सदिश माप: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
m (9 revisions imported from alpha:सदिश_माप) |
||
| (7 intermediate revisions by 2 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
गणित में, सदिश माप | गणित में, सदिश माप फलन (गणित) है। जो समुच्चयों के वर्ग पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्पेस मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का सामान्यीकरण है। जो केवल गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] मान लेता है। | ||
== परिभाषाएं और पहला परिणाम == | == परिभाषाएं और पहला परिणाम == | ||
समुच्चय के क्षेत्र को देखते हुए <math>(\Omega, \mathcal F)</math> और [[बनच स्थान|बनच स्पेस]] <math>X,</math> परिमित रूप से योज्य सदिश माप (या माप, संक्षेप में) फलन <math>\mu:\mathcal {F} \to X</math> है। ऐसा है कि के लिए <math>\mathcal{F}</math> में कोई भी दो असंयुक्त समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> हैं | |||
<math display="block">\mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B).</math> | <math display="block">\mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B).</math> | ||
<math>\mathcal F</math> में असंयुक्त समुच्चयों के किसी [[अनुक्रम]] <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> के लिए सदिश माप <math>\mu</math> को गणनीय योगात्मक कहा जाता है। जिससे उनका मिलन हो <math>\mathcal F</math> में यह इसे धारण करता है | | |||
<math display="block">\mu{\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)} = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)</math> | <math display="block">\mu{\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)} = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)</math> | ||
बानाच | बानाच स्पेस के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर [[श्रृंखला (गणित)]] के साथ <math>X.</math> यह सिद्ध किया जा सकता है कि योज्य सदिश माप <math>\mu</math> किसी भी अनुक्रम के लिए यदि और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> है। जैसा ऊपर वाले के पास है। | ||
यह सिद्ध किया जा सकता है कि | |||
{{NumBlk||<math display="block">\lim_{n\to\infty} \left\|\mu{\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)}\right\| = 0, </math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}} | {{NumBlk||<math display="block">\lim_{n\to\infty} \left\|\mu{\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)}\right\| = 0, </math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}} | ||
जहाँ <math>\|\cdot\|</math> [[सिग्मा-बीजगणित]] पर परिभाषित <math>X.</math> गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। <math>[0, \infty),</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। | |||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
अंतराल | अंतराल <math>[0, 1]</math> से बने समुच्चय के क्षेत्र पर विचार करें वर्ग के साथ इस अंतराल में सम्मिलित सभी लेबेस्ग औसत दर्जे का समुच्चय <math>\mathcal F</math> के साथ ऐसे किसी भी समुच्चय के लिए <math>A,</math> परिभाषित कीजिए | | ||
जहाँ <math>\chi</math> <math>A.</math> का सूचक कार्य है। जहाँ <math>\mu</math> मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं। | |||
* <math>\mu,</math> | * <math>\mu,</math> <math>\mathcal F</math> से <math>L^p</math>-स्पेस <math>L^\infty([0, 1]),</math> फलन के रूप में देखा गया सदिश माप है। जो गणनीय-योगात्मक नहीं है। | ||
* <math>\mu,</math> | * <math>\mu,</math> जिसे <math>\mathcal F</math> तक <math>L^p</math>-स्पेस <math>L^1([0, 1]),</math>तक फलन के रूप में देखा गया गणनीय-योगात्मक सदिश माप है। | ||
ये दोनों कथन | ये दोनों कथन ऊपर बताए गए मानदंड ({{EquationNote|*}}) से अधिक सरलता से अनुसरण करते हैं। | ||
== | == सदिश माप की भिन्नता == | ||
सदिश माप दिया गया <math>\mu : \mathcal{F} \to X,</math> भिन्नता <math>|\mu|</math> का <math>\mu</math> परिभाषित किया जाता है। | |||
