केंद्रीय विन्यास: Difference between revisions
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खगोलीय यांत्रिकी और n-पिंड समस्या के गणित में, '''केंद्रीय विन्यास''' गुण के साथ बिंदु द्रव्यमान की एक प्रणाली है जो प्रत्येक द्रव्यमान को प्रत्यक्ष रूप से प्रणाली के संयुक्त गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा खींचा जाता है। द्रव्यमान का केंद्र त्वरण के साथ केंद्र से इसकी दूरी के समानुपाती होता है।किसी भी आयाम के यूक्लिडियन समष्टि में केंद्रीय विन्यास का अध्ययन किया जा सकता है, हालांकि केवल आयाम एक, दो और तीन खगोलीय यांत्रिकी के लिए सीधे प्रासंगिक हैं।{{r|moeckel|saari}} | |||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
n समान द्रव्यमान के लिए, एक संभावित केंद्रीय विन्यास द्रव्यमान को एक समभुजकोणीय बहुभुज (एक क्लेम्पर रोसेट बनाने), एक प्लेटोनिक ठोस, या उच्च आयामों में एक समभुजकोणीय बहुतलीय के शीर्ष पर रखता है। विन्यास की केंद्रीयता इसकी समरूपता से होती है। प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र में, इसकी केंद्रीयता को बदले बिना, यादृच्छिक द्रव्यमान का एक अतिरिक्त बिंदु रखना भी संभव है। | |||
तीन द्रव्यमानों को एक समबाहु त्रिभुज में, चार को एक | तीन द्रव्यमानों को एक समबाहु त्रिभुज में, चार को एक समभुजकोणीय [[चतुर्पाश्वीय]] के शीर्ष पर, या अधिक सामान्य रूप से रखना {{mvar|n}} एक समभुजकोणीय [[संकेतन]] के शीर्ष पर द्रव्यमान एक केंद्रीय विन्यास का निर्माण करता है, तब भी जब द्रव्यमान समान नहीं होते हैं। इन द्रव्यमानों के लिए यह एकमात्र केंद्रीय विन्यास है जो निम्न-आयामी उप-समष्टि में स्थित नहीं है।{{r|moeckel}} | ||
== | == गतिक प्रतिरोध == | ||
न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के | न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अंतर्गत, एक केंद्रीय विन्यास में आराम से रखे गए पिंड विन्यास को बनाए रखेंगे क्योंकि वे अपने द्रव्यमान के केंद्र में संघट्टित होते हैं। द्वि-आयामी केंद्रीय विन्यास में पिंडों की प्रणाली अपने द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर स्थिर रूप से परिक्रमा कर सकती है, द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं के साथ या दीर्घवृत्त के केंद्र में द्रव्यमान के केंद्र के साथ अण्डाकार कक्षाओं में अपनी सापेक्ष स्थिति बनाए रख सकती है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ये एकमात्र संभावित स्थिर कक्षाएँ हैं जिनमें कणों की प्रणाली सदैव अपने प्रारंभिक विन्यास के समान रहती है।{{r|moeckel}} | ||
अधिक | अधिक सामान्य रूप से, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत संचरित कणों की कोई भी प्रणाली जो समय और समष्टि में समान बिंदु पर संघट्टित होती है, एक केंद्रीय विन्यास का अनुमान लगाती है, समय की सीमा में संघट्टन के समय की प्रवृत्ति होती है। इसी तरह, कणों की एक प्रणाली जो अंतत: एक-दूसरे से पूरी तरह से संरक्षित करने के वेग से प्रतिबंधित होती है, समय के अनंत होने की सीमा में एक केंद्रीय विन्यास का अनुमान लगाएगा। और कणों की कोई भी प्रणाली जो न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत संचरण करती है जैसे कि वे एक कठोर पिंड हैं, उन्हें केंद्रीय विन्यास में ऐसा करना चाहिए। द्वि-आयामी द्रव गतिकी में भ्रमिल, जैसे कि पृथ्वी के महासागरों पर बड़े उपद्रव तंत्र, केंद्रीय विन्यास में स्वयं को व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति रखते हैं।{{r|saari}} | ||
