चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या

चुंबक द्रवगतिकी में, चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या (RM) एक आयाम रहित मात्रा है जो चुंबकीय प्रसार के लिए एक संवाहक माध्यम की गति से चुंबकीय क्षेत्र के संवहन या प्रेरण समीकरण के सापेक्ष प्रभावों का अनुमान लगाती है। यह द्रव यांत्रिकी में रेनॉल्ड्स संख्या का चुंबकीय अनुरूप है और सामान्यतः इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है:

$\mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}~~\sim {\frac {\mathrm {induction} }{\mathrm {diffusion} }}$

जहाँ

• $U$ प्रवाह का एक विशिष्ट वेग पैमाना है,
• $L$ प्रवाह का एक विशिष्ट लंबाई पैमाना है,
• $\eta$ चुंबकीय प्रसार है।

तंत्र जिसके द्वारा एक प्रवाहकीय द्रव की गति एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है, डायनेमो सिद्धांत का विषय है। जब चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या बहुत बड़ी होती है, चूंकि, प्रसार और डायनेमो कम चिंता का विषय होते हैं, और इस स्थिति में प्रकाश अधिकांशतः प्रवाह पर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव पर निर्भर करता है।

व्युत्पत्ति

चुंबक द्रवगतिकी के सिद्धांत में, चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या को प्रेरण समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है:

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B}$

जहाँ

• $\mathbf {B}$ चुंबकीय क्षेत्र है,
• $\mathbf {u}$ द्रव वेग है,
• $\eta$ चुंबकीय प्रसार है।

दायीं ओर का पहला शब्द प्लाज्मा में चुंबकीय प्रेरण से होने वाले प्रभावों के लिए है और दूसरा शब्द चुंबकीय प्रसार से होने वाले प्रभावों के लिए है। इन दो शब्दों का सापेक्षिक महत्व उनके अनुपात, चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या को लेकर पाया जा सकता है $\mathrm {R} _{\mathrm {m} }$. यदि यह मान लिया जाए कि दोनों पद पैमाने की लंबाई साझा करते हैं $L$ इस प्रकार से है $\nabla \sim 1/L$ और स्केल वेग $U$ इस प्रकार से है $\mathbf {u} \sim U$, प्रेरण शब्द के रूप में लिखा जा सकता है।

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\sim {\frac {UB}{L}}$

और प्रसार शब्द के रूप में है,

$\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\frac {\eta B}{L^{2}}}.$

इसलिए दो शर्तों का अनुपात है,

$\mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}.$

बड़े और छोटे R_m के लिए सामान्य विशेषताएँ

$\mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1$ के लिए संवहन अपेक्षाकृत महत्वहीन है, और इसलिए चुंबकीय क्षेत्र प्रवाह के अतिरिक्त सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित विशुद्ध रूप से विसरित अवस्था की ओर अव्यवस्थित हो जाएगा।

$\mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1$, के लिए प्रसार लंबाई के पैमाने L पर अपेक्षाकृत महत्वहीन है। चुंबकीय क्षेत्र की प्रवाह रेखाएं तब द्रव प्रवाह के साथ विकसित होती हैं, जब तक कि प्रवणता के रूप में नहीं कम लंबाई के पैमाने के क्षेत्रों में केंद्रित हैं जो प्रसार संवहन को संतुलित कर सकते हैं।

मूल्यों की सीमा

$\mathrm {R} _{\mathrm {m} }$, क्रम 10^{6</उप>। विघटनकारी प्रभाव सामान्यतः छोटे होते हैं, और प्रसार के प्रति चुंबकीय क्षेत्र को बनाए रखने में कोई कठिनाई नहीं होती है।}

$\mathrm {R} _{\mathrm {m} }$ क्रम 103 होने का अनुमान है^{3</उप> . अपव्यय अधिक महत्वपूर्ण है, परंतु एक चुंबकीय क्षेत्र तरल लोहे के बाहरी कोर में गति द्वारा समर्थित है। सौर मंडल में ऐसे अन्य निकाय हैं जिनमें कार्यशील डायनेमो हैं, उदा। बृहस्पति, शनि और बुध, और अन्य जो ऐसा नहीं करते, उदा. मंगल, शुक्र और चंद्रमा है।}

मानव लंबाई का पैमाना बहुत छोटा होता है इसलिए ^{सामान्यतः $\mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1$. पारा या तरल सोडियम का उपयोग करके केवल कुछ मुट्ठी भर बड़े प्रयोगों में एक चालक तरल पदार्थ की गति से चुंबकीय क्षेत्र की उत्पत्ति प्राप्त की गई है।}

सीमा

ऐसी स्थितियों में जहां स्थायी चुंबकीयकरण संभव नहीं है, उदा. चुंबकीय क्षेत्र बनाए रखने के लिए क्यूरी तापमान से ऊपर $\mathrm {R} _{\mathrm {m} }$ इतना बड़ा होना चाहिए कि प्रेरण प्रसार से अधिक हो। यह वेग का पूर्ण परिमाण नहीं है जो प्रेरण के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि सापेक्ष अंतर और प्रवाह में स्थिरण, जो चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को फैलाते और मोड़ते हैं . इसलिए इस स्थिति में चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या के लिए एक अधिक उपयुक्त रूप है।

$\mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}$

जहाँ S विकृति का माप है। सबसे प्रसिद्ध परिणामों में से एक बैकस के कारण है जो बताता है कि न्यूनतम $\mathrm {R} _{\mathrm {m} }$ एक गोले में प्रवाह द्वारा एक चुंबकीय क्षेत्र के निर्माण के लिए ऐसा है

$\mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}$

जहाँ $L=a$ गोले की त्रिज्या है और $S=e_{max}$ अधिकतम तनाव दर है। प्रॉक्टर द्वारा इस सीमा में लगभग 25% सुधार किया गया है।

प्रवाह द्वारा चुंबकीय क्षेत्र की पीढ़ी के कई अध्ययन संगणनात्मक -सुविधाजनक आवधिक घन पर विचार करते हैं। इस ,स्थिति में न्यूनतम पाया जाता है।

$\mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }=2.48$

जहाँ $S$ लंबाई के किनारों के साथ एक मापक्रम किए गए कार्यक्षेत्र पर वर्ग माध्य मूल तनाव है $2\pi$. यदि घन में छोटी लंबाई के पैमानों पर अपरूपण की मनाही है, तब $\mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73$ न्यूनतम है, जहाँ $U$ मूल-माध्य-वर्ग मान जाता है।

रेनॉल्ड्स नंबर और पेक्लेट नंबर से संबंध

चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या का पेक्लेट संख्या और रेनॉल्ड्स संख्या दोनों के समान रूप है। इन तीनों को एक विशेष भौतिक क्षेत्र के लिए विवर्तनिक प्रभावों के विशेषण के अनुपात के रूप में माना जा सकता है और एक वेग के उत्पाद का रूप और एक विसारकता से विभाजित लंबाई है। जबकि चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या एक चुंबकीय प्रवाह में चुंबकीय क्षेत्र से संबंधित है, रेनॉल्ड्स संख्या स्वयं द्रव वेग से संबंधित है और पेलेट संख्या गर्मी से संबंधित है। आयाम रहित समूह संबंधित गवर्निंग समीकरणों के गैर-आयामीकरण में उत्पन्न होते हैं: प्रेरण समीकरण, नेवियर-स्टोक्स समीकरण, और गर्मी समीकरण होते है।

एडी करंट ब्रेकिंग से संबंध

आयाम रहित चुंबकीय रेनॉल्ड्स संख्या, $R_{m}$, उन स्थिति में भी प्रयोग किये जाते है जहां कोई भौतिक द्रव सम्मलित नहीं है।

$R_{m}=\mu \sigma$ × (विशेषता लंबाई) × (विशेषता वेग)

जहाँ

$\mu$ चुंबकीय पारगम्यता है

$\sigma$ विद्युत चालकता है।

$R_{m}<1$ के लिए त्वचा का प्रभाव नगण्य है और एडी करंट ब्रेकिंग बल आघूर्ण एक प्रवर्तन मोटर के सैद्धांतिक वक्र का अनुसरण करता है।

$R_{m}>30$ के लिए त्वचा का प्रभाव प्रभावी होता है और प्रवर्तन मोटर मॉडल द्वारा भविष्यवाणी की तुलना में बढ़ती गति के साथ ब्रेकिंग बल आघूर्ण बहुत धीमा हो जाता है।

यह भी देखें

• लुंडक्विस्ट संख्या
• मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स
• रेनॉल्ड्स संख्या
• पेकलेट नंबर

अग्रिम पठन

• Moffatt, H. Keith, 2000, "Reflections on Magnetohydrodynamics" Archived 2007-09-29 at the Wayback Machine. In: Perspectives in Fluid Dynamics (ISBN 0-521-53169-1) (Ed. G.K. Batchelor, H.K. Moffatt & M.G. Worster) Cambridge University Press, p 347–391.
• P. A. Davidson, 2001, An Introduction to Magnetohydrodynamics (ISBN 0-521-79487-0), Cambridge University Press.