बहुउद्देश्यीय अनुकूलन

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन या पारेटो अनुकूलन ( बहुउद्देश्यीय प्रोग्रामिंग , सदिश अनुकूलन , बहुमानदंड अनुकूलन, या बहुगुण अनुकूलन के रूप में भी जाना जाता है ) बहु-मापदंड निर्णय लेने का एक क्षेत्र है जो गणितीय अनुकूलन समस्याओं से संबंधित है जिसमें एक से अधिक उद्देश्य कार्य सम्मिलित हैं। बहु-उद्देश्य एक प्रकार का वेक्टर अनुकूलन है जिसे विज्ञान के कई क्षेत्रों में लागू किया गया है, जिसमें इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और रसद सम्मिलित हैं जहां व्यापार-नापसंद की उपस्थिति में इष्टतम निर्णय लेने की आवश्यकता होती है। दो या अधिक परस्पर विरोधी उद्देश्यों के बीच कार खरीदते समय आराम को अधिकतम करते हुए लागत को कम करना, और वाहन के ईंधन की खपत और प्रदूषकों के उत्सर्जन को कम करते हुए प्रदर्शन को अधिकतम करना क्रमशः दो और तीन उद्देश्यों से जुड़े बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं के उदाहरण हैं। व्यावहारिक समस्याओं में तीन से अधिक उद्देश्य हो सकते हैं।

एक गैर-तुच्छ बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या के लिए, कोई एकल समाधान मौजूद नहीं है जो एक साथ प्रत्येक उद्देश्य को अनुकूलित करता है। उस गैर-तुच्छ स्थितियों में वस्तुनिष्ठ कार्यों को परस्पर विरोधी कहा जाता है। एक समाधान को एक बिंदु सेट का मैक्सिमा कहा जाता है, पारेटो इष्टतम, पारेटो कुशल या गैर-निम्न, यदि किसी भी उद्देश्य कार्यों में से कुछ अन्य उद्देश्य मूल्यों को कम किए बिना मूल्य में सुधार नहीं किया जा सकता है। अतिरिक्त व्यक्तिपरकता वरीयता जानकारी के बिना, परेटो इष्टतम समाधानों की संख्या (संभावित रूप से अनंत) मौजूद हो सकती है, जिनमें से सभी को समान रूप से अच्छा माना जाता है। शोधकर्ता विभिन्न दृष्टिकोणों से बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं का अध्ययन करते हैं और इस प्रकार, उन्हें स्थापित और हल करते समय विभिन्न समाधान दर्शन और लक्ष्य मौजूद होते हैं। लक्ष्य पैरेटो इष्टतम समाधानों के एक प्रतिनिधि सेट को ढूंढना हो सकता है, और/या विभिन्न उद्देश्यों को पूरा करने में व्यापार-नापसंद की मात्रा निर्धारित करना, और/या एक ऐसा समाधान ढूंढना हो सकता है जो मानव निर्णय निर्माता (डीएम) की व्यक्तिपरक प्राथमिकताओं को संतुष्ट करता हो।

बिक्रिटेरिया ऑप्टिमाइज़ेशन उस विशेष स्थितियों को दर्शाता है जिसमें दो उद्देश्य कार्य होते हैं।

परिचय

एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या एक अनुकूलन समस्या है जिसमें कई उद्देश्य कार्य सम्मिलित होते हैं। गणितीय शब्दों में, एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को इस रूप में तैयार किया जा सकता है

$\min _{x\in X}(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{k}(x))$

जहां पूर्णांक $k\geq 2$ उद्देश्यों और सेट की संख्या है $X$ निर्णय वैक्टर का व्यवहार्य सेट है, जो आम तौर पर होता है $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ लेकिन यह निर्भर करता है $n$-आयामी अनुप्रयोग डोमेन। व्यवहार्य सेट को आमतौर पर कुछ बाधा कार्यों द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसके अलावा, वेक्टर-मूल्यवान उद्देश्य फ़ंक्शन को अक्सर इस रूप में परिभाषित किया जाता है

${\begin{aligned}f:X&\to \mathbb {R} ^{k}\\x&\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{k}(x)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

परेटो सीमा (लाल रंग में) का उदाहरण, पारेटो इष्टतम समाधानों का सेट (वे जो किसी अन्य व्यवहार्य समाधान द्वारा प्रभावित नहीं होते हैं)। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।

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यदि किसी वस्तुनिष्ठ फलन को अधिकतम करना है, तो यह उसके ऋणात्मक या उसके व्युत्क्रम को न्यूनतम करने के समतुल्य है। हम निरूपित करते हैं $Y\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ की छवि $X$; $x^{*}\in X$ एक व्यवहार्य समाधान या व्यवहार्य निर्णय; और $z^{*}=f(x^{*})\in \mathbb {R} ^{k}$एक उद्देश्य सदिश या एक परिणाम।

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, आमतौर पर एक व्यवहार्य समाधान मौजूद नहीं होता है जो सभी उद्देश्य कार्यों को एक साथ कम करता है। इसलिए, पेरेटो इष्टतमता समाधानों पर ध्यान दिया जाता है; अर्थात्, ऐसे समाधान जिन्हें अन्य उद्देश्यों में से कम से कम एक को कम किए बिना किसी भी उद्देश्य में सुधार नहीं किया जा सकता है। गणितीय शब्दों में, एक व्यवहार्य समाधान $x_{1}\in X$ कहा जाता है कि पारेटो सुधार|(पारेतो) दूसरे समाधान पर हावी है $x_{2}\in X$, अगर

1. $\forall i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})\leq f_{i}(x_{2})$, और
2. $\exists i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})<f_{i}(x_{2})$.

एक समाधान $x^{*}\in X$ (और इसी परिणाम $f(x^{*})$) को पैरेटो इष्टतम कहा जाता है यदि कोई अन्य समाधान मौजूद नहीं है जो उस पर हावी हो। पेरेटो इष्टतम परिणामों का सेट, निरूपित $X^{*}$, को अक्सर पारेतो सामने, पारेटो फ्रंटियर या पेरेटो बाउंड्री कहा जाता है।

एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या का पैरेटो फ्रंट तथाकथित नादिर ऑब्जेक्टिव वेक्टर से घिरा है $z^{nadir}$और एक आदर्श उद्देश्य वेक्टर $z^{ideal}$, अगर ये परिमित हैं। नादिर उद्देश्य वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है

$z^{nadir}={\begin{pmatrix}\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}$

और आदर्श उद्देश्य वेक्टर के रूप में

$z^{ideal}={\begin{pmatrix}\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}$

दूसरे शब्दों में, नादिर के घटक और आदर्श उद्देश्य सदिश पारेतो इष्टतम समाधान के उद्देश्य समारोह के ऊपरी और निचले सीमा को परिभाषित करते हैं। व्यवहार में, नादिर उद्देश्य सदिश का केवल अनुमान लगाया जा सकता है, विशेष रूप से, संपूर्ण पारेटो इष्टतम सेट अज्ञात है। इसके अलावा, एक यूटोपियन उद्देश्य वेक्टर $z^{utop}$, ऐसा है कि $z_{i}^{utop}=z_{i}^{ideal}-\epsilon ,\forall i\in \{1,\dots ,k\}$ कहाँ $\epsilon >0$ एक छोटा स्थिरांक है, जिसे अक्सर संख्यात्मक कारणों से परिभाषित किया जाता है।