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दो केंद्रीय विन्यासों को समतुल्य माना जाता है यदि वे [[समानता (ज्यामिति)]] हैं, अर्थात, वे | दो केंद्रीय विन्यासों को समतुल्य माना जाता है यदि वे [[समानता (ज्यामिति)]] हैं, अर्थात, वे घूर्णन, परिवर्तन और अनुमाप परिवर्तन के कुछ संयोजन द्वारा एक दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। तुल्यता की इस परिभाषा के साथ, एक या दो बिंदुओं का केवल एक विन्यास होता है, और यह सदैव केंद्रीय होता है। | ||
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तीन पिंडों | तीन पिंडों की स्थितियों में, [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा खोजे गए तीन एक-आयामी केंद्रीय विन्यास हैं। तीन-बिंदु केंद्रीय विन्यास के समुच्चय की सूक्ष्मता को [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] ने [[तीन-शरीर की समस्या|तीन-पिंड की समस्या]] के समाधान में दिखाया था; लैग्रेंज ने दिखाया कि केवल एक गैर-संरेखीय केंद्रीय विन्यास है, जिसमें तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।{{r|saari}} | ||
किसी भी आयाम में चार बिंदुओं में केवल बहुत अधिक केंद्रीय विन्यास होते हैं। इस | किसी भी आयाम में चार बिंदुओं में केवल बहुत अधिक केंद्रीय विन्यास होते हैं। इस स्थितियों में विन्यास की संख्या कम से कम 32 और अधिकतम 8472 होते है, जो अंकों के द्रव्यमान पर निर्भर करता है।{{r|a95|hm}} चार समान द्रव्यमान का एकमात्र उत्तल केंद्रीय विन्यास एक वर्ग है।{{r|a96}} चार पिंडों का एकमात्र केंद्रीय विन्यास जो तीन आयामों को विस्तारित करता है, एक समभुजकोणीय चतुष्फलक के शीर्षों द्वारा निर्मित विन्यास है।{{r|pizetti}} | ||
एक आयाम में | एक आयाम में यादृच्छिक से कई बिंदुओं के लिए, पुनः केवल सूक्ष्म रूप से कई समाधान होते हैं, प्रत्येक के लिए एक {{math|''n''!/2}} एक रेखा पर बिंदुओं का रेखीय क्रम (क्रम के उत्क्रमण तक) होता है।{{r|moeckel|saari|af|moulton}} | ||
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के | n बिंदु द्रव्यमान के प्रत्येक समुच्चय के लिए, और n से कम प्रत्येक आयाम के लिए, उस आयाम का कम से कम एक केंद्रीय विन्यास सम्मिलित होता है।{{r|moeckel}} द्रव्यमान के लगभग सभी n-टपल के लिए निश्चित रूप से बहुत से "डज़ियोबेक" विन्यास होते हैं जो परिशुद्ध रूप से n - 2 आयामों तक विस्तृत होते हैं।{{r|moeckel}} यह एक निषिद्ध समस्या है, जिसे चेजी (1918) और विंटनर (1941) द्वारा प्रस्तुत किया गया है, फिर दो या दो से अधिक आयामों में पांच या अधिक द्रव्यमान के लिए सदैव केंद्रीय विन्यास की एक सीमित संख्या हो। 1998 में, स्टीफन स्मेल ने "अगली शताब्दी के लिए गणितीय समस्याओं" की अपनी सूची में छठे स्थान पर इस समस्या को सम्मिलित किया है।{{r|saari|chazy|wintner|smale}} आंशिक विकास के रूप में, लगभग सभी 5-ट्यूपल द्रव्यमानों के लिए, पाँच बिंदुओं के द्वि-आयामी केंद्रीय विन्यासों की केवल एक सीमित संख्या होती है।{{r|ak}} | ||
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== | == विन्यास के विशेष वर्ग == | ||
=== | === स्टैक( चित्ति) === | ||
