असोसिएहेड्रोन: Difference between revisions

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[[File:Associahedron K5 faces, ovals.svg|thumb|के 9 चेहरे {{math|''K''{{sub|5}}}}<br/>उपरोक्त हस्से आरेख में प्रत्येक शीर्ष में 3 निकटस्थ फलकों के अंडाकार हैं। चेहरे जिनके अंडाकार प्रतिच्छेदन नहीं करते हैं।]]गणित में, असोसिएहेड्रॉन K_n एक (n-2)-आयामी व्यासीय बहुभुज होता है जिसमें प्रत्येक शिखर n अक्षरों की एक शृंखला           में खोलने और बंद करने के सही ढंग को दर्शाता है, और एज को एसोसिएटिविटी नियम के एकल आवेदन के संबंध में दर्शाता है। समानता से, असोसिएहेड्रॉन के शिखर एक नियमित बहुभुज के n + 1 सिरों के त्रिकोणीकरणों के संबंधित होते हैं और एज एकल विकर्ण को त्रिकोणीकरण से हटाकर एक अलग विकर्ण से बदलने को दर्शाते हैं। <ref>{{citation
[[File:Associahedron K5 faces, ovals.svg|thumb|के 9 फलक  {{math|''K''{{sub|5}}}}<br/>उपरोक्त हस्से आरेख में प्रत्येक शीर्ष में 3 निकटस्थ फलकों के अंडाकार हैं। फलक जिनके अंडाकार प्रतिच्छेदन नहीं करते हैं।]]गणित में, एक एसोसिएहेड्रॉन Kn एक (n - 2)-आयामी उत्तल बहुशीर्ष होते है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष n अक्षरों की एक शृंखला में सही ढंग से खोलने और बंद करने वाले कोष्ठकों को सम्मिलित करने के नियमों के समान होते है,और किनारे साहचर्य नियम के एकल आवेदन के अनुरूप होते हैं। एक असोसिएहेड्रन के शीर्ष पर्यायत्रिकों के समरूप नियमित बहुभुज के (n + 1) सिरों के त्रिकोणीकरण को संबोधित करते हैं, तथा सिरा उन ढालों को संबोधित करते हैं जिनमें एक एकल सिरा त्रिकोणीकरण से हटाया जाता है और उसे एक विभिन्न सिरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।<ref>{{citation
  | last = Tamari | first = Dov | authorlink = Dov Tamari (mathematician)
  | last = Tamari | first = Dov | authorlink = Dov Tamari (mathematician)
  | mr = 0051833
  | mr = 0051833
  | publisher = Thèse, Université de Paris
  | publisher = Thèse, Université de Paris
  | title = Monoïdes préordonnés et chaînes de Malcev
  | title = Monoïdes préordonnés et chaînes de Malcev
  | year = 1951}}.</ref> [[जिम स्टाशेफ]] के कार्य के उपरांत , असोसिएहेड्रों को स्टाशेफ पॉलिटोप के रूप में भी जाना जाता है, जिन्हें  [[डोव तमारी (गणितज्ञ)|डोव तमारी]] द्वारा उन पर पहले कार्य किया गया था। जिम स्टाशेफ ने इन्हें 1960 के दशक की प्रारंभ में पुनः खोजा था।
  | year = 1951}}.</ref> [[जिम स्टाशेफ]] के कार्य के बाद एसोसियाहेड्रा को स्टैशेफ  बहुतलीय भी कहा जाता है, जिन्होंने 1960 के दशक की प्रारंभ में उन्हें पुनः खोजा था। तथा  उनसे पहले, दोव तमारी ने उन पर कार्य किया था।




== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
एक आयामी असोसिएहेड्रॉन K3 तीन चिह्नों के ((xy)z) और (x(yz)) दो बाल-बंद निर्देशिकरणों, या एक वर्ग के दो त्रिकोणीकरणों को दर्शाता है। यह अपने आप में एक रेखाखंड है।
एक आयामी असोसिएहेड्रन K₃ तीन चिह्नों की ((xy)z) और (x(yz)) दो कोष्ठक या वर्ग के दो त्रिकोणीकरणों को प्रतिष्ठित करता है। यह अपने आप में एक रेखाखंड है।


द्वि-आयामी एसोसिएहेड्रोन ''K''<sub>4</sub> चार प्रतीकों के पाँच कोष्ठकों का प्रतिनिधित्व करता है, यह स्वयं एक पंचभुज है और मोनॉइडल श्रेणी के पंचभुज आरेख से संबंधित होता है।
द्वि-आयामी एसोसिएहेड्रोन ''K''<sub>4</sub> चार प्रतीकों के पाँच कोष्ठकों का प्रतिनिधित्व करता है, यह स्वयं एक पंचभुज है और एकपद श्रेणी के पंचभुज आरेख से संबंधित होता है।