अनुप्रयोगों के उदाहरण

अर्थशास्त्र

अर्थशास्त्र में, कई समस्याओं में कई उद्देश्य सम्मिलित होते हैं, साथ ही उन उद्देश्यों के संयोजन क्या प्राप्त करने योग्य होते हैं। उदाहरण के लिए, विभिन्न वस्तुओं के लिए उपभोक्ता की मांग उन वस्तुओं से प्राप्त उपयोगिता को अधिकतम करने की प्रक्रिया द्वारा निर्धारित की जाती है, जो उन वस्तुओं पर और उन वस्तुओं की कीमतों पर खर्च करने के लिए कितनी आय उपलब्ध है, इस पर आधारित है। यह बाधा एक वस्तु की अधिक मात्रा को केवल दूसरी वस्तु की कम खपत के त्याग पर खरीदने की अनुमति देती है; इसलिए, विभिन्न उद्देश्य (प्रत्येक वस्तु की अधिक खपत को प्राथमिकता दी जाती है) एक दूसरे के विरोध में हैं। इस तरह की समस्या का विश्लेषण करने के लिए एक सामान्य तरीका उदासीनता घटता के एक ग्राफ का उपयोग करना है, जो वरीयताओं का प्रतिनिधित्व करता है, और एक बजट की कमी, उपभोक्ता के सामने आने वाले व्यापार-नापसंद का प्रतिनिधित्व करता है।

एक अन्य उदाहरण में उत्पादन संभावना सीमा सम्मिलित है, जो निर्दिष्ट करता है कि विभिन्न संसाधनों की निश्चित मात्रा के साथ समाज द्वारा विभिन्न प्रकार के सामानों के संयोजन का उत्पादन किया जा सकता है। फ्रंटियर उन ट्रेड-ऑफ्स को निर्दिष्ट करता है जिनका समाज सामना कर रहा है - यदि समाज अपने संसाधनों का पूरी तरह से उपयोग कर रहा है, तो एक वस्तु का अधिक उत्पादन केवल दूसरी वस्तु के कम उत्पादन की कीमत पर किया जा सकता है। एक समाज को सीमा पर संभावनाओं के बीच चयन करने के लिए कुछ प्रक्रिया का उपयोग करना चाहिए।

मैक्रोइकॉनॉमिक्स # मैक्रोइकॉनॉमिक पॉलिसी-मेकिंग एक संदर्भ है जिसमें बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन की आवश्यकता होती है। आमतौर पर एक केंद्रीय बैंक को मौद्रिक नीति के लिए एक रुख का चयन करना चाहिए जो प्रतिस्पर्धी उद्देश्यों को संतुलित करता है - कम मुद्रास्फीति, कम बेरोजगारी, व्यापार घाटे का कम संतुलन, आदि। ऐसा करने के लिए, केंद्रीय बैंक एक आर्थिक मॉडल का उपयोग करता है जो मात्रात्मक रूप से विभिन्न कारण संबंधों का वर्णन करता है अर्थव्यवस्था; ब्याज के विभिन्न चरों के लिए संभावित अनुमानित परिणामों का एक मेनू प्राप्त करने के लिए, यह मौद्रिक नीति के विभिन्न संभावित रुख के तहत बार-बार मॉडल का अनुकरण करता है। फिर सिद्धांत रूप में यह अनुमानित परिणामों के वैकल्पिक सेटों को रेट करने के लिए एक समग्र उद्देश्य फ़ंक्शन का उपयोग कर सकता है, हालांकि व्यवहार में केंद्रीय बैंक विकल्पों की रैंकिंग और नीति विकल्प बनाने के लिए एक गैर-मात्रात्मक, निर्णय-आधारित प्रक्रिया का उपयोग करते हैं।

वित्त

वित्त में, एक सामान्य समस्या एक पोर्टफोलियो का चयन करना है जब दो परस्पर विरोधी उद्देश्य होते हैं - पोर्टफोलियो रिटर्न के अपेक्षित मूल्य जितना संभव हो उतना अधिक होने की इच्छा, और वित्तीय जोखिम की इच्छा, जिसे अक्सर पोर्टफोलियो के मानक विचलन द्वारा मापा जाता है। रिटर्न, जितना संभव हो उतना कम हो। इस समस्या को अक्सर एक ग्राफ द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें कुशल सीमांत जोखिम और अपेक्षित रिटर्न का सबसे अच्छा संयोजन दिखाता है जो उपलब्ध हैं, और जिसमें उदासीनता वक्र विभिन्न जोखिम-प्रत्याशित रिटर्न संयोजनों के लिए निवेशक की प्राथमिकताएं दिखाते हैं। पोर्टफोलियो रिटर्न के अपेक्षित मूल्य (पहला क्षण (गणित)) और मानक विचलन (दूसरे केंद्रीय क्षण का वर्गमूल) के एक फ़ंक्शन को अनुकूलित करने की समस्या को दो-क्षण निर्णय मॉडल कहा जाता है।

इष्टतम नियंत्रण

Main articles: Optimal control, Dynamic programming, and Linear-quadratic regulator

अभियांत्रिकी और अर्थशास्त्र में, कई समस्याओं में कई उद्देश्य सम्मिलित होते हैं जिन्हें अधिक-द-बेहतर या कम-द-बेहतर के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है; इसके बजाय, प्रत्येक उद्देश्य के लिए एक आदर्श लक्ष्य मूल्य होता है, और इच्छा प्रत्येक उद्देश्य के वांछित मूल्य के जितना संभव हो उतना करीब पहुंचने की होती है। उदाहरण के लिए, ऊर्जा प्रणालियों में आमतौर पर प्रदर्शन और लागत के बीच व्यापार बंद होता है या कोई रॉकेट के ईंधन उपयोग और अभिविन्यास को समायोजित करना चाहता है ताकि यह एक निर्दिष्ट स्थान पर और एक निर्दिष्ट समय पर पहुंच सके; या हो सकता है कि कोई खुले बाजार के संचालन का संचालन करना चाहे ताकि मुद्रास्फीति दर और बेरोजगारी दर दोनों अपने वांछित मूल्यों के जितना संभव हो उतना करीब हो।

अक्सर ऐसी समस्याएं रैखिक समानता बाधाओं के अधीन होती हैं जो सभी उद्देश्यों को एक साथ पूरी तरह से पूरा होने से रोकती हैं, खासकर जब नियंत्रित करने योग्य चर की संख्या उद्देश्यों की संख्या से कम होती है और जब यादृच्छिक झटके की उपस्थिति अनिश्चितता उत्पन्न करती है। आम तौर पर एक बहुउद्देश्यीय द्विघात फलन#Bivariate (दो चर) द्विघात फलन का उपयोग किया जाता है, जिसमें एक उद्देश्य से जुड़ी लागत अपने आदर्श मूल्य से उद्देश्य की दूरी के साथ द्विघात रूप से बढ़ती है। चूंकि इन समस्याओं में आम तौर पर समय के विभिन्न बिंदुओं पर नियंत्रित चरों को समायोजित करना और/या समय के विभिन्न बिंदुओं पर उद्देश्यों का मूल्यांकन करना सम्मिलित होता है, अंतःकालिक अनुकूलन तकनीकों को नियोजित किया जाता है।

