द्विकेंद्रित चतुर्भुज: Difference between revisions

Latest revision as of 09:31, 13 June 2023

द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और EFGH के लिए पोंसलेट का छिद्र

यूक्लिडियन ज्यामिति में, द्विकेंद्रित चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज होता है जिसमें एक अंतर्वृत्त और एक परिवृत्त दोनों होते है। इन वृत्तों की त्रिज्या और केंद्र को क्रमशः अंतः त्रिज्या और परित्रिज्या कहा जाता है, और अंतः केंद्र और परिधि कहा जाता है। परिभाषा से यह पता चलता है कि द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज और चक्रीय चतुर्भुज दोनों के सभी गुण होते है। इन चतुर्भुजों के अन्य नाम जीवा-स्पर्शरेखा चतुर्भुज^[1] और परिबद्ध चतुर्भुज होते है। इसे संभवतः ही कभी दोहरा वृत्त चतुर्भुज^[2] और द्विलेखित चतुर्भुज कहा जाता है।^[3]

यदि दो वृत्त, एक दूसरे के भीतर, एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का अंतः वृत्त और परिवृत्त होते है, तो परिवृत्त पर प्रत्येक बिंदु एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के शीर्ष होते है जिसमें एक ही अंतः वृत्त और परिवृत्त होता है।^[4] यह पोंसेलेट के छिद्र की एक विशेष स्थिति होती है, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन-विक्टर पोंसेलेट (1788-1867) द्वारा सिद्ध किया गया था।

विशेष स्थितियां

एक सही पतंग

द्विकेंद्रित चतुर्भुज के उदाहरण वर्ग, सही और समद्विबाहु स्पर्शरेखा ट्रेपेज़ोइड होते है।

चरित्र चित्रण

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और इसका संपर्क चतुर्भुज WXYZ

भुजाओं a, b, c, d वाला एक उत्तल चतुर्भुज ABCD द्विकेंद्रित होता है यदि और केवल विपरीत भुजाएं स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के लिए प्रमेय और चक्रीय चतुर्भुज गुण को संतुष्ट करती है कि विपरीत कोण पूरक कोण है, वह है,

{\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}

तीन अन्य लक्षण उन बिंदुओं से संबंधित होते है जहां एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतः वृत्त पक्षों के लिए स्पर्शरेखा होती है। यदि अंतर्वृत्त क्रमश: W, X, Y, Z पर AB, BC, CD, DA की भुजाओं को स्पर्श करता है, तो एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल निम्नलिखित तीन शर्तों में से कोई एक होता है:^[5]

WY, XZ के लंबवत होता है
${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

इन तीनों में से पहले का अर्थ होता है कि संपर्क चतुर्भुज WXYZ एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज होता है।

यदि E, F, G, H क्रमशः WX, XY, YZ, ZW के मध्य बिंदु है, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल चतुर्भुज EFGH एक आयत है।^[5]

एक अन्य विशेषता के अनुसार, यदि मैं एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःकेंद्र है जहां विपरीत पक्षों के विस्तार J और K पर प्रतिच्छेद करते है, तो चतुर्भुज भी चक्रीय होता है यदि और केवल JIK एक समकोण होता है।^[5]

फिर भी एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह होती है कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD चक्रीय होता है यदि और केवल इसकी न्यूटन रेखा इसके संपर्क चतुर्भुज WXYZ की न्यूटन रेखा के लंबवत होती है। (चतुर्भुज की न्यूटन रेखा उसके विकर्णों के मध्यबिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा होती है।)^[5]

निर्माण

संपर्क चतुर्भुज WXYZ के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD। एनिमेशन यहाँ देखें

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के निर्माण की एक सरल विधि होती है:

यह केंद्र के चारों ओर त्रिज्या r के साथ अंतः वृत्त C_r से प्रारंभ होता है और फिर अंतः वृत्त C_r में दो लंबवत जीवाओं WY और XZ को खींचता है। जीवाओं के अंतबिंदुओं पर अंतः वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ a, b, c, d को खीचते है। ये चार बिंदुओं A, B, C, D पर प्रतिच्छेद करते है, जो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के शीर्ष होते है।^[6] परिवृत्त बनाने के लिए, क्रमशः द्विकेंद्रित चतुर्भुज a की भुजाओं पर दो लम्ब समद्विभाजक p₁, p₂ खिचते है। लंब समद्विभाजक p₁, p₂ परिवृत्त C_R के केंद्र O में प्रतिच्छेद करते है और अंतः वृत्त Cr के केंद्र की दूरी x होती है। परिवृत्त को केंद्र O के चारों ओर खींचा जा सकता है।

इस निर्माण की वैधता इस विशेषता के कारण होती है कि, एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज एबीसीडी में, संपर्क चतुर्भुज WXYZ में लंबवत विकर्ण होते है यदि और केवल अगर स्पर्शरेखा चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज है।

क्षेत्र

चार मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के क्षेत्रफल K को चतुर्भुज की चार मात्राओं के रूप में कई अलग-अलग विधियों से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भुजाएँ a, b, c, d है, तो क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]: $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$ इसे स्पर्शरेखा चतुर्भुज क्षेत्रफल के क्षेत्र के लिए सीधे त्रिकोणमितीय सूत्र से भी प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इसका विलोम सही नहीं होता है: कुछ चतुर्भुज जो द्विकेंद्रित नहीं होते है उनका भी क्षेत्रफल होता है $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$ ^[12] ऐसे चतुर्भुज का एक उदाहरण एक गैर-वर्ग आयत होता है।

क्षेत्र को स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों e, f, g, h के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है^[8]^: p.128

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का सूत्र जिसका केंद्र है^[9]: $K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.$ यदि एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंड k, l और विकर्ण p, q है, तो इसका क्षेत्रफल है^[8]^: p.129

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.

यदि के, एल स्पर्शरेखा तार है और एम, एन चतुर्भुज के विशेष रेखा खंड है, तो क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है^[9]

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि चतुर्भुज उस स्थिति में शून्य होता है।

यदि M और N विकर्णों के मध्य बिंदु है, और E और F विपरीत भुजाओं के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है

K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}

जहाँ अंतः वृत्त का केंद्र होता है।^[9]

तीन मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो विपरीत भुजाओं और विकर्णों के बीच के कोण θ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है^[9]

: $K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.$

दो आसन्न कोणों और अंतः वृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में, क्षेत्र द्वारा दिया गया है^[9]:

$K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).$

क्षेत्र को परिमाप R और अंतः त्रिज्या r के रूप में दिया गया है

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta

जहाँ θ विकर्णों के बीच का कोण होता है।^[13]

यदि एम और एन विकर्णों के मध्य बिंदु है, और ई और एफ विपरीत पक्षों के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो क्षेत्र को भी व्यक्त किया जा सकता है

K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}

जहाँ Q अंतः वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली रेखा EF होती है।^[9]

असमानताएं

यदि r और R क्रमशः अंतरत्रिज्या और परिकत्रिज्या है, तो क्षेत्र K असमानता को संतुष्ट करता है^[14]

\displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.

दोनों ओर समानता तभी होती है जब चतुर्भुज एक वर्ग होता है।

क्षेत्र के लिए एक और असमानता है^[15]^{: p.39, 1203}

K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}

जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या है।

पिछले एक की तुलना में क्षेत्र के लिए एक समान ऊपरी सीमा देने वाली समान असमानता है^[13]:

$K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})$

इसके अतिरिक्त, भुजाओं a, b, c, d और अर्द्धपरिधि s के साथ:

2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

^[15]^{: p.39, #1203}

6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

^[15]^{: p.39, #1203}

4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

^[15]^{: p.39, #1203}

कोण सूत्र

यदि a, b, c, d एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में क्रमशः AB, BC, CD, DA भुजाओं की लंबाई होती है, तो इसके शीर्ष कोणों की गणना त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ की जा सकती है:^[9]

$\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},$

\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए समान अंकन का उपयोग करते हुए निम्नलिखित सूत्र धारण करते है:^[16]

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},

\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.