त्रि-आयामीअसोसिएहेड्रॉन K<sub>5</sub>एक नौ-भुज होता है जिसमें नौ भुजाएं होती हैं (तीन अलग-अलग चतुर्भुज और छह पंचभुज) और चौदह कोण होते हैं, और इसका द्विपरावर्तक [[त्रिकोणीय त्रिकोणीय प्रिज्म|त्रिकोणीय नामक प्रिज्म]] होता है।
त्रिआयामी असोसिएहेड्रन K₅ एक नौ-आयामी बहुभुज है जिसमें नौ चेहरे होते हैं (तीन अलग-अलग चतुर्भुज और छह पंचभुज) और चौदह शीर्ष होते हैं,और इसका द्विपरावर्तक [[त्रिकोणीय त्रिकोणीय प्रिज्म|त्रिकोणीय नामक संक्षेत्र]] होता है।


== बोध ==
== बोध ==
शुरुआत में जिम स्टाशेफ ने इन वस्तुओं को [[ वक्रीय ]] पॉलीटोप्स के रूप में माना। इसके बाद, उन्हें कई अलग-अलग तरीकों से उत्तल पॉलीटोप्स के रूप में निर्देशांक दिए गए; का परिचय देखें {{harvtxt|Ceballos|Santos|Ziegler|2015}} सर्वेक्षण के लिए।<ref name="csz">{{citation
प्रारंभ में जिम स्टाशेफ ने इन वस्तुओं को कर्विलिनियर बहुतलीय के रूप में माना। इसके बाद, उन्हें कई अलग-अलग विधियों  से उत्तल बहुतलीय के रूप में निर्देशांक दिए गए; एक सर्वेक्षण के लिए सेबलोस, सैंटोस और ज़िग्लर (2015) का परिचय देखें।  असोसिएशेड्रन को एक त्रिकोण या नियमित बहुभुज का द्वितीयक बहुतलीय रूप में प्रतिष्ठित किया जा सकता है।<ref name="csz">{{citation
  | last1 = Ceballos | first1 = Cesar
  | last1 = Ceballos | first1 = Cesar
  | last2 = Santos | first2 = Francisco | author2-link = Francisco Santos Leal
  | last2 = Santos | first2 = Francisco | author2-link = Francisco Santos Leal
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  | title = Many non-equivalent realizations of the associahedron
  | title = Many non-equivalent realizations of the associahedron
  | volume = 35
  | volume = 35
  | year = 2015}}.</ref>
  | year = 2015}}.</ref>इस निर्माण में, n + 1 भुजों वाले नियमित बहुभुज की प्रत्येक त्रिकोणीकरण (n + 1)-आयामी यूक्लिडीयन स्थान में एक बिंदु के समान होता है, जिसका i-वाला संयोजक बिंदु से संबंधित त्रिकोणों का कुल क्षेत्रफल होता है। उदाहरण के रूप में, यूनिट वर्गाकार के दो त्रिकोणीकरण इस तरीके से उत्पन्न करते हैं, जिनके संयोजक (1, 1/2, 1, 1/2) और (1/2, 1, 1/2, 1) होते हैं। . इन दो बिंदुओं का उत्तल हल एसोसिएहेड्रोन K₃ की प्राप्ति है. यद्यपि यह 4-आयामी स्थान में रहता है, यह उस स्थान के भीतर एक रेखा खंड बनाता है। इसी तरह, असोसिएशेड्रन ''K''<sub>4</sub> को यहां एक नियमित पंचभुज के रूप में पांच-आयामी यूक्लिडीयन अंतरिक्ष में प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जिसके शिखर संयोजक (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) के चक्रीय प्रतिवर्तन हैं, जहां φ स्वर्णिम अनुपात को दर्शाता है। . नियमित षट्कोण के भीतर संभावित त्रिकोणों के क्षेत्रफल एक-दूसरे के पूर्णांक गुणक होते हैं, इसलिए इस निर्माण का उपयोग करके त्रिआयामी असोसिएशेड्रन K5 को पूर्णांक संयोजक छः आयामों में दिए जा सकते हैं। यद्यपि यह निर्माण असंख्यातांकों को संयोजक के रूप में उत्पन्न करता है।।<ref name="csz" /><ref>{{citation
एसोसिएहेड्रोन को साकार करने का एक तरीका एक नियमित बहुभुज के [[ज्यामितीय ग्राफ सिद्धांत]] के रूप में है।<ref name="csz"/>इस निर्माण में, n + 1 भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक त्रिभुज (n + 1)-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक बिंदु से मेल खाता है, जिसका ith निर्देशांक बहुभुज के iवें शीर्ष पर त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल है। उदाहरण के लिए, [[इकाई वर्ग]] के दो त्रिकोण निर्देशांक (1, 1/2, 1, 1/2) और (1/2, 1, 1/2, 1) के साथ दो चार-आयामी बिंदुओं को इस तरह से जन्म देते हैं। . इन दो बिंदुओं का उत्तल हल एसोसिएहेड्रोन के की प्राप्ति है<sub>3</sub>. यद्यपि यह 4-आयामी स्थान में रहता है, यह उस स्थान के भीतर एक रेखा खंड (एक 1-आयामी पॉलीटॉप) बनाता है। इसी प्रकार, एसोसिएहेड्रोन के<sub>4</sub> इस तरह से पांच-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक [[नियमित पेंटागन]] के रूप में महसूस किया जा सकता है, जिसके शीर्ष निर्देशांक वेक्टर के [[चक्रीय क्रमपरिवर्तन]] हैं (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) जहां φ सुनहरे अनुपात को दर्शाता है . क्योंकि एक [[नियमित षट्भुज]] के भीतर संभावित त्रिभुजों में ऐसे क्षेत्र होते हैं जो एक दूसरे के पूर्णांक गुणक होते हैं, इस निर्माण का उपयोग पूर्णांक निर्देशांक (छह आयामों में) को त्रि-आयामी एसोसिएहेड्रोन के देने के लिए किया जा सकता है।<sub>5</sub>; हालांकि (के के उदाहरण के रूप में<sub>4</sub> पहले से ही दिखाता है) यह निर्माण सामान्य रूप से अपरिमेय संख्याओं को निर्देशांक के रूप में ले जाता है।
 
[[जीन लुइस लॉडे]] के कारण एक और अहसास, एन-लीफ [[ जड़ वाला बाइनरी ट्री ]] के साथ एसोसियाहेड्रोन के कोने के पत्राचार पर आधारित है, और सीधे (n − 2)-आयामी अंतरिक्ष में पूर्णांक निर्देशांक उत्पन्न करता है। लोडे की प्राप्ति का iवां निर्देशांक है a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>, जहाँ एक<sub>i</sub>पेड़ के iवें आंतरिक नोड (बाएं से दाएं क्रम में) के बाएं बच्चे के पत्ते के वंशजों की संख्या है और बी<sub>i</sub>सही बच्चे के पत्ते के वंशजों की संख्या है।<ref>{{citation
| last = Loday | first = Jean-Louis
| doi = 10.1007/s00013-004-1026-y | doi-access=free
| issue = 3
| journal = [[Archiv der Mathematik]]
| mr = 2108555
| pages = 267–278
| title = Realization of the Stasheff polytope
| volume = 83
| year = 2004| arxiv = math/0212126
}}.</ref>
एसोसियाहेड्रॉन को सीधे (n − 2)-आयामी अंतरिक्ष में एक पॉलीटॉप के रूप में महसूस करना संभव है, जिसके लिए सभी [[सामान्य (ज्यामिति)]] में निर्देशांक हैं जो 0, +1, या -1 हैं। ऐसा करने के घातीय रूप से कई संयोजी रूप से भिन्न तरीके हैं।<ref name="csz"/><ref>{{citation
  | last1 = Hohlweg | first1 = Christophe
  | last1 = Hohlweg | first1 = Christophe
  | last2 = Lange | first2 = Carsten E. M. C.
  | last2 = Lange | first2 = Carsten E. M. C.
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  | year = 2007}}.</ref>
  | year = 2007}}.</ref>


[[File:Associahedron.gif|160px|thumb|K<sub>5</sub> एक आदेश के रूप में - 4 [[त्रिकोणीय द्विपिरामिड]] काट दिया]]क्योंकि के<sub>5</sub> एक पॉलीहेड्रॉन है जिसमें केवल कोने होते हैं जिसमें 3 किनारे एक साथ आते हैं, [[हाइड्रोकार्बन]] के अस्तित्व के लिए संभव है ([[प्लेटोनिक हाइड्रोकार्बन]] के समान) जिसका रासायनिक संरचना के कंकाल द्वारा दर्शाया गया है<sub>5</sub>.<ref>[http://www.ipme.ru/e-journals/MPM/no_11312/03_melker.pdf IPME document about mini-fullerenes] - page 30 (page 9 in this PDF) shows in chapter “7. Fullerene of fourteen carbon atoms C<sub>14</sub>” under “b) Base-truncated triangular bipyramid (Fig. 16)” a ''K''<sub>5</sub> polyhedron</ref> यह "एसोसिएथेरेन" सी<sub>14</sub>H<sub>14</sub> [[SMILES]] अंकन होगा: C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78। इसके किनारे लगभग समान लंबाई के होंगे, लेकिन प्रत्येक फलक के शीर्ष आवश्यक रूप से समतलीय नहीं होंगे।
[[File:Associahedron.gif|160px|thumb|K<sub>5</sub> एक आदेश के रूप में - 4 [[त्रिकोणीय द्विपिरामिड]] काट दिया]]क्योंकि K5 एक पॉलिहेड्रन है जिसमें केवल वही शिखर संयोजक होते हैं जहां 3 किनारों की जोड़ी एक साथ होती है, इसलिए एक हाइड्रोकार्बन की मौजूदगी संभव है जिसका रासायनिक संरचना K5 की संरेखा द्वारा प्रतिष्ठित की जाती है।यह "असोसिएहेड्रेन" C14H14 का SMILES नोटेशन होगा: C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78। इसके किनारे लगभग बराबर लंबाई के होंगे, लेकिन प्रत्येक फलक के शिखर संयोजक आवश्यकतानुसार समतली नहीं होंगे।


