उत्पाद माप: Difference between revisions

Latest revision as of 08:56, 13 June 2023

गणित में, दो मापने योग्य रिक्त स्थान और उन पर माप दिए जाने पर, कोई उत्पाद मापने योग्य स्थान और उस स्थान पर उत्पाद माप प्राप्त कर सकता है। संकल्पनात्मक रूप से, यह समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद और दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के उत्पाद टोपोलॉजी को परिभाषित करने के समान होता है, अतिरिक्त इसके कि उत्पाद माप के लिए कई प्राकृतिक विकल्प हो सकते है।

मान लेते है $(X_{1},\Sigma _{1})$ और $(X_{2},\Sigma _{2})$ दो मापने योग्य स्थान है, अर्थात, $\Sigma _{1}$ और $\Sigma _{2}$ सिग्मा बीजगणित प्रारंभ है $X_{1}$ और $X_{2}$ क्रमशः, और $\mu _{1}$ और $\mu _{2}$ इन स्थानों पर उपाय करता है। इनके द्वारा निरूपित करता है $\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}$ कार्टेशियन उत्पाद पर सिग्मा बीजगणित $X_{1}\times X_{2}$ प्रपत्र के सबसमुच्चय द्वारा उत्पन्न है $B_{1}\times B_{2}$ , जहाँ $B_{1}\in \Sigma _{1}$ और $B_{2}\in \Sigma _{2}.$ इस सिग्मा बीजगणित को उत्पाद स्थान पर टेंसर-उत्पाद σ-बीजगणित कहा जाता है।

एक उत्पाद उपाय $\mu _{1}\times \mu _{2}$ (द्वारा भी दर्शाया गया है $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ कई लेखकों द्वारा) मापने योग्य स्थान पर एक उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है $(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})$ संपत्ति को संतुष्ट करता है

(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})

सभी के लिए

B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}

.

गुणन के उपायों में, जिनमें से कुछ अनंत होते है, हम उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करते है यदि कोई कारक शून्य होता है।

वास्तव में, जब रिक्त स्थान होते है $\sigma$ -परिमित, उत्पाद माप विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है, और प्रत्येक मापने योग्य समुच्चय E के लिए,

(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),

जहाँ $E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}$ और $E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}$ , जो दोनों मापने योग्य समुच्चय होते है।

इस उपाय के अस्तित्व की गारंटी हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय द्वारा दी गई है। उत्पाद माप की विशिष्टता की गारंटी केवल तभी दी जाती है जब दोनों $(X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})$ और $(X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})$ σ-परिमित होते है।

यूक्लिडियन स्थान Rⁿ पर बोरेल मापता है वास्तविक रेखा 'R' पर बोरेल उपायों की n प्रतियों के उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जाता है।

यदि उत्पाद स्थान के दो कारक पूर्ण माप होते है, तो उसका उत्पाद स्थान नहीं हो सकता है। परिणाम स्वरूप, बोरेल माप को लेबेसेग माप में विस्तारित करने के लिए, या उत्पाद स्थान पर लेबेसेग माप देने के लिए दो लेबेसेग उपायों के उत्पाद का विस्तार करने के लिए पूर्णता प्रक्रिया की आवश्यकता होती है।

दो उपायों के उत्पाद के गठन के विपरीत निर्माण विघटन प्रमेय होते है, जो कुछ अर्थों में उपायों के निकट में दिए गए माप को विभाजित करता है जिसे मूल माप देने के लिए एकीकृत किया जाता है।

उदाहरण

दो माप स्थानों को देखते हुए, हमेशा एक अद्वितीय अधिकतम उत्पाद माप μ_max होता है उनके उत्पाद पर, इस संपत्ति के साथ यदि μ_max(A) कुछ मापने योग्य समुच्चय A के लिए परिमित होता है, फिर μ_max(A) = μ (A) किसी भी उत्पाद उपाय μ के लिए होता है। विशेष रूप से किसी भी मापने योग्य समुच्चय पर इसका मूल्य कम से कम किसी अन्य उत्पाद माप का होता है। यह कैराथियोडोरी विस्तार प्रमेय द्वारा निर्मित माप होता है।
कभी-कभी μ_min, given by μ_min(S) = supA⊂S, μ_max(A) परिमित μ_max(A) द्वारा दिया गया एक अद्वितीय न्यूनतम उत्पाद माप भी होता है, जहां A और S को मापने योग्य माना जाता है।
यहां एक उदाहरण दिया गया है जहां एक उत्पाद के एक से अधिक उत्पाद माप होते है गुणनफल X×Y लिया जाता है, जहां X लेबेस्गु माप के साथ इकाई अंतराल होता है, और Y गणना माप के साथ इकाई अंतराल होता है और सभी समुच्चय मापने योग्य होते है। तब न्यूनतम उत्पाद माप के लिए एक समुच्चय का माप उसके क्षैतिज वर्गों के उपायों का योग होता है, जबकि अधिकतम उत्पाद माप के लिए एक समुच्चय में माप अनंत होता है जब तक कि यह प्रपत्र A के समुच्चयों की एक गणनीय संख्या के मिलन में निहित नही होता है। जहां या तो A के पास लेबेस्ग का माप 0 होता है या B एक बिंदु होती है। इस स्थिति में माप परिमित या अनंत हो सकती है। विशेष रूप से, न्यूनतम उत्पाद माप के लिए विकर्ण का माप 0 होता है और अधिकतम उत्पाद माप के लिए माप अनंत होती है।

