दोहरी शंकु और ध्रुवीय शंकु: Difference between revisions

Revision as of 10:36, 31 May 2023

एक समुच्चय C और इसका द्विशंकु C^*.

एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C^{हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित है।}

दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु उत्तल विश्लेषण, गणित की एक शाखा में बारीकी से संबंधित अवधारणाएं है।

दोहरी शंकु

एक वेक्टर स्थान में

वास्तविक संख्याओ के ऊपर एक रैखिक स्थान X में उपसमुच्चय की दोहरी शंकु है सी उदाहरण यूक्लिडियन स्थान Rⁿ, दोहरे स्थान X के साथ समुच्चय है

C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},

जहाँ $\langle y,x\rangle$ X और X के बीच की दोहरी प्रणाली होती है, अर्थात $\langle y,x\rangle =y(x)$

सी हमेशा एक उत्तल शंकु होता है, सी न तो उत्तल सेट होता है और न ही एक रैखिक शंकु होता है।

एक सामयिक सदिश स्थान में

यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X का 'दोहरा शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित समुच्चय है:

C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}

,^[1]

जो समुच्चय -C का ध्रुवीय समुच्चय होता है।^[1] कोई फर्क नहीं पड़ता कि सी क्या है, $C^{\prime }$ उत्तल शंकु होता है। यदि सी ⊆ {0} तो $C^{\prime }=X^{\prime }$ .

हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु)

वैकल्पिक रूप से, कई लेखक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान के संदर्भ में दोहरे शंकु को परिभाषित करते है (जैसे कि Rⁿ यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित) जिसे कभी-कभी आंतरिक दोहरा शंकु कहा जाता है।

C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.

सी के लिए इस बाद की परिभाषा का उपयोग करता है, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु है, तो निम्नलिखित गुण होते है:^[2]

एक शून्येतर सदिश y, C में है यदि और केवल निम्न दोनों शर्तें लागू हों:

y एक हाइपरप्लेन के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन सी का समर्थन करता है।
y और C उस हाइपरप्लेन का समर्थन करते है जो के एक ही तरफ स्थित होते है।

सी बंद सेट और उत्तल होता है।
$C_{1}\subseteq C_{2}$ तात्पर्य है $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$ .
यदि C का अभ्यंतर खाली नहीं होता है, तो C तीक्ष्ण होता है, अर्थात C में पूरी तरह से कोई रेखा नही होती है।
यदि C एक शंकु है और C का बंद होना तीक्ष्ण होता है, तो C गैर-खाली आंतरिक होता है।
C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना होता है (हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय का एक परिणाम)

स्व-दोहरी शंकु

सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर है।^[3] वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते है, आमतौर पर कहते है कि एक शंकु स्वयं-दोहरी है यदि यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है। यह उपरोक्त परिभाषा से थोड़ा अलग है, जो आंतरिक उत्पाद में बदलाव की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त परिभाषा R में एक शंकु बनाती हैⁿ दीर्घवृत्ताभ आधार स्व-दोहरी के साथ, क्योंकि आधार को गोलाकार बनाने के लिए आंतरिक उत्पाद को बदला जा सकता है, और 'R' में गोलाकार आधार वाला एक शंकुⁿ इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है।

'आर' का गैर-नकारात्मक orthantⁿ और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स का स्थान स्व-द्वैत है, जैसा कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु है (अक्सर गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु, या कभी-कभी आइसक्रीम शंकु कहा जाता है)। अतः सभी शंकु 'R' में है।³ जिसका आधार एक नियमित बहुभुज का उत्तल पतवार है जिसमें विषम संख्या में कोने है। आर में शंकु एक कम नियमित उदाहरण है³ जिसका आधार घर है: एक वर्ग का उत्तल हल और वर्ग के बाहर एक बिंदु वर्ग के एक पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज (उपयुक्त ऊंचाई का) बनाता है।

ध्रुवीय शंकु

बंद उत्तल शंकु C का ध्रुव बंद उत्तल शंकु C है^ओ, और इसके विपरीत।

X में समुच्चय C के लिए, C का 'ध्रुवीय शंकु' समुच्चय है^[4]

C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.