दरअसल, के<sub>5</sub> लगभग [[निकट-मिस जॉनसन ठोस]] है: ऐसा लगता है कि वर्गों और नियमित पेंटागन से बनाना संभव हो सकता है, लेकिन ऐसा नहीं है। या तो शीर्ष समतलीय नहीं होंगे, या चेहरों को नियमितता से थोड़ा दूर विकृत करना होगा।
वास्तव में, K5 एक निकट-हिट जॉनसन ठोस है: यह ऐसा दिखता है कि इसे वर्गों और नियमित पंचभुजों से बनाना संभव हो सकता है, लेकिन यह ऐसा नहीं है। या तो शिखर संयोजक थोड़े से बाहरी समतली के पास होंगे, या फलकों को थोड़ा-सा अनियमितता के दिशा में विकृत किया जाना होगा।


== के-चेहरों की संख्या ==
== के-फलकों की संख्या ==
{| align=right
{| align=right
|
|
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  5      1  14  56  84  42        197
  5      1  14  56  84  42        197
|}
|}
क्रम n (K.) के साहचर्यफलक के (n − k)-विमीय चेहरों की संख्या<sub>''n''+1</sub>) [[त्रिकोणीय सरणी]] द्वारा दिया गया है<ref>{{Cite OEIS|1=A033282|2=Triangle read by rows: T(n, k) is the number of diagonal dissections of a convex n-gon into k+1 regions. }}</ref> (एन, के), दाईं ओर दिखाया गया है।
अनुक्रम का n (Kn+1) के असोसिएशेड्रन के (n − k) आयामी फलकों की संख्या को "गणितीय त्रिकोणी" [ (n, k) द्वारा दी जाती है, जो दाहिने ओर दिखाई जाती है।


K में शीर्षों की संख्या<sub>''n''+1</sub> n-वें [[कैटलन संख्या]] (त्रिकोण में दायां विकर्ण) है।
Kn+1 में शीर्षों की संख्या n-वें [[कैटलन संख्या|समुच्चयों की  संख्या]] त्रिकोण में दायां विकर्ण है।


कश्मीर में [[पहलू (ज्यामिति)]] की संख्या<sub>''n''+1</sub> (n≥2 के लिए) n-वां [[त्रिकोणीय संख्या]] ऋण एक (त्रिकोण में दूसरा स्तंभ) है, क्योंकि प्रत्येक पहलू n वस्तुओं के 2-उपसमूह से मेल खाता है, जिनके समूह तामरी जाली टी बनाते हैं<sub>''n''</sub>, 2-उपसमुच्चय को छोड़कर जिसमें पहला और अंतिम तत्व होता है।
Kn+1 (n≥2) में त्रिकोणीय संख्या से एक कम होकर (त्रिकोणी के दूसरे स्तंभ में) फलकों की संख्या होती है, क्योंकि प्रत्येक फलक n वस्तुओं के समूहों के रूप में तमारी जाल Tn का निर्माण करने वाले n के उपसमूह के समरूप होता है, केवल पहले और अंतिम तत्व को सम्मिलित करने वाले 2-उपसमूह को छोड़कर।।


सभी आयामों के चेहरों की संख्या (एक चेहरे के रूप में एसोसिएहेड्रोन सहित, लेकिन खाली सेट सहित नहीं) एक श्रोडर-हिप्पार्कस संख्या (त्रिभुज की पंक्ति संख्या) है।<ref>{{citation
सभी आयामों के फलकों की संख्या (सहित असोसिएशेड्रन स्वयं को भी एक फलक के रूप में, लेकिन खाली समुच्चय को सम्मिलित नहीं करते हुए) एक श्रेडर-हिपार्कस संख्या होती है।<ref>{{citation
  | last = Holtkamp | first = Ralf
  | last = Holtkamp | first = Ralf
  | arxiv = math/0407074
  | arxiv = math/0407074
Line 94: Line 80:
== व्यास ==
== व्यास ==


