उत्पाद माप: Difference between revisions

Revision as of 14:54, 2 June 2023

गणित में, दो मापने योग्य रिक्त स्थान और उन पर माप दिए जाने पर, कोई उत्पाद मापने योग्य स्थान और उस स्थान पर उत्पाद माप प्राप्त कर सकता है। संकल्पनात्मक रूप से, यह सेट के कार्टेशियन उत्पाद और दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के उत्पाद टोपोलॉजी को परिभाषित करने के समान होता है, अतिरिक्त इसके कि उत्पाद माप के लिए कई प्राकृतिक विकल्प हो सकते है।

होने देना $(X_{1},\Sigma _{1})$ और $(X_{2},\Sigma _{2})$ दो मापने योग्य स्थान हों, अर्थात, $\Sigma _{1}$ और $\Sigma _{2}$ सिग्मा बीजगणित चालू है $X_{1}$ और $X_{2}$ क्रमशः, और चलो $\mu _{1}$ और $\mu _{2}$ इन स्थानों पर उपाय करें। द्वारा निरूपित करें $\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}$ कार्टेशियन उत्पाद पर सिग्मा बीजगणित $X_{1}\times X_{2}$ प्रपत्र के सबसेट द्वारा उत्पन्न $B_{1}\times B_{2}$ , कहाँ $B_{1}\in \Sigma _{1}$ और $B_{2}\in \Sigma _{2}.$ इस सिग्मा बीजगणित को उत्पाद स्थान पर टेंसर-उत्पाद σ-बीजगणित कहा जाता है।

एक उत्पाद उपाय $\mu _{1}\times \mu _{2}$ (द्वारा भी दर्शाया गया है $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ कई लेखकों द्वारा) मापने योग्य स्थान पर एक उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है $(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})$ संपत्ति को संतुष्ट करना

(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})

सभी के लिए

B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}

.

(गुणन के उपायों में, जिनमें से कुछ अनंत है, हम उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करते है यदि कोई कारक शून्य है।)

वास्तव में, जब रिक्त स्थान होते है $\sigma$ -परिमित, उत्पाद माप विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, और प्रत्येक मापने योग्य सेट ई के लिए,

(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),

कहाँ $E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}$ और $E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}$ , जो दोनों मापने योग्य सेट है।

इस उपाय के अस्तित्व की गारंटी हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय द्वारा दी गई है। उत्पाद माप की विशिष्टता की गारंटी केवल तभी दी जाती है जब दोनों $(X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})$ और $(X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})$ σ-परिमित है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष आर पर बोरेल मापता हैⁿ वास्तविक रेखा 'R' पर बोरेल उपायों की n प्रतियों के उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

भले ही उत्पाद स्थान के दो कारक पूर्ण माप हों, उत्पाद स्थान नहीं हो सकता है। नतीजतन, बोरेल माप को लेबेसेग माप में विस्तारित करने के लिए, या उत्पाद स्थान पर लेबेसेग माप देने के लिए दो लेबेसेग उपायों के उत्पाद का विस्तार करने के लिए पूर्णता प्रक्रिया की आवश्यकता है।

दो उपायों के उत्पाद के गठन के विपरीत निर्माण विघटन प्रमेय है, जो कुछ अर्थों में उपायों के एक परिवार में दिए गए माप को विभाजित करता है जिसे मूल माप देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण

दो माप स्थानों को देखते हुए, हमेशा एक अद्वितीय अधिकतम उत्पाद माप μ होता है_max उनके उत्पाद पर, इस संपत्ति के साथ कि यदि μ_max(ए) कुछ मापने योग्य सेट ए के लिए परिमित है, फिर μ_max(ए) = μ (ए) किसी भी उत्पाद उपाय μ के लिए। विशेष रूप से किसी भी मापने योग्य सेट पर इसका मूल्य कम से कम किसी अन्य उत्पाद माप का होता है। यह कैराथियोडोरी विस्तार प्रमेय द्वारा निर्मित माप है।
कभी-कभी एक अद्वितीय न्यूनतम उत्पाद उपाय μ भी होता है_min, μ द्वारा दिया गया_min(स) = सुपर_{A⊂S, μ_max(ए) परिमित </उप> एम उप>अधिकतम</उप>(ए), जहां ए और एस को मापने योग्य माना जाता है।}
यहां एक उदाहरण दिया गया है जहां एक उत्पाद के एक से अधिक उत्पाद माप है. गुणनफल X×Y लें, जहां X लेबेस्गु माप के साथ इकाई अंतराल है, और Y गणना माप के साथ इकाई अंतराल है और सभी सेट मापने योग्य है। तब न्यूनतम उत्पाद माप के लिए एक सेट का माप उसके क्षैतिज वर्गों के उपायों का योग होता है, जबकि अधिकतम उत्पाद माप के लिए एक सेट में माप अनंत होता है जब तक कि यह प्रपत्र ए के सेटों की एक गणनीय संख्या के मिलन में निहित न हो। ×B, जहां या तो A के पास Lebesgue का माप 0 है या B एक बिंदु है। (इस मामले में माप परिमित या अनंत हो सकता है।) विशेष रूप से, न्यूनतम उत्पाद माप के लिए विकर्ण का माप 0 होता है और अधिकतम उत्पाद माप के लिए माप अनंत होता है।

यह भी देखें

फ़ुबिनी की प्रमेय

संदर्भ

Loève, Michel (1977). "8.2. Product measures and iterated integrals". Probability Theory vol. I (4th ed.). Springer. pp. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
Halmos, Paul (1974). "35. Product measures". Measure theory. Springer. pp. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.

