मोनोड्रोमी: Difference between revisions

Latest revision as of 13:27, 15 June 2023

सम्मिश्र लघुगणक का काल्पनिक भाग। C \ {0} पर सम्मिश्र लघुगणक को परिभाषित करने का प्रयास अलग-अलग रास्तों पर अलग-अलग उत्तर देता है। यह एक अनंत चक्रीय मोनोड्रोमी समूह की ओर जाता है और एक घुमावदार (रीमैन सतह का एक उदाहरण) द्वारा C \ {0} का आवरण होता है।

गणित में, मोनोड्रोमी इस बात का अध्ययन करता है कि कैसे गणितीय विश्लेषण, बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति और विभेदक ज्यामिति से वस्तुएं कैसे प्रतिपादन करती है। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, मोनोड्रोमी का मूल अर्थ "रनिंग राउंड सिंगल" से आता है। यह मानचित्रो को में उनके क्षय होने से निकटता से संगुणित होते है, मोनोड्रोमी घटना को जन्म देने वाला पहलू यह है कि कुछ कार्य जिन्हें हम परिभाषित करना चाहते है, वे 'एकल-मूल्यवान' होने में विफल हो सकते है क्योंकि हम एक विलक्षणता को घेरने वाले पथ को "रन राउंड" करते है। मोनोड्रोमी की विफलता को एक मोनोड्रोमी समूह को परिभाषित करके मापा जा सकता है: डेटा पर कार्य करने वाले परिवर्तनों का एक समूह जो एक आयाम में "रन राउंड" के रूप में होता है। मोनोड्रोमी की कमी को कभी-कभी पॉलीड्रोमी कहा जाता है।^[1]

परिभाषा

बता दें कि X आधार बिंदु आधार बिंदु x के साथ एक जुड़ा हुआ और स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ टोपोलॉजिकल स्थान होता है और मान लेते है $p:{\tilde {X}}\to X$ फाइबर के साथ एक कवरिंग मैप है $F=p^{-1}(x)$ . एक पाश के लिए $γ: [0, 1] \to X$ पर आधारित $x$ , एक बिंदु पर प्रारंभ होने वाले कवरिंग मैप के अनुसार एक होमोटॉपी को निरूपित करता है ${\tilde {x}}\in F$ , द्वारा ${\tilde {\gamma }}$ . अंत में, हम द्वारा निरूपित करते है ${\tilde {x}}\cdot {\tilde {\gamma }}$ समापन बिंदु ${\tilde {\gamma }}(1)$ , जो सामान्यतः से अलग होता है ${\tilde {x}}$ ऐसे प्रमेय होते है जो बताते है कि यह निर्माण मौलिक समूह की एक अच्छी तरह से परिभाषित समूह क्रिया देता है $π 1 (X, x)$ पर $F$ । ${\tilde {x}}$ बिल्कुल सही है $p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)$ , अर्थात् एक तत्व $[γ]$ में एक बिंदु निर्धारित करता है $F$ यदि और केवल यह एक लूप की छवि द्वारा दर्शाया गया है ${\tilde {X}}$ पर आधारित ${\tilde {x}}$ इस क्रिया को मोनोड्रोमी क्रिया और संबंधित समूह समरूपता कहा जाता है $π 1 (X, x) \to Aut(H * (F x))$ समरूपता समूह में $F$ बीजगणितीय मोनोड्रोमी है। इस समरूपता की छवि मोनोड्रोमी समूह है। एक और नक्शा है $π 1 (X, x) \to Diff(F x)/Is(F x)$ जिसकी छवि को टोपोलॉजिकल मोनोड्रोमी ग्रुप कहा जाता है।

उदाहरण

इन विचारों को सबसे पहले सम्मिश्र विश्लेषण में स्पष्ट किया गया था। विश्लेषणात्मक निरंतरता की प्रक्रिया में, फलन जो पंपरिवर्ती सम्मिश्र समतल ℂ \ {0} के कुछ खुले उपसमुच्चय E में विश्लेषणात्मक फलन F(z) में, वापस जारी रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,