1980 के दशक के उत्तरार्ध में, रोटेशन दूरी की समस्या के संबंध में, [[डेनियल स्लेटर]], [[रॉबर्ट टार्जन]] और [[विलियम थर्स्टन]] ने एक प्रमाण प्रदान किया कि एन-डायमेंशनल एसोसिएहेड्रोन के व्यास<sub>''n'' + 2</sub> अपरिमित रूप से कई n और n के सभी बड़े पर्याप्त मानों के लिए अधिक से अधिक 2n − 4 है।<ref>{{citation
1980 के दशक में, घुमाव दूरी की समस्या से संबंधितता में, डेनियल स्लीटर, रॉबर्ट टार्जन, और विलियम थर्स्टन ने प्रमाणित किया कि असोसिएशेड्रन Kn + 2 का व्यास अनंत संख्या के लिए न्यूनतम 2n - 4 होता है और सभी "पर्याप्त बड़े" मानों के लिए n होता है।।<ref>{{citation
  | last1 = Sleator | first1 = Daniel | authorlink1 = Daniel Sleator
  | last1 = Sleator | first1 = Daniel | authorlink1 = Daniel Sleator
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  | last2 = Tarjan | first2 = Robert | authorlink2 = Robert Tarjan
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  | volume = 1
  | volume = 1
  | year = 1988| doi-access = free
  | year = 1988| doi-access = free
  }}.</ref> उन्होंने प्रमाणित किया कि n के लिए यह ऊपरी सीमा वही होती है जब n अधिक बड़ा होता है, और यह अनुमान लगाया गया था कि "अधिक बड़ा" का अर्थ "9 से तीव्र रूप से अधिक" होता है। यह अनुमान 2012 में लियोनेल पोर्निन द्वारा प्रमाणित किया गया।
  }}.</ref> उन्होंने प्रमाणित किया कि n के लिए यह ऊपरी सीमा वही होती है जब n अधिक बड़ा होता है, और यह अनुमान लगाया गया था कि "अधिक बड़ा" का अर्थ "9 से तीव्र रूप से अधिक" होता है। यह अनुमान 2012 में लियोनेल पोर्निन द्वारा प्रमाणित किया गया था ।






== प्रकीर्णन आयाम ==
== प्रकीर्णन आयाम ==
2017 में, मिज़ेरा और अरकानी-हमीद एट अल ने दिखाया कि द्वि-आसन्न क्यूबिक स्केलर सिद्धांत के लिए स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड के सिद्धांत में एसोसिएड्रॉन एक केंद्रीय भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, बिखरने वाले कीनेमेटीक्स के स्थान में एक एसोसिएहेड्रोन उपस्थित है, और पेड़ के स्तर के बिखरने का द्विआयामी एसोसिएहेड्रोन का आयतन है।<ref name="Arkani-Hamed et al. 2017">{{citation
2017 में, मिज़ेरा और अरकानी-हमीद एट अल ने दिखाया कि द्वि-आसन्न क्यूबिक स्केलर सिद्धांत के लिए स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड के सिद्धांत में एसोसिएड्रॉन एक केंद्रीय भूमिका निभाता है।विशेष रूप से, प्रचलित गतिकी के अंतर्गत एक असोसिएशेड्रन उपस्थित होता है, और ट्री स्तर के प्रचलित आयाम द्वितीय असोसिएशेड्रन का आयतन होता है। असोसिएशेड्रन शृंखला सिद्धांत में खुले और बंद शृंखला के प्रचलित आयाम के मध्य संबंधों की व्याख्या में भी सहायता करता है।।<ref name="Mizera 2017">{{cite journal|last1=Mizera|first1=Sebastian|title=कावई-लेवेलेन-टाई संबंधों का संयोजन और टोपोलॉजी|journal=[[Journal of High Energy Physics]]|year=2017|volume=2017|pages=97|doi=10.1007/JHEP08(2017)097|arxiv=1706.08527}}</ref>
| last1 = Arkani-Hamed | first1 = Nima
| last2 = Bai | first2 = Yuntao
| last3 = He | first3 = Song
| last4 = Yan | first4 = Gongwang
| arxiv = 1711.09102
| journal = [[Journal of High Energy Physics]]
| volume = 2018
| pages = 96
| title = Scattering Forms and the Positive Geometry of Kinematics, Color and the Worldsheet
| year = 2018| doi = 10.1007/JHEP05(2018)096}}.</ref>[[ स्ट्रिंग सिद्धांत |शृंखला सिद्धांत]] में खुले और बंद शृंखला के बिखरने वाले आयामों के बीच संबंधों को समझाने में एसोसिएड्रॉन भी सहायता करता है।<ref name="Mizera 2017">{{cite journal|last1=Mizera|first1=Sebastian|title=कावई-लेवेलेन-टाई संबंधों का संयोजन और टोपोलॉजी|journal=[[Journal of High Energy Physics]]|year=2017|volume=2017|pages=97|doi=10.1007/JHEP08(2017)097|arxiv=1706.08527}}</ref>