विकर्णों के बीच के कोण θ से गणना की जा सकती है^[10]

\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज की अन्तः त्रिज्या r भुजाओं a, b, c, d के अनुसार निर्धारित होती है^[7]

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

परिवृत्त R को सूत्र के एक विशेष स्थिति के रूप में दिया गया है। यह है^[7]

$\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.$

अंतर्त्रिज्या को लगातार स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों ई, एफ, जी, एच के अनुसार भी व्यक्त किया जा सकता है^[17]^{: p. 41}

\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.

ये दो सूत्र वास्तव में एक चक्रीय चतुर्भुज होने के लिए अंतः त्रिज्या आर के साथ एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें होती है।

द्विकेंद्रित चतुर्भुज की चार भुजाएं a, b, c, d, चतुर्थक के चार समाधान होते है

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

जहां s अर्द्धपरिधि है, और r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या है।^[18]^{: p. 754}

असमानताएं

परिधि R और अंतः त्रिज्या r असमानता को संतुष्ट करते है

R\geq {\sqrt {2}}r

जिसे 1948 में एल. फेजेस टूथ ने प्रमाणित किया था।^[19] यह समानता के साथ तभी होता है जब दो वृत्त संकेंद्रित होते है (एक दूसरे के समान केंद्र होते है), तो चतुर्भुज एक वर्ग होते है। असमानता को कई अलग-अलग विधियों से प्रमाणित किया जा सकता है, एक उपरोक्त क्षेत्र के लिए दोहरी असमानता का उपयोग करके प्रमाणित किया जा सकता है।

पिछली असमानता का विस्तार है^[2]^[20]^{: p. 141}

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1

जहां दोनों तरफ समानता है और चतुर्भुज एक वर्ग होता है।^[16]^{: p. 81}

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज की अर्धपरिधि संतुष्ट करती है^[19]^: p.13

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r

जहाँ r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या होती है।

इसके अतिरिक्त,^[15]^{: p.39, #1203}

2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}

तथा

abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

^[15]^{: p.62, #1599}

केंद्र और परिधि के बीच की दूरी

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD जिसका अंतःकेन्द्र I और परिकेन्द्र O है

उपद्रव प्रमेय

फस प्रमेय किसी भी द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के लिए अंतः त्रिज्या r, परिवृत्त R और अंतः केन्द्र और परिकेन्द्र O के बीच की दूरी x के बीच संबंध देता है। सम्बन्ध है^[1]^[11]^[21]

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},

या समकक्ष है

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

यह 1792 में निकोलस फस (1755-1826) द्वारा प्राप्त किया गया था। एक्स के लिए समाधान है

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.

फस की प्रमेय, जो कि ज्यामिति में यूलर की प्रमेय के अनुरूप होती है। द्विकेंद्रित चतुर्भुजों के लिए त्रिभुजों के लिए यूलर की प्रमेय कहती है कि यदि एक चतुर्भुज द्विकेन्द्रित होती है, तो इसके दो संबद्ध वृत्त उपरोक्त समीकरणों के अनुसार संबंधित होता है। वास्तव में इसका विलोम भी धारण करता है: दिए गए दो वृत्त (एक दूसरे के भीतर) जिनकी त्रिज्या R और r होती है और उनके केंद्रों के बीच दूरी x होती है जो फस के प्रमेय में स्थिति को संतुष्ट करते है, उनमें से एक उत्तल चतुर्भुज उपस्थित होता है और दूसरे को स्पर्श करता है।^[22] (और फिर पोंसेलेट के समापन प्रमेय द्वारा, उनमें से कई असीम रूप से उपस्थित होता है)।

इसको लागू करने के लिए $x^{2}\geq 0$ आर और आर के संदर्भ में एक्स के लिए फस के प्रमेय की अभिव्यक्ति के लिए उपर्युक्त असमानता प्राप्त करने की एक और विधि होती है $R\geq {\sqrt {2}}r.$ एक सामान्यीकरण है^[19]^: p.5

2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.

कार्लिट्ज की पहचान

अंतरवृत्त और परिवृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी x के लिए एक अन्य सूत्र अमेरिकी गणितज्ञ लियोनार्ड कार्लिट्ज (1907-1999) के कारण होता है। यह प्रकट करता है कि^[23]

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या होती है, और

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

जहाँ a, b, c, d द्विकेंद्रित चतुर्भुज की भुजाएँ होती है।

स्पर्शरेखा की लंबाई और भुजाओं के लिए असमानताएँ

स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए विशेष रेखा खंड ई, एफ, जी, एच निम्नलिखित असमानताएं होती है:^[19]^: p.3

4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}

तथा

4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})

जहाँ r अन्तः त्रिज्या है, R परिकत्रिज्या होती है, और x अन्त: केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी होती है। पक्ष a, b, c, d असमानताओं को संतुष्ट करते है^[19]^: p.5

8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}

तथा

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).

केंद्र के अन्य गुण

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में परिकेन्द्र, अंतः केन्द्र और विकर्णों का प्रतिच्छेद संरेख होता है।^[24]

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के केंद्र और शीर्षों के बीच की दूरियों के संबंध में निम्नलिखित समानता होती है:^[25]

{\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

जहां r अंतः त्रिज्या है।

यदि P एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में विकर्णों का प्रतिच्छेदन होता है जिसका केंद्र है^[26]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज ABCD में अंतर्त्रिज्या r और परिकत्रिज्या R से संबंधित एक असमानता है^[27]

4r^{2}\leq AI\cdot CI+BI\cdot DI\leq 2R^{2}

विकर्णों के गुण

एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई को चक्रीय चतुर्भुज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक चक्रीय चतुर्भुज और एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में क्रमशः धारण करने वाले सूत्र होते है।

विकर्णों p और q के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में, निम्नलिखित सर्वसमिका धारण करता है:^[11]

$\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1$

जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या है। इस समानता को फिर से लिखा जा सकता है^[13]

$r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}$

या, इसे विकर्णों के गुणनफल के लिए द्विघात समीकरण के रूप में हल करता है

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).

द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों p, q के गुणनफल के लिए असमानता है^[14]

$\displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}$

जहाँ a, b, c, d भुजाएँ है। यह 1967 में एस क्लैमकिन द्वारा सिद्ध किया गया था।

चार केंद्र एक वृत्त पर स्थित है

बता दें कि ABCD एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज है और O इसके परिवृत्त का केंद्र है। फिर चार त्रिभुजों △OAB, △OBC, △OCD, △ODA के अंतः केन्द्र एक वृत्त पर स्थित होते है।^[28]

यह भी देखें

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

चतुष्कोष
अन्तःवृत्त
अगर और केवल अगर
अधिक कोण
सीधा
केंद्र में
आवश्यक और पर्याप्त स्थिति
राग (ज्यामिति)
स्पर्शरेखा
शिखर (ज्यामिति)
दंडवत द्विभाजक
असमानता (गणित)
त्रिकोणमितीय फलन
से कम
RADIUS
गाढ़ा
circumcenter
समरेख

संदर्भ

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[Crux-15] 15.0 ^15.1 ^15.2 ^15.3 ^15.4 ^15.5 Inequalities proposed in Crux Mathematicorum, 2007.[5]

[Josefsson4-16] 16.0 ^16.1 Josefsson, Martin (2012), "A New Proof of Yun's Inequality for Bicentric Quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 12: 79–82.

[17] M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) 33–52.

[Pop-18] Pop, Ovidiu T., "Identities and inequalities in a quadrilateral", Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No. 2, October 2009, pp 754-763.