This article incorporates material from Product measure on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

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-गणित में, दो मापने योग्य रिक्त स्थान और उन पर माप (गणित) दिए जाने पर, कोई उत्पाद [[मापने योग्य स्थान]] और उस स्थान पर उत्पाद माप प्राप्त कर सकता है। संकल्पनात्मक रूप से, यह [[सेट (गणित)]] के कार्टेशियन उत्पाद और दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के [[उत्पाद टोपोलॉजी]] को परिभाषित करने के समान है, सिवाय इसके कि उत्पाद माप के लिए कई प्राकृतिक विकल्प हो सकते हैं।
+गणित में, दो मापने योग्य रिक्त स्थान और उन पर माप दिए जाने पर, कोई उत्पाद [[मापने योग्य स्थान]] और उस स्थान पर '''उत्पाद माप''' प्राप्त कर सकता है। संकल्पनात्मक रूप से, यह [[सेट (गणित)|सेट]] के कार्टेशियन उत्पाद और दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के [[उत्पाद टोपोलॉजी]] को परिभाषित करने के समान होता है, अतिरिक्त इसके कि उत्पाद माप के लिए कई प्राकृतिक विकल्प हो सकते है।
-होने देना  <math>(X_1, \Sigma_1)</math> और  <math>(X_2, \Sigma_2)</math> दो मापने योग्य स्थान हों, अर्थात, <math>\Sigma_1</math> और <math>\Sigma_2</math> [[सिग्मा बीजगणित]] चालू हैं <math>X_1</math> और <math>X_2</math> क्रमशः, और चलो <math>\mu_1</math> और <math>\mu_2</math> इन स्थानों पर उपाय करें। द्वारा निरूपित करें  <math>\Sigma_1 \otimes \Sigma_2</math> कार्टेशियन उत्पाद पर सिग्मा बीजगणित  <math>X_1 \times X_2</math> प्रपत्र के [[सबसेट]] द्वारा उत्पन्न  <math>B_1 \times B_2</math>, कहाँ  <math>B_1 \in \Sigma_1</math> और  <math>B_2 \in \Sigma_2.</math> इस सिग्मा बीजगणित को उत्पाद स्थान पर टेंसर-उत्पाद σ-बीजगणित कहा जाता है।
+होने देना <math>(X_1, \Sigma_1)</math> और <math>(X_2, \Sigma_2)</math> दो मापने योग्य स्थान हों, अर्थात, <math>\Sigma_1</math> और <math>\Sigma_2</math> [[सिग्मा बीजगणित]] चालू है <math>X_1</math> और <math>X_2</math> क्रमशः, और चलो <math>\mu_1</math> और <math>\mu_2</math> इन स्थानों पर उपाय करें। द्वारा निरूपित करें <math>\Sigma_1 \otimes \Sigma_2</math> कार्टेशियन उत्पाद पर सिग्मा बीजगणित <math>X_1 \times X_2</math> प्रपत्र के [[सबसेट]] द्वारा उत्पन्न <math>B_1 \times B_2</math>, कहाँ <math>B_1 \in \Sigma_1</math> और <math>B_2 \in \Sigma_2.</math> इस सिग्मा बीजगणित को उत्पाद स्थान पर टेंसर-उत्पाद σ-बीजगणित कहा जाता है।
-एक उत्पाद उपाय  <math>\mu_1 \times \mu_2</math> (द्वारा भी दर्शाया गया है <math>\mu_1 \otimes \mu_2</math> कई लेखकों द्वारा)
+एक उत्पाद उपाय <math>\mu_1 \times \mu_2</math> (द्वारा भी दर्शाया गया है <math>\mu_1 \otimes \mu_2</math> कई लेखकों द्वारा)
-मापने योग्य स्थान पर एक उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है  <math>(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \otimes \Sigma_2)</math> संपत्ति को संतुष्ट करना
+मापने योग्य स्थान पर एक उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \otimes \Sigma_2)</math> संपत्ति को संतुष्ट करना
 :<math> (\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)</math>
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 :<math> B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2 </math>.
-(गुणन के उपायों में, जिनमें से कुछ अनंत हैं, हम उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करते हैं यदि कोई कारक शून्य है।)
+(गुणन के उपायों में, जिनमें से कुछ अनंत है, हम उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करते है यदि कोई कारक शून्य है।)
-वास्तव में, जब रिक्त स्थान होते हैं <math>\sigma</math>-परिमित, उत्पाद माप विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, और प्रत्येक मापने योग्य सेट ई के लिए,