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[साइक्लोहेड्रॉन]], एक पॉलीटॉप जिसकी परिभाषा कोष्ठकों को [[चक्रीय क्रम]] में चारों ओर लपेटने की अनुमति देती है।
* [[साइक्लोहेड्रॉन]], एक पॉलीटॉप जिसकी परिभाषा कोष्ठकों को [[चक्रीय क्रम]] में चारों ओर लपेटने की अनुमति देती है।
* [[फ्लिप ग्राफ]], [[एन-कंकाल]] का एक सामान्यीकरण | एसोसिएहेड्रोन का 1-कंकाल।
* [[फ्लिप ग्राफ]], [[एन-कंकाल]] का एक सामान्यीकरण एसोसिएहेड्रोन का 1-कंकाल।
* [[Permutohedron]], एक पॉलीटॉप जिसे [[ क्रमविनिमेयता ]] से उसी तरह से परिभाषित किया जाता है जैसे कि एसोसिएटिविटी से एसोसिएशनहेड्रोन की परिभाषा।
* पैरामुटोहेड्रोन,एक कोष्ठक जिसे [[ क्रमविनिमेयता |क्रमविनिमेयता]] से उसी तरह से परिभाषित किया जाता है जैसे कि एसोसिएटिविटी से एसोसिएशनहेड्रोन की परिभाषा द्वारा ।
* [[परमुटोएसोसियाहेड्रोन]], एक पॉलीटॉप जिसके शीर्ष कोष्ठक क्रमपरिवर्तन हैं।
* [[परमुटोएसोसियाहेड्रोन]], एक कोष्ठक जिसके शीर्ष कोष्ठक क्रमपरिवर्तन हैं।
* तामरी जाली, एक जाली (क्रम) जिसका ग्राफ एसोसिएहेड्रोन का कंकाल है।
* तामरी जाली, एक जाली (क्रम) जिसका ग्राफ एसोसिएहेड्रोन का कंकाल है।


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*[https://www.ams.org/featurecolumn/archive/associahedra.html Strange Associations] - AMS column about Associahedra
*[https://www.ams.org/featurecolumn/archive/associahedra.html Strange Associations] - AMS column about Associahedra
*[http://gilkalai.wordpress.com/2009/02/28/ziegler%c2%b4s-lecture-on-the-associahedron/ Ziegler's Lecture on the Associahedron]. Notes from a lecture by [[Günter Ziegler]] at the [[Autonomous University of Barcelona]], 2009.
*[http://gilkalai.wordpress.com/2009/02/28/ziegler%c2%b4s-lecture-on-the-associahedron/ Ziegler's Lecture on the Associahedron]. Notes from a lecture by [[Günter Ziegler]] at the [[Autonomous University of Barcelona]], 2009.
*[https://web.archive.org/web/20121229115453/http://www.msri.org/web/msri/scientific/workshops/show Lecture on Associahedra and Cyclohedra]. MSRI lecture notes.[[Category: पॉलीटोप्स]]
*[https://web.archive.org/web/20121229115453/http://www.msri.org/web/msri/scientific/workshops/show Lecture on Associahedra and Cyclohedra]. MSRI lecture notes.
 
 


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Latest revision as of 17:06, 12 June 2023

असोसिएहेड्रोन K5 (सामने)
असोसिएहेड्रोन K5 (पीछे)
K5 तामरी जाली का हस आरेख है T4.
के 9 फलक K5
उपरोक्त हस्से आरेख में प्रत्येक शीर्ष में 3 निकटस्थ फलकों के अंडाकार हैं। फलक जिनके अंडाकार प्रतिच्छेदन नहीं करते हैं।

गणित में, एक एसोसिएहेड्रॉन Kn एक (n - 2)-आयामी उत्तल बहुशीर्ष होते है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष n अक्षरों की एक शृंखला में सही ढंग से खोलने और बंद करने वाले कोष्ठकों को सम्मिलित करने के नियमों के समान होते है,और किनारे साहचर्य नियम के एकल आवेदन के अनुरूप होते हैं। एक असोसिएहेड्रन के शीर्ष पर्यायत्रिकों के समरूप नियमित बहुभुज के (n + 1) सिरों के त्रिकोणीकरण को संबोधित करते हैं, तथा सिरा उन ढालों को संबोधित करते हैं जिनमें एक एकल सिरा त्रिकोणीकरण से हटाया जाता है और उसे एक विभिन्न सिरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।[1] जिम स्टाशेफ के कार्य के बाद एसोसियाहेड्रा को स्टैशेफ बहुतलीय भी कहा जाता है, जिन्होंने 1960 के दशक की प्रारंभ में उन्हें पुनः खोजा था। तथा उनसे पहले, दोव तमारी ने उन पर कार्य किया था।


उदाहरण

एक आयामी असोसिएहेड्रन K₃ तीन चिह्नों की ((xy)z) और (x(yz)) दो कोष्ठक या वर्ग के दो त्रिकोणीकरणों को प्रतिष्ठित करता है। यह अपने आप में एक रेखाखंड है।