[Radic-19] 19.0 ^19.1 ^19.2 ^19.3 ^19.4 Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 1, 2005, [6]

[20] Shattuck, Mark, “A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals”, Forum Geometricorum 18, 2018, 141-154. [7] This paper also gives various inequalities in terms of the arc lengths subtended by a cyclic quadrilateral’s sides.

[21] Salazar, Juan Carlos (2006), "Fuss's Theorem", Mathematical Gazette, 90 (July): 306–307.

[22] Byerly, W. E. (1909), "The In- and-Circumscribed Quadrilateral", The Annals of Mathematics, 10: 123–128, doi:10.2307/1967103.

[23] Calin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach, [8], pp. 153–158.

[24] Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [9], 2004.

[25] L. V. Nagarajan, Bi-centric Polygons, 2014, [10].

[26] Crux Mathematicorum 34 (2008) no 4, p. 242.

[27] Post at Art of Problem Solving, 2009

[28] Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019, [11]

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Contents

विशेष स्थितियां

चरित्र चित्रण

निर्माण

क्षेत्र

चार मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

तीन मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

असमानताएं

कोण सूत्र

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

असमानताएं

केंद्र और परिधि के बीच की दूरी

उपद्रव प्रमेय

कार्लिट्ज की पहचान

स्पर्शरेखा की लंबाई और भुजाओं के लिए असमानताएँ

केंद्र के अन्य गुण

विकर्णों के गुण

चार केंद्र एक वृत्त पर स्थित है

यह भी देखें

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संदर्भ

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+[[File:Bicentric quadrilateral poncelet.svg|thumb|द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और EFGH के लिए पोंसलेट का छिद्र]][[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, '''द्विकेंद्रित चतुर्भुज''' एक [[उत्तल बहुभुज|उत्तल चतुर्भुज]] होता है जिसमें एक अंतर्वृत्त और एक [[परिवृत्त]] दोनों होते है। इन वृत्तों की त्रिज्या और केंद्र को क्रमशः अंतः त्रिज्या और परित्रिज्या कहा जाता है, और अंतः केंद्र और परिधि कहा जाता है। परिभाषा से यह पता चलता है कि द्विकेंद्रित चतुर्भुज में [[स्पर्शरेखा चतुर्भुज]] और [[चक्रीय चतुर्भुज]] दोनों के सभी गुण होते है। इन चतुर्भुजों के अन्य नाम जीवा-स्पर्शरेखा चतुर्भुज<ref name="Dorrie">{{cite book
-[[File:Bicentric quadrilateral poncelet.svg|thumb|द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और EFGH के लिए पोंसलेट का छिद्र]][[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक '''द्विकेंद्रित चतुर्भुज''' एक [[उत्तल बहुभुज]] होता है जिसमें एक अंतर्वृत्त और एक [[परिवृत्त]] दोनों होते हैं। इन वृत्तों की त्रिज्या और केंद्र को क्रमशः अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या कहा जाता है, और अंत:केंद्र और परिधि कहा जाता है। परिभाषा से यह पता चलता है कि द्विकेंद्रित चतुर्भुज में [[स्पर्शरेखा चतुर्भुज]] और [[चक्रीय चतुर्भुज]] दोनों के सभी गुण होते हैं। इन चतुर्भुजों के अन्य नाम जीवा-स्पर्शरेखा चतुर्भुज<ref name="Dorrie">{{cite book
 |last=Dörrie
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 |publisher=Dover
 |pages=188–193
-|isbn=978-0-486-61348-2}}</ref> और खुदा हुआ और परिबद्ध चतुर्भुज हैं। इसे शायद ही कभी दोहरा वृत्त चतुर्भुज<ref name=yun /> और द्विलेखित चतुर्भुज कहा जाता है।<ref>{{cite book
+|isbn=978-0-486-61348-2}}</ref> और परिबद्ध चतुर्भुज होते है। इसे संभवतः ही कभी दोहरा वृत्त चतुर्भुज<ref name=yun /> और द्विलेखित चतुर्भुज कहा जाता है।<ref>{{cite book
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-यदि दो वृत्त, एक दूसरे के भीतर, एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का अंतःवृत्त और परिवृत्त हैं, तो परिवृत्त पर प्रत्येक बिंदु एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज का शीर्ष है जिसमें एक ही अंतःवृत्त और परिवृत्त होता है।<ref>Weisstein, Eric W. "Poncelet Transverse." From ''MathWorld'' – A Wolfram Web Resource, [http://mathworld.wolfram.com/PonceletTransverse.html]</ref> यह पोंसेलेट के छिद्र का एक विशेष मामला है, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ [[जीन-विक्टर पोंसेलेट]] (1788-1867) द्वारा सिद्ध किया गया था।
+यदि दो वृत्त, एक दूसरे के भीतर, एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का अंतः वृत्त और परिवृत्त होते है, तो परिवृत्त पर प्रत्येक बिंदु एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के शीर्ष होते है जिसमें एक ही अंतः वृत्त और परिवृत्त होता है।<ref>Weisstein, Eric W. "Poncelet Transverse." From ''MathWorld'' – A Wolfram Web Resource, [http://mathworld.wolfram.com/PonceletTransverse.html]</ref> यह पोंसेलेट के छिद्र की एक विशेष स्थिति होती है, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ [[जीन-विक्टर पोंसेलेट]] (1788-1867) द्वारा सिद्ध किया गया था।
 == विशेष स्थितियां ==
-[[File:Bicentric kite 001.svg|thumb|right|एक [[सही पतंग]]]]द्विकेंद्रित चतुर्भुज के उदाहरण [[वर्ग (ज्यामिति)|वर्ग]], सही पतंग और समद्विबाहु स्पर्शरेखा ट्रेपेज़ोइड हैं।
+[[File:Bicentric kite 001.svg|thumb|right|एक [[सही पतंग]]]]द्विकेंद्रित चतुर्भुज के उदाहरण [[वर्ग (ज्यामिति)|वर्ग]], सही और समद्विबाहु स्पर्शरेखा ट्रेपेज़ोइड होते है।
 == चरित्र चित्रण ==
-[[File:Bicentric quadrilateral.svg|thumb|एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और इसका संपर्क चतुर्भुज WXYZ]]भुजाओं a, b, c, d वाला एक उत्तल चतुर्भुज ABCD द्विकेंद्रित है यदि और केवल यदि विपरीत भुजाएं स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के लिए पिटोट प्रमेय और चक्रीय चतुर्भुज गुण को संतुष्ट करती हैं कि विपरीत कोण पूरक कोण हैं; वह है,
+[[File:Bicentric quadrilateral.svg|thumb|एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD और इसका संपर्क चतुर्भुज WXYZ]]भुजाओं a, b, c, d वाला एक उत्तल चतुर्भुज ABCD द्विकेंद्रित होता है यदि और केवल विपरीत भुजाएं स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के लिए प्रमेय और चक्रीय चतुर्भुज गुण को संतुष्ट करती है कि विपरीत कोण पूरक कोण है, वह है,
 :<math>
 \begin{cases}
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 \end{cases}
 </math>
-तीन अन्य लक्षण उन बिंदुओं से संबंधित हैं जहां एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःवृत्त पक्षों के लिए स्पर्शरेखा है। यदि अंतर्वृत्त क्रमश: W, X, Y, Z पर AB, BC, CD, DA की भुजाओं को स्पर्श करता है, तो एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल यदि निम्नलिखित तीन शर्तों में से कोई एक हो:<ref name=Josefsson>{{citation
+तीन अन्य लक्षण उन बिंदुओं से संबंधित होते है जहां एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतः वृत्त पक्षों के लिए स्पर्शरेखा होती है। यदि अंतर्वृत्त क्रमश: W, X, Y, Z पर AB, BC, CD, DA की भुजाओं को स्पर्श करता है, तो एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल निम्नलिखित तीन शर्तों में से कोई एक होता है:<ref name=Josefsson>{{citation
 |last=Josefsson
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 |volume=10
 |year=2010}}.</ref>
-*WY, XZ के लंबवत है
