एरेनफेस्ट मॉडल: Difference between revisions

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ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की व्याख्या करने के लिए [[तात्याना अफनासियेवा]] और [[पॉल एहरनफेस्ट]] द्वारा [[प्रसार]] के एरेनफेस्ट मॉडल (या कुत्ते-पिस्सू मॉडल) का प्रस्ताव किया गया था।<ref name="Ehrenfest">{{cite journal |last1=Ehrenfest |first1= Paul |last2=Ehrenfest |first2=Tatjana |date=1907 |title=Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem |trans-title= |url=https://archive.org/details/bub_gb_Vy0KAAAAIAAJ/page/n337/mode/2up |language=German |journal=Physikalische Zeitschrift |volume=8 |issue= |pages=311–314 |doi= |access-date=18 October 2022 |quote=In der üblichen Formulierung besagt das H-theorem: Wenn ein sich selbst überlassenes kinetisches Gasmodell im Laufe seiner Bewegung die Zustände ...Z1, Z2....Zn ... (A) zu den Zeiten T1, T2.... Tn... durchlauft, so gelten für die konsekutiven Werte der Grössen H die Ungleichungen ....H1 > H2 > H3 .... > Hn .... (1).}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal | last1 = Nauenberg | first1 = M. | title = The evolution of radiation toward thermal equilibrium: A soluble model that illustrates the foundations of statistical mechanics | doi = 10.1119/1.1632488 | journal = American Journal of Physics | volume = 72 | issue = 3 | pages = 313–323 | year = 2004 | arxiv = cond-mat/0305219 | bibcode = 2004AmJPh..72..313N }}</ref> मॉडल एन कणों को दो कंटेनरों में मानता है। कण स्वतंत्र रूप से एक दर पर कंटेनर बदलते हैं λ। यदि X(t) = i को समय t पर एक कंटेनर में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, तो यह निरंतर-समय मार्कोव प्रक्रिया #गणितीय परिभाषाओं के साथ एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया है।
ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की व्याख्या करने के लिए [[तात्याना अफनासियेवा]] और [[पॉल एहरनफेस्ट]] द्वारा [[प्रसार]] का एरेनफेस्ट मॉडल (या डॉग फ्ली मॉडल) प्रस्तावित किया गया था।<ref name="Ehrenfest">{{cite journal |last1=Ehrenfest |first1= Paul |last2=Ehrenfest |first2=Tatjana |date=1907 |title=Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem |trans-title= |url=https://archive.org/details/bub_gb_Vy0KAAAAIAAJ/page/n337/mode/2up |language=German |journal=Physikalische Zeitschrift |volume=8 |issue= |pages=311–314 |doi= |access-date=18 October 2022 |quote=In der üblichen Formulierung besagt das H-theorem: Wenn ein sich selbst überlassenes kinetisches Gasmodell im Laufe seiner Bewegung die Zustände ...Z1, Z2....Zn ... (A) zu den Zeiten T1, T2.... Tn... durchlauft, so gelten für die konsekutiven Werte der Grössen H die Ungleichungen ....H1 > H2 > H3 .... > Hn .... (1).}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal | last1 = Nauenberg | first1 = M. | title = The evolution of radiation toward thermal equilibrium: A soluble model that illustrates the foundations of statistical mechanics | doi = 10.1119/1.1632488 | journal = American Journal of Physics | volume = 72 | issue = 3 | pages = 313–323 | year = 2004 | arxiv = cond-mat/0305219 | bibcode = 2004AmJPh..72..313N }}</ref> मॉडल एन कणों को दो कंटेनरों में मानता है। कण स्वतंत्र रूप से कंटेनर को λ दर पर परिवर्तित करते हैं। यदि X(t) = i को समय t पर एक कंटेनर में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो यह एक सतत-समय मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) के साथ एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया है
 