एक केंद्रीय विन्यास को | एक केंद्रीय विन्यास को स्टैक कहा जाता है यदि इसके तीन या अधिक द्रव्यमान का एक उपसमुच्चय भी एक केंद्रीय विन्यास बनाता है। उदाहरण के लिए, यह एक वर्गाकार पिरामिड बनाने वाले समान द्रव्यमान के लिए सही हो सकता है, पिरामिड के आधार पर चार द्रव्यमान भी एक केंद्रीय विन्यास बनाते हैं, या [[त्रिकोणीय द्विपिरामिड]] बनाने वाले द्रव्यमान के लिए, द्विपिरामिड के केंद्रीय त्रिकोण में तीन द्रव्यमान के साथ एक केंद्रीय विन्यास भी बना रहा है।{{r|hampton}} | ||
=== स्पाइडरवेब === | === स्पाइडरवेब === | ||
स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास एक विन्यास है जिसमें समूह समान कोणों के साथ वृत्तों के केंद्र में मिलने वाली रेखाओं के एक और संग्रह के साथ [[संकेंद्रित वृत्त|संकेंद्रित वृत्तो]] के संग्रह के प्रतिच्छेद बिंदुओं पर स्थित होती है। एक वृत्त वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर समान द्रव्यमान के बिंदुओं का प्रग्रहण होना चाहिए, लेकिन द्रव्यमान एक वृत्त से दूसरे वृत्त में भिन्न हो सकते हैं। प्रणाली के केंद्र में एक अतिरिक्त द्रव्यमान (जो शून्य हो सकता है) रखा गया है। स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास के प्रत्येक संकेंद्रित वृत्त पर रेखाओ की किसी भी वांछित संख्या, वृत्तों की संख्या और लोगों की प्रोफ़ाइल के लिए, उन पैरामीटर से अनुरूप वाले स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास को जांच करना संभव है।{{r|saari2|hr}} एक समान रूप से बहुक्रम प्लेटोनिक ठोस के वर्गों के लिए केंद्रीय विन्यास प्राप्त कर सकते हैं, या अधिक सामान्य रूप से [[समूह क्रिया (गणित)|समूह संक्रिया (गणित)]] [[ऑर्थोगोनल समूह|लंबकोणीय समूह]] के किसी भी परिमित उपसमूह के अधिक सामान्यतः समूह-सैद्धांतिक कक्षाएँ प्राप्त कर सकते हैं।{{r|montaldi}} | |||
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Latest revision as of 15:49, 14 June 2023
खगोलीय यांत्रिकी और n-पिंड समस्या के गणित में, केंद्रीय विन्यास गुण के साथ बिंदु द्रव्यमान की एक प्रणाली है जो प्रत्येक द्रव्यमान को प्रत्यक्ष रूप से प्रणाली के संयुक्त गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा खींचा जाता है। द्रव्यमान का केंद्र त्वरण के साथ केंद्र से इसकी दूरी के समानुपाती होता है।किसी भी आयाम के यूक्लिडियन समष्टि में केंद्रीय विन्यास का अध्ययन किया जा सकता है, हालांकि केवल आयाम एक, दो और तीन खगोलीय यांत्रिकी के लिए सीधे प्रासंगिक हैं।[1][2]
उदाहरण
n समान द्रव्यमान के लिए, एक संभावित केंद्रीय विन्यास द्रव्यमान को एक समभुजकोणीय बहुभुज (एक क्लेम्पर रोसेट बनाने), एक प्लेटोनिक ठोस, या उच्च आयामों में एक समभुजकोणीय बहुतलीय के शीर्ष पर रखता है। विन्यास की केंद्रीयता इसकी समरूपता से होती है। प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र में, इसकी केंद्रीयता को बदले बिना, यादृच्छिक द्रव्यमान का एक अतिरिक्त बिंदु रखना भी संभव है।
तीन द्रव्यमानों को एक समबाहु त्रिभुज में, चार को एक समभुजकोणीय चतुर्पाश्वीय के शीर्ष पर, या अधिक सामान्य रूप से रखना n एक समभुजकोणीय संकेतन के शीर्ष पर द्रव्यमान एक केंद्रीय विन्यास का निर्माण करता है, तब भी जब द्रव्यमान समान नहीं होते हैं। इन द्रव्यमानों के लिए यह एकमात्र केंद्रीय विन्यास है जो निम्न-आयामी उप-समष्टि में स्थित नहीं है।[1]