+*WY, XZ के लंबवत होता है
 *<math>\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}</math>
 *<math>\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}</math>
-इन तीनों में से पहले का अर्थ है कि संपर्क चतुर्भुज WXYZ एक [[ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज]] है।
+इन तीनों में से पहले का अर्थ होता है कि संपर्क चतुर्भुज WXYZ एक [[ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज]] होता है।
-यदि E, F, G, H क्रमशः WX, XY, YZ, ZW के मध्य बिंदु हैं, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय है यदि और केवल यदि चतुर्भुज EFGH एक [[आयत]] है।<ref name=Josefsson />
+यदि E, F, G, H क्रमशः WX, XY, YZ, ZW के मध्य बिंदु है, तो स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD भी चक्रीय होता है यदि और केवल चतुर्भुज EFGH एक [[आयत]] है।<ref name=Josefsson />
-एक अन्य विशेषता के अनुसार, यदि मैं एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःकेंद्र है जहां विपरीत पक्षों के विस्तार जे और के पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो चतुर्भुज भी चक्रीय होता है यदि और केवल यदि जेआईके एक [[समकोण]] है।<ref name=Josefsson />
-फिर भी एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD चक्रीय है यदि और केवल यदि इसकी [[न्यूटन रेखा]] इसके संपर्क चतुर्भुज WXYZ की न्यूटन रेखा के लंबवत है। (चतुर्भुज की न्यूटन रेखा उसके विकर्णों के मध्यबिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा है।)<ref name=Josefsson />
+एक अन्य विशेषता के अनुसार, यदि मैं एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में अंतःकेंद्र है जहां विपरीत पक्षों के विस्तार J और K पर प्रतिच्छेद करते है, तो चतुर्भुज भी चक्रीय होता है यदि और केवल JIK एक [[समकोण]] होता है।<ref name=Josefsson />
+फिर भी एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह होती है कि एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज ABCD चक्रीय होता है यदि और केवल इसकी [[न्यूटन रेखा]] इसके संपर्क चतुर्भुज WXYZ की न्यूटन रेखा के लंबवत होती है। (चतुर्भुज की न्यूटन रेखा उसके विकर्णों के मध्यबिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा होती है।)<ref name=Josefsson />
 == निर्माण ==
-[[File:01-Bicentric quadrilateral.svg|300px|thumb|संपर्क चतुर्भुज WXYZ के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD। एनिमेशन [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Bicentric_quadrilateral.gif यहाँ देखें]]]एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के निर्माण की एक सरल विधि है:
+[[File:01-Bicentric quadrilateral.svg|300px|thumb|संपर्क चतुर्भुज WXYZ के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD। एनिमेशन [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Bicentric_quadrilateral.gif यहाँ देखें]]]एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के निर्माण की एक सरल विधि होती है:
-यह अंतःवृत्त C से शुरू होता है<sub>r</sub>[[केंद्र (ज्यामिति)]] I के चारों ओर त्रिज्या r के साथ और फिर एक दूसरे से दो लंब जीवा (ज्यामिति) WY और XZ को अंतःवृत्त C में खींचें<sub>r</sub>. जीवाओं के अंतबिंदुओं पर अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाएँ a, b, c और d खींचिए। ये चार बिंदुओं A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के शीर्ष (ज्यामिति) हैं।<ref>{{cite book
+यह केंद्र के चारों ओर त्रिज्या r के साथ अंतः वृत्त C<sub>r</sub> से प्रारंभ होता है और फिर अंतः वृत्त C<sub>r</sub> में दो लंबवत जीवाओं WY और XZ को खींचता है। जीवाओं के अंतबिंदुओं पर अंतः वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ a, b, c, d को खीचते है। ये चार बिंदुओं A, B, C, D पर प्रतिच्छेद करते है, जो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के शीर्ष होते है।<ref>{{cite book
 |last1=Alsina
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 |publisher=Mathematical Association of America
 |pages=125–126
-|isbn=978-0-88385-352-8}}</ref>
+|isbn=978-0-88385-352-8}}</ref> परिवृत्त बनाने के लिए, क्रमशः द्विकेंद्रित चतुर्भुज a की भुजाओं पर दो लम्ब समद्विभाजक p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub> खिचते है। लंब समद्विभाजक p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub> परिवृत्त C<sub>R</sub> के केंद्र O में प्रतिच्छेद करते है और अंतः वृत्त Cr के केंद्र की दूरी x होती है। परिवृत्त को केंद्र O के चारों ओर खींचा जा सकता है।
-परिवृत्त बनाने के लिए, दो लम्ब समद्विभाजक p खींचिए<sub>1</sub>और पी<sub>2</sub>द्विकेंद्रित चतुर्भुज की भुजाओं पर a क्रमशः b. लंबवत द्विभाजक पी<sub>1</sub>और पी<sub>2</sub>परिवृत्त C के केंद्र O में प्रतिच्छेद करती है<sub>R</sub>वृत्त C के केंद्र I की दूरी x के साथ<sub>r</sub>. परिवृत्त को केंद्र O के चारों ओर खींचा जा सकता है।
-इस निर्माण की वैधता इस विशेषता के कारण है कि, एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज एबीसीडी में, संपर्क चतुर्भुज WXYZ में लंबवत [[विकर्ण]] होते हैं यदि और केवल अगर स्पर्शरेखा चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज है।
+इस निर्माण की वैधता इस विशेषता के कारण होती है कि, एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज एबीसीडी में, संपर्क चतुर्भुज WXYZ में लंबवत [[विकर्ण]] होते है यदि और केवल अगर स्पर्शरेखा चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज है।
 == क्षेत्र ==
 === चार मात्राओं के संदर्भ में सूत्र ===
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के [[क्षेत्र]]फल K को चतुर्भुज की चार मात्राओं के रूप में कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भुजाएँ a, b, c, d हैं, तो क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है<ref name=Weisstein /><ref name=Josefsson2 /><ref name=Josefsson3 /><ref name=Durell /><ref name=Yiu />:<math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>
+एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज के [[क्षेत्र]]फल K को चतुर्भुज की चार मात्राओं के रूप में कई अलग-अलग विधियों से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भुजाएँ a, b, c, d है, तो क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है<ref name=Weisstein /><ref name=Josefsson2 /><ref name=Josefsson3 /><ref name=Durell /><ref name=Yiu />:<math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math> इसे स्पर्शरेखा चतुर्भुज क्षेत्रफल के क्षेत्र के लिए सीधे त्रिकोणमितीय सूत्र से भी प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इसका विलोम सही नहीं होता है: कुछ चतुर्भुज जो द्विकेंद्रित नहीं होते है उनका भी क्षेत्रफल होता है <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math><ref>Lord, Nick, "Quadrilaterals with area formula <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>", ''Mathematical Gazette'' 96, July 2012, 345-347.</ref> ऐसे चतुर्भुज का एक उदाहरण एक गैर-वर्ग आयत होता है।
-यह ब्रह्मगुप्त के सूत्र का एक विशेष मामला है। इसे स्पर्शरेखा चतुर्भुज#क्षेत्रफल के क्षेत्र के लिए सीधे त्रिकोणमितीय सूत्र से भी प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इसका विलोम सही नहीं है: कुछ चतुर्भुज जो द्विकेंद्रित नहीं हैं उनका भी क्षेत्रफल होता है <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math><ref>Lord, Nick, "Quadrilaterals with area formula <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>", ''Mathematical Gazette'' 96, July 2012, 345-347.</ref> ऐसे चतुर्भुज का एक उदाहरण एक गैर-वर्ग आयत है।