* <math>q_{i, i-1} = i\, \lambda</math> के लिए ''i'' = 1, 2, ..., ''N''
ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की व्याख्या करने के लिए [[तात्याना अफनासियेवा]] और [[पॉल एहरनफेस्ट]] द्वारा [[प्रसार]] का एरेनफेस्ट मॉडल (या कुत्ता-पिस्सू मॉडल) प्रस्तावित किया गया था।<ref name="Ehrenfest" /><ref name=":0" /> मॉडल एन कणों को दो कंटेनरों में मानता है। कण स्वतंत्र रूप से कंटेनर को दर λ पर बदलते हैं। यदि X(t) = i को समय t पर एक कंटेनर में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, तो यह संक्रमण दर के साथ जन्म-मृत्यु प्रक्रिया है
* <math>q_{i, i+1} = (N-i\,) \lambda</math> के लिए i = 0, 1, ..., N - 1
* <math>q_{i, i-1} = i\, \lambda</math> मैं के लिए = 1, 2, ..., एन
* <math>q_{i, i+1} = (N-i\,) \lambda</math> i = 0, 1, ..., N - 1 के लिए


और संतुलन वितरण <math>\pi_i = 2^{-N} \tbinom Ni</math>.
और संतुलन वितरण <math>\pi_i = 2^{-N} \tbinom Ni</math>.


[[मार्क काक]] ने 1947 में सिद्ध किया कि यदि प्रारंभिक प्रणाली अवस्था संतुलन नहीं है, तो [[एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]], द्वारा दिया गया
[[मार्क काक]] ने 1947 में सिद्ध किया कि यदि प्रारंभिक प्रणाली की अवस्था संतुलन में नहीं है, तो [[एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]], द्वारा दी गई  
 
[[मार्क काक|मार्क केएसी]] ने 1947 में सिद्ध किया कि यदि प्रारंभिक प्रणाली की स्थिति संतुलन नहीं है, तो [[एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]], द्वारा दी गई


:<math>H(t) = -\sum_{i} P(X(t)=i) \log \left( \frac{P(X(t)=i)}{\pi_i}\right), </math>
:<math>H(t) = -\sum_{i} P(X(t)=i) \log \left( \frac{P(X(t)=i)}{\pi_i}\right), </math>
नीरस रूप से बढ़ रहा है ([[एच-प्रमेय]])। यह संतुलन वितरण के अभिसरण का परिणाम है।
:([[एच-प्रमेय]]) में नीरस रूप से वृद्धि हो रही है। यह संतुलन वितरण के अभिसरण का परिणाम है।
 
नीरस रूप से बढ़ रहा है ([[एच-प्रमेय]])। यह संतुलन वितरण के अभिसरण का परिणाम है।
 
== परिणामों की व्याख्या ==
== परिणामों की व्याख्या ==
विचार करें कि शुरुआत में सभी कण कंटेनरों में से एक में हैं। उम्मीद है कि समय के साथ इस कंटेनर में कणों की संख्या करीब आ जाएगी <math>N/2</math> और उस अवस्था के पास स्थिर हो जाते हैं (कंटेनरों में लगभग समान संख्या में कण होंगे)। हालाँकि गणितीय दृष्टिकोण से, प्रारंभिक अवस्था में वापस जाना संभव है (लगभग निश्चित भी)। औसत पुनरावृत्ति प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रारंभिक अवस्था में वापस जाने का अपेक्षित समय भी परिमित है, और यह है <math>2^N</math>. स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करने पर पता चलता है कि यदि हम संतुलन (कंटेनरों में कणों की समान संख्या) पर शुरू करते हैं, तो संतुलन में लौटने का अपेक्षित समय असमान रूप से बराबर होता है <math>\textstyle\sqrt{\pi N/2}</math>. यदि हम मानते हैं कि विशेष मामले में कण एक सेकंड में एक दर से कंटेनर बदलते हैं <math>N=100</math> कण, संतुलन से शुरू होकर संतुलन में वापसी होने की उम्मीद है <math>13</math> सेकंड, कॉन्फ़िगरेशन पर प्रारंभ करते समय <math>100</math> कंटेनरों में से एक में, <math>0</math> दूसरी ओर, उस राज्य में वापसी की उम्मीद है <math>4\cdot 10^{22}</math> साल। यह मानता है कि सैद्धांतिक रूप से निश्चित होने के बावजूद, प्रारंभिक अत्यधिक अनुपातहीन अवस्था की पुनरावृत्ति की संभावना नहीं है।
विचार करें कि प्रारंभ में सभी कण कंटेनरों में से एक में हैं। संभावना है कि समय के साथ इस कंटेनर में कणों की संख्या निकट आ जाएगी <math>N/2</math> के और उस अवस्था के निकट कण स्थिर हो जाते हैं (कंटेनरों में लगभग समान संख्या में कण होंगे)। चूंकि गणितीय दृष्टिकोण से, प्रारंभिक अवस्था में वापस जाना संभव है (लगभग निश्चित भी)। औसत पुनरावृत्ति प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रारंभिक अवस्था में वापस जाने का अपेक्षित समय भी परिमित है, और यह <math>2^N</math> है। स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करने पर पता चलता है कि यदि हम संतुलन (कंटेनरों में कणों की समान संख्या) पर प्रारंभ करते हैं, तो संतुलन में लौटने का अपेक्षित समय असमान रूप से <math>\textstyle\sqrt{\pi N/2}</math> के बराबर होता है। यदि हम मानते हैं कि विशेष स्थितियों में कण एक सेकंड में एक दर से कंटेनर बदलते हैं <math>N=100</math> कण, संतुलन से शुरू होकर संतुलन में वापसी आने की संभावना है <math>13</math> सेकंड, कॉन्फ़िगरेशन पर प्रारंभ करते समय <math>100</math> कंटेनरों में से एक में, <math>0</math> दूसरी ओर, उस अवस्था में वापसी की संभावना <math>4\cdot 10^{22}</math> साल है। यह मानना है कि सैद्धांतिक रूप से निश्चित होने के अतिरिक्त भी, प्रारंभिक अत्यधिक अनुपातहीन अवस्था की पुनरावृत्ति की संभावना नहीं है।