इष्टतम डिजाइन

आधुनिक मॉडलिंग, सिमुलेशन और अनुकूलन तकनीकों का उपयोग करके उत्पाद और प्रक्रिया डिजाइन में काफी हद तक सुधार किया जा सकता है। इष्टतम डिज़ाइन में मुख्य प्रश्न यह मापना है कि डिज़ाइन के बारे में क्या अच्छा या वांछनीय है। इष्टतम डिज़ाइनों की तलाश करने से पहले उन विशेषताओं की पहचान करना महत्वपूर्ण है जो डिज़ाइन के समग्र मूल्य में सबसे अधिक योगदान करते हैं। एक अच्छे डिजाइन में आमतौर पर पूंजीगत लागत/निवेश, परिचालन लागत, लाभ, गुणवत्ता और/या उत्पाद की वसूली, दक्षता, प्रक्रिया सुरक्षा, संचालन समय आदि जैसे कई मापदंड/उद्देश्य सम्मिलित होते हैं। इसलिए, व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, प्रक्रिया का प्रदर्शन और उत्पाद डिजाइन को अक्सर कई उद्देश्यों के संबंध में मापा जाता है। ये उद्देश्य आम तौर पर परस्पर विरोधी होते हैं, यानी एक उद्देश्य के लिए इष्टतम मूल्य प्राप्त करने के लिए एक या अधिक अन्य उद्देश्यों पर कुछ समझौता करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण के लिए, एक पेपर मिल को डिजाइन करते समय, एक पेपर मिल में निवेश की गई पूंजी की मात्रा को कम करने और साथ ही कागज की गुणवत्ता बढ़ाने की मांग की जा सकती है। यदि पेपर मिल का डिज़ाइन बड़े भंडारण मात्रा द्वारा परिभाषित किया गया है और पेपर गुणवत्ता को गुणवत्ता मानकों द्वारा परिभाषित किया गया है, तो पेपर मिल के इष्टतम डिज़ाइन की समस्या में निम्नलिखित उद्देश्य सम्मिलित हो सकते हैं: i) उनके गुणवत्ता पैरामीटर की अपेक्षित भिन्नता को कम करना नाममात्र मूल्य, ii) विराम के अपेक्षित समय को कम करना और iii) भंडारण मात्रा की निवेश लागत को कम करना। यहां, टावरों की अधिकतम मात्रा डिज़ाइन चर हैं। पेपर मिल के इष्टतम डिजाइन का यह उदाहरण उपयोग किए गए मॉडल का सरलीकरण है। नियंत्रण कैबिनेट लेआउट अनुकूलन जैसी परिस्थितियों में इंजीनियरिंग प्रणालियों में बहुउद्देश्यीय डिजाइन अनुकूलन को भी लागू किया गया है। वैज्ञानिक कार्यप्रवाह का उपयोग करते हुए एयरफॉइल आकार अनुकूलन, नैनो-सीएमओएस सेमीकंडक्टर्स का डिजाइन, एक चिप डिजाइन पर प्रणाली, सौर ऊर्जा संचालित सिंचाई प्रणालियों का डिजाइन, सैंड मोल्ड सिस्टम का अनुकूलन, इंजन डिजाइन, इष्टतम सेंसर परिनियोजन और इष्टतम नियंत्रक डिजाइन।

प्रक्रिया अनुकूलन

केमिकल इंजीनियरिंग और उत्पादन में बहुउद्देश्यीय अनुकूलन तेजी से नियोजित किया गया है। 2009 में, Fiandaca और Fraga ने दबाव स्विंग सोखना प्रक्रिया (चक्रीय पृथक्करण प्रक्रिया) को अनुकूलित करने के लिए बहुउद्देश्यीय आनुवंशिक एल्गोरिथ्म (MOGA) का उपयोग किया। डिजाइन की समस्या में नाइट्रोजन रिकवरी और नाइट्रोजन शुद्धता की दोहरी अधिकतमता सम्मिलित थी। परिणामों ने उद्देश्यों के बीच स्वीकार्य व्यापार-नापसंद के साथ पेरेटो फ्रंटियर का एक अच्छा सन्निकटन प्रदान किया। 2010 में, सेन्डिन एट अल। भोजन के थर्मल प्रसंस्करण के लिए एक बहुउद्देश्यीय समस्या का समाधान किया। उन्होंने गैर-रैखिक गतिशील मॉडल के साथ दो केस स्टडीज (द्वि-उद्देश्य और त्रि-उद्देश्यीय समस्याएं) का सामना किया और एक हाइब्रिड दृष्टिकोण का उपयोग किया जिसमें भारित चेबीचेफ और सामान्य सीमा चौराहे का दृष्टिकोण सम्मिलित था। उपन्यास हाइब्रिड दृष्टिकोण खाद्य पदार्थों के थर्मल प्रसंस्करण के लिए पारेटो इष्टतम सेट बनाने में सक्षम था। 2013 में, गणेशन एट अल। संयुक्त कार्बन डाइऑक्साइड सुधार और मीथेन के आंशिक ऑक्सीकरण का बहुउद्देश्यीय अनुकूलन किया। उद्देश्य कार्य मीथेन रूपांतरण, कार्बन मोनोऑक्साइड चयनात्मकता और हाइड्रोजन से कार्बन मोनोऑक्साइड अनुपात थे। गणेशन ने समस्या से निपटने के लिए दो झुंड-आधारित तकनीकों (गुरुत्वाकर्षण खोज एल्गोरिदम (जीएसए) और कण झुंड अनुकूलन (पीएसओ)) के संयोजन के साथ सामान्य सीमा चौराहे (एनबीआई) पद्धति का उपयोग किया। रासायनिक निष्कर्षण से जुड़े अनुप्रयोग और बायोएथेनॉल उत्पादन प्रक्रियाएं समान बहुउद्देश्यीय समस्याएं उत्पन्न की हैं।

2013 में, अबकारोव एट अल। खाद्य इंजीनियरिंग में उत्पन्न होने वाली बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए एक वैकल्पिक तकनीक का प्रस्ताव दिया। गैर-प्रभुत्व वाले या पारेतो-इष्टतम समाधानों के प्रारंभिक सेट की गणना करने के लिए एग्रीगेटिंग फ़ंक्शंस दृष्टिकोण, अनुकूली रैंडम सर्च एल्गोरिथम और पेनल्टी फ़ंक्शंस दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था। आसमाटिक निर्जलीकरण प्रक्रियाओं के लिए गैर-वर्चस्व वाले समाधानों के संगणित सबसेट के बीच सबसे अच्छा विकल्प चुनने के लिए विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया और सारणीबद्ध विधि का एक साथ उपयोग किया गया था। 2018 में, पियर्स एट अल। मानव और रोबोटिक श्रमिकों को एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या के रूप में तैयार किए गए कार्य आवंटन, उत्पादन समय और मानव कार्यकर्ता पर एर्गोनोमिक प्रभाव को ध्यान में रखते हुए दो उद्देश्यों के रूप में तैयार किया गया। उनके दृष्टिकोण ने पारेटो दक्षता समाधानों के एक सेट की गणना करने के लिए दो उद्देश्यों के भारित योग के लिए अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एक रैखिक प्रोग्रामिंग | मिश्रित-पूर्णांक रैखिक कार्यक्रम का उपयोग किया। कई निर्माण कार्यों के लिए दृष्टिकोण के अनुप्रयोग ने अधिकांश कार्यों में कम से कम एक उद्देश्य में और कुछ प्रक्रियाओं में दोनों उद्देश्यों में सुधार दिखाया।

रेडियो संसाधन प्रबंधन

रेडियो संसाधन प्रबंधन का उद्देश्य सेलुलर नेटवर्क के उपयोगकर्ताओं द्वारा अनुरोधित डेटा दरों को पूरा करना है। मुख्य संसाधन समय अंतराल, आवृत्ति ब्लॉक और संचारित शक्तियाँ हैं। प्रत्येक उपयोगकर्ता का अपना उद्देश्य कार्य होता है, उदाहरण के लिए, डेटा दर, विलंबता और ऊर्जा दक्षता के कुछ संयोजन का प्रतिनिधित्व कर सकता है। ये उद्देश्य परस्पर विरोधी हैं क्योंकि आवृत्ति संसाधन बहुत दुर्लभ हैं, इस प्रकार तंग स्थानिक आवृत्ति पुन: उपयोग की आवश्यकता है जो उचित रूप से नियंत्रित नहीं होने पर अत्यधिक अंतर-उपयोगकर्ता हस्तक्षेप का कारण बनता है। अनुकूली पूर्वकोडिंग द्वारा हस्तक्षेप को कम करने के लिए आजकल बहु-उपयोगकर्ता एमआईएमओ तकनीकों का उपयोग किया जाता है। नेटवर्क ऑपरेटर दोनों महान कवरेज और उच्च डेटा दर लाना चाहते हैं, इस प्रकार ऑपरेटर एक पारेटो इष्टतम समाधान खोजना चाहेंगे जो कुल नेटवर्क डेटा थ्रूपुट और उपयोगकर्ता निष्पक्षता को एक उपयुक्त व्यक्तिपरक तरीके से संतुलित करता है।