यह भी देखें

फ़ुबिनी की प्रमेय

संदर्भ

Loève, Michel (1977). "8.2. Product measures and iterated integrals". Probability Theory vol. I (4th ed.). Springer. pp. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
Halmos, Paul (1974). "35. Product measures". Measure theory. Springer. pp. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.

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-गणित में, दो मापने योग्य रिक्त स्थान और उन पर माप दिए जाने पर, कोई उत्पाद [[मापने योग्य स्थान]] और उस स्थान पर '''उत्पाद माप''' प्राप्त कर सकता है। संकल्पनात्मक रूप से, यह [[सेट (गणित)|सेट]] के कार्टेशियन उत्पाद और दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के [[उत्पाद टोपोलॉजी]] को परिभाषित करने के समान होता है, अतिरिक्त इसके कि उत्पाद माप के लिए कई प्राकृतिक विकल्प हो सकते है।
+गणित में, दो मापने योग्य रिक्त स्थान और उन पर माप दिए जाने पर, कोई उत्पाद [[मापने योग्य स्थान]] और उस स्थान पर '''उत्पाद माप''' प्राप्त कर सकता है। संकल्पनात्मक रूप से, यह [[सेट (गणित)|समुच्चय]] के कार्टेशियन उत्पाद और दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के [[उत्पाद टोपोलॉजी]] को परिभाषित करने के समान होता है, अतिरिक्त इसके कि उत्पाद माप के लिए कई प्राकृतिक विकल्प हो सकते है।
-होने देना <math>(X_1, \Sigma_1)</math> और <math>(X_2, \Sigma_2)</math> दो मापने योग्य स्थान हों, अर्थात, <math>\Sigma_1</math> और <math>\Sigma_2</math> [[सिग्मा बीजगणित]] चालू है <math>X_1</math> और <math>X_2</math> क्रमशः, और चलो <math>\mu_1</math> और <math>\mu_2</math> इन स्थानों पर उपाय करें। द्वारा निरूपित करें <math>\Sigma_1 \otimes \Sigma_2</math> कार्टेशियन उत्पाद पर सिग्मा बीजगणित <math>X_1 \times X_2</math> प्रपत्र के [[सबसेट]] द्वारा उत्पन्न <math>B_1 \times B_2</math>, कहाँ <math>B_1 \in \Sigma_1</math> और <math>B_2 \in \Sigma_2.</math> इस सिग्मा बीजगणित को उत्पाद स्थान पर टेंसर-उत्पाद σ-बीजगणित कहा जाता है।
+मान लेते है <math>(X_1, \Sigma_1)</math> और <math>(X_2, \Sigma_2)</math> दो मापने योग्य स्थान है, अर्थात, <math>\Sigma_1</math> और <math>\Sigma_2</math> [[सिग्मा बीजगणित]] प्रारंभ है <math>X_1</math> और <math>X_2</math> क्रमशः, और  <math>\mu_1</math> और <math>\mu_2</math> इन स्थानों पर उपाय करता है। इनके द्वारा निरूपित करता है <math>\Sigma_1 \otimes \Sigma_2</math> कार्टेशियन उत्पाद पर सिग्मा बीजगणित <math>X_1 \times X_2</math> प्रपत्र के [[सबसेट|सबसमुच्चय]] द्वारा उत्पन्न है <math>B_1 \times B_2</math>, जहाँ <math>B_1 \in \Sigma_1</math> और <math>B_2 \in \Sigma_2.</math> इस सिग्मा बीजगणित को उत्पाद स्थान पर टेंसर-उत्पाद σ-बीजगणित कहा जाता है।
-एक उत्पाद उपाय <math>\mu_1 \times \mu_2</math> (द्वारा भी दर्शाया गया है <math>\mu_1 \otimes \mu_2</math> कई लेखकों द्वारा)
+एक उत्पाद उपाय <math>\mu_1 \times \mu_2</math> (द्वारा भी दर्शाया गया है <math>\mu_1 \otimes \mu_2</math> कई लेखकों द्वारा) मापने योग्य स्थान पर एक उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \otimes \Sigma_2)</math> संपत्ति को संतुष्ट करता है
-मापने योग्य स्थान पर एक उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \otimes \Sigma_2)</math> संपत्ति को संतुष्ट करना
 :<math> (\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)</math>
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 :<math> B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2 </math>.