<math display="block">|\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|</math> | <math display="block">|\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|</math> | ||
जहां | जहां समुच्चय के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है। | ||
<math display="block">A = \bigcup_{i=1}^n A_i</math> | <math display="block">A = \bigcup_{i=1}^n A_i</math> | ||
<math>\mathcal{F}.</math> में सभी <math>A</math> के लिए <math>A</math> का असंयुक्त समुच्चय की परिमित संख्या में यहाँ <math>\|\cdot\|</math><math>\mu</math> का परिवर्तन <math>[0, \infty].</math> में मान लेने वाला परिमित रूप से योज्य फलन है। यह मानता है। | |||
<math display="block">\|\mu(A)\| \leq |\mu|(A)</math> | <math display="block">\|\mu(A)\| \leq |\mu|(A)</math> | ||
किसी | किसी <math>\mathcal{F}.</math> के लिए <math>A</math> में यदि <math>|\mu|(\Omega)</math> परिमित है, <math>\mu</math> परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई प्रमाणित कर सकता है कि यदि <math>\mu</math> परिबद्ध भिन्नता का सदिश माप है, तब <math>\mu</math> गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि <math>|\mu|</math> गणनीय योगात्मक है। | ||
== ल्यपुनोव का प्रमेय == | == ल्यपुनोव का प्रमेय == | ||
सदिश माप के सिद्धांत में, [[एलेक्सी लायपुनोव]]<nowiki> का प्रमेय</nowiki> बताता है कि | सदिश माप के सिद्धांत में, [[एलेक्सी लायपुनोव]]<nowiki> का प्रमेय</nowiki> बताता है कि ([[परमाणु (माप सिद्धांत)]] गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] और [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] है।<ref name="KluvanekKnowles">[[Igor Kluvánek|Kluvánek, I.]], Knowles, G., ''Vector Measures and Control Systems'', North-Holland Mathematics Studies '''20''', Amsterdam, 1976.</ref><ref name="DiestelUhl" >{{cite book|last1=Diestel|first1=Joe| last2=Uhl|first2=Jerry J., Jr.|title=वेक्टर उपाय|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I|year=1977|isbn=0-8218-1515-6}}</ref><ref name="RolewiczControl">{{Cite book|title=Functional analysis and control theory: Linear systems|last=Rolewicz |first=Stefan|year=1987| isbn=90-277-2186-6| publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers|oclc=13064804|edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk|series=Mathematics and its Applications (East European Series)|location=Dordrecht; Warsaw|volume=29|pages=xvi+524|mr=920371}}</ref> वास्तव में, गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल समुच्चय जो [[ज़ोनोटोप]] के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)।<ref name="DiestelUhl"/> इसका उपयोग [[गणितीय अर्थशास्त्र]] में किया जाता है,<ref>{{Cite book | last=Roberts|first=John |author-link=Donald John Roberts|chapter=Large economies|title=''न्यू पालग्रेव'' में योगदान|editor=David M. Kreps|editor1-link=David M. Kreps|editor2=John Roberts|editor2-link=Donald John Roberts|editor3=Robert B. Wilson |editor3-link=Robert B. Wilson|date=July 1986|pages=30–35|url=https://gsbapps.stanford.edu/researchpapers/library/RP892.pdf |access-date=7 February 2011|series=Research paper|volume=892|publisher=Graduate School of Business, Stanford University |location=Palo Alto, CA|id=(Draft of articles for the first edition of ''New Palgrave Dictionary of Economics'')}}</ref><ref name="Aumann" >{{cite journal|author-link=Robert Aumann|first=Robert J.|last=Aumann|title=व्यापारियों की निरंतरता के साथ बाजारों में प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व|journal=Econometrica|volume=34|number=1|date=January 1966 |pages=1–17 |jstor=1909854|mr=191623|doi=10.2307/1909854|s2cid=155044347 }} This paper builds on two papers by Aumann: <p> {{cite journal <!-- | authorlink=Robert Aumann-->|title=Markets with a continuum of traders |journal=Econometrica |volume=32|number=1–2|date=January–April 1964|pages=39–50|jstor=1913732|mr=172689 |doi=10.2307/1913732 |last1=Aumann |first1=Robert J.}}</p> | ||