रेडियो संसाधन प्रबंधन को अक्सर स्केलरीकरण द्वारा हल किया जाता है; अर्थात् एक नेटवर्क यूटिलिटी फ़ंक्शन का चयन जो थ्रूपुट और उपयोगकर्ता निष्पक्षता को संतुलित करने का प्रयास करता है। यूटिलिटी फ़ंक्शन के चुनाव का परिणामी एकल-उद्देश्य अनुकूलन समस्या की कम्प्यूटेशनल जटिलता पर बड़ा प्रभाव पड़ता है।उदाहरण के लिए, भारित योग दर की सामान्य उपयोगिता जटिलता के साथ एक एनपी कठिन समस्या देती है जो उपयोगकर्ताओं की संख्या के साथ तेजी से बढ़ती है, जबकि भारित अधिकतम-न्यूनतम निष्पक्षता उपयोगिता के परिणामस्वरूप अर्ध-उत्तल अनुकूलन समस्या होती है जिसमें केवल एक बहुपद स्केलिंग होती है उपयोगकर्ताओं की संख्या।

इलेक्ट्रिक पावर सिस्टम

पुन: विन्यास, सिस्टम के तत्वों के बीच कार्यात्मक लिंक का आदान-प्रदान करके, सबसे महत्वपूर्ण उपायों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है जो वितरण प्रणाली के परिचालन प्रदर्शन में सुधार कर सकता है। इसकी परिभाषा के संदर्भ में, बिजली वितरण प्रणाली के पुनर्गठन के माध्यम से अनुकूलन की समस्या बाधाओं के साथ एक ऐतिहासिक एकल उद्देश्य समस्या है। 1975 से, जब मर्लिन और बैक सक्रिय बिजली हानि में कमी के लिए वितरण प्रणाली के पुनर्संरचना का विचार पेश किया, आजकल तक, बहुत से शोधकर्ताओं ने एकल उद्देश्य समस्या के रूप में पुनर्संरचना समस्या को हल करने के लिए विविध तरीकों और एल्गोरिदम का प्रस्ताव दिया है। कुछ लेखकों ने पेरेटो इष्टतमता आधारित दृष्टिकोण प्रस्तावित किए हैं (सक्रिय शक्ति हानियों और उद्देश्यों के रूप में विश्वसनीयता सूचकांकों सहित)। इस प्रयोजन के लिए, विभिन्न कृत्रिम बुद्धि आधारित विधियों का उपयोग किया गया है: माइक्रोजेनेटिक, शाखा विनिमय, कण झुंड अनुकूलन और गैर-प्रभुत्व सॉर्टिंग जेनेटिक एल्गोरिथम।

इंफ्रास्ट्रक्चर का निरीक्षण

बुनियादी ढांचे के स्वायत्त निरीक्षण में लागत, जोखिम और पर्यावरणीय प्रभावों को कम करने के साथ-साथ निरीक्षण की गई संपत्तियों के बेहतर आवधिक रखरखाव को सुनिश्चित करने की क्षमता है। आमतौर पर, ऐसे मिशनों की योजना बनाने को एकल-उद्देश्य अनुकूलन समस्या के रूप में देखा गया है, जहां किसी का उद्देश्य संपूर्ण लक्ष्य संरचना का निरीक्षण करने में लगने वाली ऊर्जा या समय को कम करना है। जटिल, वास्तविक दुनिया संरचनाओं के लिए, हालांकि, एक निरीक्षण लक्ष्य का 100% कवर करना संभव नहीं है, और एक निरीक्षण योजना को एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या के रूप में देखा जा सकता है, जहां एक का लक्ष्य निरीक्षण कवरेज को अधिकतम करना और समय और लागत को कम करना है। एक हालिया अध्ययन ने संकेत दिया है कि बहुउद्देश्यीय निरीक्षण योजना में वास्तव में जटिल संरचनाओं पर पारंपरिक तरीकों से बेहतर प्रदर्शन करने की क्षमता है

समाधान

जैसा कि आमतौर पर बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं के लिए कई पेरेटो इष्टतमता समाधान मौजूद होते हैं, इस तरह की समस्या को हल करने का मतलब उतना सीधा नहीं है जितना कि यह एक पारंपरिक एकल-उद्देश्य अनुकूलन समस्या के लिए है। इसलिए, विभिन्न शोधकर्ताओं ने बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को विभिन्न तरीकों से हल करने वाले शब्द को परिभाषित किया है। यह खंड उनमें से कुछ और उन संदर्भों का सारांश देता है जिनमें उनका उपयोग किया जाता है। कई विधियां मूल समस्या को एकाधिक उद्देश्यों के साथ एकल-उद्देश्य अनुकूलन समस्या में परिवर्तित करती हैं। इसे स्केलराइज्ड समस्या कहा जाता है। यदि प्राप्त किए गए एकल-उद्देश्य समाधानों की पारेटो इष्टतमता की गारंटी दी जा सकती है, तो स्केलरीकरण को बड़े करीने से किया गया माना जाता है।

एक बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को हल करने को कभी-कभी सभी या पारेटो इष्टतम समाधानों के एक प्रतिनिधि सेट का अनुमान लगाने या गणना करने के रूप में समझा जाता है। जब बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण पर जोर दिया जाता है, तो बहु-उद्देश्य अनुकूलन समस्या को हल करने का उद्देश्य एक निर्णय निर्माता को उसकी व्यक्तिपरक प्राथमिकताओं के अनुसार सबसे पसंदीदा पारेटो इष्टतम समाधान खोजने में सहायता करने के लिए संदर्भित किया जाता है। अंतर्निहित धारणा यह है कि व्यवहार में लागू करने के लिए समस्या का एक समाधान पहचाना जाना चाहिए। यहां, मानव निर्णय निर्माता (डीएम) एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। डीएम से समस्या क्षेत्र के विशेषज्ञ होने की उम्मीद की जाती है।

विभिन्न दर्शनों का उपयोग करके सबसे पसंदीदा परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। बहुउद्देश्यीय अनुकूलन विधियों को चार वर्गों में विभाजित किया जा सकता है।

1. तथाकथित कोई वरीयता विधियों में, कोई डीएम उपलब्ध होने की उम्मीद नहीं है, लेकिन एक तटस्थ समझौता समाधान वरीयता सूचना के बिना पहचाना जाता है।अन्य वर्गों को एक प्राथमिकता, एक उत्तरवर्ती और संवादात्मक तरीके कहा जाता है और वे सभी अलग-अलग तरीकों से डीएम से वरीयता की जानकारी सम्मिलित करते हैं।
2. प्राथमिक तरीकों में, प्राथमिकता की जानकारी पहले डीएम से पूछी जाती है और फिर इन प्राथमिकताओं को संतुष्ट करने वाला समाधान ढूंढा जाता है।
3. पश्चवर्ती विधियों में, पेरेटो इष्टतम समाधानों का एक प्रतिनिधि सेट पहले पाया जाता है और फिर डीएम को उनमें से एक को चुनना होगा।
4. इंटरएक्टिव तरीकों में, निर्णय निर्माता को सबसे पसंदीदा समाधान के लिए पुनरावृत्त रूप से खोज करने की अनुमति है। इंटरएक्टिव पद्धति के प्रत्येक पुनरावृत्ति में, डीएम को पेरेटो इष्टतम समाधान दिखाया जाता है और वर्णन करता है कि समाधान को कैसे सुधारा जा सकता है। निर्णय निर्माता द्वारा दी गई जानकारी को डीएम के अगले पुनरावृत्ति में अध्ययन करने के लिए नए पेरेटो इष्टतम समाधान (ओं) को उत्पन्न करते समय ध्यान में रखा जाता है। इस तरह, डीएम अपनी इच्छाओं की व्यवहार्यता के बारे में सीखते हैं और उन समाधानों पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं जो उनके लिए दिलचस्प हैं। डीएम जब चाहे तलाशी रोक सकते हैं।

अधिक जानकारी और चार वर्गों में विभिन्न विधियों के उदाहरण निम्नलिखित अनुभागों में दिए गए हैं।