यह देखा जा सकता है कि ध्रुवीय शंकु दोहरे शंकु के ऋणात्मक के बराबर है, अर्थात C^{ओ</सुप> = -सी^*.}

एक्स में एक बंद उत्तल शंकु सी के लिए, ध्रुवीय शंकु सी के लिए ध्रुवीय सेट के बराबर है।^[5]

यह भी देखें

द्विध्रुवी प्रमेय
ध्रुवीय सेट

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Schaefer & Wolff 1999, pp. 215–222.
↑ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). उत्तल अनुकूलन (pdf). Cambridge University Press. pp. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.
↑ Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. उत्तल विश्लेषण. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.
↑ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

ग्रन्थसूची

Boltyanski, V. G.; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Excursions into combinatorial geometry. New York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
Goh, C. J.; Yang, X.Q. (2002). Duality in optimization and variational inequalities. London; New York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Ramm, A.G. (2000). Shivakumar, P.N.; Strauss, A.V. (eds.). Operator theory and its applications. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] 1.0 ^1.1 Schaefer & Wolff 1999, pp. 215–222.

[Boyd-2] Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). उत्तल अनुकूलन (pdf). Cambridge University Press. pp. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.

[3] Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.

[Rockafellar-4] Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. उत्तल विश्लेषण. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.

[5] Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

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 {{Short description|Concepts in convex analysis}}
 [[File:Dual cone illustration.svg|right|thumb|एक समुच्चय C और इसका द्विशंकु C{{sup|*}}.]]
-[[File:Polar cone illustration1.svg|right|thumb|एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C<sup>हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित हैं।]]दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु [[उत्तल विश्लेषण]], गणित की एक शाखा में बारीकी से संबंधित अवधारणाएं हैं।
+[[File:Polar cone illustration1.svg|right|thumb|एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C<sup>हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित है।]]दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु [[उत्तल विश्लेषण]], गणित की एक शाखा में बारीकी से संबंधित अवधारणाएं है।
 == दोहरी शंकु ==
-=== एक वेक्टर अंतरिक्ष में ===
+=== एक वेक्टर स्थान में ===
-दोहरी शंकु '' सी{{sup|*}[[वास्तविक संख्या]]ओं पर एक [[रैखिक स्थान]] X में उपसमुच्चय C का }, उदा. [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] 'आर'<sup>n</sup>, [[ दोहरी जगह ]] X के साथ{{sup|*}} समुच्चय है
+''[[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओ]]'' के ऊपर एक ''[[रैखिक स्थान]]'' X में उपसमुच्चय की दोहरी शंकु है सी उदाहरण ''[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]]'' R''<sup>n</sup>'', ''[[ दोहरी जगह |दोहरे स्थान]]'' X के साथ ''समुच्चय'' है
 :<math>C^* = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C  \right \},</math>
-कहाँ <math>\langle y, x \rangle</math> X और X के बीच की [[दोहरी प्रणाली]] है{{sup|*}}, अर्थात। <math>\langle y, x\rangle = y(x)</math>.
+जहाँ <math>\langle y, x \rangle</math> X और X के बीच की [[दोहरी प्रणाली]] होती है, अर्थात <math>\langle y, x\rangle = y(x)</math>
-सी{{sup|*}} हमेशा एक [[उत्तल शंकु]] होता है, भले ही C न तो [[उत्तल सेट]] हो और न ही एक [[रैखिक शंकु]]।
+सी हमेशा एक [[उत्तल शंकु]] होता है, सी न तो [[उत्तल सेट]] होता है और न ही एक [[रैखिक शंकु]] होता है।
 === एक सामयिक सदिश स्थान में ===
-यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X का 'दोहरी शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित सेट है:
+यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X का 'दोहरा  शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित समुच्चय है:
 :<math>C^{\prime} := \left\{ f \in X^{\prime} : \operatorname{Re} \left( f (x) \right) \geq 0 \text{ for all } x \in C \right\}</math>,{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | pp=215–222}}
-जो समुच्चय -C का ध्रुवीय समुच्चय है।{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | pp=215–222}}
+जो समुच्चय -C का ध्रुवीय समुच्चय होता है।{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | pp=215–222}} कोई फर्क नहीं पड़ता कि सी क्या है, <math>C^{\prime}</math> उत्तल शंकु होता है। यदि सी ⊆ {0} तो <math>C^{\prime} = X^{\prime}</math>.
-कोई फर्क नहीं पड़ता कि सी क्या है, <math>C^{\prime}</math> उत्तल शंकु होगा।
-अगर सी ⊆ {0} तो <math>C^{\prime} = X^{\prime}</math>.
-=== एक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] में (आंतरिक दोहरी शंकु) ===
+=== हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु) ===
-वैकल्पिक रूप से, कई लेखक वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष के संदर्भ में दोहरे शंकु को परिभाषित करते हैं (जैसे कि आर<sup>n</sup> यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित) जिसे कभी-कभी आंतरिक दोहरा शंकु कहा जाता है।
+वैकल्पिक रूप से, कई लेखक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान के संदर्भ में दोहरे शंकु को परिभाषित करते है (जैसे कि R<sup>n</sup> यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित) जिसे कभी-कभी आंतरिक दोहरा शंकु कहा जाता है।
 :<math>C^*_\text{internal} := \left \{y\in X: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C  \right \}.</math>
-सी के लिए इस बाद की परिभाषा का उपयोग करना{{sup|*}}, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु है, तो निम्नलिखित गुण होते हैं:<ref name="Boyd">{{cite book|title=उत्तल अनुकूलन| first1=Stephen P. |last1=Boyd |first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3 | url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=65 |format=pdf|access-date=October 15, 2011|pages=51–53}}</ref>
+सी के लिए इस बाद की परिभाषा का उपयोग करता है, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु है, तो निम्नलिखित गुण होते है:<ref name="Boyd">{{cite book|title=उत्तल अनुकूलन| first1=Stephen P. |last1=Boyd |first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3 | url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=65 |format=pdf|access-date=October 15, 2011|pages=51–53}}</ref>
-* एक शून्येतर सदिश y, C में है{{sup|*}} यदि और केवल यदि निम्न दोनों शर्तें लागू हों:
+* एक शून्येतर सदिश y, C में है यदि और केवल निम्न दोनों शर्तें लागू हों:
-#y एक [[ hyperplane ]] के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन सी का समर्थन करता है।
+#y एक [[ hyperplane |हाइपरप्लेन]] के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन सी का समर्थन करता है।
-#y और C उस [[ हाइपरप्लेन का समर्थन करना ]] के एक ही तरफ स्थित हैं।
+#y और C उस [[ हाइपरप्लेन का समर्थन करना | हाइपरप्लेन का समर्थन करते है]] जो के एक ही तरफ स्थित होते है।
-*सी{{sup|*}} [[बंद सेट]] और उत्तल है।
+*सी [[बंद सेट]] और उत्तल होता है।
-*<math>C_1 \subseteq C_2</math> तात्पर्य <math>C_2^* \subseteq C_1^*</math>.
+*<math>C_1 \subseteq C_2</math> तात्पर्य है <math>C_2^* \subseteq C_1^*</math>.
-*यदि C का अभ्यंतर खाली नहीं है, तो C{{sup|*}} पॉइंटेड है, यानी C* में पूरी तरह से कोई लाइन नहीं है।
+*यदि C का अभ्यंतर खाली नहीं होता है, तो C तीक्ष्ण होता है, अर्थात C में पूरी तरह से कोई रेखा नही होती है।
-*यदि C एक शंकु है और C का बंद होना नुकीला है, तो C{{sup|*}} में गैर-खाली इंटीरियर है।
+*यदि C एक शंकु है और C का बंद होना तीक्ष्ण होता है, तो C गैर-खाली आंतरिक होता है।