<p> {{cite journal <!-- authorlink=Robert Aumann|first=Robert J.|last=Aumann -->|title=Integrals of set-valued functions |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=12|number=1|date=August 1965|pages=1–12 | doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |mr=185073|last1=Aumann|first1=Robert J.}}</p></ref><ref>{{cite news|last=Vind|first=Karl | date=May 1964|title=कई व्यापारियों के साथ विनिमय अर्थव्यवस्था में एजवर्थ-आवंटन|journal=International Economic Review | volume=5|pages=165–77|number=2|jstor=2525560}} Vind's article was noted by {{harvtxt|Debreu|1991|p=4}} with this comment: | <p> {{cite journal <!-- authorlink=Robert Aumann|first=Robert J.|last=Aumann -->|title=Integrals of set-valued functions |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=12|number=1|date=August 1965|pages=1–12 | doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |mr=185073|last1=Aumann|first1=Robert J.}}</p></ref><ref>{{cite news|last=Vind|first=Karl | date=May 1964|title=कई व्यापारियों के साथ विनिमय अर्थव्यवस्था में एजवर्थ-आवंटन|journal=International Economic Review | volume=5|pages=165–77|number=2|jstor=2525560}} Vind's article was noted by {{harvtxt|Debreu|1991|p=4}} with this comment: | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
| Line 43: | Line 39: | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
{{cite news|title=The Mathematization of economic theory|first=Gérard|last=Debreu|author-link=Gérard Debreu|issue=Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC | journal=The American Economic Review |volume=81, number 1|date=March 1991|pages=1–7|jstor=2006785}} | {{cite news|title=The Mathematization of economic theory|first=Gérard|last=Debreu|author-link=Gérard Debreu|issue=Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC | journal=The American Economic Review |volume=81, number 1|date=March 1991|pages=1–7|jstor=2006785}} | ||
</ref> | </ref> जिसमें (बैंग-बैंग नियंत्रण) [[नियंत्रण सिद्धांत]],<ref name="KluvanekKnowles"/><ref name="RolewiczControl"/><ref>{{cite book|title=कार्यात्मक विश्लेषण और समय इष्टतम नियंत्रण|last1=Hermes|first1=Henry |last2=LaSalle|first2=Joseph P.|series=Mathematics in Science and Engineering|volume=56|publisher=Academic Press|location=New York—London|year=1969|pages=viii+136|mr=420366}}</ref><ref name="Artstein"/> और [[सांख्यिकीय सिद्धांत]] में <ref name="Artstein" >{{cite journal|last=Artstein|first=Zvi|title=Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points|journal=SIAM Review|volume=22|year=1980|number=2|pages=172–185|doi=10.1137/1022026|jstor=2029960|mr=564562}}</ref> लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।<ref>{{cite journal|last=Tardella|first=Fabio|title=A new proof of the Lyapunov convexity theorem|journal=SIAM Journal on Control and Optimization|volume=28|year=1990|number=2| pages=478–481|doi=10.1137/0328026|mr=1040471}}</ref> जिसे असतत असतत गणित के रूप में देखा गया है। लायपुनोव के प्रमेय के निरंतर गणित के असतत अनुरूप है।<ref name="Artstein" /><ref name="Starr08" >{{cite book|last=Starr|first=Ross M.|author-link=Ross Starr|chapter=Shapley–Folkman theorem|title=The New Palgrave Dictionary of Economics|editor-first=Steven N.|editor-last=Durlauf|editor2-first=Lawrence E., ed.|editor2-last=Blume|publisher=Palgrave Macmillan|year=2008|edition=Second|pages=317–318 (1st ed.)| url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000107|doi=10.1057/9780230226203.1518| isbn=978-0-333-78676-5}}</ref><ref>Page 210: {{cite journal|last=Mas-Colell|first=Andreu|author-link=Andreu Mas-Colell|title=A note on the core equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?|journal=Journal of Mathematical Economics| volume=5| year=1978| number=3| pages=207–215|doi=10.1016/0304-4068(78)90010-1|mr=514468}}</ref> | ||
लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* {{annotated link| | * {{annotated link|बोचनर मापने योग्य कार्य}} | ||
* {{annotated link| | * {{annotated link|बोचनर अभिन्न}} | ||
* {{annotated link| | * {{annotated link|बॉचनर स्पेस}} | ||
* {{annotated link| | * {{annotated link|जटिल मापदंड}} | ||
* {{annotated link| | * {{annotated link|हस्ताक्षरित परिमाण}} | ||
* {{annotated link| | * {{annotated link|सदिश-मूल्यवान कार्य}} | ||
* {{annotated link| | * {{annotated link|अशक्त परिमाण का कार्य}} | ||
== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
Latest revision as of 11:48, 8 June 2023
गणित में, सदिश माप फलन (गणित) है। जो समुच्चयों के वर्ग पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्पेस मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का सामान्यीकरण है। जो केवल गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या मान लेता है।
परिभाषाएं और पहला परिणाम
समुच्चय के क्षेत्र को देखते हुए और बनच स्पेस परिमित रूप से योज्य सदिश माप (या माप, संक्षेप में) फलन है। ऐसा है कि के लिए में कोई भी दो असंयुक्त समुच्चय और हैं
में असंयुक्त समुच्चयों के किसी अनुक्रम के लिए सदिश माप को गणनीय योगात्मक कहा जाता है। जिससे उनका मिलन हो में यह इसे धारण करता है |
बानाच स्पेस के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर श्रृंखला (गणित) के साथ यह सिद्ध किया जा सकता है कि योज्य सदिश माप किसी भी अनुक्रम के लिए यदि और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक है। जैसा ऊपर वाले के पास है।
|
(*) |
जहाँ सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।
उदाहरण
अंतराल से बने समुच्चय के क्षेत्र पर विचार करें वर्ग के साथ इस अंतराल में सम्मिलित सभी लेबेस्ग औसत दर्जे का समुच्चय के साथ ऐसे किसी भी समुच्चय के लिए परिभाषित कीजिए |
जहाँ का सूचक कार्य है। जहाँ मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।
- से -स्पेस फलन के रूप में देखा गया सदिश माप है। जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
- जिसे तक -स्पेस तक फलन के रूप में देखा गया गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।
ये दोनों कथन ऊपर बताए गए मानदंड (*) से अधिक सरलता से अनुसरण करते हैं।
सदिश माप की भिन्नता
सदिश माप दिया गया भिन्नता का परिभाषित किया जाता है।
जहां समुच्चय के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है।
में सभी के लिए का असंयुक्त समुच्चय की परिमित संख्या में यहाँ का परिवर्तन में मान लेने वाला परिमित रूप से योज्य फलन है। यह मानता है।
किसी के लिए में यदि परिमित है, परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई प्रमाणित कर सकता है कि यदि परिबद्ध भिन्नता का सदिश माप है, तब गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि गणनीय योगात्मक है।
ल्यपुनोव का प्रमेय
सदिश माप के सिद्धांत में, एलेक्सी लायपुनोव का प्रमेय बताता है कि (परमाणु (माप सिद्धांत) गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा बंद समुच्चय और उत्तल समुच्चय है।[1][2][3] वास्तव में, गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल समुच्चय जो ज़ोनोटोप के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)।[2] इसका उपयोग गणितीय अर्थशास्त्र में किया जाता है,[4][5][6] जिसमें (बैंग-बैंग नियंत्रण) नियंत्रण सिद्धांत,[1][3][7][8] और सांख्यिकीय सिद्धांत में [8] लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।[9] जिसे असतत असतत गणित के रूप में देखा गया है। लायपुनोव के प्रमेय के निरंतर गणित के असतत अनुरूप है।[8][10][11]
यह भी देखें
- बोचनर मापने योग्य कार्य
- बोचनर अभिन्न
- बॉचनर स्पेस
- जटिल मापदंड
- हस्ताक्षरित परिमाण
- सदिश-मूल्यवान कार्य
- अशक्त परिमाण का कार्य
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
- ↑ 2.0 2.1 Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). वेक्टर उपाय. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1515-6.