-क्षेत्र को स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंडों e, f, g, h के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है<ref name=Josefsson2 />{{rp|p.128}}
+क्षेत्र को स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों e, f, g, h के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है<ref name=Josefsson2 />{{rp|p.128}}
 :<math>K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).</math>
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का सूत्र जिसका केंद्र I है<ref name=Josefsson3 />:<math>K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.</math>
+एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का सूत्र जिसका केंद्र है<ref name=Josefsson3 />:<math>K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.</math> यदि एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंड k, l और विकर्ण p, q है, तो इसका क्षेत्रफल है<ref name=Josefsson2>{{citation
-यदि एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंड k, l और विकर्ण p, q है, तो इसका क्षेत्रफल है<ref name=Josefsson2>{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
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 |year=2010}}.</ref>{{rp|p.129}}
 :<math>K=\frac{klpq}{k^2+l^2}.</math>
-यदि के, एल स्पर्शरेखा तार हैं और एम, एन चतुर्भुज के चतुर्भुज # विशेष रेखा खंड हैं, तो क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है<ref name=Josefsson3>{{citation
+यदि के, एल स्पर्शरेखा तार है और एम, एन चतुर्भुज के विशेष रेखा खंड है, तो क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है<ref name=Josefsson3>{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
@@ Line 93: / Line 87: @@
 |year=2011}}.</ref>
 :<math>K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl</math>
-इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि चतुर्भुज एक सही पतंग है, क्योंकि उस स्थिति में भाजक शून्य है।
+इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि चतुर्भुज उस स्थिति में शून्य होता है।
-यदि M और N विकर्णों के मध्य बिंदु हैं, और E और F विपरीत भुजाओं के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है
+यदि M और N विकर्णों के मध्य बिंदु है, और E और F विपरीत भुजाओं के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है
 :<math>K=\frac{2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}</math>
-जहाँ अंतःवृत्त का केंद्र होता है।<ref name=Josefsson3 />
+जहाँ अंतः वृत्त का केंद्र होता है।<ref name=Josefsson3 />
 === तीन मात्राओं के संदर्भ में सूत्र ===
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो विपरीत भुजाओं और विकर्णों के बीच के कोण θ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<ref name=Josefsson3 />:<math>K=ac\tan{\frac{\theta}{2}}=bd\cot{\frac{\theta}{2}}.</math>
+एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो विपरीत भुजाओं और विकर्णों के बीच के कोण θ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<ref name=Josefsson3 />
-दो आसन्न कोणों और अंतःवृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में, क्षेत्र द्वारा दिया गया है<ref name=Josefsson3 />:<math>K=2r^2\left(\frac{1}{\sin{A}}+\frac{1}{\sin{B}}\right).</math>
-क्षेत्र को परिमाप R और अंतःत्रिज्या r के रूप में दिया गया है
+<nowiki>:</nowiki><math>K=ac\tan{\frac{\theta}{2}}=bd\cot{\frac{\theta}{2}}.</math>
+दो आसन्न कोणों और अंतः वृत्त की त्रिज्या r के संदर्भ में, क्षेत्र द्वारा दिया गया है<ref name="Josefsson3" />:
+<math>K=2r^2\left(\frac{1}{\sin{A}}+\frac{1}{\sin{B}}\right).</math>
+क्षेत्र को परिमाप R और अंतः त्रिज्या r के रूप में दिया गया है
 :<math>K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2})\sin \theta</math>
-जहाँ θ विकर्णों के बीच का कोण है।<ref name=MJFG>{{citation
+जहाँ θ विकर्णों के बीच का कोण होता है।<ref name="MJFG">{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
@@ Line 111: / Line 111: @@
 |volume=12
 |year=2012}}.</ref>
-यदि एम और एन विकर्णों के मध्य बिंदु हैं, और ई और एफ विपरीत पक्षों के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो क्षेत्र को भी व्यक्त किया जा सकता है
+यदि एम और एन विकर्णों के मध्य बिंदु है, और ई और एफ विपरीत पक्षों के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो क्षेत्र को भी व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>K=2MN\sqrt{EQ\cdot FQ}</math>
-जहाँ Q अंतःवृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली रेखा EF के लंब का पाद है।<ref name=Josefsson3 />
+जहाँ Q अंतः वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली रेखा EF होती है।<ref name="Josefsson3" />
 === असमानताएं ===
-यदि r और R क्रमशः अंतरत्रिज्या और परिकत्रिज्या हैं, तो क्षेत्र K असमानता को संतुष्ट करता है (गणित)<ref name=Alsina>{{cite book
+यदि r और R क्रमशः अंतरत्रिज्या और परिकत्रिज्या है, तो क्षेत्र K असमानता को संतुष्ट करता है<ref name=Alsina>{{cite book
 |last1=Alsina
 |first1=Claudi
@@ Line 127: / Line 128: @@
 |isbn=978-0-88385-342-9}}</ref>
 :<math>\displaystyle 4r^2 \le K \le 2R^2.</math>
-दोनों ओर समानता तभी होती है जब चतुर्भुज एक वर्ग (ज्यामिति) हो।
+दोनों ओर समानता तभी होती है जब चतुर्भुज एक वर्ग होता है।
-क्षेत्र के लिए एक और असमानता है<ref name=Crux>Inequalities proposed in ''[[Crux Mathematicorum]]'', 2007.[http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf]</ref>{{rp|p.39,#1203}}
+क्षेत्र के लिए एक और असमानता है<ref name=Crux>Inequalities proposed in ''[[Crux Mathematicorum]]'', 2007.[http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf]</ref>{{rp|p.39,1203}}
 :<math>K \le \tfrac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2}</math>
-जहाँ r और R क्रमशः अन्तःत्रिज्या और परित्रिज्या हैं।
+जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या है।
-पिछले एक की तुलना में क्षेत्र के लिए एक समान ऊपरी सीमा देने वाली समान असमानता है<ref name=MJFG />:<math>K \le r(r+\sqrt{4R^2+r^2})</math>
+पिछले एक की तुलना में क्षेत्र के लिए एक समान ऊपरी सीमा देने वाली समान असमानता है<ref name=MJFG />:
-समानता के साथ अगर और केवल अगर चतुर्भुज एक सही पतंग है।
-इसके अलावा, भुजाओं a, b, c, d और [[अर्द्धपरिधि]] s के साथ:
+<math>K \le r(r+\sqrt{4R^2+r^2})</math>
-:<math>2\sqrt{K} \leq s \leq r+ \sqrt{r^2+4R^2}; </math><ref name=Crux />{{rp|p.39,#1203}}
+इसके अतिरिक्त, भुजाओं a, b, c, d और [[अर्द्धपरिधि]] s के साथ:
-:<math>6K \leq ab+ac+ad+bc+bd+cd \leq 4r^2+4R^2+ 4r\sqrt{r^2+4R^2}; </math><ref name=Crux />{{rp|p.39,#1203}}
-:<math>4Kr^2\leq abcd \leq \frac{16}{9} r^2(r^2+4R^2). </math><ref name=Crux />{{rp|p.39,#1203}}
+:<math>2\sqrt{K} \leq s \leq r+ \sqrt{r^2+4R^2}; </math><ref name="Crux" />{{rp|p.39,#1203}}
+:<math>6K \leq ab+ac+ad+bc+bd+cd \leq 4r^2+4R^2+ 4r\sqrt{r^2+4R^2}; </math><ref name="Crux" />{{rp|p.39,#1203}}
