संवृत ग्राफ प्रमेय

This article is about बंद ग्राफ प्रमेय में जनरल टोपोलॉजी. For बंद ग्राफ प्रमेय में फंक्शनल एनालिसिस , see बंद ग्राफ प्रमेय (फंक्शनल एनालिसिस ).

अंतराल $[-4,4]$ पर क्यूबिक फंक्शन $f(x)=x^{3}-9x$ का ग्राफ़ बंद है क्योंकि फ़ंक्शन कंटीन्यूअस है। $[-2,2]$ हैविसिडे फंक्शन का ग्राफ़ बंद नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन निरंतर नहीं है।

गणित में, संवृत ग्राफ़ प्रमेय कई आधारस्वरूप परिणामों में से एक को संदर्भित कर सकता है जो उनके ग्राफ़ के संदर्भ में निरंतर कार्यों को दर्शाता है। प्रत्येक स्थिति में संवृत ग्राफ वाले कार्य आवश्यक रूप से निरंतर होते हैं।

संवृत रेखांकन वाले रेखांकन और आरेख

Main article: बंद ग्राफ

यदि $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल स्थान के बीच एक आरेख है, फिर $f$ ग्राफ सेट है $\operatorname {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ या समकक्ष,

$$\operatorname {Gr} f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$$

कहा जाता है कि ग्राफ $f$ संवृत है यदि $\operatorname {Gr} f$ $X\times Y$ का एक संवृत सेट है (उत्पाद टोपोलॉजी के साथ)।

किसी भी निरंतर कार्य का एक संवृत ग्राफ हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष स्थान होता है।

कोई रैखिक आरेख, $L:X\to Y,$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान के बीच जिनकी टोपोलॉजी (कॉची) ट्रांसलेशन इनवेरिएंट मेट्रिक्स के संबंध में पूर्ण हैं, और यदि अतिरिक्त (1a) $L$ उत्पाद टोपोलॉजीके अर्थ में क्रमिक रूप से निरंतर है, फिर आरेख L निरंतर है और इसका ग्राफ, Gr $L$ अनिवार्य रूप से संवृत है।। इसके विपरीत यदि $L$ (1a) के स्थान पर एक ऐसा रेखीय आरेख है, जिसका ग्राफ $L$ (1b) है $X\times Y$ कार्टेशियन उत्पाद स्थान में संवृत होने के लिए जाना जाता है , तब $L$ निरंतर और आवश्यक रूप से क्रमिक निरंतर है।

निरंतर आरेख के उदाहरण जिनमें संवृत ग्राफ नहीं है

यदि $X$ कोई स्थान है तो पहचान आरेख $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ $\operatorname {Gr} \operatorname {Id} :=\{(x,x):x\in X\},$जो विकर्ण है, $X\times X$ में संवृत है यदि और केवल यदि $X$ हॉसडॉर्फ है। विशेष रूप से, यदि $X$ हौसडॉर्फ नहीं है तब $\operatorname {Id} :X\to X$ निरंतर है लेकिन इसका संवृत ग्राफ़ नहीं है।

माना की $X$ वास्तविक संख्याओं $\mathbb {R}$ सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ को निरूपित करता है और $Y$ अविवेकपूर्ण टोपोलॉजी के साथ $\mathbb {R}$ को निरूपित करता है (जहां ध्यान दें कि $Y$ हॉसडॉर्फनहीं है और यह कि Y में मान का प्रत्येक फलन सतत है)। माना की $f:X\to Y$ द्वारा $f(0)=1$ और $f(x)=0$ सभी के लिए $x\neq 0$. परिभाषित किया जाना चाहिए फिर $f:X\to Y$ निरंतर है लेकिन इसका ग्राफ$X\times X$ में संवृत नहीं है .