+वास्तव में, जब रिक्त स्थान होते है <math>\sigma</math>-परिमित, उत्पाद माप विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, और प्रत्येक मापने योग्य सेट ई के लिए,
 :<math>(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\,d\mu_2(y) = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,d\mu_1(x),</math>
-कहाँ <math>E_x = \{y \in X_2 | (x, y) \in E\}</math> और <math>E^y = \{x \in X_1 | (x, y) \in E\}</math>, जो दोनों मापने योग्य सेट हैं।
+कहाँ <math>E_x = \{y \in X_2 | (x, y) \in E\}</math> और <math>E^y = \{x \in X_1 | (x, y) \in E\}</math>, जो दोनों मापने योग्य सेट है।
-इस उपाय के अस्तित्व की गारंटी हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय द्वारा दी गई है। उत्पाद माप की विशिष्टता की गारंटी केवल तभी दी जाती है जब दोनों <math>(X_1, \Sigma_1, \mu_1)</math> और <math>(X_2, \Sigma_2, \mu_2)</math> σ-परिमित हैं।
+इस उपाय के अस्तित्व की गारंटी हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय द्वारा दी गई है। उत्पाद माप की विशिष्टता की गारंटी केवल तभी दी जाती है जब दोनों <math>(X_1, \Sigma_1, \mu_1)</math> और <math>(X_2, \Sigma_2, \mu_2)</math> σ-परिमित है।
 [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] आर पर बोरेल मापता है<sup>n</sup> [[वास्तविक रेखा]] 'R' पर बोरेल उपायों की n प्रतियों के उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।
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 *दो माप स्थानों को देखते हुए, हमेशा एक अद्वितीय अधिकतम उत्पाद माप μ होता है<sub>max</sub> उनके उत्पाद पर, इस संपत्ति के साथ कि यदि μ<sub>max</sub>(ए) कुछ मापने योग्य सेट ए के लिए परिमित है, फिर μ<sub>max</sub>(ए) = μ (ए) किसी भी उत्पाद उपाय μ के लिए। विशेष रूप से किसी भी मापने योग्य सेट पर इसका मूल्य कम से कम किसी अन्य उत्पाद माप का होता है। यह कैराथियोडोरी विस्तार प्रमेय द्वारा निर्मित माप है।
 * कभी-कभी एक अद्वितीय न्यूनतम उत्पाद उपाय μ भी होता है<sub>min</sub>, μ द्वारा दिया गया<sub>min</sub>(स) = सुपर<sub>''A''&sub;''S'', μ<sub>max</sub>(ए) परिमित </उप> एम उप>अधिकतम</उप>(ए), जहां ए और एस को मापने योग्य माना जाता है।
-*यहां एक उदाहरण दिया गया है जहां एक उत्पाद के एक से अधिक उत्पाद माप हैं. गुणनफल X×Y लें, जहां X लेबेस्गु माप के साथ इकाई अंतराल है, और Y गणना माप के साथ इकाई अंतराल है और सभी सेट मापने योग्य हैं। तब न्यूनतम उत्पाद माप के लिए एक सेट का माप उसके क्षैतिज वर्गों के उपायों का योग होता है, जबकि अधिकतम उत्पाद माप के लिए एक सेट में माप अनंत होता है जब तक कि यह प्रपत्र ए के सेटों की एक गणनीय संख्या के मिलन में निहित न हो। ×B, जहां या तो A के पास Lebesgue का माप 0 है या B एक बिंदु है। (इस मामले में माप परिमित या अनंत हो सकता है।) विशेष रूप से, न्यूनतम उत्पाद माप के लिए विकर्ण का माप 0 होता है और अधिकतम उत्पाद माप के लिए माप अनंत होता है।
+*यहां एक उदाहरण दिया गया है जहां एक उत्पाद के एक से अधिक उत्पाद माप है. गुणनफल X×Y लें, जहां X लेबेस्गु माप के साथ इकाई अंतराल है, और Y गणना माप के साथ इकाई अंतराल है और सभी सेट मापने योग्य है। तब न्यूनतम उत्पाद माप के लिए एक सेट का माप उसके क्षैतिज वर्गों के उपायों का योग होता है, जबकि अधिकतम उत्पाद माप के लिए एक सेट में माप अनंत होता है जब तक कि यह प्रपत्र ए के सेटों की एक गणनीय संख्या के मिलन में निहित न हो। ×B, जहां या तो A के पास Lebesgue का माप 0 है या B एक बिंदु है। (इस मामले में माप परिमित या अनंत हो सकता है।) विशेष रूप से, न्यूनतम उत्पाद माप के लिए विकर्ण का माप 0 होता है और अधिकतम उत्पाद माप के लिए माप अनंत होता है।
 == यह भी देखें ==

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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