-*सी{{sup|**}} C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना है ([[हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय]] का एक परिणाम)
+*C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना होता है ([[हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय]] का एक परिणाम)
 == स्व-दोहरी शंकु ==
-सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर है।<ref>Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.</ref> वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते हैं, आमतौर पर कहते हैं कि एक शंकु स्वयं-दोहरी है यदि यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है।
+सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर है।<ref>Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.</ref> वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते है, आमतौर पर कहते है कि एक शंकु स्वयं-दोहरी है यदि यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है।
 यह उपरोक्त परिभाषा से थोड़ा अलग है, जो आंतरिक उत्पाद में बदलाव की अनुमति देता है।
 उदाहरण के लिए, उपरोक्त परिभाषा R में एक शंकु बनाती है<sup>n</sup> दीर्घवृत्ताभ आधार स्व-दोहरी के साथ, क्योंकि आधार को गोलाकार बनाने के लिए आंतरिक उत्पाद को बदला जा सकता है, और 'R' में गोलाकार आधार वाला एक शंकु<sup>n</sup> इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है।
-'आर' का गैर-नकारात्मक [[orthant]]<sup>n</sup> और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स का स्थान स्व-द्वैत है, जैसा कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु हैं (अक्सर गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु, या कभी-कभी आइसक्रीम शंकु कहा जाता है)।
+'आर' का गैर-नकारात्मक [[orthant]]<sup>n</sup> और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स का स्थान स्व-द्वैत है, जैसा कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु है (अक्सर गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु, या कभी-कभी आइसक्रीम शंकु कहा जाता है)।
-अतः सभी शंकु 'R' में हैं।<sup>3</sup> जिसका आधार एक नियमित बहुभुज का उत्तल पतवार है जिसमें विषम संख्या में कोने हैं।
+अतः सभी शंकु 'R' में है।<sup>3</sup> जिसका आधार एक नियमित बहुभुज का उत्तल पतवार है जिसमें विषम संख्या में कोने है।
 आर में शंकु एक कम नियमित उदाहरण है<sup>3</sup> जिसका आधार घर है: एक वर्ग का उत्तल हल और वर्ग के बाहर एक बिंदु वर्ग के एक पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज (उपयुक्त ऊंचाई का) बनाता है।
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 एक्स में एक बंद उत्तल शंकु सी के लिए, ध्रुवीय शंकु सी के लिए ध्रुवीय सेट के बराबर है।<ref>{{cite book|last1=Aliprantis |first1=C.D.|last2=Border |first2=K.C. |title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=215}}</ref>
 == यह भी देखें ==

v t e Ordered topological vector spaces
Basic concepts	Ordered vector space Partially ordered space Riesz space Order topology Order unit Positive linear operator Topological vector lattice Vector lattice
Types of orders/spaces	AL-space AM-space Archimedean Banach lattice Fréchet lattice Locally convex vector lattice Normed lattice Order bound dual Order dual Order complete Regularly ordered
Types of elements/subsets	Band Cone-saturated Lattice disjoint Dual/Polar cone Normal cone Order complete Order summable Order unit Quasi-interior point Solid set Weak order unit
Topologies/Convergence	Order convergence Order topology
Operators	Positive State
Main results	Freudenthal spectral

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दोहरी शंकु

एक वेक्टर स्थान में

एक सामयिक सदिश स्थान में

हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु)

स्व-दोहरी शंकु

ध्रुवीय शंकु

यह भी देखें

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दोहरी शंकु

एक वेक्टर स्थान में

एक सामयिक सदिश स्थान में

हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु)

स्व-दोहरी शंकु

ध्रुवीय शंकु

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