डिराक माप: Difference between revisions

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[[Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg|right|thumb|250px|3-बिंदु समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चयों को प्रदर्शित करने वाला आरेख {{math|{''x'',''y'',''z''}}}. डिराक माप {{math|''δ<sub>x</sub>''}} आरेख के ऊपरी-बाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 1 और निचले-दाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 0 का आकार निर्दिष्ट करता है।]]गणित में, डायराक माप केवल एक समुच्चय के आधार पर आकार निर्दिष्ट करता है कि इसमें एक निश्चित तत्व ''x'' उपस्थित है या नहीं। यह [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फलन]], भौतिकी और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण के विचार को औपचारिक रूप प्रदान करने का एक उपाय है।
[[Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg|right|thumb|250px|3-बिंदु समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चयों को प्रदर्शित करने वाला आरेख {{math|{''x'',''y'',''z''}}}. डिराक माप {{math|''δ<sub>x</sub>''}} आरेख के ऊपरी-बाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 1 और निचले-दाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 0 का आकार निर्दिष्ट करता है।]]गणित में, '''डिराक माप''' केवल एक समुच्चय के आधार पर आकार को निर्दिष्ट करता है कि इसमें एक निश्चित तत्व ''x'' उपस्थित है अथवा नहीं। यह [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फलन]], भौतिकी और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण के विचार को औपचारिक रूप प्रदान करने का एक उपाय है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
डायराक माप एक समुच्चय {{math|''X''}} पर माप {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} (किसी भी {{math|''σ''}}-बीजगणित के साथ [[सबसेट|उपसमुच्चय]] {{math|''X''}} का) दिए गए {{math|''x'' ∈ ''X''}} के लिए और कोई भी [[मापने योग्य सेट|(मापने योग्य समुच्चय)]] समुच्चय {{math|''A'' ⊆ ''X''}} के द्वारा परिभाषित करता है।
डिराक माप एक समुच्चय {{math|''X''}} पर माप {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} (किसी भी {{math|''σ''}}-बीजगणित के साथ [[सबसेट|उपसमुच्चय]] {{math|''X''}} का) दिए गए {{math|''x'' ∈ ''X''}} के लिए और कोई भी [[मापने योग्य सेट|(मापने योग्य समुच्चय)]] समुच्चय {{math|''A'' ⊆ ''X''}} के द्वारा परिभाषित करता है।
:<math>\delta_x (A) = 1_A(x)= \begin{cases} 0, & x \not \in A; \\ 1, & x \in A. \end{cases}</math>
:<math>\delta_x (A) = 1_A(x)= \begin{cases} 0, & x \not \in A; \\ 1, & x \in A. \end{cases}</math>
जहाँ {{math|1<sub>''A''</sub>}}, {{math|''A''}} का सूचक फलन है।
जहाँ {{math|1<sub>''A''</sub>}}, {{math|''A''}} का सूचक फलन है।


डायराक माप एक [[संभाव्यता माप]] है और संभाव्यता के संदर्भ में यह लगभग सुनिश्चित परिणाम प्रतिदर्श समष्टि X में परिणाम x का प्रतिनिधित्व करता है। {{math|''x''}} नमूना स्थान में {{math|''X''}}. हम यह भी कह सकते हैं कि माप एक एकल [[परमाणु (माप सिद्धांत)]] है {{math|''x''}}; हालाँकि, डायराक माप को एक परमाणु माप के रूप में मानना ​​​​सही नहीं है जब हम डायराक डेल्टा की अनुक्रमिक परिभाषा पर विचार करते हैं, [[डेल्टा अनुक्रम]] की सीमा के रूप में{{Dubious|date=January 2022}}. डायराक उपाय संभाव्यता उपायों के उत्तल समुच्चय के [[चरम बिंदु]] हैं {{math|''X''}}.
डिराक माप एक [[संभाव्यता माप]] है और संभाव्यता के संदर्भ में यह लगभग सुनिश्चित परिणाम प्रतिदर्श समष्टि X में परिणाम x का प्रतिनिधित्व करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि माप {{math|''x''}} पर एक एकल [[परमाणु (माप सिद्धांत)]] है। चूंकि डिराक माप को परमाणु माप के रूप में मानना ​​​​सही नहीं है। जब हम डिराक डेल्टा की अनुक्रमिक परिभाषा पर विचार करते हैं। [[डेल्टा अनुक्रम]] की सीमा के रूप में डिराक उपाय संभाव्यता उपायों के उत्तल समुच्चय के [[चरम बिंदु|एक्सट्रीम प्वॉइंट]] {{math|''X''}} पर उपस्थित हैं।