+:<math>4Kr^2\leq abcd \leq \frac{16}{9} r^2(r^2+4R^2). </math><ref name="Crux" />{{rp|p.39,#1203}}
 == कोण सूत्र ==
-यदि a, b, c, d एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में क्रमशः AB, BC, CD, DA भुजाओं की लंबाई हैं, तो इसके शीर्ष कोणों की गणना त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ की जा सकती है:<ref name=Josefsson3 />:<math>\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\cot{\frac{C}{2}},</math>
+यदि a, b, c, d एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में क्रमशः AB, BC, CD, DA भुजाओं की लंबाई होती है, तो इसके शीर्ष कोणों की गणना त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ की जा सकती है:<ref name=Josefsson3 />
+<math>\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\cot{\frac{C}{2}},</math>
 :<math>\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\cot{\frac{D}{2}}.</math>
-त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए समान अंकन का उपयोग करते हुए निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं:<ref name=Josefsson4>{{citation
+त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए समान अंकन का उपयोग करते हुए निम्नलिखित सूत्र धारण करते है:<ref name=Josefsson4>{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
@@ Line 158: / Line 162: @@
 विकर्णों के बीच के कोण θ से गणना की जा सकती है<ref name=Durell>Durell, C. V. and Robson, A., ''Advanced Trigonometry'', Dover, 2003, pp. 28, 30.</ref>
 :<math>\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.</math>
+== अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या ==
+एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज की अन्तः त्रिज्या r भुजाओं a, b, c, d के अनुसार निर्धारित होती है<ref name=Weisstein>Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at ''MathWorld'', [http://mathworld.wolfram.com/BicentricQuadrilateral.html], Accessed on 2011-08-13.</ref>
+:<math>\displaystyle r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}=\frac{\sqrt{abcd}}{b+d}.</math>
+परिवृत्त R को सूत्र के एक विशेष स्थिति के रूप में दिया गया है। यह है<ref name=Weisstein />
+<math>\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.</math>
-== अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या ==
+अंतर्त्रिज्या को लगातार स्पर्शरेखा चतुर्भुज विशेष रेखा खंडों ई, एफ, जी, एच के अनुसार भी व्यक्त किया जा सकता है<ref>M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", ''Mathematical Communications'', 12 (2007) 33–52.</ref>{{rp|p. 41}}
-एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज की अन्तःत्रिज्या r भुजाओं a, b, c, d के अनुसार निर्धारित होती है<ref name=Weisstein>Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at ''MathWorld'', [http://mathworld.wolfram.com/BicentricQuadrilateral.html], Accessed on 2011-08-13.</ref>
-:<math>\displaystyle r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}=\frac{\sqrt{abcd}}{b+d}.</math>
-परिवृत्त R को [[परमेश्वर]] के सूत्र के एक विशेष मामले के रूप में दिया गया है। यह है<ref name=Weisstein />:<math>\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.</math>
-अंतर्त्रिज्या को लगातार स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंडों ई, एफ, जी, एच के अनुसार भी व्यक्त किया जा सकता है<ref>M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", ''Mathematical Communications'', 12 (2007) 33–52.</ref>{{rp|p. 41}}
 :<math>\displaystyle r=\sqrt{eg}=\sqrt{fh}.</math>
-ये दो सूत्र वास्तव में एक चक्रीय चतुर्भुज होने के लिए अंतःत्रिज्या आर के साथ एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं।
+ये दो सूत्र वास्तव में एक चक्रीय चतुर्भुज होने के लिए अंतः त्रिज्या आर के साथ एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें होती है।
-द्विकेंद्रित चतुर्भुज की चार भुजाएं a, b, c, d, [[चतुर्थक समारोह]] के चार समाधान हैं
+द्विकेंद्रित चतुर्भुज की चार भुजाएं a, b, c, d, [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक]] के चार समाधान होते है
 :<math>y^4-2sy^3+(s^2+2r^2+2r\sqrt{4R^2+r^2})y^2-2rs(\sqrt{4R^2+r^2}+r)y+r^2s^2=0</math>
-जहां s अर्द्धपरिधि है, और r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या हैं।<ref name=Pop>Pop, Ovidiu T., "Identities and inequalities in a quadrilateral", ''Octogon Mathematical Magazine'', Vol. 17, No. 2, October 2009, pp 754-763.</ref>{{rp|p. 754}}
+जहां s अर्द्धपरिधि है, और r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या है।<ref name="Pop">Pop, Ovidiu T., "Identities and inequalities in a quadrilateral", ''Octogon Mathematical Magazine'', Vol. 17, No. 2, October 2009, pp 754-763.</ref>{{rp|p. 754}}
-यदि अंतःत्रिज्या आर के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज है जिसका स्पर्शरेखा चतुर्भुज # विशेष रेखा खंड ई, एफ, जी, एच हैं, तो अंतःत्रिज्या आर के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज मौजूद है<sup>v</sup> जिसकी स्पर्शरेखा की लंबाई ई है<sup>वी</सुप>, च<sup>में</सूप>, जी<sup>वी</sup>, जी<sup>v</sup>, जहाँ v कोई [[वास्तविक संख्या]] हो सकती है।<ref name=Radic />{{rp|pp.9–10}}
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज की अंतःत्रिज्या किसी भी अन्य स्पर्शरेखा चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई के समान अनुक्रम की तुलना में अधिक होती है।<ref name=Hess>{{citation
-|last=Hess |first=Albrecht
-|journal=Forum Geometricorum
-|pages=389–396
-|title=On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals
-|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201437.pdf
-|volume=14
-|year=2014}}.</ref>{{rp|pp.392–393}}
 === असमानताएं ===
-परिधि R और अंतःत्रिज्या r असमानता को संतुष्ट करते हैं
+परिधि R और अंतः त्रिज्या r असमानता को संतुष्ट करते है
 :<math>R\ge \sqrt{2}r</math>
-जिसे 1948 में एल. फेजेस टूथ ने साबित किया था।<ref name=Radic>Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", ''Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics'', Volume 6, Issue 1, 2005, [http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/118_04_JIPAM/118_04.pdf]</ref> यह समानता के साथ तभी होता है जब दो वृत्त संकेंद्रित होते हैं (एक दूसरे के समान केंद्र होते हैं); तो चतुर्भुज एक वर्ग (ज्यामिति) है। असमानता को कई अलग-अलग तरीकों से साबित किया जा सकता है, एक उपरोक्त क्षेत्र के लिए दोहरी असमानता का उपयोग करके।
+जिसे 1948 में एल. फेजेस टूथ ने प्रमाणित किया था।<ref name=Radic>Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", ''Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics'', Volume 6, Issue 1, 2005, [http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/118_04_JIPAM/118_04.pdf]</ref> यह समानता के साथ तभी होता है जब दो वृत्त संकेंद्रित होते है (एक दूसरे के समान केंद्र होते है), तो चतुर्भुज एक वर्ग होते है। असमानता को कई अलग-अलग विधियों से प्रमाणित किया जा सकता है, एक उपरोक्त क्षेत्र के लिए दोहरी असमानता का उपयोग करके प्रमाणित किया जा सकता है।