नो-प्रेफरेंस मेथड्स

जब एक निर्णय निर्माता स्पष्ट रूप से किसी वरीयता सूचना को स्पष्ट नहीं करता है तो बहुउद्देश्यीय अनुकूलन पद्धति को बिना वरीयता पद्धति के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।एक प्रसिद्ध उदाहरण वैश्विक कसौटी की विधि है, जिसमें फॉर्म की स्केलराइज्ड समस्या है

${\begin{aligned}\min &\|f(x)-z^{ideal}\|\\{\text{s.t. }}&x\in X\end{aligned}}$

हल किया गया। उपरोक्त समस्या में, $\|\cdot \|$ कोई भी Lp स्पेस हो सकता है # परिमित आयामों में p-मानक |$L_{p}$ आदर्श, सहित सामान्य विकल्पों के साथ $L_{1}$, $L_{2}$ और $L_{\infty }$.वैश्विक मानदंड की विधि उद्देश्य कार्यों के स्केलिंग के प्रति संवेदनशील है, और इस प्रकार, यह अनुशंसा की जाती है कि उद्देश्यों को एक समान, आयाम रहित पैमाने में सामान्यीकृत किया जाए।

एक प्राथमिक तरीके

प्राथमिक विधियों के लिए आवश्यक है कि समाधान प्रक्रिया से पहले पर्याप्त वरीयता सूचना व्यक्त की जाए।प्राथमिकता विधियों के प्रसिद्ध उदाहरणों में उपयोगिता फ़ंक्शन विधि, लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर विधि और लक्ष्य प्रोग्रामिंग सम्मिलित हैं।

उपयोगिता समारोह विधि

यूटिलिटी फंक्शन विधि में, यह माना जाता है कि डिसीजन मेकर की यूटिलिटी उपलब्ध है। एक मानचित्रण $u\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$ यदि सभी के लिए एक उपयोगिता कार्य है $\mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y$ अगर यह रखता है $u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})$ अगर निर्णय निर्माता पसंद करता है $\mathbf {y} ^{1}$ को $\mathbf {y} ^{2}$, और $u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})$ अगर निर्णय निर्माता के बीच उदासीन है $\mathbf {y} ^{1}$ और $\mathbf {y} ^{2}$. उपयोगिता फ़ंक्शन निर्णय वैक्टर के क्रम को निर्दिष्ट करता है (याद रखें कि वैक्टर को कई अलग-अलग तरीकों से आदेश दिया जा सकता है)। एक बार $u$ प्राप्त होता है, यह हल करने के लिए पर्याप्त है

$\max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ subject to }}\mathbf {x} \in X,$

लेकिन व्यवहार में एक उपयोगिता फलन का निर्माण करना बहुत कठिन है जो निर्णयकर्ता की प्राथमिकताओं का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करेगा- विशेष रूप से चूंकि अनुकूलन शुरू होने से पहले पेरेटो फ्रंट अज्ञात है।

लेक्सिकोग्राफिक विधि

Main article: Lexicographic optimization

लेक्सिकोग्राफिक पद्धति मानती है कि उद्देश्यों को महत्व के क्रम में रैंक किया जा सकता है। हम मानते हैं कि वस्तुनिष्ठ कार्य महत्व के क्रम में हैं ताकि $f_{1}$ सबसे महत्वपूर्ण और है $f_{k}$ निर्णय निर्माता के लिए सबसे कम महत्वपूर्ण। इस धारणा के अधीन, लेक्सिकोग्राफिक रूप से इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि यहां किसी भी उद्देश्य के लिए कोई लक्ष्य या लक्ष्य मान निर्दिष्ट नहीं किया गया है, जो इसे लेक्सिकोग्राफिक लक्ष्य प्रोग्रामिंग पद्धति से अलग बनाता है।

स्केलराइजिंग

एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को स्केलराइज़ करना एक प्राथमिकता पद्धति है, जिसका अर्थ है कि एकल-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को तैयार करना, जैसे कि एकल-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या का इष्टतम समाधान बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या के पारेटो इष्टतम समाधान हैं।इसके अलावा, अक्सर यह आवश्यक होता है कि स्केलरीकरण के कुछ मापदंडों के साथ हर पेरेटो इष्टतम समाधान तक पहुंचा जा सकता है।स्केलराइजेशन के लिए अलग-अलग मापदंडों के साथ, अलग-अलग पेरेटो इष्टतम समाधान तैयार किए जाते हैं। एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन के स्केलरीकरण के लिए एक सामान्य सूत्रीकरण इस प्रकार है

${\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{s.t }}x\in X_{\theta },\end{array}}$

कहाँ $\theta$ एक वेक्टर पैरामीटर है, सेट $X_{\theta }\subseteq X$ पैरामीटर के आधार पर एक सेट है $\theta$ और $g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R}$ एक कार्य है।

बहुत प्रसिद्ध उदाहरण तथाकथित हैं

• रैखिक स्केलरीकरण

$\min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x),$

जहां उद्देश्यों का भार $w_{i}>0$ स्केलराइजेशन के पैरामीटर हैं, और

• $\epsilon$-बाधा विधि (देखें, उदा।

${\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{s.t. }}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\},\end{array}}$

जहां ऊपरी सीमाएं $\epsilon _{j}$ ऊपर के रूप में पैरामीटर हैं और $f_{j}$ कम करने का उद्देश्य है।

कुछ और उन्नत उदाहरण हैं:

• Wierzbicki की उपलब्धि स्केलराइजिंग समस्याएं। उपलब्धि स्केलराइजिंग समस्याओं का एक उदाहरण के रूप में तैयार किया जा सकता है

${\begin{array}{ll}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{\text{nad}}-z_{i}^{\text{utopian}}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nad}-z_{i}^{\text{utopian}}}}\\{\text{subject to }}&x\in S,\end{array}}$

जहां शब्द $\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nad}-z_{i}^{\text{utopian}}}}$ वृद्धि शब्द कहा जाता है, $\rho >0$ एक छोटा स्थिरांक है, और $z^{\text{nad}}$ और $z^{\text{utopian}}$ क्रमशः नादिर और यूटोपियन वैक्टर हैं। उपरोक्त समस्या में, पैरामीटर तथाकथित संदर्भ बिंदु है ${\bar {z}}$ जो निर्णय निर्माता द्वारा पसंद किए जाने वाले उद्देश्य फ़ंक्शन मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है।

• सेन की बहुउद्देश्यीय प्रोग्रामिंग

$${\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0,\end{array}}$$

कहाँ $W_{j}$ अधिकतमकरण के उद्देश्यों के लिए व्यक्तिगत ऑप्टिमा (पूर्ण) है $r$ और न्यूनीकरण $r+1$ को $s$.

• हाइपरवॉल्यूम/चेबिशेव स्केलराइजेशन

$\min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}},$

जहां उद्देश्यों का भार $w_{i}>0$ स्केलराइजेशन के पैरामीटर हैं। यदि पैरामीटर/वजन समान रूप से सकारात्मक ऑर्थेंट में खींचे जाते हैं, तो यह दिखाया जाता है कि यह स्केलराइजेशन पैरेटो फ्रंट में अभिसरण करता है,भले ही सामने गैर-उत्तल हो।

उदाहरण के लिए, पोर्टफोलियो अनुकूलन अक्सर आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत|माध्य-विचरण विश्लेषण के संदर्भ में आयोजित किया जाता है। इस संदर्भ में, कुशल सेट पोर्टफोलियो औसत रिटर्न द्वारा पैरामीट्रिज्ड पोर्टफोलियो का एक सबसेट है $\mu _{P}$ पोर्टफोलियो शेयरों को चुनने की समस्या में ताकि पोर्टफोलियो के वापसी के अंतर को कम किया जा सके $\sigma _{P}$ के दिए गए मूल्य के अधीन $\mu _{P}$; विवरण के लिए म्युचुअल फंड पृथक्करण प्रमेय#माध्य-भिन्नता विश्लेषण में पोर्टफोलियो पृथक्करण देखें। वैकल्पिक रूप से, कुशल सेट को पोर्टफोलियो शेयरों को चुनकर निर्दिष्ट किया जा सकता है ताकि फ़ंक्शन को अधिकतम किया जा सके $\mu _{P}-b\sigma _{P}$; कुशल पोर्टफोलियो के सेट में समाधान होते हैं क्योंकि बी शून्य से अनंत तक होता है।