-(गुणन के उपायों में, जिनमें से कुछ अनंत है, हम उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करते है यदि कोई कारक शून्य है।)
+गुणन के उपायों में, जिनमें से कुछ अनंत होते है, हम उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करते है यदि कोई कारक शून्य होता है।
-वास्तव में, जब रिक्त स्थान होते है <math>\sigma</math>-परिमित, उत्पाद माप विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, और प्रत्येक मापने योग्य सेट ई के लिए,
+वास्तव में, जब रिक्त स्थान होते है <math>\sigma</math>-परिमित, उत्पाद माप विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है, और प्रत्येक मापने योग्य समुच्चय E के लिए,
 :<math>(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\,d\mu_2(y) = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,d\mu_1(x),</math>
-कहाँ <math>E_x = \{y \in X_2 | (x, y) \in E\}</math> और <math>E^y = \{x \in X_1 | (x, y) \in E\}</math>, जो दोनों मापने योग्य सेट है।
+जहाँ <math>E_x = \{y \in X_2 | (x, y) \in E\}</math> और <math>E^y = \{x \in X_1 | (x, y) \in E\}</math>, जो दोनों मापने योग्य समुच्चय होते है।
-इस उपाय के अस्तित्व की गारंटी हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय द्वारा दी गई है। उत्पाद माप की विशिष्टता की गारंटी केवल तभी दी जाती है जब दोनों <math>(X_1, \Sigma_1, \mu_1)</math> और <math>(X_2, \Sigma_2, \mu_2)</math> σ-परिमित है।
+इस उपाय के अस्तित्व की गारंटी हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय द्वारा दी गई है। उत्पाद माप की विशिष्टता की गारंटी केवल तभी दी जाती है जब दोनों <math>(X_1, \Sigma_1, \mu_1)</math> और <math>(X_2, \Sigma_2, \mu_2)</math> σ-परिमित होते है।
-[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] आर पर बोरेल मापता है<sup>n</sup> [[वास्तविक रेखा]] 'R' पर बोरेल उपायों की n प्रतियों के उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।
+[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]] R<sup>n</sup> पर बोरेल मापता है [[वास्तविक रेखा]] 'R' पर बोरेल उपायों की n प्रतियों के उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जाता है।
-भले ही उत्पाद स्थान के दो कारक पूर्ण माप हों, उत्पाद स्थान नहीं हो सकता है। नतीजतन, बोरेल माप को लेबेसेग माप में विस्तारित करने के लिए, या उत्पाद स्थान पर लेबेसेग माप देने के लिए दो लेबेसेग उपायों के उत्पाद का विस्तार करने के लिए पूर्णता प्रक्रिया की आवश्यकता है।
+यदि उत्पाद स्थान के दो कारक पूर्ण माप होते है, तो उसका उत्पाद स्थान नहीं हो सकता है। परिणाम स्वरूप, बोरेल माप को लेबेसेग माप में विस्तारित करने के लिए, या उत्पाद स्थान पर लेबेसेग माप देने के लिए दो लेबेसेग उपायों के उत्पाद का विस्तार करने के लिए पूर्णता प्रक्रिया की आवश्यकता होती है।
-दो उपायों के उत्पाद के गठन के विपरीत निर्माण [[विघटन प्रमेय]] है, जो कुछ अर्थों में उपायों के एक परिवार में दिए गए माप को विभाजित करता है जिसे मूल माप देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है।
+दो उपायों के उत्पाद के गठन के विपरीत निर्माण [[विघटन प्रमेय]] होते है, जो कुछ अर्थों में उपायों के निकट में दिए गए माप को विभाजित करता है जिसे मूल माप देने के लिए एकीकृत किया जाता है।
 == उदाहरण ==