==ग्रन्थसूची==
==ग्रन्थसूची==
* Paul and Tatjana Ehrenfest: Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. ''[[Physikalische Zeitschrift]], vol. 8 (1907)'', pp.&nbsp;311–314.<ref name="Ehrenfest" />
* पॉल और तत्जाना एहरेनफेस्ट: उबेर ज्वेई बेकान्ते ईन्वांडे गेगेन दास बोल्ट्ज़मान्शे एच-प्रमेय। ''[[Physikalische Zeitschrift|फिजिकलिस्के ज़िट्सक्रिफ्ट]],'' खंड। 8 (1907), पीपी 311-314।<ref name="Ehrenfest" />
* [[F.P. Kelly]]: ''The Ehrenfest model'', in ''Reversibility and Stochastic Networks''. Wiley, Chichester, 1979. {{ISBN|0-471-27601-4}} pp.&nbsp;17–20.<ref>{{cite web |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~frank/BOOKS/kelly_book.html |title=Reversibility and Stochastic Networks |last=Kelly |first=F.P. |date=1979 |website=statslab.cam.ac.uk |publisher= |access-date=8 October 2022 |quote=}}</ref>
* [[F.P. Kelly|फ्रांसिस पैट्रिक केली]]: उत्क्रमणीयता और स्टोचैस्टिक नेटवर्क में एहरेनफेस्ट मॉडल। विले, चिचेस्टर, 1979. {{ISBN|0-471-27601-4}} पीपी. 17–20।<ref>{{cite web |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~frank/BOOKS/kelly_book.html |title=Reversibility and Stochastic Networks |last=Kelly |first=F.P. |date=1979 |website=statslab.cam.ac.uk |publisher= |access-date=8 October 2022 |quote=}}</ref>
* David O. Siegmund: ''Ehrenfest model of diffusion (mathematics)''. [[Encyclopædia Britannica]].<ref>{{cite web |url=https://www.britannica.com/science/Ehrenfest-model-of-diffusion
* डेविड ओ. सिगमंड: एहरेनफेस्ट मॉडल ऑफ डिफ्यूजन (गणित)। [[Encyclopædia Britannica|एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका]].<ref>{{cite web |url=https://www.britannica.com/science/Ehrenfest-model-of-diffusion
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 14:12, 14 June 2023

ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की व्याख्या करने के लिए तात्याना अफनासियेवा और पॉल एहरनफेस्ट द्वारा प्रसार का एरेनफेस्ट मॉडल (या डॉग फ्ली मॉडल) प्रस्तावित किया गया था।[1][2] मॉडल एन कणों को दो कंटेनरों में मानता है। कण स्वतंत्र रूप से कंटेनर को λ दर पर परिवर्तित करते हैं। यदि X(t) = i को समय t पर एक कंटेनर में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो यह एक सतत-समय मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) के साथ एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया है

  • के लिए i = 1, 2, ..., N
  • के लिए i = 0, 1, ..., N - 1

और संतुलन वितरण .