द्वि-आयामी एसोसिएहेड्रोन K4 चार प्रतीकों के पाँच कोष्ठकों का प्रतिनिधित्व करता है, यह स्वयं एक पंचभुज है और एकपद श्रेणी के पंचभुज आरेख से संबंधित होता है।

त्रिआयामी असोसिएहेड्रन K₅ एक नौ-आयामी बहुभुज है जिसमें नौ चेहरे होते हैं (तीन अलग-अलग चतुर्भुज और छह पंचभुज) और चौदह शीर्ष होते हैं,और इसका द्विपरावर्तक त्रिकोणीय नामक संक्षेत्र होता है।

बोध

प्रारंभ में जिम स्टाशेफ ने इन वस्तुओं को कर्विलिनियर बहुतलीय के रूप में माना। इसके बाद, उन्हें कई अलग-अलग विधियों से उत्तल बहुतलीय के रूप में निर्देशांक दिए गए; एक सर्वेक्षण के लिए सेबलोस, सैंटोस और ज़िग्लर (2015) का परिचय देखें। असोसिएशेड्रन को एक त्रिकोण या नियमित बहुभुज का द्वितीयक बहुतलीय रूप में प्रतिष्ठित किया जा सकता है।[2]इस निर्माण में, n + 1 भुजों वाले नियमित बहुभुज की प्रत्येक त्रिकोणीकरण (n + 1)-आयामी यूक्लिडीयन स्थान में एक बिंदु के समान होता है, जिसका i-वाला संयोजक बिंदु से संबंधित त्रिकोणों का कुल क्षेत्रफल होता है। उदाहरण के रूप में, यूनिट वर्गाकार के दो त्रिकोणीकरण इस तरीके से उत्पन्न करते हैं, जिनके संयोजक (1, 1/2, 1, 1/2) और (1/2, 1, 1/2, 1) होते हैं। . इन दो बिंदुओं का उत्तल हल एसोसिएहेड्रोन K₃ की प्राप्ति है. यद्यपि यह 4-आयामी स्थान में रहता है, यह उस स्थान के भीतर एक रेखा खंड बनाता है। इसी तरह, असोसिएशेड्रन K4 को यहां एक नियमित पंचभुज के रूप में पांच-आयामी यूक्लिडीयन अंतरिक्ष में प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जिसके शिखर संयोजक (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) के चक्रीय प्रतिवर्तन हैं, जहां φ स्वर्णिम अनुपात को दर्शाता है। . नियमित षट्कोण के भीतर संभावित त्रिकोणों के क्षेत्रफल एक-दूसरे के पूर्णांक गुणक होते हैं, इसलिए इस निर्माण का उपयोग करके त्रिआयामी असोसिएशेड्रन K5 को पूर्णांक संयोजक छः आयामों में दिए जा सकते हैं। यद्यपि यह निर्माण असंख्यातांकों को संयोजक के रूप में उत्पन्न करता है।।[2][3]

K5 एक आदेश के रूप में - 4 त्रिकोणीय द्विपिरामिड काट दिया

क्योंकि K5 एक पॉलिहेड्रन है जिसमें केवल वही शिखर संयोजक होते हैं जहां 3 किनारों की जोड़ी एक साथ होती है, इसलिए एक हाइड्रोकार्बन की मौजूदगी संभव है जिसका रासायनिक संरचना K5 की संरेखा द्वारा प्रतिष्ठित की जाती है।यह "असोसिएहेड्रेन" C14H14 का SMILES नोटेशन होगा: C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78। इसके किनारे लगभग बराबर लंबाई के होंगे, लेकिन प्रत्येक फलक के शिखर संयोजक आवश्यकतानुसार समतली नहीं होंगे।

वास्तव में, K5 एक निकट-हिट जॉनसन ठोस है: यह ऐसा दिखता है कि इसे वर्गों और नियमित पंचभुजों से बनाना संभव हो सकता है, लेकिन यह ऐसा नहीं है। या तो शिखर संयोजक थोड़े से बाहरी समतली के पास होंगे, या फलकों को थोड़ा-सा अनियमितता के दिशा में विकृत किया जाना होगा।

के-फलकों की संख्या

   k = 1    2    3    4    5
n
1      1                               1
2      1    2                          3
3      1    5    5                    11
4      1    9   21   14               45
5      1   14   56   84   42         197

अनुक्रम का n (Kn+1) के असोसिएशेड्रन के (n − k) आयामी फलकों की संख्या को "गणितीय त्रिकोणी" [ (n, k) द्वारा दी जाती है, जो दाहिने ओर दिखाई जाती है।

Kn+1 में शीर्षों की संख्या n-वें समुच्चयों की संख्या त्रिकोण में दायां विकर्ण है।