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) - ↑ 3.0 3.1 Rolewicz, Stefan (1987). Functional analysis and control theory: Linear systems. Mathematics and its Applications (East European Series). Vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers. pp. xvi+524. ISBN 90-277-2186-6. MR 0920371. OCLC 13064804.
- ↑ Roberts, John (July 1986). "Large economies". In David M. Kreps; John Roberts; Robert B. Wilson (eds.). न्यू पालग्रेव में योगदान (PDF). Research paper. Vol. 892. Palo Alto, CA: Graduate School of Business, Stanford University. pp. 30–35. (Draft of articles for the first edition of New Palgrave Dictionary of Economics). Retrieved 7 February 2011.
- ↑ Aumann, Robert J. (January 1966). "व्यापारियों की निरंतरता के साथ बाजारों में प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व". Econometrica. 34 (1): 1–17. doi:10.2307/1909854. JSTOR 1909854. MR 0191623. S2CID 155044347. This paper builds on two papers by Aumann:
Aumann, Robert J. (January–April 1964). "Markets with a continuum of traders". Econometrica. 32 (1–2): 39–50. doi:10.2307/1913732. JSTOR 1913732. MR 0172689.
Aumann, Robert J. (August 1965). "Integrals of set-valued functions". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1. MR 0185073.
- ↑ Vind, Karl (May 1964). "कई व्यापारियों के साथ विनिमय अर्थव्यवस्था में एजवर्थ-आवंटन". International Economic Review. Vol. 5, no. 2. pp. 165–77. JSTOR 2525560. Vind's article was noted by Debreu (1991, p. 4) with this comment:
The concept of a convex set (i.e., a set containing the segment connecting any two of its points) had repeatedly been placed at the center of economic theory before 1964. It appeared in a new light with the introduction of integration theory in the study of economic competition: If one associates with every agent of an economy an arbitrary set in the commodity space and if one averages those individual sets over a collection of insignificant agents, then the resulting set is necessarily convex. [Debreu appends this footnote: "On this direct consequence of a theorem of A. A. Lyapunov, see Vind (1964)."] But explanations of the ... functions of prices ... can be made to rest on the convexity of sets derived by that averaging process. Convexity in the commodity space obtained by aggregation over a collection of insignificant agents is an insight that economic theory owes ... to integration theory. [Italics added]
Debreu, Gérard (March 1991). "The Mathematization of economic theory". The American Economic Review. Vol. 81, number 1, no. Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC. pp. 1–7. JSTOR 2006785.
- ↑ Hermes, Henry; LaSalle, Joseph P. (1969). कार्यात्मक विश्लेषण और समय इष्टतम नियंत्रण. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 56. New York—London: Academic Press. pp. viii+136. MR 0420366.
- ↑ 8.0 8.1 8.2 Artstein, Zvi (1980). "Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points". SIAM Review. 22 (2): 172–185. doi:10.1137/1022026. JSTOR 2029960. MR 0564562.
- ↑ Tardella, Fabio (1990). "A new proof of the Lyapunov convexity theorem". SIAM Journal on Control and Optimization. 28 (2): 478–481. doi:10.1137/0328026. MR 1040471.
- ↑ Starr, Ross M. (2008). "Shapley–Folkman theorem". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E., ed. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 317–318 (1st ed.). doi:10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: editors list (link) - ↑ Page 210: Mas-Colell, Andreu (1978). "A note on the core equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?". Journal of Mathematical Economics. 5 (3): 207–215. doi:10.1016/0304-4068(78)90010-1. MR 0514468.
ग्रन्थसूची
- Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (reprint ed.). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. pp. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001.
- Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures. Mathematical Surveys. Vol. 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. pp. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) - Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
- van Dulst, D. (2001) [1994], "Vector measures", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Rudin, W (1973). Functional analysis. New York: McGraw-Hill. p. 114. ISBN 9780070542259.