पॉइंट-सेट टोपोलॉजी में संवृत ग्राफ प्रमेय

बिंदु-सेट टोपोलॉजी में, संवृत ग्राफ प्रमेय निम्नलिखित बताता है:

बंद ग्राफ प्रमेय — यदि $f:X\to Y$ एक टोपोलॉजी स्पेस $X$ से एक हौसड्राफ़ स्पेस $Y,$ में एक मैप है,तो $f$ ग्राफ बंद हो जाता है यदि $f:X\to Y$ is कंटीन्यूअस . इसका विलोम तब सत्य होता है जब $Y$ कॉम्पैक्ट है. (ध्यान दें कि सघनता और हौसडॉर्फनेस एक-दूसरे से संबंधित नहीं हैं।)

Proof

पहला भाग अनिवार्य रूप से परिभाषा के अनुसार है।

दूसरा भाग

किसी भी खुले $V\subset Y$ के लिए, हम परीक्षण करते हैं कि $f^{-1}(V)$ खुला है तो कोई $x\in f^{-1}(V)$ लें, हम $x$ के कुछ खुले निकटता $U$ का निर्माण करते हैं, जैसे कि $f(U)\subset V$ ।

चूँकि $f$ का ग्राफ़ बंद है, प्रत्येक बिंदु $(x,y')$ के लिए "x पर लंबवत रेखा" पर, $y'\neq f(x)$ , $f$ के ग्राफ़ से एक खुला आयत $U_{y'}\times V_{y'}$ अलग करें। ये खुले आयत, जब y-अक्ष पर प्रक्षेपित होते हैं, $f(x)$ को छोड़कर y-अक्ष को कवर करते हैं, इसलिए एक और सेट $V$ जोड़ें।

सरलता से $U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}$ लेने का प्रयास $x$ युक्त एक सेट का निर्माण करेगा, लेकिन इसकी आश्वासन नहीं है खुले रहने के लिए, इसलिए हम यहाँ कॉम्पैक्टनेस का उपयोग करते हैं।

चूँकि $Y$ कॉम्पैक्ट है, हम $Y$ का एक परिमित खुला आवरण ले सकते हैं जैसे $\{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}$.

अब $U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}$ लें। यह $x$ का एक खुला निकटता है, क्योंकि यह केवल एक परिमित चौराहा है। हम दावा करते हैं कि यह $U$ का खुला निकटता है जो हम चाहते हैं।

मान की नहीं, तो कुछ अनियंत्रित $x'\in U$ ऐसा है कि $f(x')\not \in V$ , तो इसका अर्थ होगा $f(x)')\in V_{y'_{i}}$ कुछ $i$ के लिए ओपन कवरिंग द्वारा, लेकिन फिर $(x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}$ , एक विरोधाभास क्योंकि इसे $f$ के ग्राफ़ से अलग होना माना जाता है।

अ-हॉउसडॉर्फ स्थान बहुत कम देखे जाते हैं, लेकिन अ-सघन स्थान सामान्य हैं। अ-कॉम्पैक्ट का एक उदाहरण $Y$ वास्तविक रेखा है, जो संवृत ग्राफ के साथ असंतुलित कार्य की अनुमति देती है $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}$.

सेट-वैल्यू फ़ंक्शंस के लिए

सेट-वैल्यूड फ़ंक्शंस के लिए बंद ग्राफ प्रमेय — कॉम्पैक्ट रेंज स्पेस Y के लिए , एक सेट-वैल्यू फ़ंक्शन $f:X\to 2^{Y}$ का एक बंद ग्राफ़ है यदि और केवल यदि यह ऊपरी हेमीकंटिन्यूअस है 𝑓(x) सभी $x\in X$ के लिए एक बंद सेट है

कार्यात्मक विश्लेषण में

यदि $T:X\to Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान (टीवीएस) के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है तो हम कहते हैं कि $T$ एक संवृत रैखिक ऑपरेटर है यदि ग्राफ $T$ ,$X\times Y$ में संवृत है जब $X\times Y$ उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है।

संवृत ग्राफ़ प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण परिणाम है जो गारंटी देता है कि कुछ प्रतिबंध के तहत एक संवृत रैखिक ऑपरेटर निरंतर है।

मूल परिणाम को कई बार सामान्यीकृत किया गया है। संवृत ग्राफ प्रमेयों का एक प्रसिद्ध संस्करण निम्नलिखित है।

प्रमेय — दो F- स्पेसेस (जैसे बंच स्पेसेस s) के बीच एक रेखीय नक्शा निरंतर होता है अगर और केवल अगर इसका ग्राफ बंद हो।

यह भी देखें

• Almost open linear map
• Barrelled space
• Closed graph
• Closed linear operator
• Discontinuous linear map
• Kakutani fixed-point theorem
• Open mapping theorem (functional analysis)
• Ursescu theorem
• Webbed space
• Zariski's main theorem

ग्रन्थसूची

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