 पिछली असमानता का विस्तार है<ref name=yun>Yun, Zhang, "Euler's Inequality Revisited", ''Mathematical Spectrum'', Volume 40, Number 3 (May 2008), pp. 119-121. First page available at [http://ms.appliedprobability.org/data/files/Abstracts%2040/40-3-6.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304085301/http://ms.appliedprobability.org/data/files/Abstracts%2040/40-3-6.pdf |date=March 4, 2016 }}.</ref><ref>Shattuck, Mark, “A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals”, ''Forum Geometricorum'' 18, 2018, 141-154. [http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201822.pdf]  This paper also gives various inequalities in terms of the arc lengths subtended by a cyclic quadrilateral’s sides. </ref>{{rp|p. 141}}
 :<math>\frac{r\sqrt{2}}{R}\le \frac{1}{2}\left(\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{D}{2}}+\sin{\frac{D}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\right)\le 1</math>
-जहां दोनों तरफ समानता है अगर और केवल अगर चतुर्भुज एक वर्ग (ज्यामिति) है।<ref name=Josefsson4 />{{rp|p. 81}}
+जहां दोनों तरफ समानता है और चतुर्भुज एक वर्ग होता है।<ref name=Josefsson4 />{{rp|p. 81}}
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज की अर्धपरिधि संतुष्ट करती है<ref name=Radic />{{rp|p.13}}
+एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज की अर्धपरिधि संतुष्ट करती है<ref name="Radic" />{{rp|p.13}}
 :<math>\sqrt{8r\left(\sqrt{4R^2+r^2}-r\right)}\le s \le \sqrt{4R^2+r^2}+r</math>
-जहाँ r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या हैं।
+जहाँ r और R क्रमशः अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या होती है।
 इसके अतिरिक्त,<ref name=Crux />{{rp|p.39,#1203}}
@@ Line 199: / Line 194: @@
 :<math>abc+abd+acd+bcd \leq 2\sqrt{K}(K+2R^2).</math> <ref name=Crux />{{rp|p.62,#1599}}
 == केंद्र और परिधि के बीच की दूरी ==
 [[File:Fuss theorem2.svg|thumb|एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD जिसका अंतःकेन्द्र I और परिकेन्द्र O है]]
-=== उपद्रव 'प्रमेय ===
+=== उपद्रव प्रमेय ===
-फ़स प्रमेय किसी भी द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के लिए अंतःत्रिज्या r, परिवृत्त R और अंतःकेन्द्र I और परिकेन्द्र O के बीच की दूरी x के बीच संबंध देता है। सम्बन्ध है<ref name=Dorrie /><ref name=Yiu>Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf], 1998, pp. 158-164.</ref><ref>{{citation |last=Salazar |first=Juan Carlos |title=Fuss's Theorem |journal=Mathematical Gazette |volume=90 (July) |pages=306–307 |year=2006}}.</ref>
+फस प्रमेय किसी भी द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के लिए अंतः त्रिज्या r, परिवृत्त R और अंतः केन्द्र और परिकेन्द्र O के बीच की दूरी x के बीच संबंध देता है। सम्बन्ध है<ref name=Dorrie /><ref name=Yiu>Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf], 1998, pp. 158-164.</ref><ref>{{citation |last=Salazar |first=Juan Carlos |title=Fuss's Theorem |journal=Mathematical Gazette |volume=90 (July) |pages=306–307 |year=2006}}.</ref>
 :<math>\frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},</math>
-या समकक्ष
+या समकक्ष है
 :<math>\displaystyle 2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2)^2.</math>
-यह 1792 में [[निकोलस फस]] (1755-1826) द्वारा प्राप्त किया गया था। एक्स पैदावार के लिए समाधान
+यह 1792 में [[निकोलस फस]] (1755-1826) द्वारा प्राप्त किया गया था। एक्स के लिए समाधान है
 :<math>x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.</math>
-फ़स की प्रमेय, जो कि ज्यामिति में यूलर की प्रमेय का अनुरूप है। द्विकेंद्रित चतुर्भुजों के लिए त्रिभुजों के लिए यूलर की प्रमेय कहती है कि यदि एक चतुर्भुज द्विकेन्द्रित है, तो इसके दो संबद्ध वृत्त उपरोक्त समीकरणों के अनुसार संबंधित हैं। वास्तव में इसका विलोम भी धारण करता है: दिए गए दो वृत्त (एक दूसरे के भीतर) जिनकी त्रिज्या R और r है और उनके केंद्रों के बीच दूरी x है जो फ़स के प्रमेय में स्थिति को संतुष्ट करते हैं, उनमें से एक में खुदा हुआ एक उत्तल चतुर्भुज मौजूद है और दूसरे को स्पर्श करता है।<ref>{{citation |last=Byerly |first=W. E. |title=The In- and-Circumscribed Quadrilateral |journal=The Annals of Mathematics |volume=10 |pages=123–128 |year=1909 |doi=10.2307/1967103}}.</ref> (और फिर पोंसेलेट के समापन प्रमेय द्वारा, उनमें से कई असीम रूप से मौजूद हैं)।
+फस की प्रमेय, जो कि ज्यामिति में यूलर की प्रमेय के अनुरूप होती है। द्विकेंद्रित चतुर्भुजों के लिए त्रिभुजों के लिए यूलर की प्रमेय कहती है कि यदि एक चतुर्भुज द्विकेन्द्रित होती है, तो इसके दो संबद्ध वृत्त उपरोक्त समीकरणों के अनुसार संबंधित होता है। वास्तव में इसका विलोम भी धारण करता है: दिए गए दो वृत्त (एक दूसरे के भीतर) जिनकी त्रिज्या R और r होती है और उनके केंद्रों के बीच दूरी x होती है जो फस के प्रमेय में स्थिति को संतुष्ट करते है, उनमें से एक उत्तल चतुर्भुज उपस्थित होता है और दूसरे को स्पर्श करता है।<ref>{{citation |last=Byerly |first=W. E. |title=The In- and-Circumscribed Quadrilateral |journal=The Annals of Mathematics |volume=10 |pages=123–128 |year=1909 |doi=10.2307/1967103}}.</ref> (और फिर पोंसेलेट के समापन प्रमेय द्वारा, उनमें से कई असीम रूप से उपस्थित होता है)।
-को लागू करने <math>x^2 \ge 0</math> आर और आर के संदर्भ में एक्स के लिए फस के प्रमेय की अभिव्यक्ति के लिए उपर्युक्त असमानता प्राप्त करने का एक और तरीका है <math>R \ge \sqrt{2}r.</math> एक सामान्यीकरण है<ref name=Radic />{{rp|p.5}}
+इसको लागू करने के लिए <math>x^2 \ge 0</math> आर और आर के संदर्भ में एक्स के लिए फस के प्रमेय की अभिव्यक्ति के लिए उपर्युक्त असमानता प्राप्त करने की एक और विधि होती है <math>R \ge \sqrt{2}r.</math> एक सामान्यीकरण है<ref name=Radic />{{rp|p.5}}
 :<math>2r^2+x^2\le R^2 \le 2r^2+x^2+2rx.</math>
 === कार्लिट्ज की पहचान ===
-अंतरवृत्त और परिवृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी x के लिए एक अन्य सूत्र अमेरिकी गणितज्ञ [[लियोनार्ड कार्लिट्ज]]़ (1907-1999) के कारण है। यह प्रकट करता है की<ref>Calin, Ovidiu, ''Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach'', [http://math.emich.edu/~ocalin/Math341/Newpdf/driver13GeomB.pdf], pp. 153–158.</ref>
+अंतरवृत्त और परिवृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी x के लिए एक अन्य सूत्र अमेरिकी गणितज्ञ [[लियोनार्ड कार्लिट्ज]] (1907-1999) के कारण होता है। यह प्रकट करता है कि<ref>Calin, Ovidiu, ''Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach'', [http://math.emich.edu/~ocalin/Math341/Newpdf/driver13GeomB.pdf], pp. 153–158.</ref>
 :<math>\displaystyle x^2=R^2-2Rr\cdot \mu</math>
-जहाँ r और R क्रमशः अन्तःत्रिज्या और परित्रिज्या हैं, और
+जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या होती है, और
 :<math>\displaystyle \mu=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^2(ac+bd)}} = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^2(ac+bd)}}</math>
-जहाँ a, b, c, d द्विकेंद्रित चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।
+जहाँ a, b, c, d द्विकेंद्रित चतुर्भुज की भुजाएँ होती है।