गतिक प्रतिरोध
न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अंतर्गत, एक केंद्रीय विन्यास में आराम से रखे गए पिंड विन्यास को बनाए रखेंगे क्योंकि वे अपने द्रव्यमान के केंद्र में संघट्टित होते हैं। द्वि-आयामी केंद्रीय विन्यास में पिंडों की प्रणाली अपने द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर स्थिर रूप से परिक्रमा कर सकती है, द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं के साथ या दीर्घवृत्त के केंद्र में द्रव्यमान के केंद्र के साथ अण्डाकार कक्षाओं में अपनी सापेक्ष स्थिति बनाए रख सकती है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ये एकमात्र संभावित स्थिर कक्षाएँ हैं जिनमें कणों की प्रणाली सदैव अपने प्रारंभिक विन्यास के समान रहती है।[1]
अधिक सामान्य रूप से, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत संचरित कणों की कोई भी प्रणाली जो समय और समष्टि में समान बिंदु पर संघट्टित होती है, एक केंद्रीय विन्यास का अनुमान लगाती है, समय की सीमा में संघट्टन के समय की प्रवृत्ति होती है। इसी तरह, कणों की एक प्रणाली जो अंतत: एक-दूसरे से पूरी तरह से संरक्षित करने के वेग से प्रतिबंधित होती है, समय के अनंत होने की सीमा में एक केंद्रीय विन्यास का अनुमान लगाएगा। और कणों की कोई भी प्रणाली जो न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत संचरण करती है जैसे कि वे एक कठोर पिंड हैं, उन्हें केंद्रीय विन्यास में ऐसा करना चाहिए। द्वि-आयामी द्रव गतिकी में भ्रमिल, जैसे कि पृथ्वी के महासागरों पर बड़े उपद्रव तंत्र, केंद्रीय विन्यास में स्वयं को व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति रखते हैं।[2]
गणना
दो केंद्रीय विन्यासों को समतुल्य माना जाता है यदि वे समानता (ज्यामिति) हैं, अर्थात, वे घूर्णन, परिवर्तन और अनुमाप परिवर्तन के कुछ संयोजन द्वारा एक दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। तुल्यता की इस परिभाषा के साथ, एक या दो बिंदुओं का केवल एक विन्यास होता है, और यह सदैव केंद्रीय होता है।
तीन पिंडों की स्थितियों में, लियोनहार्ड यूलर द्वारा खोजे गए तीन एक-आयामी केंद्रीय विन्यास हैं। तीन-बिंदु केंद्रीय विन्यास के समुच्चय की सूक्ष्मता को जोसेफ-लुई लाग्रेंज ने तीन-पिंड की समस्या के समाधान में दिखाया था; लैग्रेंज ने दिखाया कि केवल एक गैर-संरेखीय केंद्रीय विन्यास है, जिसमें तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।[2]
किसी भी आयाम में चार बिंदुओं में केवल बहुत अधिक केंद्रीय विन्यास होते हैं। इस स्थितियों में विन्यास की संख्या कम से कम 32 और अधिकतम 8472 होते है, जो अंकों के द्रव्यमान पर निर्भर करता है।[3][4] चार समान द्रव्यमान का एकमात्र उत्तल केंद्रीय विन्यास एक वर्ग है।[5] चार पिंडों का एकमात्र केंद्रीय विन्यास जो तीन आयामों को विस्तारित करता है, एक समभुजकोणीय चतुष्फलक के शीर्षों द्वारा निर्मित विन्यास है।[6]
एक आयाम में यादृच्छिक से कई बिंदुओं के लिए, पुनः केवल सूक्ष्म रूप से कई समाधान होते हैं, प्रत्येक के लिए एक n!/2 एक रेखा पर बिंदुओं का रेखीय क्रम (क्रम के उत्क्रमण तक) होता है।[1][2][7][8]
Is there a bounded number of central configurations for every finite collection of point masses in every dimension?