नाम Dirac डेल्टा फलन से बैक-फॉर्मेशन है; एक [[वितरण (गणित)]] के रूप में माना जाता है, उदाहरण के लिए [[वास्तविक रेखा]] पर, विशेष प्रकार के वितरण के लिए उपाय किए जा सकते हैं। पहचान
इसका नाम डिराक डेल्टा फलन से बैक-फॉर्मेशन है। जिसे एक [[वितरण (गणित)]] के रूप में माना जाता है, उदाहरण के लिए [[वास्तविक रेखा]] पर, विशेष प्रकार के वितरण के लिए उपाय किए जा सकते हैं। पहचान-
:<math>\int_{X} f(y) \, \mathrm{d} \delta_x (y) = f(x),</math>
:<math>\int_{X} f(y) \, \mathrm{d} \delta_x (y) = f(x),</math>
जो, रूप में
जो निम्नलिखित रूप में है-
:<math>\int_X f(y) \delta_x (y) \, \mathrm{d} y = f(x),</math>
:<math>\int_X f(y) \delta_x (y) \, \mathrm{d} y = f(x),</math>
डेल्टा फलन की परिभाषा का हिस्सा बनने के लिए अक्सर लिया जाता है, [[लेबेसेग एकीकरण]] के प्रमेय के रूप में होता है।
डेल्टा फलन की परिभाषा का भाग बनने के लिए अधिकांशतः प्राप्त किया जाता है, जिसको [[लेबेसेग एकीकरण]] के प्रमेय के रूप में होता है।


== डायराक माप के गुण ==
== डिराक माप के गुण ==
होने देना {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} किसी निश्चित बिंदु पर केंद्रित डायराक माप को निरूपित करता है {{math|''x''}} कुछ औसत दर्जे की जगह में {{math|(''X'', Σ)}}.
माना कि δx कुछ मापने योग्य स्थान {{math|(''X'', Σ)}} में कुछ निश्चित बिंदु {{math|''x''}} पर केंद्रित डिराक माप को प्रदर्शित करता है। 
* {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एक प्रायिकता माप है, और इसलिए एक परिमित माप है।
* {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एक प्रायिकता माप है और इसलिए यह परिमित माप है।


लगता है कि {{math|(''X'', ''T'')}} एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है और वह {{math|Σ}} कम से कम उतना ही ठीक है जितना कि बोरेल सिग्मा बीजगणित | बोरेल {{math|''σ''}}-बीजगणित {{math|''σ''(''T'')}} पर {{math|''X''}}.
मान लीजिए कि {{math|(''X'', ''T'')}} एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] है और Σ कम से कम {{math|''X''}} पर बोरेल σ-बीजगणित {{math|''σ''(''T'')}} के रूप में सही प्रतीत होता है। 
* {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} [[अगर और केवल अगर]] टोपोलॉजी एक सख्त सकारात्मक उपाय है {{math|''T''}} इस प्रकार कि {{math|''x''}} प्रत्येक गैर-खाली खुले  समुच्चय में निहित है, उदा। [[तुच्छ टोपोलॉजी]] के मामले में {{math|{∅, ''X''}<nowiki/>}}.
* {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] टोपोलॉजी {{math|''T''}} एक सख्त सकारात्मक उपाय है। इस प्रकार कि {{math|''x''}} प्रत्येक गैर-खाली संवृत समुच्चय में उपस्थित है। उदा [[तुच्छ टोपोलॉजी|ट्रिवियल टोपोलॉजी]] की स्थिति में {{math|{∅, ''X''}<nowiki/>}} स्थित है।
* तब से {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} संभाव्यता माप है, यह [[स्थानीय परिमित माप]] भी है।
* तब से {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} संभाव्यता माप है, यह [[स्थानीय परिमित माप]] भी है।
* अगर {{math|''X''}} अपने बोरेल के साथ एक [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] टोपोलॉजिकल स्पेस है {{math|''σ''}}-बीजगणित, तब {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एक [[आंतरिक नियमित माप]] होने की स्थिति को संतुष्ट करता है, क्योंकि [[सिंगलटन (गणित)]] जैसे समुच्चय करता है {{math|{''x''}<nowiki/>}} हमेशा [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होते हैं। इस तरह, {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} भी एक [[रेडॉन माप]] है।
* यदि {{math|''X''}} अपने बोरेल {{math|''σ''}}-बीजगणित के साथ एक [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] टोपोलॉजिकल स्पेस है। तब {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एक [[आंतरिक नियमित माप]] होने की स्थिति को संतुष्ट करता है क्योंकि [[सिंगलटन (गणित)]] जैसे समुच्चय {{math|{''x''}<nowiki/>}} सदैव[[ कॉम्पैक्ट जगह | कॉम्पैक्ट]] होते हैं। इसी प्रकार {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} भी एक [[रेडॉन माप]] है।
* यह मानते हुए कि टोपोलॉजी {{math|''T''}} इतना ही काफी है {{math|{''x''}<nowiki/>}} बंद है, जो अधिकांश अनुप्रयोगों में मामला है, का [[समर्थन (माप सिद्धांत)]]। {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} है {{math|{''x''}<nowiki/>}}. (अन्यथा, {{math|supp(''δ''<sub>''x''</sub>)}} का समापन है {{math|{''x''}<nowiki/>}} में {{math|(''X'', ''T'')}}।) आगे, {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} एकमात्र प्रायिकता माप है जिसका समर्थन है {{math|{''x''}<nowiki/>}}.
* यह मानते हुए कि टोपोलॉजी {{math|''T''}} इतना ही पर्याप्त है कि {{math|{''x''}<nowiki/>}} विवृत है। जो अधिकांश अनुप्रयोगों की स्थिति में है। δx का समर्थन {x} है। (अन्यथा, supp(δx) (X, T) में {x} का समापन है।) इसके अतिरिक्त δx एकमात्र प्रायिकता माप है। जिसका समर्थन {x} करता है।
* अगर {{math|''X''}} है {{math|''n''}}-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} अपने सामान्य के साथ {{math|''σ''}}-बीजगणित और {{math|''n''}}-आयामी [[लेबेस्ग उपाय]] {{math|''λ''<sup>''n''</sup>}}, तब {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} के संबंध में एक विलक्षण उपाय है {{math|''λ''<sup>''n''</sup>}}: बस विघटित करें {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} जैसा {{math|1=''A'' = '''R'''<sup>''n''</sup> \ {''x''}<nowiki/>}} और {{math|1=''B'' = {''x''}<nowiki/>}} और उसका निरीक्षण करें {{math|1=''δ''<sub>''x''</sub>(''A'') {{=}} ''λ''<sup>''n''</sup>(''B'') = 0}}.
*यदि X अपने सामान्य σ-बीजगणित और n-आयामी [[लेबेस्ग उपाय|लेबेस्ग]] माप λn के साथ n-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन रिक्त स्थान]] Rn है। तब {{math|''δ''<sub>''x''</sub>}} के संबंध में एक विलक्षण उपाय {{math|''λ''<sup>''n''</sup>}} है। सामान्यतः Rn को A = Rn \ {x} और B = {x} के रूप में विघटित करें और देखें कि δx(A) = λn(B) = 0।
* डायराक माप एक σ-परिमित माप | सिग्मा-परिमित माप है।
* डिराक माप एक सिग्मा-परिमित माप है।


== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
एक असतत माप डायराक माप के समान है, सिवाय इसके कि यह एक बिंदु के बजाय कई बिंदुओं पर केंद्रित है। अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक रेखा पर एक माप (गणित) को असतत माप कहा जाता है (लेबेसेग माप के संबंध में) यदि इसका समर्थन (माप सिद्धांत) अधिक से अधिक एक [[गणनीय सेट|गणनीय  समुच्चय]] है।
असतत माप डिराक माप के समान है, इसके अतिरिक्त कि यह एक बिंदु के स्थान पर कई बिंदुओं पर केंद्रित करने का कार्य करता है। अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक रेखा पर एक माप (गणित) को असतत माप कहा जाता है (लेबेसेग माप के संबंध में)। यदि इसका समर्थन (माप सिद्धांत) अधिक से अधिक एक [[गणनीय सेट|गणना करने योग्य समुच्चय]] पर है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* असतत उपाय
* असतत माप
* डिराक डेल्टा फलन
* डिराक डेल्टा फलन


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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*{{cite book |title=Harmonic analysis and applications|first=John |last=Benedetto |chapter=§2.1.3 Definition, {{math|''δ''}} |chapter-url=https://books.google.com/books?id=_SCeYgvPgoYC&pg=PA72 |page=72 |isbn=0-8493-7879-6 |year=1997 |publisher=CRC Press}}
*{{cite book |title=Harmonic analysis and applications|first=John |last=Benedetto |chapter=§2.1.3 Definition, {{math|''δ''}} |chapter-url=https://books.google.com/books?id=_SCeYgvPgoYC&pg=PA72 |page=72 |isbn=0-8493-7879-6 |year=1997 |publisher=CRC Press}}


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Latest revision as of 13:10, 8 June 2023

3-बिंदु समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चयों को प्रदर्शित करने वाला आरेख {x,y,z}. डिराक माप δx आरेख के ऊपरी-बाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 1 और निचले-दाएँ आधे भाग में सभी समुच्चयों के लिए 0 का आकार निर्दिष्ट करता है।