 === स्पर्शरेखा की लंबाई और भुजाओं के लिए असमानताएँ ===
-स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए # विशेष रेखा खंड ई, एफ, जी, एच निम्नलिखित असमानताएं रखती हैं:<ref name=Radic />{{rp|p.3}}
+स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए विशेष रेखा खंड ई, एफ, जी, एच निम्नलिखित असमानताएं होती है:<ref name=Radic />{{rp|p.3}}
 :<math>4r\le e+f+g+h \le 4r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>
 तथा
 :<math>4r^2\le e^2+f^2+g^2+h^2 \le 4(R^2+x^2-r^2)</math>
-जहाँ r अन्तःत्रिज्या है, R परिकत्रिज्या है, और x अन्त:केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी है। पक्ष a, b, c, d असमानताओं को संतुष्ट करते हैं<ref name=Radic />{{rp|p.5}}
+जहाँ r अन्तः त्रिज्या है, R परिकत्रिज्या होती है, और x अन्त: केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी होती है। पक्ष a, b, c, d असमानताओं को संतुष्ट करते है<ref name=Radic />{{rp|p.5}}
 :<math>8r\le a+b+c+d \le 8r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>
 तथा
 :<math>4(R^2-x^2+2r^2)\le a^2+b^2+c^2+d^2 \le 4(3R^2-2r^2).</math>
+== केंद्र के अन्य गुण ==
+एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में परिकेन्द्र, अंतः केन्द्र और विकर्णों का प्रतिच्छेद संरेख होता है।<ref>Bogomolny, Alex, ''Collinearity in Bicentric Quadrilaterals'' [https://www.cut-the-knot.org/ctk/BicentricQuadri.shtml], 2004.</ref>
+एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के केंद्र और शीर्षों के बीच की दूरियों के संबंध में निम्नलिखित समानता होती है:<ref>L. V. Nagarajan, ''Bi-centric Polygons'', 2014, [https://lvnaga.wordpress.com/2014/05/13/bi-centric-polygons/].</ref>
-== केंद्र के अन्य गुण ==
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में परिकेन्द्र, अंतःकेन्द्र और विकर्णों का प्रतिच्छेद संरेख होता है।<ref>Bogomolny, Alex, ''Collinearity in Bicentric Quadrilaterals'' [https://www.cut-the-knot.org/ctk/BicentricQuadri.shtml], 2004.</ref>
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD के केंद्र I और शीर्षों के बीच की चार दूरियों के संबंध में निम्नलिखित समानता है:<ref>L. V. Nagarajan, ''Bi-centric Polygons'', 2014, [https://lvnaga.wordpress.com/2014/05/13/bi-centric-polygons/].</ref>
 :<math>\frac{1}{AI^2}+\frac{1}{CI^2}=\frac{1}{BI^2}+\frac{1}{DI^2}=\frac{1}{r^2}</math>
-जहां आर अंतःत्रिज्या है।
+जहां r अंतः त्रिज्या है।
-यदि P एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में विकर्णों का प्रतिच्छेदन है जिसका केंद्र I है, तो<ref>[[Crux Mathematicorum]] 34 (2008) no 4, p. 242.</ref>
+यदि P एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज ABCD में विकर्णों का प्रतिच्छेदन होता है जिसका केंद्र है<ref>[[Crux Mathematicorum]] 34 (2008) no 4, p. 242.</ref>
 :<math>\frac{AP}{CP}=\frac{AI^2}{CI^2}.</math>
 एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज ABCD में अंतर्त्रिज्या r और परिकत्रिज्या R से संबंधित एक असमानता है<ref>[http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=260539 Post at ''Art of Problem Solving'', 2009]</ref>
 :<math>4r^2 \le AI\cdot CI+BI\cdot DI \le 2R^2</math>
-जहां मैं केंद्र हूं।
+== विकर्णों के गुण ==
+एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई को चक्रीय चतुर्भुज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक चक्रीय चतुर्भुज और एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में क्रमशः धारण करने वाले सूत्र होते है।
+विकर्णों p और q के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में, निम्नलिखित सर्वसमिका धारण करता है:<ref name=Yiu />
+<math>\displaystyle \frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1</math>
+जहाँ r और R क्रमशः अन्तः त्रिज्या और परित्रिज्या है। इस समानता को फिर से लिखा जा सकता है<ref name="MJFG" />
-== विकर्णों के गुण ==
+<math>r=\frac{pq}{2\sqrt{pq+4R^2}}</math>
-एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई को चक्रीय चतुर्भुज#Diagonals or Tangential quadrilateral#Diagonals and Tangency जीवाओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक चक्रीय चतुर्भुज और एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज में क्रमशः धारण करने वाले सूत्र हैं।
-विकर्णों p और q के साथ एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज में, निम्नलिखित सर्वसमिका धारण करती है:<ref name=Yiu />:<math>\displaystyle \frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1</math>
+या, इसे विकर्णों के गुणनफल के लिए [[द्विघात समीकरण]] के रूप में हल करता है
-जहाँ r और R क्रमशः अन्तःत्रिज्या और परित्रिज्या हैं। इस समानता को फिर से लिखा जा सकता है<ref name=MJFG />:<math>r=\frac{pq}{2\sqrt{pq+4R^2}}</math>
-या, इसे विकर्णों के गुणनफल के लिए [[द्विघात समीकरण]] के रूप में हल करना
 :<math>pq=2r\left(r+\sqrt{4R^2+r^2}\right).</math>
-द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों p, q के गुणनफल के लिए असमानता है<ref name=Alsina />:<math>\displaystyle 8pq\le (a+b+c+d)^2</math>
+द्विकेंद्रित चतुर्भुज में विकर्णों p, q के गुणनफल के लिए असमानता है<ref name="Alsina" />
-जहाँ a, b, c, d भुजाएँ हैं। यह 1967 में मरे एस क्लैमकिन द्वारा सिद्ध किया गया था।
-==चार अंतःकेन्द्र एक वृत्त पर स्थित हैं==
+<math>\displaystyle 8pq\le (a+b+c+d)^2</math>
-बता दें कि ABCD एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज है और O इसके परिवृत्त का केंद्र है। फिर चार त्रिभुजों OAB, OBC, OCD, ODA के अंतःकेन्द्र एक वृत्त पर स्थित हैं।<ref>Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019, [http://geometry.ru/olimp/2019/bicentr.pdf]</ref>
+जहाँ a, b, c, d भुजाएँ है। यह 1967 में एस क्लैमकिन द्वारा सिद्ध किया गया था।
+==चार केंद्र एक वृत्त पर स्थित है==
+बता दें कि ABCD एक द्विकेंद्रित चतुर्भुज है और O इसके परिवृत्त का केंद्र है। फिर चार त्रिभुजों △OAB, △OBC, △OCD, △ODA के अंतः केन्द्र एक वृत्त पर स्थित होते है।<ref>Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019, [http://geometry.ru/olimp/2019/bicentr.pdf]</ref>
 == यह भी देखें ==
 {{Commons category|Bicentric quadrilateral}}
@@ Line 292: / Line 287: @@
 {{Polygons}}
-[[Category:चतुर्भुज के प्रकार]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1]]
+[[Category:Collapse templates]]
+[[Category:Commons category link is locally defined]]
 [[Category:Created On 27/11/2022]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
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द्विकेंद्रित चतुर्भुज: Difference between revisions

Latest revision as of 09:31, 13 June 2023

विशेष स्थितियां

चरित्र चित्रण

निर्माण

क्षेत्र

चार मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

तीन मात्राओं के संदर्भ में सूत्र

असमानताएं

कोण सूत्र

अंतर्त्रिज्या और परित्रिज्या

असमानताएं

केंद्र और परिधि के बीच की दूरी

उपद्रव प्रमेय

कार्लिट्ज की पहचान

स्पर्शरेखा की लंबाई और भुजाओं के लिए असमानताएँ

केंद्र के अन्य गुण

विकर्णों के गुण

चार केंद्र एक वृत्त पर स्थित है

यह भी देखें

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