n बिंदु द्रव्यमान के प्रत्येक समुच्चय के लिए, और n से कम प्रत्येक आयाम के लिए, उस आयाम का कम से कम एक केंद्रीय विन्यास सम्मिलित होता है।[1] द्रव्यमान के लगभग सभी n-टपल के लिए निश्चित रूप से बहुत से "डज़ियोबेक" विन्यास होते हैं जो परिशुद्ध रूप से n - 2 आयामों तक विस्तृत होते हैं।[1] यह एक निषिद्ध समस्या है, जिसे चेजी (1918) और विंटनर (1941) द्वारा प्रस्तुत किया गया है, फिर दो या दो से अधिक आयामों में पांच या अधिक द्रव्यमान के लिए सदैव केंद्रीय विन्यास की एक सीमित संख्या हो। 1998 में, स्टीफन स्मेल ने "अगली शताब्दी के लिए गणितीय समस्याओं" की अपनी सूची में छठे स्थान पर इस समस्या को सम्मिलित किया है।[2][9][10][11] आंशिक विकास के रूप में, लगभग सभी 5-ट्यूपल द्रव्यमानों के लिए, पाँच बिंदुओं के द्वि-आयामी केंद्रीय विन्यासों की केवल एक सीमित संख्या होती है।[12]
विन्यास के विशेष वर्ग
स्टैक( चित्ति)
एक केंद्रीय विन्यास को स्टैक कहा जाता है यदि इसके तीन या अधिक द्रव्यमान का एक उपसमुच्चय भी एक केंद्रीय विन्यास बनाता है। उदाहरण के लिए, यह एक वर्गाकार पिरामिड बनाने वाले समान द्रव्यमान के लिए सही हो सकता है, पिरामिड के आधार पर चार द्रव्यमान भी एक केंद्रीय विन्यास बनाते हैं, या त्रिकोणीय द्विपिरामिड बनाने वाले द्रव्यमान के लिए, द्विपिरामिड के केंद्रीय त्रिकोण में तीन द्रव्यमान के साथ एक केंद्रीय विन्यास भी बना रहा है।[13]
स्पाइडरवेब
स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास एक विन्यास है जिसमें समूह समान कोणों के साथ वृत्तों के केंद्र में मिलने वाली रेखाओं के एक और संग्रह के साथ संकेंद्रित वृत्तो के संग्रह के प्रतिच्छेद बिंदुओं पर स्थित होती है। एक वृत्त वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर समान द्रव्यमान के बिंदुओं का प्रग्रहण होना चाहिए, लेकिन द्रव्यमान एक वृत्त से दूसरे वृत्त में भिन्न हो सकते हैं। प्रणाली के केंद्र में एक अतिरिक्त द्रव्यमान (जो शून्य हो सकता है) रखा गया है। स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास के प्रत्येक संकेंद्रित वृत्त पर रेखाओ की किसी भी वांछित संख्या, वृत्तों की संख्या और लोगों की प्रोफ़ाइल के लिए, उन पैरामीटर से अनुरूप वाले स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास को जांच करना संभव है।[14][15] एक समान रूप से बहुक्रम प्लेटोनिक ठोस के वर्गों के लिए केंद्रीय विन्यास प्राप्त कर सकते हैं, या अधिक सामान्य रूप से समूह संक्रिया (गणित) लंबकोणीय समूह के किसी भी परिमित उपसमूह के अधिक सामान्यतः समूह-सैद्धांतिक कक्षाएँ प्राप्त कर सकते हैं।[16]
जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने सुझाव दिया कि एक चक्र के साथ इन विन्यासों का एक विशेष स्थिति, एक विशाल केंद्रीय निकाय, और चक्र पर समान दूरी वाले बिंदुओं पर बहुत हल्का पिंडों का उपयोग शनि ग्रह के वलयों की गति को समझने के लिए किया जा सकता है।[14][17] सारि (2015) ने आकाशगंगाओं के बड़े पैमाने पर वितरण के लिए उत्कृष्ट अनुमान विधियों की परिशुद्धता का परीक्षण करने के लिए ज्ञात द्रव्यमान वितरण के साथ स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास से उत्पन्न स्थिर कक्षाओं का उपयोग किया। उनके परिणामों से पता चला कि ये तरीके अपेक्षाकृत अधिक गलत हो सकते हैं, संभावित रूप से दिखा रहे हैं कि मानक सिद्धांतों की भविष्यवाणी की तुलना में गालाक्टिक (गांगेय) गति की भविष्यवाणी करने के लिए कम डार्क मैटर (काले पदार्थ ) की आवश्यकता है।[14]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Moeckel, Richard (2015), "Central configurations", in Llibre, Jaume; Moeckel, Richard; Simó, Carles (eds.), Central Configurations, Periodic Orbits, and Hamiltonian Systems, Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona, Basel: Springer, pp. 105–167, doi:10.1007/978-3-0348-0933-7_2, MR 3469182