गणित में, डिराक माप केवल एक समुच्चय के आधार पर आकार को निर्दिष्ट करता है कि इसमें एक निश्चित तत्व x उपस्थित है अथवा नहीं। यह डिराक डेल्टा फलन, भौतिकी और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण के विचार को औपचारिक रूप प्रदान करने का एक उपाय है।

परिभाषा

डिराक माप एक समुच्चय X पर माप δx (किसी भी σ-बीजगणित के साथ उपसमुच्चय X का) दिए गए x ∈ X के लिए और कोई भी (मापने योग्य समुच्चय) समुच्चय A ⊆ X के द्वारा परिभाषित करता है।

जहाँ 1A, A का सूचक फलन है।

डिराक माप एक संभाव्यता माप है और संभाव्यता के संदर्भ में यह लगभग सुनिश्चित परिणाम प्रतिदर्श समष्टि X में परिणाम x का प्रतिनिधित्व करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि माप x पर एक एकल परमाणु (माप सिद्धांत) है। चूंकि डिराक माप को परमाणु माप के रूप में मानना ​​​​सही नहीं है। जब हम डिराक डेल्टा की अनुक्रमिक परिभाषा पर विचार करते हैं। डेल्टा अनुक्रम की सीमा के रूप में डिराक उपाय संभाव्यता उपायों के उत्तल समुच्चय के एक्सट्रीम प्वॉइंट X पर उपस्थित हैं।

इसका नाम डिराक डेल्टा फलन से बैक-फॉर्मेशन है। जिसे एक वितरण (गणित) के रूप में माना जाता है, उदाहरण के लिए वास्तविक रेखा पर, विशेष प्रकार के वितरण के लिए उपाय किए जा सकते हैं। पहचान-

जो निम्नलिखित रूप में है-

डेल्टा फलन की परिभाषा का भाग बनने के लिए अधिकांशतः प्राप्त किया जाता है, जिसको लेबेसेग एकीकरण के प्रमेय के रूप में होता है।

डिराक माप के गुण

माना कि δx कुछ मापने योग्य स्थान (X, Σ) में कुछ निश्चित बिंदु x पर केंद्रित डिराक माप को प्रदर्शित करता है।

  • δx एक प्रायिकता माप है और इसलिए यह परिमित माप है।

मान लीजिए कि (X, T) एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान है और Σ कम से कम X पर बोरेल σ-बीजगणित σ(T) के रूप में सही प्रतीत होता है।

  • δx यदि और केवल यदि टोपोलॉजी T एक सख्त सकारात्मक उपाय है। इस प्रकार कि x प्रत्येक गैर-खाली संवृत समुच्चय में उपस्थित है। उदा ट्रिवियल टोपोलॉजी की स्थिति में {∅, X} स्थित है।
  • तब से δx संभाव्यता माप है, यह स्थानीय परिमित माप भी है।
  • यदि X अपने बोरेल σ-बीजगणित के साथ एक हॉसडॉर्फ स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस है। तब δx एक आंतरिक नियमित माप होने की स्थिति को संतुष्ट करता है क्योंकि सिंगलटन (गणित) जैसे समुच्चय {x} सदैव कॉम्पैक्ट होते हैं। इसी प्रकार δx भी एक रेडॉन माप है।
  • यह मानते हुए कि टोपोलॉजी T इतना ही पर्याप्त है कि {x} विवृत है। जो अधिकांश अनुप्रयोगों की स्थिति में है। δx का समर्थन {x} है। (अन्यथा, supp(δx) (X, T) में {x} का समापन है।) इसके अतिरिक्त δx एकमात्र प्रायिकता माप है। जिसका समर्थन {x} करता है।
  • यदि X अपने सामान्य σ-बीजगणित और n-आयामी लेबेस्ग माप λn के साथ n-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान Rn है। तब δx के संबंध में एक विलक्षण उपाय λn है। सामान्यतः Rn को A = Rn \ {x} और B = {x} के रूप में विघटित करें और देखें कि δx(A) = λn(B) = 0।
  • डिराक माप एक सिग्मा-परिमित माप है।

सामान्यीकरण

असतत माप डिराक माप के समान है, इसके अतिरिक्त कि यह एक बिंदु के स्थान पर कई बिंदुओं पर केंद्रित करने का कार्य करता है। अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक रेखा पर एक माप (गणित) को असतत माप कहा जाता है (लेबेसेग माप के संबंध में)। यदि इसका समर्थन (माप सिद्धांत) अधिक से अधिक एक गणना करने योग्य समुच्चय पर है।

यह भी देखें

  • असतत माप
  • डिराक डेल्टा फलन

संदर्भ

  • Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
  • Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ[[Category: Templates Vigyan Ready]]". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6. {{cite book}}: URL–wikilink conflict (help)
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