मार्क काक ने 1947 में सिद्ध किया कि यदि प्रारंभिक प्रणाली की अवस्था संतुलन में नहीं है, तो एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत), द्वारा दी गई

(एच-प्रमेय) में नीरस रूप से वृद्धि हो रही है। यह संतुलन वितरण के अभिसरण का परिणाम है।

परिणामों की व्याख्या

विचार करें कि प्रारंभ में सभी कण कंटेनरों में से एक में हैं। संभावना है कि समय के साथ इस कंटेनर में कणों की संख्या निकट आ जाएगी के और उस अवस्था के निकट कण स्थिर हो जाते हैं (कंटेनरों में लगभग समान संख्या में कण होंगे)। चूंकि गणितीय दृष्टिकोण से, प्रारंभिक अवस्था में वापस जाना संभव है (लगभग निश्चित भी)। औसत पुनरावृत्ति प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रारंभिक अवस्था में वापस जाने का अपेक्षित समय भी परिमित है, और यह है। स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करने पर पता चलता है कि यदि हम संतुलन (कंटेनरों में कणों की समान संख्या) पर प्रारंभ करते हैं, तो संतुलन में लौटने का अपेक्षित समय असमान रूप से के बराबर होता है। यदि हम मानते हैं कि विशेष स्थितियों में कण एक सेकंड में एक दर से कंटेनर बदलते हैं कण, संतुलन से शुरू होकर संतुलन में वापसी आने की संभावना है सेकंड, कॉन्फ़िगरेशन पर प्रारंभ करते समय कंटेनरों में से एक में, दूसरी ओर, उस अवस्था में वापसी की संभावना साल है। यह मानना है कि सैद्धांतिक रूप से निश्चित होने के अतिरिक्त भी, प्रारंभिक अत्यधिक अनुपातहीन अवस्था की पुनरावृत्ति की संभावना नहीं है।

ग्रन्थसूची

  • पॉल और तत्जाना एहरेनफेस्ट: उबेर ज्वेई बेकान्ते ईन्वांडे गेगेन दास बोल्ट्ज़मान्शे एच-प्रमेय। फिजिकलिस्के ज़िट्सक्रिफ्ट, खंड। 8 (1907), पीपी 311-314।[1]
  • फ्रांसिस पैट्रिक केली: उत्क्रमणीयता और स्टोचैस्टिक नेटवर्क में एहरेनफेस्ट मॉडल। विले, चिचेस्टर, 1979. ISBN 0-471-27601-4 पीपी. 17–20।[3]
  • डेविड ओ. सिगमंड: एहरेनफेस्ट मॉडल ऑफ डिफ्यूजन (गणित)। एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका.[4]

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Ehrenfest, Paul; Ehrenfest, Tatjana (1907). "Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem". Physikalische Zeitschrift (in German). 8: 311–314. Retrieved 18 October 2022. In der üblichen Formulierung besagt das H-theorem: Wenn ein sich selbst überlassenes kinetisches Gasmodell im Laufe seiner Bewegung die Zustände ...Z1, Z2....Zn ... (A) zu den Zeiten T1, T2.... Tn... durchlauft, so gelten für die konsekutiven Werte der Grössen H die Ungleichungen ....H1 > H2 > H3 .... > Hn .... (1).{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
  2. ↑ Nauenberg, M. (2004). "The evolution of radiation toward thermal equilibrium: A soluble model that illustrates the foundations of statistical mechanics". American Journal of Physics. 72 (3): 313–323. arXiv:cond-mat/0305219. Bibcode:2004AmJPh..72..313N. doi:10.1119/1.1632488.
  3. ↑ Kelly, F.P. (1979). "Reversibility and Stochastic Networks". statslab.cam.ac.uk. Retrieved 8 October 2022.
  4. ↑ Siegmund, David O. "Ehrenfest model of diffusion (mathematics)". www.britannica.com. Encyclopædia Britannica. Retrieved 18 October 2022.
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