नियमित उपाय

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस पर नियमित माप उपाय है, जिसके लिए प्रत्येक मापने योग्य समुच्चय को ऊपर से विवृत मापनीय समुच्चयों द्वारा और नीचे से कॉम्पैक्ट मापने योग्य समुच्चयों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

परिभाषा

माना (X, T) सांस्थितिक स्थान हो और Σ को X पर σ-बीजगणित होने दें। माना μ (X, Σ) पर उपाय बनें। X का मापने योग्य सबसेट A को आंतरिक नियमित कहा जाता है:

$\mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ compact and measurable}}\}$

और कहा कि यदि बाहरी नियमित हो; तो

$\mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ open and measurable}}\}$

• माप को आंतरिक नियमित माप कहा जाता है, यदि प्रत्येक मापने योग्य समुच्चय आंतरिक नियमित है। कुछ लेखक अलग परिभाषा का उपयोग करते हैं: माप को आंतरिक नियमित कहा जाता है यदि प्रत्येक विवृत मापने योग्य समुच्चय आंतरिक नियमित हो।
• माप को बाहरी नियमित कहा जाता है, यदि प्रत्येक मापने योग्य समुच्चय बाहरी नियमित हो।
• माप को नियमित कहा जाता है, यदि यह बाहरी नियमित और आंतरिक नियमित है।

उदाहरण

नियमित उपाय

• वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग उपाय नियमित माप है: लेबेसेग माप के लिए नियमितता प्रमेय देखें।
• किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट σ-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस पर कोई भी बेयर माप प्रायिकता माप नियमित उपाय है।
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर इसकी टोपोलॉजी, या कॉम्पैक्ट मेट्रिक स्पेस, या रेडॉन स्पेस के लिए कोई भी बोरेल उपाय प्रायिकता माप नियमित है।

आंतरिक नियमित उपाय जो बाहरी नियमित नहीं हैं

• अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक रेखा पर माप का उदाहरण है, जो बाहरी नियमित नहीं है, वह माप μ है, जहाँ $\mu (\emptyset )=0$, $\mu \left(\{1\}\right)=0\,\,$, और $\mu (A)=\infty \,\,$ किसी अन्य समुच्चय $A$ के लिए हैं।
• समतल पर बोरेल माप जो किसी भी बोरेल समुच्चय को उसके क्षैतिज खंडों के (1-आयामी) उपायों का योग प्रदान करता है, वह आंतरिक नियमित है, लेकिन बाहरी नियमित नहीं है, क्योंकि प्रत्येक गैर-खाली विवृत समुच्चय में अनंत माप होता है। इस उदाहरण का रूप लेबेस्गु माप के साथ वास्तविक रेखा की अनगिनत प्रतियों का असंबद्ध संघ है।
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर बोरेल माप μ का उदाहरण जो आंतरिक नियमित, σ-परिमित, और स्थानीय रूप से परिमित है, लेकिन बाहरी नियमित नहीं है, बॉरबाकी (2004, खंड 1 का अभ्यास 5) द्वारा निम्नानुसार दिया गया है। टोपोलॉजिकल स्पेस X ने बिंदुओं (0,y) के y-अक्ष द्वारा दिए गए वास्तविक विमान के सबसेट को बिंदुओं (1/n,m/n²) के साथ m,n सकारात्मक पूर्णांक के साथ समुच्चय किया है। टोपोलॉजी इस प्रकार दी गई है। एकल बिंदु (1/n,m/n²) सभी खुले समुच्चय हैं। बिंदु (0,y) के पड़ोस का आधार वेजेज द्वारा दिया जाता है; जिसमें फॉर्म (u,v) के X में सभी बिंदु |v − y| ≤ |u| ≤ 1/n सकारात्मक पूर्णांक n के लिए सम्मिलित होते हैं। यह स्पेस X स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। माप μ को y-अक्ष को माप 0 देकर और बिंदु (1/n,m/n²) को माप 1/n³ देकर दिया जाता है। यह माप आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है, लेकिन बाहरी नियमित नहीं है क्योंकि y-अक्ष वाले किसी भी विवृत समुच्चय में माप अनंत है।

बाहरी नियमित उपाय जो आंतरिक नियमित नहीं हैं

• यदि μ पिछले उदाहरण में आंतरिक नियमित माप है, और M, M(S) = inf_U⊇S μ(U) द्वारा दिया गया माप है। जहां बोरेल समुच्चय S वाले सभी विवृत समुच्चयों पर inf लिया जाता है, फिर M स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस पर बाहरी नियमित रूप से सीमित बोरेल माप होता है जो कठोर अर्थों में आंतरिक नियमित नहीं होता है, चूँकि सभी विवृत समुच्चय आंतरिक नियमित हैं, इसलिए यह अशक्त अर्थों में आंतरिक नियमित है। उपाय M और μ सभी विवृत समुच्चयों, सभी कॉम्पैक्ट समुच्चयों और उन सभी समुच्चयों पर मेल खाते हैं जिन पर M का परिमित माप है। y-अक्ष में अनंत M-माप है, चूँकि इसके सभी कॉम्पैक्ट सबसेट में माप 0 है।
• असतत टोपोलॉजी के साथ मापने योग्य कार्डिनल में बोरेल संभाव्यता माप होता है जैसे कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबसेट में माप 0 होता है, इसलिए यह माप बाहरी नियमित है लेकिन आंतरिक नियमित नहीं है। मापने योग्य कार्डिनल्स का अस्तित्व जेडएफ समुच्चय सिद्धांत में सिद्ध नहीं किया जा सकता है लेकिन (2013 तक) इसके अनुरूप माना जाता है।

उपाय जो न तो आंतरिक हैं और न ही बाहरी नियमित हैं

• विवृत अंतराल द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी के साथ, पहले अनगिनत ऑर्डिनल Ω के बराबर सभी ऑर्डिनल्स का स्थान कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस है। वह उपाय जो बोरेल समुच्चयों को माप 1 प्रदान करता है, जिसमें काउंटेबल ऑर्डिनल्स का अनबाउंड क्लोज्ड सबसेट होता है और अन्य बोरेल समुच्चयों को 0 असाइन करता है, वह बोरेल प्रायिकता माप है, जो न तो आंतरिक नियमित है और न ही बाहरी नियमित है।

यह भी देखें

• बोरेल का नियमित उपाय करें
• रेडॉन माप
• लेबेस्ग उपाय के लिए नियमितता प्रमेय

संदर्भ

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR2169627 (See chapter 2)
• Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall.