फर्मीओनिक क्षेत्र

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत मे फर्मीओनिक क्षेत्र और एक क्वांटम क्षेत्र है। जिसका क्वांटम फर्मियन होता है अर्थात् वह फर्मी-डिराक सांख्यिकी का अनुसरण करते हैं। बोसोनिक क्षेत्र के विनिमय विहित संबंधों के अतिरिक्त फर्मीओनिक क्षेत्र विहित प्रतिसंक्रमण सम्बन्ध का अनुसरण करते हैं।

फ़र्मोनिक क्षेत्र का सबसे प्रमुख उदाहरण डिराक क्षेत्र है। जो 1/2 चक्रण (भौतिकी) विद्युदणु, प्रोटॉन, क्वार्क आदि के साथ फ़र्मियन का वर्णन करता है। डिराक क्षेत्र को 4-घटक चक्रण या 2 घटक कुंज चक्रण के समरूप रूप में वर्णित किया जा सकता है। चक्रण 1/2 मेजराना फ़र्मियन के काल्पनिक न्यूट्रलिनो को या तो आश्रित 4-घटक मेजराना चक्रणों या एकल 2-घटक कुंज चक्रणों के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यह ज्ञात नहीं है कि न्युट्रीनो मेजराना फर्मियन है या एक डिराक फर्मियन है। प्रयोगात्मक रूप से अल्प न्यूट्रिनो दोहरे संस्करण क्षय का अवलोकन करने से यह प्रश्न चिन्ह समाप्त हो जाएगा।

मूलभूत गुण

स्वतंत्र ( बिना परस्पर प्रभाव) फ़र्मोनिक क्षेत्र विहित प्रति संक्रमण संबंधों का अनुसरण करते हैं। अथार्त बोसोनिक या मानक क्वांटम यांत्रिकी के विनिमेयक [a, b] = ab − ba के अतिरिक्त प्रतिरोध विनिमेयक {a, b} = ab + ba को सम्मिलित करा जायेगा। जिस स्थान पर क्षेत्र समय के साथ विकसित होते हैं, वह संबंध अंतःक्रियात्मक चित्र में परस्पर क्रिया करने वाले क्षेत्रों के लिए धारण करते हैं। जैसे कि मुक्त और अंतःक्रिया के प्रभाव क्षेत्रों के विकास में कूटबद्ध होते हैं।

मूल यह है कि यह प्रतिसंक्रमण संबंध हैं। जो क्वांटम क्षेत्र के लिए फर्मी-डिराक आंकड़े दिखाते हैं। वह पाउली अपवर्जन सिद्धांत में भी परिणत होते हैं। दो फेरमोनिक कण एक ही समय में एक ही अवस्था में नहीं रह सकते।

डिराक क्षेत्र

चक्रण-1/2 फ़र्मियन क्षेत्र का प्रमुख उदाहरण डिराक क्षेत्र है (यह पॉल डिराक के नाम पर है), और इसके $\psi (x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। एक मुक्त चक्रण 1/2 कण के लिए गति का समीकरण डिराक समीकरण है,

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,$

जिस स्थान पर $\gamma ^{\mu }$ गामा आव्यूह हैं और $m$ द्रव्यमान है। इस समीकरण का सरलतम संभव $\psi (x)$ इस समीकरण के लिए समतल संकेत समाधान $u(p)e^{-ip.x}\,$ और $v(p)e^{ip.x}\,$है। ये समतल संकेत समाधान $\psi (x)$ के फूरियर घटकों के लिए एक आधार बनाते हैं। जिससे संकेत कार्य के सामान्य विस्तार की अनुमति मिलती है,

$\psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,$

u और v चक्रण हैं, जिन्हें चक्रण s और चक्रण अनुक्रमणिका $\alpha \in \{0,1,2,3\}$ द्वारा अंकित किया गया है। विद्युदणु के लिए एक चक्रण 1/2 कण s = +1/2 या s =−1/2 है। लॉरेंज अपरिवर्तनीय एकीकरण क्वांटम होने का परिणाम ऊर्जा कारक है। दूसरे परिमाणीकरण में $\psi (x)$ एक संक्रियक के लिए पदोन्नत किया जाता है। इसलिए इसके फूरियर प्रणाली के गुणांक भी संक्रियक होने चाहिए। इस तरह $a_{\mathbf {p} }^{s}$ और $b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ संचालक हैं। इन संचालको के गुणों को क्षेत्र के गुणों से पहचाना जा सकता है, और $\psi (x)$ और $\psi (y)^{\dagger }$ प्रतिसंक्रमण संबंधों का अनुसरण करते है ।

$\left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.$

संक्रियकों को फर्मी-डिराक सांख्यिकी के साथ संगत बनाने के लिए हम एक प्रतिसंक्रमण सम्बन्ध (एक विहित विनिमय सम्बन्ध के विपरीत जैसा कि हम बोसोनिक क्षेत्र के लिए करते हैं) का प्रयोग करते हैं, और $\psi (x)$ और $\psi (y)$ अवच्छेद करके गुणांकों के लिए प्रतिसंक्रमण संबंधों की गणना प्राप्त करी जा सकती है।

$\left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,$

एक तरह से अ-सापेक्षिक अभाव एवं निर्माण संक्रियकों और उनके क्रम विनिमेयक के अनुरूप यह बीजगणित भौतिक व्याख्या की ओर ले जाते हैं, जो $a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ संवेग p और चक्रण s का एक फ़र्मियन बनाता है, और $b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }$ संवेग q और चक्रण r का प्रतिपक्षी बनाता है। सामान्य क्षेत्र $\psi (x)$ अब फ़र्मियन और प्रतिरोध फर्मियन बनाने के लिए सभी संभावित चक्रणों और गति पर भारित (ऊर्जा कारक द्वारा) योग के रूप में देखा जाता है। इसका संयुग्मी क्षेत्र, ${\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ विपरीत है। यह सभी संभावित घुमावों पर एक भारित योग और विलोपन और प्रतिपक्षी को नष्ट करने के लिए संवेग है।

क्षेत्र विधाओं को समझने और संयुग्मी क्षेत्र को परिभाषित करने के साथ ही फर्मीओनिक क्षेत्रों के लिए लॉरेंज अपरिवर्तनीय क्वांटम का निर्माण करना संभव है। सबसे सरल क्वांटम ${\overline {\psi }}\psi \,$ है और यह चयन का स्पष्ट ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ कारण बनता है । ऐसा इसलिए है चूँकि जनरल लोरेंत्ज़ आरंभ हो जाता है और $\psi$ एकात्मक नहीं है। इसलिए क्वांटम $\psi ^{\dagger }\psi$ इस तरह के परिवर्तनों के अनुसार अपरिवर्तनीय नहीं होगा। इसलिए $\gamma ^{0}\,$ को समावेश करना उचित है। संभावित शून्येतर लोरेंत्ज़ सहप्रसरण क्वांटम एक समग्र संयुग्मन तक फर्मीओनिक क्षेत्रों मे निर्माण ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$ योग्य है।

चूंकि इन परिमाणों के रैखिक संयोजन भी लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय हैं। यह स्वाभाविक रूप से डिराक क्षेत्र के लिए लैग्रैन्जियन घनत्व की ओर जाता है। इस आवश्यकता से कि प्रणाली के यूलर-लैग्रेंज समीकरण डिराक समीकरण को पुनर्प्राप्त करें।

${\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,$

इस तरह की अभिव्यक्ति के सूचकांकों को निरूद्ध दिया गया है। जब पुन: प्रस्तुत किया जाता है तो पूर्ण अभिव्यक्ति होती है।

${\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,$

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) (ऊर्जा) घनत्व का निर्माण पहले $\Pi (x):$ नामक $\psi (x)$ के कैनोनिक रूप से संयुग्मित गति को परिभाषित करके भी करा जा सकता है।

$\Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.$

उस परिभाषा के साथ $\Pi$ हैमिल्टनियन घनत्व है।

${\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,$

जिस स्थान पर ${\vec {\nabla }}$ अंतराल जैसे निर्देशांक का मानक प्रवणता है, और ${\vec {\gamma }}$ अंतराल की तरह $\gamma$ आव्यूह सदिश है। यह आश्चर्य की बात है कि हैमिल्टनियन घनत्व सीधे $\psi$ समय के व्युत्पन्न पर निर्भर नहीं करता है , किन्तु प्रत्यक्ष रूप से अभिव्यक्ति यह सही है।

$\psi (x)$ के लिए अभिव्यक्ति को देखते हुए हम फ़र्मियन क्षेत्र के लिए फेनमैन प्रोपेगेटर का निर्माण कर सकते हैं

$D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle$

हम उनके प्रतिरोध क्रमविनिमेय प्रकृति के कारण ऋण चिह्न वाले फरमिओन्स के लिए समय-क्रमित उत्पाद को परिभाषित करते हैं,

$T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).$

उपरोक्त समीकरण उत्पन्न में फ़र्मियन क्षेत्र के लिए हमारे सतह संकेत विस्तार को नियंत्रण करना है,

$D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}$

जहां हमने फेनमैन स्लैश अंकन को नियोजित किया है, उसके उपरान्त यह परिणाम कारक के बाद से समझ में आता है,

${\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}$

डिराक समीकरण में $\psi (x)$ कार्य करने वाले संक्रियक का ठीक विपरीत है। ध्यान दें कि क्लेन-गॉर्डन समीकरण क्षेत्र के लिए फेनमैन प्रचारक का यही अधिकार है। चूँकि सभी उचित अवलोकनीय (जैसे ऊर्जा, आवेश, कण संख्या, आदि) सम संख्या वाले फ़र्मियन क्षेत्रों से निर्मित होती हैं। प्रकाश शंकु के बाहर अवलोकनीय अवधि बिंदुओं पर किन्हीं दो अवलोकनों के बीच रूपांतरण संबंध लुप्त हो जाता है। जैसा कि हम प्राथमिक क्वांटम यांत्रिकी से जानते हैं, कि दो एक साथ आने-जाने वाले प्रेक्षणीय को एक साथ मापा जा सकता है। इसलिए हमने डिराक क्षेत्र के लिए लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस को सही विधि से कार्यान्वित करा है, और कार्य-कारण को संरक्षित किया है।

अधिक जटिल क्षेत्र सिद्धांतों मे जटिल पारस्परिक प्रभाव सम्मलित है, जैसे कि युकावा सिद्धांत एवं क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स है। विभिन्न क्रम बिगाडने वाले और क्रम न बिगाडने वाले प्रणाली से भी विश्लेषण किया जा सकता है।

डिराक क्षेत्र मानक प्रतिरूप का एक महत्वपूर्ण घटक है।

यह भी देखें

• डिराक समीकरण
• स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय
• चक्रणों
• समग्र क्षेत्र
• सहायक क्षेत्र

संदर्भ

• Edwards, D. (1981). "The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories". Int. J. Theor. Phys. 20 (7): 503–517. Bibcode:1981IJTP...20..503E. doi:10.1007/BF00669437. S2CID 120108219.
• Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35–63.)
• Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7.
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.