में व्यक्त करते हैं
+कई पुनरावृत्ति विधियों को आव्यूह विभाजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि आव्यूह A की विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी गैर शून्य हैं, और हम आव्यूह A को आव्यूह योग के रूप में व्यक्त करते हैं
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf A = \mathbf D - \mathbf U - \mathbf L, </math>|{{EquationRef|6}}}}
-जहाँ D, A का विकर्ण भाग है, और U और L क्रमशः सख्ती से ऊपरी और निचले [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] ''n'' × ''n'' आव्यूह हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित हैं।
+जहाँ D, A का विकर्ण भाग है, और U और L क्रमशः सख्ती से ऊपरी और निचले [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] ''n'' × ''n'' आव्यूह हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित हैं।
-जैकोबी पद्धति को विभाजन के रूप में मैट्रिक्स रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है
+जैकोबी पद्धति को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf x^{(m+1)} = \mathbf D^{-1}(\mathbf U + \mathbf L)\mathbf x^{(m)} + \mathbf D^{-1}\mathbf k. </math><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=408}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1962|p=88}}</ref>|{{EquationRef|7}}}}
-गॉस-सीडेल विधि को विभाजन के रूप में मैट्रिक्स रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है
+गॉस-सीडेल विधि को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf x^{(m+1)} = (\mathbf D - \mathbf L)^{-1}\mathbf U \mathbf x^{(m)} + (\mathbf D - \mathbf L)^{-1}\mathbf k. </math><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=411}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1962|p=88}}</ref>|{{EquationRef|8}}}}
-लगातार अति-विश्राम की विधि को विभाजन के रूप में मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है
+लगातार अति-विश्राम की विधि को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में दर्शाया जा सकता है
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf x^{(m+1)} = (\mathbf D - \omega \mathbf L)^{-1}[(1 - \omega) \mathbf D + \omega \mathbf U] \mathbf x^{(m)} + \omega (\mathbf D - \omega \mathbf L)^{-1}\mathbf k. </math><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=416}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1962|p=88}}</ref>|{{EquationRef|9}}}}
@@ Line 65: / Line 65: @@
 \end{pmatrix}.
 </math>|{{EquationRef|10}}}}
-आइए विभाजन लागू करें ({{EquationNote|7}}) जिसका उपयोग जैकोबी विधि में किया जाता है: हम A को इस तरह विभाजित करते हैं कि B में A के विकर्ण तत्वों के ''सभी'' शामिल हैं, और C में A के विकर्ण तत्वों के ''सभी'' शामिल हैं। , अस्वीकृत। (बेशक यह मैट्रिक्स को दो मैट्रिक्स में विभाजित करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है।) हमारे पास है
+आइए विभाजन लागू करें ({{EquationNote|7}}) जिसका उपयोग जैकोबी विधि में किया जाता है: हम A को इस तरह विभाजित करते हैं कि B में A के विकर्ण तत्वों के ''सभी'' सम्मिलित हैं, और C में A के विकर्ण तत्वों के ''सभी'' सम्मिलित हैं। , अस्वीकृत। (बेशक यह आव्यूह को दो आव्यूह में विभाजित करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है।) हमारे पास है
 {{NumBlk|:|<math>\begin{align}
 & \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
@@ Line 99: / Line 99: @@
 \end{pmatrix}.
 \end{align}</math>
-चूंकि बी<sup>−1</sup> ≥ 0 और C ≥ 0, विभाजन ({{EquationNote|11}}) एक नियमित विभाजन है। से एक<sup>−1</sup> > 0, वर्णक्रमीय त्रिज्या  <math>\rho (\mathbf D)</math> <1. (डी के अनुमानित [[eigenvalues]] हैं <math>\lambda_i \approx -0.4599820, -0.3397859, 0.7997679.</math>) इसलिए, मैट्रिक्स डी अभिसारी है और विधि ({{EquationNote|5}}) आवश्यक रूप से समस्या के लिए अभिसरण करता है ({{EquationNote|10}}). ध्यान दें कि ए के विकर्ण तत्व शून्य से अधिक हैं, ए के ऑफ-विकर्ण तत्व सभी शून्य से कम हैं और ए सख्ती से तिरछे प्रभावशाली है।<ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=371}}</ref>
+चूंकि बी<sup>−1</sup> ≥ 0 और C ≥ 0, विभाजन ({{EquationNote|11}}) एक नियमित विभाजन है। से एक<sup>−1</sup> > 0, वर्णक्रमीय त्रिज्या  <math>\rho (\mathbf D)</math> <1. (डी के अनुमानित [[eigenvalues]] हैं <math>\lambda_i \approx -0.4599820, -0.3397859, 0.7997679.</math>) इसलिए, आव्यूह डी अभिसारी है और विधि ({{EquationNote|5}}) आवश्यक रूप से समस्या के लिए अभिसरण करता है ({{EquationNote|10}}). ध्यान दें कि ए के विकर्ण तत्व शून्य से अधिक हैं, ए के ऑफ-विकर्ण तत्व सभी शून्य से कम हैं और ए सख्ती से तिरछे प्रभावशाली है।<ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=371}}</ref>
 प्रक्रिया ({{EquationNote|5}}) समस्या पर लागू ({{EquationNote|10}}) फिर रूप लेता है
 {{NumBlk|:|<math> \mathbf x^{(m+1)} =
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 === गॉस-सीडेल विधि ===
-चूँकि समस्या में मैट्रिक्स A की विकर्ण प्रविष्टियाँ ({{EquationNote|10}}) सभी अशून्य हैं, हम मैट्रिक्स A को विभाजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं ({{EquationNote|6}}), कहाँ
+चूँकि समस्या में आव्यूह A की विकर्ण प्रविष्टियाँ ({{EquationNote|10}}) सभी अशून्य हैं, हम आव्यूह A को विभाजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं ({{EquationNote|6}}), कहाँ
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 290: / Line 290: @@
 === क्रमिक अति-विश्राम विधि ===
-चलो ω = 1.1। विभाजन का उपयोग करना ({{EquationNote|14}}) समस्या में मैट्रिक्स A का ({{EquationNote|10}}) क्रमिक अति-विश्राम विधि के लिए, हमारे पास है
+चलो ω = 1.1। विभाजन का उपयोग करना ({{EquationNote|14}}) समस्या में आव्यूह A का ({{EquationNote|10}}) क्रमिक अति-विश्राम विधि के लिए, हमारे पास है
 <!-- (D – wL)–1 -->
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 == यह भी देखें ==
 * [[ऑपरेटर विभाजन विषयों की सूची]]
-* [[मैट्रिक्स अपघटन]]
+* [[मैट्रिक्स अपघटन|आव्यूह अपघटन]]
-*[[एम-मैट्रिक्स]]
+*[[एम-मैट्रिक्स|एम-आव्यूह]]
-* [[स्टिल्ट का मैट्रिक्स]]
+* [[स्टिल्ट का मैट्रिक्स|स्टिल्ट का आव्यूह]]
 ==टिप्पणियाँ==

v t e Numerical linear algebra
Key concepts	Floating point Numerical stability
Problems	System of linear equations Matrix decompositions Matrix multiplication (algorithms) Matrix splitting Sparse problems
Hardware	CPU cache TLB Cache-oblivious algorithm SIMD Multiprocessing
Software	MATLAB Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) LAPACK Specialized libraries General purpose software

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Revision as of 01:01, 26 May 2023

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नियमित विभाजन

आव्यूह पुनरावृत्ति विधि