आव्यूह ज्यामितीय विधि

संभाव्यता सिद्धांत में, आव्यूह ज्यामितीय विधि अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए एक विधि होती है, निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला जिसका संक्रमण दर आव्यूह एक दोहरावदार संरचना के साथ होता है। इस पद्धति का विकास बड़े पैमाने पर मार्सेल एफ न्यूट्स और उनके छात्रों द्वारा 1975 के आसपास प्रारंभ किया गया था।

विधि विवरण

इस विधि को निम्न प्रकार से त्रिकोणीय आव्यूह संरचना के साथ एक संक्रमण दर आव्यूह की आवश्यकता होती है

$Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

जहां प्रत्येक बी₀₀, बी₀₁, बी₁₀, ए₀, ए₁ और ए₂ आव्यूह है। स्थिर वितरण π लेखन π Q = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए संतुलन समीकरणों पर विचार किया जाता है_i

${\begin{aligned}\pi _{0}B_{00}+\pi _{1}B_{10}&=0\\\pi _{0}B_{01}+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+\pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}$

गौर कीजिए कि संबंध

$\pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1}$

रखता है जहां आर न्यूट की दर आव्यूह है, जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते है

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}+RA_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

जिसे π खोजने के लिए हल किया जा सकता है₀ और π₁ और इसलिए क्रमिक रूप से सभी π_i.

R की गणना

आव्यूह R की गणना चक्रीय कमी या लघुगणकीय कमी का उपयोग करके की जा सकती है।

आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि

Main article: आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि

आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि आव्यूह ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण होता है जिसका उपयोग M/G/1 आव्यूह के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। ऐसे मॉडल कठिन होते है क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है= π_i = π₁ R^{i – 1} उपरोक्त का उपयोग किया जाता है।

बाहरी संबंध

• Performance Modelling and Markov Chains (part 2) by William J. Stewart at 7th International School on Formal Methods for the Design of Computer, Communication and Software Systems: Performance Evaluation