एक उत्तरवर्ती तरीके

पश्चवर्ती विधियों का उद्देश्य सभी पेरेटो इष्टतम समाधानों या पारेटो इष्टतम समाधानों के एक प्रतिनिधि उपसमुच्चय का उत्पादन करना है। अधिकांश पश्चवर्ती विधियां निम्न तीन वर्गों में से किसी एक में आती हैं:

• गणितीय प्रोग्रामिंग-आधारित एक पश्चवर्ती विधियाँ, जहाँ एक एल्गोरिथम दोहराया जाता है और एल्गोरिथम का प्रत्येक रन एक पारेटो इष्टतम समाधान उत्पन्न करता है;
• विकासवादी एल्गोरिदम जहां एल्गोरिदम का एक रन पेरेटो इष्टतम समाधानों का एक सेट तैयार करता है।
• ध्यान लगा के पढ़ना या सीखना मेथड्स, जहां एक मॉडल को पहले समाधानों के एक सबसेट पर प्रशिक्षित किया जाता है, और फिर पारेटो मोर्चे पर अन्य समाधान प्रदान करने के लिए पूछताछ की जाती है।

गणितीय प्रोग्रामिंग

गणितीय प्रोग्रामिंग-आधारित पश्च-पश्च पद्धति के जाने-माने उदाहरण सामान्य सीमा चौराहा (NBI) हैं, संशोधित सामान्य सीमा चौराहा (NBIM) रेफरी नाम = एस मोटा >{{cite journal|last=S. Motta|first=Renato|author2=Afonso, Silvana M. B. |author3=Lyra, Paulo R. M. |title=एन-बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं के समाधान के लिए एक संशोधित एनबीआई और एनसी पद्धति|journal=Structural and Multidisciplinary Optimization|date=8 January 2012|doi=10.1007/s00158-011-0729-5|volume=46|issue=2|pages=239–259|s2cid=121122414}</रेफ> सामान्य बाधा (एनसी), रेफरी नाम = संदर्भ ए>Messac, A.; Ismail-Yahaya, A.; Mattson, C.A. (2003). "पैरेटो फ्रंटियर उत्पन्न करने के लिए सामान्यीकृत सामान्य बाधा विधि". Structural and Multidisciplinary Optimization. 25 (2): 86–98. doi:10.1007/s00158-002-0276-1. S2CID 58945431.</ref> क्रमिक पारेतो अनुकूलन (एसपीओ), और निर्देशित खोज डोमेन (DSD) विधियाँ, जो कई स्केलरीकरणों का निर्माण करके बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को हल करती हैं। प्रत्येक स्केलराइजेशन का समाधान एक पारेटो इष्टतम समाधान उत्पन्न करता है, चाहे वह स्थानीय या विश्व स्तर पर हो। NBI, NBIm, NC और DSD विधियों के स्केलरीकरण का निर्माण समान रूप से वितरित पारेटो पॉइंट प्राप्त करने के लक्ष्य के साथ किया गया है जो पारेटो पॉइंट के वास्तविक सेट का एक अच्छा समान रूप से वितरित सन्निकटन देता है।

विकासवादी एल्गोरिदम

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या के लिए पेरेटो इष्टतम समाधान उत्पन्न करने के लिए विकासवादी एल्गोरिदम लोकप्रिय दृष्टिकोण हैं। वर्तमान में, अधिकांश विकासवादी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन (ईएमओ) एल्गोरिदम पारेटो-आधारित रैंकिंग योजनाओं को लागू करते हैं। गैर-वर्चस्व वाले सॉर्टिंग जेनेटिक एल्गोरिथम-II (NSGA-II) जैसे विकासवादी एल्गोरिदम या इसका विस्तारित संस्करण NSGA-III रेफरी>Deb, Kalyanmoy; Jain, Himanshu (2014). "एक विकासवादी बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन एल्गोरिथम संदर्भ-बिंदु-आधारित गैर-प्रभुत्व वाली छँटाई दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, भाग I: बॉक्स बाधाओं के साथ समस्याओं को हल करना". IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 18 (4): 577–601. doi:10.1109/TEVC.2013.2281535. ISSN 1089-778X. S2CID 206682597.</ref> और स्ट्रेंथ परेटो इवोल्यूशनरी एल्गोरिथम 2 (SPEA-2) मानक दृष्टिकोण बन गए हैं, हालांकि कुछ योजनाएँ कण झुंड अनुकूलन # वेरिएंट और तैयार किए हुयी धातु पे पानी चढाने की कला पर आधारित हैं महत्वपूर्ण हैं। विकासवादी एल्गोरिदम का मुख्य लाभ, जब बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए लागू किया जाता है, तो यह तथ्य है कि वे आम तौर पर समाधान के सेट उत्पन्न करते हैं, जिससे पूरे पारेटो फ्रंट के अनुमान की गणना की अनुमति मिलती है। विकासवादी एल्गोरिदम का मुख्य नुकसान उनकी कम गति है और समाधानों की पारेतो इष्टतमता की गारंटी नहीं दी जा सकती है। यह केवल ज्ञात है कि उत्पन्न समाधानों में से कोई भी दूसरे पर हावी नहीं होता है।

विकासवादी एल्गोरिदम का उपयोग करके नवीनता के आधार पर बहुउद्देश्यीय अनुकूलन के लिए एक और प्रतिमान हाल ही में सुधार किया गया था। यह प्रतिमान वस्तुनिष्ठ स्थान (यानी, नवीनता खोज) में उपन्यास समाधानों की खोज करता है उद्देश्य स्थान पर) गैर-वर्चस्व वाले समाधानों की खोज के अलावा। नवीनता की खोज पहले से अनछुए स्थानों की खोज का मार्गदर्शन करने वाले पत्थरों की तरह है। यह पूर्वाग्रह और पठारों पर काबू पाने के साथ-साथ कई-उद्देश्य अनुकूलन समस्याओं में खोज का मार्गदर्शन करने में विशेष रूप से उपयोगी है।

गहरी सीखने के तरीके

डीप लर्निंग कंडीशनल तरीके कई पारेटो इष्टतम समाधान उत्पन्न करने के लिए नए दृष्टिकोण हैं। यह विचार गहरे तंत्रिका नेटवर्क की सामान्यीकरण क्षमता का उपयोग पूरे पेरेटो फ्रंट के एक मॉडल को सीखने के लिए करता है, उस मोर्चे के साथ सीमित उदाहरण ट्रेड-ऑफ से, पारेटो फ्रंट लर्निंग नामक एक कार्य। कई तरीके इस सेटअप को संबोधित करते हैं, जिसमें हाइपरनेटवर्क का उपयोग करना सम्मिलित है,और स्टीन वैरिएबल ग्रेडिएंट डिसेंट का उपयोग करना।

तरीकों की सूची

आमतौर पर पोस्टीरियर विधियों को नीचे सूचीबद्ध किया गया है:

• ε-प्रतिबंध विधि
• परेटो-हाइपरनेटवर्क
• बहुउद्देश्यीय शाखा-और-बाउंड
• सामान्य सीमा चौराहा (एनबीआई) <रेफरी नाम = doi10.1137/S1052623496307510 />
• संशोधित सामान्य सीमा चौराहा (NBIM)सामान्य बाधा (एनसी),* क्रमिक पारेतो अनुकूलन (एसपीओ)
• निर्देशित खोज डोमेन (डीएसडी)
• एनएसजीए-II<रेफरी नाम= doi10.1109/4235.996017 />
• पीजीईएन (उत्तल बहुउद्देश्यीय उदाहरणों के लिए परेटो सतह पीढ़ी)
• मुझे पता है (स्व-संगठन के आधार पर अप्रत्यक्ष अनुकूलन)
• एसएमएस-ईएमओए (एस-मीट्रिक चयन विकासवादी बहु-उद्देश्य एल्गोरिथम)
• सन्निकटन-निर्देशित विकास (सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान से सन्निकटन एल्गोरिथम की औपचारिक अवधारणा को सीधे लागू करने और अनुकूलित करने के लिए पहला एल्गोरिथम)
• प्रतिक्रियाशील खोज अनुकूलन (रणनीतियों और उद्देश्यों को अपनाने के लिए मशीन लर्निंग का उपयोग करके), लायंस LIONSolver में लागू किया गया
• बहुउद्देश्यीय रैखिक प्रोग्रामिंग और बहुउद्देश्यीय उत्तल कार्यक्रमों के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम
• पार्टिकल स्वार्म ऑप्टिमाइजेशन#वैरिएंट्स|मल्टी-ऑब्जेक्टिव पार्टिकल स्वार्म ऑप्टिमाइजेशन
• उप-जनसंख्या एल्गोरिथम नवीनता पर आधारित है