Kn+1 (n≥2) में त्रिकोणीय संख्या से एक कम होकर (त्रिकोणी के दूसरे स्तंभ में) फलकों की संख्या होती है, क्योंकि प्रत्येक फलक n वस्तुओं के समूहों के रूप में तमारी जाल Tn का निर्माण करने वाले n के उपसमूह के समरूप होता है, केवल पहले और अंतिम तत्व को सम्मिलित करने वाले 2-उपसमूह को छोड़कर।।

सभी आयामों के फलकों की संख्या (सहित असोसिएशेड्रन स्वयं को भी एक फलक के रूप में, लेकिन खाली समुच्चय को सम्मिलित नहीं करते हुए) एक श्रेडर-हिपार्कस संख्या होती है।[4]


व्यास

1980 के दशक में, घुमाव दूरी की समस्या से संबंधितता में, डेनियल स्लीटर, रॉबर्ट टार्जन, और विलियम थर्स्टन ने प्रमाणित किया कि असोसिएशेड्रन Kn + 2 का व्यास अनंत संख्या के लिए न्यूनतम 2n - 4 होता है और सभी "पर्याप्त बड़े" मानों के लिए n होता है।।[5] उन्होंने प्रमाणित किया कि n के लिए यह ऊपरी सीमा वही होती है जब n अधिक बड़ा होता है, और यह अनुमान लगाया गया था कि "अधिक बड़ा" का अर्थ "9 से तीव्र रूप से अधिक" होता है। यह अनुमान 2012 में लियोनेल पोर्निन द्वारा प्रमाणित किया गया था ।


प्रकीर्णन आयाम

2017 में, मिज़ेरा और अरकानी-हमीद एट अल ने दिखाया कि द्वि-आसन्न क्यूबिक स्केलर सिद्धांत के लिए स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड के सिद्धांत में एसोसिएड्रॉन एक केंद्रीय भूमिका निभाता है।विशेष रूप से, प्रचलित गतिकी के अंतर्गत एक असोसिएशेड्रन उपस्थित होता है, और ट्री स्तर के प्रचलित आयाम द्वितीय असोसिएशेड्रन का आयतन होता है। असोसिएशेड्रन शृंखला सिद्धांत में खुले और बंद शृंखला के प्रचलित आयाम के मध्य संबंधों की व्याख्या में भी सहायता करता है।।[6]

यह भी देखें

  • साइक्लोहेड्रॉन, एक पॉलीटॉप जिसकी परिभाषा कोष्ठकों को चक्रीय क्रम में चारों ओर लपेटने की अनुमति देती है।
  • फ्लिप ग्राफ, एन-कंकाल का एक सामान्यीकरण एसोसिएहेड्रोन का 1-कंकाल।
  • पैरामुटोहेड्रोन,एक कोष्ठक जिसे क्रमविनिमेयता से उसी तरह से परिभाषित किया जाता है जैसे कि एसोसिएटिविटी से एसोसिएशनहेड्रोन की परिभाषा द्वारा ।
  • परमुटोएसोसियाहेड्रोन, एक कोष्ठक जिसके शीर्ष कोष्ठक क्रमपरिवर्तन हैं।
  • तामरी जाली, एक जाली (क्रम) जिसका ग्राफ एसोसिएहेड्रोन का कंकाल है।

संदर्भ

  1. ↑ Tamari, Dov (1951), Monoïdes préordonnés et chaînes de Malcev, Thèse, Université de Paris, MR 0051833.
  2. ↑ 2.0 2.1 Ceballos, Cesar; Santos, Francisco; Ziegler, Günter M. (2015), "Many non-equivalent realizations of the associahedron", Combinatorica, 35 (5): 513–551, arXiv:1109.5544, doi:10.1007/s00493-014-2959-9.
  3. ↑ Hohlweg, Christophe; Lange, Carsten E. M. C. (2007), "Realizations of the associahedron and cyclohedron", Discrete & Computational Geometry, 37 (4): 517–543, arXiv:math.CO/0510614, doi:10.1007/s00454-007-1319-6, MR 2321739.
  4. ↑ Holtkamp, Ralf (2006), "On Hopf algebra structures over free operads", Advances in Mathematics, 207 (2): 544–565, arXiv:math/0407074, doi:10.1016/j.aim.2005.12.004, MR 2271016.
  5. ↑ Sleator, Daniel; Tarjan, Robert; Thurston, William (1988), "Rotation distance, triangulations, and hyperbolic geometry", Journal of the American Mathematical Society, 1 (3): 647–681, doi:10.1090/S0894-0347-1988-0928904-4, MR 0928904.
  6. ↑ Mizera, Sebastian (2017). "कावई-लेवेलेन-टाई संबंधों का संयोजन और टोपोलॉजी". Journal of High Energy Physics. 2017: 97. arXiv:1706.08527. doi:10.1007/JHEP08(2017)097.


बाहरी संबंध

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