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Saari, Donald G. (2011), "Central Configurations—A Problem for the Twenty-first Century" (PDF), in Shubin, Tatiana; Hayes, David; Alexanderson, Gerald (eds.), Expeditions in mathematics, MAA Spectrum, Washington, DC: Mathematical Association of America, pp. 283–297, ISBN 978-0-88385-571-3, MR 2849696
- ↑ Albouy, Alain (1995), "Symétrie des configurations centrales de quatre corps", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 320 (2): 217–220, MR 1320359
- ↑ Hampton, Marshall; Moeckel, Richard (2006), "Finiteness of relative equilibria of the four-body problem", Inventiones Mathematicae, 163 (2): 289–312, doi:10.1007/s00222-005-0461-0, MR 2207019, S2CID 1293751
- ↑ Albouy, Alain (1996), "The symmetric central configurations of four equal masses", Hamiltonian dynamics and celestial mechanics (Seattle, WA, 1995), Contemporary Mathematics, vol. 198, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 131–135, doi:10.1090/conm/198/02494, MR 1409157
- ↑ Pizzetti, Paolo (1904), "Casi particolari del problema dei tre corpi", Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 13: 17–26
- ↑ Albouy, Alain; Fu, Yanning (2007), "Euler configurations and quasi-polynomial systems", Regular and Chaotic Dynamics, 12 (1): 39–55, arXiv:math-ph/0603075, Bibcode:2007RCD....12...39A, doi:10.1134/S1560354707010042, MR 2350295, S2CID 18065509
- ↑ Moulton, F. R. (1910), "The straight line solutions of the problem of n bodies", Annals of Mathematics, Second Series, 12 (1): 1–17, doi:10.2307/2007159, JSTOR 2007159, MR 1503509
- ↑ Chazy, J. (1918), "Sur certaines trajectoires du problème des n corps", Bulletin Astronomique, 35: 321–389, doi:10.3406/bastr.1918.13419, S2CID 249034773
- ↑ Wintner, Aurel (1941), The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton Mathematical Series, vol. 5, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, MR 0005824
- ↑ Smale, Steve (1998), "Mathematical problems for the next century", The Mathematical Intelligencer, 20 (2): 7–15, doi:10.1007/BF03025291, MR 1631413, S2CID 1331144
- ↑ Albouy, Alain; Kaloshin, Vadim (2012), "Finiteness of central configurations of five bodies in the plane", Annals of Mathematics, Second Series, 176 (1): 535–588, doi:10.4007/annals.2012.176.1.10, MR 2925390
- ↑ Hampton, Marshall (2005), "Stacked central configurations: new examples in the planar five-body problem", Nonlinearity, 18 (5): 2299–2304, doi:10.1088/0951-7715/18/5/021, MR 2164743, S2CID 119863471
- ↑ 14.0 14.1 14.2 Saari, Donald G. (April 2015), "N-body solutions and computing galactic masses", The Astronomical Journal, 149 (5): 174, Bibcode:2015AJ....149..174S, doi:10.1088/0004-6256/149/5/174, S2CID 119903466
- ↑ Hénot, Olivier; Rousseau, Christiane (2019), "Spiderweb central configurations", Qualitative Theory of Dynamical Systems, 18 (3): 1135–1160, doi:10.1007/s12346-019-00330-y, MR 4028598
- ↑ Montaldi, James (2015), "Existence of symmetric central configurations" (PDF), Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 122 (4): 405–418, arXiv:1408.5854, Bibcode:2015CeMDA.122..405M, doi:10.1007/s10569-015-9625-4, MR 3368140, S2CID 16906550
- ↑ Maxwell, James Clerk (1859), On the stability of the motion of Saturn's rings, Cambridge: Macmillan, Bibcode:1859osms.book.....M, doi:10.3931/e-rara-244