इंटरएक्टिव तरीके

बहुउद्देश्यीय समस्याओं को अनुकूलित करने के संवादात्मक तरीकों में, समाधान प्रक्रिया पुनरावृत्त होती है और निर्णय निर्माता सबसे पसंदीदा समाधान की खोज करते समय विधि के साथ लगातार बातचीत करता है (उदाहरण के लिए Miettinen 1999 देखें,मिट्टिनेन 2008). दूसरे शब्दों में, निर्णय निर्माता से पारेतो इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पुनरावृत्ति पर वरीयताएँ व्यक्त करने की अपेक्षा की जाती है जो निर्णय निर्माता के लिए रुचि रखते हैं और यह सीखते हैं कि किस प्रकार के समाधान प्राप्य हैं।

अनुकूलन के इंटरैक्टिव तरीकों में आमतौर पर निम्नलिखित चरण मौजूद होते हैं:

1. इनिशियलाइज़ करें (उदाहरण के लिए आदर्श और अनुमानित नादिर ऑब्जेक्टिव वैक्टर की गणना करें और उन्हें निर्णय निर्माता को दिखाएं)
2. एक पारेटो इष्टतम प्रारंभिक बिंदु उत्पन्न करें (उदाहरण के लिए निर्णय निर्माता द्वारा दी गई कुछ गैर-वरीयता विधि या समाधान का उपयोग करके)
3. निर्णय लेने वाले से वरीयता की जानकारी मांगें (उदाहरण के लिए आकांक्षा स्तर या उत्पन्न किए जाने वाले नए समाधानों की संख्या)
4. वरीयताओं के अनुसार नए पारेटो इष्टतम समाधान (एस) उत्पन्न करें और निर्णय निर्माता को समस्या के बारे में इसे/उन्हें और संभवतः कुछ अन्य जानकारी दिखाएं
5. यदि कई समाधान उत्पन्न हुए थे, तो निर्णय लेने वाले से अब तक का सबसे अच्छा समाधान चुनने के लिए कहें
6. बंद करो (यदि निर्णय निर्माता चाहता है, अन्यथा, चरण 3 पर जाएं)।

उपरोक्त आकांक्षा स्तर एक संदर्भ बिंदु बनाने वाले वांछनीय उद्देश्य फ़ंक्शन मानों को संदर्भित करता है। गणितीय अभिसरण के बजाय जो अक्सर गणितीय अनुकूलन विधियों में एक रोक मानदंड के रूप में उपयोग किया जाता है, एक मनोवैज्ञानिक अभिसरण पर अक्सर इंटरैक्टिव तरीकों पर जोर दिया जाता है। आम तौर पर, एक विधि समाप्त हो जाती है जब निर्णय निर्माता आश्वस्त होता है कि उसे सबसे पसंदीदा समाधान उपलब्ध हो गया है।

वरीयता सूचना के प्रकार

विभिन्न प्रकार की वरीयता सूचनाओं को सम्मिलित करने वाली विभिन्न संवादात्मक विधियाँ हैं। के आधार पर उनमें से तीन प्रकारों की पहचान की जा सकती है

1. लेन-देन की जानकारी,
2. संदर्भ बिंदु और
3. उद्देश्य कार्यों का वर्गीकरण।

दूसरी ओर, समाधान का एक छोटा सा नमूना उत्पन्न करने का एक चौथा प्रकार सम्मिलित है: ट्रेड-ऑफ जानकारी का उपयोग करने वाली इंटरैक्टिव विधि का एक उदाहरण ज़ियोनट्स-वालेनियस विधि है, जहां निर्णय निर्माता को प्रत्येक पुनरावृत्ति पर कई वस्तुनिष्ठ ट्रेड-ऑफ दिखाए जाते हैं, और उनसे यह कहने की उम्मीद की जाती है कि क्या वह प्रत्येक ट्रेड-ऑफ के संबंध में पसंद करते हैं, नापसंद करते हैं या उदासीन हैं। संदर्भ बिंदु आधारित विधियों में (उदाहरण के लिए देखें।), निर्णय निर्माता से प्रत्येक पुनरावृत्ति पर प्रत्येक उद्देश्य के लिए वांछित मूल्यों से युक्त एक संदर्भ बिंदु निर्दिष्ट करने की उम्मीद की जाती है और एक संबंधित पारेतो इष्टतम समाधान की गणना की जाती है और उसे विश्लेषण के लिए दिखाया जाता है। वर्गीकरण आधारित इंटरएक्टिव विधियों में, निर्णय निर्माता को वर्तमान पारेटो इष्टतम समाधान पर विभिन्न वर्गों में वर्गीकृत उद्देश्यों के रूप में वरीयता देने के लिए माना जाता है, यह दर्शाता है कि अधिक पसंदीदा समाधान प्राप्त करने के लिए उद्देश्यों के मूल्यों को कैसे बदला जाना चाहिए। फिर, दी गई वर्गीकरण जानकारी को ध्यान में रखा जाता है जब नए (अधिक पसंदीदा) पारेतो इष्टतम समाधान (ओं) की गणना की जाती है। संतोषजनक व्यापार-बंद विधि (एसटीओएम) में तीन वर्गों का उपयोग किया जाता है: उद्देश्य जिनके मान 1) में सुधार किया जाना चाहिए, 2) शिथिल किया जा सकता है, और 3) इस तरह स्वीकार्य हैं। निंबस पद्धति में, दो अतिरिक्त वर्गों का भी उपयोग किया जाता है: उद्देश्य जिनके मान 4) दिए गए बाउंड तक सुधार किए जाने चाहिए और 5) दिए गए बाउंड तक आराम किए जा सकते हैं।

हाइब्रिड तरीके

अलग-अलग हाइब्रिड एल्गोरिदम विधियां मौजूद हैं, लेकिन यहां हम एमसीडीएम (बहु-मानदंड निर्णय लेने) और ईएमओ (विकासवादी बहु-उद्देश्य अनुकूलन) को संकरणित करने पर विचार करते हैं। बहुउद्देश्यीय अनुकूलन के संदर्भ में एक हाइब्रिड एल्गोरिथम इन दो क्षेत्रों से एल्गोरिदम/दृष्टिकोण का एक संयोजन है (उदाहरण के लिए देखें।). ईएमओ और एमसीडीएम के हाइब्रिड एल्गोरिदम मुख्य रूप से ताकत का उपयोग करके कमियों को दूर करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। साहित्य में कई प्रकार के हाइब्रिड एल्गोरिदम प्रस्तावित किए गए हैं, उदा। एक स्थानीय खोज ऑपरेटर के रूप में ईएमओ एल्गोरिदम में एमसीडीएम दृष्टिकोण को सम्मिलित करना और एक डीएम को सबसे पसंदीदा समाधान आदि के लिए नेतृत्व करना। एक स्थानीय खोज ऑपरेटर का उपयोग मुख्य रूप से ईएमओ एल्गोरिदम के अभिसरण की दर को बढ़ाने के लिए किया जाता है।

हाइब्रिड मल्टी-ऑब्जेक्टिव ऑप्टिमाइज़ेशन की जड़ें नवंबर 2004 में आयोजित पहले डगस्टुहल सेमिनार में देखी जा सकती हैं (देखें, यहां)। यहाँ कुछ बेहतरीन दिमाग हैं ईएमओ में (प्रोफेसर कल्याणमॉय देब, प्रोफेसर जुरगेन ब्रांके इत्यादि) और एमसीडीएम (प्रोफेसर कैसा मिइटिनेन, प्रोफेसर राल्फ ई. स्टीयर इत्यादि) ने एमसीडीएम और ईएमओ क्षेत्रों के विचारों और दृष्टिकोणों के संयोजन में क्षमता का एहसास किया ताकि उनमें से संकर तैयार किए जा सकें। बाद में सहयोग को बढ़ावा देने के लिए कई और दगस्टुहल सेमिनार आयोजित किए गए। हाल ही में, ईएमओ और एमसीडीएम के क्षेत्र में कई अंतरराष्ट्रीय सम्मेलनों में हाइब्रिड बहुउद्देश्यीय अनुकूलन एक महत्वपूर्ण विषय बन गया है (उदाहरण के लिए देखें।).

पेरेटो फ्रंट का विजुअलाइजेशन

पेरेटो फ्रंट का विज़ुअलाइज़ेशन बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन की पश्चवर्ती वरीयता तकनीकों में से एक है। पश्चवर्ती वरीयता तकनीकें बहुउद्देश्यीय अनुकूलन तकनीकों का एक महत्वपूर्ण वर्ग प्रदान करती हैं।आमतौर पर पश्चवर्ती वरीयता तकनीकों में चार चरण सम्मिलित होते हैं: (1) कंप्यूटर पैरेटो फ्रंट का अनुमान लगाता है, यानी ऑब्जेक्टिव स्पेस में पेरेटो इष्टतम सेट; (2) निर्णय निर्माता पेरेटो फ्रंट सन्निकटन का अध्ययन करता है; (3) निर्णय निर्माता परेटो मोर्चे पर पसंदीदा बिंदु की पहचान करता है; (4) कंप्यूटर पेरेटो इष्टतम निर्णय प्रदान करता है, जो आउटपुट निर्णय निर्माता द्वारा पहचाने गए उद्देश्य बिंदु के साथ मेल खाता है। निर्णय निर्माता के दृष्टिकोण से, पश्चवर्ती वरीयता तकनीकों का दूसरा चरण सबसे जटिल है। निर्णय निर्माता को सूचित करने के दो मुख्य तरीके हैं। सबसे पहले, पारेटो मोर्चे के कई बिंदुओं को एक सूची के रूप में प्रदान किया जा सकता है (दिलचस्प चर्चा और संदर्भ में दिए गए हैं)) या हीटमैप्स का उपयोग करना।

द्वि-उद्देश्य समस्याओं में विज़ुअलाइज़ेशन: ट्रेडऑफ़ कर्व

द्वि-उद्देश्यीय समस्याओं के स्थितियों में, पेरेटो फ्रंट के बारे में निर्णय निर्माता को सूचित करना आमतौर पर इसके विज़ुअलाइज़ेशन द्वारा किया जाता है: पारेटो फ्रंट, जिसे अक्सर इस स्थितियों में ट्रेडऑफ़ कर्व कहा जाता है, को ऑब्जेक्टिव प्लेन पर खींचा जा सकता है। ट्रेडऑफ़ कर्व ऑब्जेक्टिव वैल्यू और ऑब्जेक्टिव ट्रेडऑफ़ पर पूरी जानकारी देता है, जो बताता है कि ट्रेडऑफ़ कर्व के साथ चलते हुए एक उद्देश्य में सुधार दूसरे के बिगड़ने से कैसे संबंधित है। पसंदीदा पेरेटो इष्टतम उद्देश्य बिंदु निर्दिष्ट करते समय निर्णय निर्माता इस जानकारी को ध्यान में रखता है। पेरेटो फ्रंट का अनुमान लगाने और कल्पना करने का विचार रैखिक द्वि-उद्देश्य निर्णय समस्याओं के लिए एस.गस और टी.साटी द्वारा पेश किया गया था। यह विचार जेएल कोहोन द्वारा पर्यावरणीय समस्याओं में विकसित और लागू किया गया था। उद्देश्यों की एक छोटी संख्या (मुख्य रूप से दो) के साथ विभिन्न निर्णय समस्याओं के लिए पेरेटो फ्रंट को अनुमानित करने के तरीकों की समीक्षा में प्रदान की जाती है।

उच्च क्रम बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं में विज़ुअलाइज़ेशन

उच्च क्रम बहुउद्देश्यीय निर्णय समस्याओं (दो से अधिक उद्देश्यों वाली समस्याएं) में पारेतो मोर्चे की कल्पना कैसे करें, इस पर दो सामान्य विचार हैं। उनमें से एक, जो अपेक्षाकृत कम संख्या में वस्तुनिष्ठ बिंदुओं के स्थितियों में लागू होता है, जो पेरेटो फ्रंट का प्रतिनिधित्व करते हैं, आँकड़ों में विकसित विज़ुअलाइज़ेशन तकनीकों (विभिन्न आरेख, आदि - नीचे संबंधित उपखंड देखें) का उपयोग करने पर आधारित है। दूसरा विचार पेरेटो फ्रंट के द्वि-उद्देश्यीय क्रॉस-सेक्शन (स्लाइस) के प्रदर्शन का प्रस्ताव करता है। इसे डब्ल्यू.एस. 1973 में मीसेल जिन्होंने तर्क दिया कि इस तरह के स्लाइस निर्णय निर्माता को वस्तुनिष्ठ ट्रेडऑफ़ पर सूचित करते हैं। आंकड़े जो तीन-उद्देश्य समस्याओं के लिए पारेतो मोर्चे के द्वि-उद्देश्य स्लाइस की एक श्रृंखला प्रदर्शित करते हैं, उन्हें निर्णय मानचित्र के रूप में जाना जाता है। वे तीन मानदंडों के बीच ट्रेडऑफ़ की स्पष्ट तस्वीर देते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण के नुकसान निम्नलिखित दो तथ्यों से संबंधित हैं। सबसे पहले, परेटो फ्रंट के द्वि-उद्देश्यीय स्लाइस के निर्माण के लिए कम्प्यूटेशनल प्रक्रियाएं स्थिर नहीं हैं क्योंकि पारेटो फ्रंट आमतौर पर स्थिर नहीं है। दूसरे, यह केवल तीन उद्देश्यों के स्थितियों में लागू होता है। 1980 के दशक में, विचार डब्ल्यू.एस. Meisel को एक अलग रूप में लागू किया गया - इंटरएक्टिव निर्णय मानचित्र (IDM) तकनीक के रूप में। अभी हाल ही में एन वेस्नर पेरेटो फ्रंटियर की खोज और इष्टतम समाधानों के चयन के लिए उद्देश्य स्थान के एक वेन आरेख और एकाधिक स्कैटर प्लॉट दृश्यों के संयोजन का उपयोग करने का प्रस्ताव है।

यह भी देखें

• बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण
  • एमसीडीएम
• बहुउद्देश्यीय रैखिक प्रोग्रामिंग
• बहुविषयक डिजाइन अनुकूलन
• परेटो दक्षता
• लक्ष्य प्रोग्रामिंग
• समवर्ती कंप्यूटिंग
• वेक्टर अनुकूलन
• इंटरएक्टिव निर्णय मैप्स
• उपयोगिता समारोह
• निर्णय लेने वाला सॉफ्टवेयर

बाहरी संबंध

• International Society on Multiple Criteria Decision Making
• Evolutionary Multiobjective Optimization, The Wolfram Demonstrations Project
• A Tutorial on Multiobjective Optimization and Genetic Algorithms, Scilab Professional Partner
• Tomoiagă, Bogdan; Chindriş, Mircea; Sumper, Andreas; Sudria-Andreu, Antoni; Villafafila-Robles, Roberto. 2013. "Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II." Energies 6, no. 3: 1439-1455.
• List of References on Evolutionary Multiobjective Optimization