-*दो माप स्थानों को देखते हुए, हमेशा एक अद्वितीय अधिकतम उत्पाद माप μ होता है<sub>max</sub> उनके उत्पाद पर, इस संपत्ति के साथ कि यदि μ<sub>max</sub>(ए) कुछ मापने योग्य सेट ए के लिए परिमित है, फिर μ<sub>max</sub>(ए) = μ (ए) किसी भी उत्पाद उपाय μ के लिए। विशेष रूप से किसी भी मापने योग्य सेट पर इसका मूल्य कम से कम किसी अन्य उत्पाद माप का होता है। यह कैराथियोडोरी विस्तार प्रमेय द्वारा निर्मित माप है।
+*दो माप स्थानों को देखते हुए, हमेशा एक अद्वितीय अधिकतम उत्पाद माप μ<sub>max</sub> होता है उनके उत्पाद पर, इस संपत्ति के साथ यदि μ<sub>max</sub>(A) कुछ मापने योग्य समुच्चय A के लिए परिमित होता है, फिर μ<sub>max</sub>(A) = μ (A) किसी भी उत्पाद उपाय μ के लिए होता है। विशेष रूप से किसी भी मापने योग्य समुच्चय पर इसका मूल्य कम से कम किसी अन्य उत्पाद माप का होता है। यह कैराथियोडोरी विस्तार प्रमेय द्वारा निर्मित माप होता है।
-* कभी-कभी एक अद्वितीय न्यूनतम उत्पाद उपाय μ भी होता है<sub>min</sub>, μ द्वारा दिया गया<sub>min</sub>(स) = सुपर<sub>''A''&sub;''S'', μ<sub>max</sub>(ए) परिमित </उप> एम उप>अधिकतम</उप>(ए), जहां ए और एस को मापने योग्य माना जाता है।
+*कभी-कभी μ<sub>min</sub>, given by μ<sub>min</sub>(''S'') = sup''A''⊂''S'', μ<sub>max</sub>(''A'') परिमित μ<sub>max</sub>(''A'') द्वारा दिया गया एक अद्वितीय न्यूनतम उत्पाद माप  भी होता है, जहां A और S को मापने योग्य माना जाता है।
-*यहां एक उदाहरण दिया गया है जहां एक उत्पाद के एक से अधिक उत्पाद माप है. गुणनफल X×Y लें, जहां X लेबेस्गु माप के साथ इकाई अंतराल है, और Y गणना माप के साथ इकाई अंतराल है और सभी सेट मापने योग्य है। तब न्यूनतम उत्पाद माप के लिए एक सेट का माप उसके क्षैतिज वर्गों के उपायों का योग होता है, जबकि अधिकतम उत्पाद माप के लिए एक सेट में माप अनंत होता है जब तक कि यह प्रपत्र ए के सेटों की एक गणनीय संख्या के मिलन में निहित न हो। ×B, जहां या तो A के पास Lebesgue का माप 0 है या B एक बिंदु है। (इस मामले में माप परिमित या अनंत हो सकता है।) विशेष रूप से, न्यूनतम उत्पाद माप के लिए विकर्ण का माप 0 होता है और अधिकतम उत्पाद माप के लिए माप अनंत होता है।
+*यहां एक उदाहरण दिया गया है जहां एक उत्पाद के एक से अधिक उत्पाद माप होते है गुणनफल X×Y लिया जाता है, जहां X लेबेस्गु माप के साथ इकाई अंतराल होता है, और Y गणना माप के साथ इकाई अंतराल होता है और सभी समुच्चय मापने योग्य होते है। तब न्यूनतम उत्पाद माप के लिए एक समुच्चय का माप उसके क्षैतिज वर्गों के उपायों का योग होता है, जबकि अधिकतम उत्पाद माप के लिए एक समुच्चय में माप अनंत होता है जब तक कि यह प्रपत्र A के समुच्चयों की एक गणनीय संख्या के मिलन में निहित नही होता है। जहां या तो A के पास लेबेस्ग का माप 0 होता है या B एक बिंदु होती है। इस स्थिति में माप परिमित या अनंत हो सकती है। विशेष रूप से, न्यूनतम उत्पाद माप के लिए विकर्ण का माप 0 होता है और अधिकतम उत्पाद माप के लिए माप अनंत होती है।
 == यह भी देखें ==
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 * {{cite book |last=Halmos |first=Paul |authorlink=Paul Halmos |title=Measure theory |publisher=Springer |year=1974 |isbn=0-387-90088-8 |chapter=35. Product measures |pages=[https://archive.org/details/measuretheory00halm/page/143 143&ndash;145] |ref=loe1978 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/measuretheory00halm/page/143 }}
-{{PlanetMath attribution|id=952|title=Product measure}}
-{{Measure theory}}
-[[Category: उपाय (माप सिद्धांत)]] [[Category: समाकलन गणित]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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