{\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}\end{aligned}}

फिर विश्लेषणात्मक निरंतरता वृत्त के चारों ओर वामा व्रत

|z|=1

वापसी में परिणाम होता है, किन्तु $F (z)$ के लिए नही

F(z)+2\pi i

इस स्थिति में मोनोड्रोमी समूह अनंत चक्रीय है और आवरण स्थान पंपरिवर्ती सम्मिश्र समतल का सार्वभौमिक आवरण है। इस आवरण को हेलिकॉइड के रूप में देखा जा सकता है (जैसा कि हेलिकॉइड लेख में परिभाषित किया गया है) ρ> 0 तक प्रतिबंधित है। कवरिंग मैप एक वर्टिकल प्रोजेक्शन है, एक तरह से पंपरिवर्ती समतल पाने के लिए स्पष्ट विधि से सर्पिल को ढहाना है।

सम्मिश्र डोमेन में विभेदक समीकरण

एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग अंतर समीकरणों के लिए है, जहां एक एकल समाधान विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा आगे रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान दे सकता है। सम्मिश्र समतल में एक खुले, कनेक्टेड सेट S में परिभाषित रेखीय अंतर समीकरणों में एक मोनोड्रोमी समूह होता है, जो (अधिक त्रुटिहीन रूप से) S के मौलिक समूह का रैखिक प्रतिनिधित्व है, जो S के भीतर सभी विश्लेषणात्मक निरंतरताओं को गोल गोल लूपों को सारांशित करता है। व्युत्क्रम समस्या, समीकरण (नियमित विलक्षणता के साथ) का निर्माण करने के लिए, एक प्रतिनिधित्व दिया जाता है, जिसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या कहा जाता है।

एक नियमित (और विशेष रूप से फ्यूचियन) रैखिक प्रणाली के लिए सामान्यतः मोनोड्रोमी समूह के जनरेटर के रूप में प्रचालक M_j को लूप के अनुरूप चुनता है। यदि सूचकांक j को इस तरह से चुना जाता है कि वे 1 से बढ़कर p + 1 हो जाते है जब कोई आधार बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाता है, तो जनरेटर के बीच एकमात्र संबंध समानता होती है $M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id}$ सिम्सन समस्या निम्नलिखित प्राप्ति समस्या होती है: GL(n, 'C') में संयुग्मन वर्गों के किन टुपल्स के लिए उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करने वाले इन वर्गों से आव्यूह Mj के इरेड्यूसिबल टुपल्स सम्मलित होते है। इस समस्या को पियरे डेलिग्ने द्वारा तैयार किया गया है और कार्लोस सिम्पसन इसके समाधान की दिशा में परिणाम प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे। व्लादिमीर कोस्तोव द्वारा फ्यूचियन प्रणाली के अवशेषों के बारे में समस्या का एक योगात्मक संस्करण तैयार और खोजा गया है। समस्या को GL(n, 'C') के अतिरिक्त आव्यूह समूहों के लिए भी अन्य लेखकों द्वारा समस्या पर विचार किया गया है।^[2]

सामयिक और ज्यामितीय दृष्टिकोण

कवरिंग मानचित्र की स्थिति में, हम इसे कंपन के एक विशेष स्थितियों के रूप में देखते है, और होमोटॉपी उत्थापित की गयी विशेशता का उपयोग आधार समष्‍टि X पर पथों का "अनुसरण" करने के लिए करते है (हम इसे सरलता के लिए पथ से जुड़े होते है) जैसा कि कवर c में उत्थापित किये जाते है। यदि हम एक्स में एक्स पर आधारित एक लूप का पालन करते है, जिसे हम एक्स के ऊपर c पर प्रारंभ करने के लिए उत्थापित रहते है, तो एक्स के ऊपर कुछ c* पर समाप्त हो जाते है , यह संभव है कि c ≠ c*, और इसे कोड करने के लिए मौलिक समूह π₁(X, x) को c के सेट पर क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में माना जाता है, इस संदर्भ में एक 'मोनोड्रोमी समूह' के रूप में जाना जाता है।

विभेदक ज्यामिति में, समानांतर परिवहन द्वारा एक समान भूमिका निभाई जाती है। एक समतल मैनिफोल्ड एम पर एक प्रमुख बंडल बी में, एक कनेक्शन एम से ऊपर के क्षैतिज गति की अनुमति देता है। एम पर आधारित लूपों पर लागू होने पर प्रभाव एम पर फाइबर के अनुवाद के एक ' होलोनॉमी ' समूह को परिभाषित करता है, यदि B का संरचना समूह G है, तो यह G का एक उपसमूह है जो गुणनफल M × G से B विचलन को मापता है।

मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड और फोलिएशन

आधार में एक पथ में इसे उठाने वाले कुल स्थान में पथ होते है। इन रास्तों के साथ धकेलने से मौलिक ग्रुपॉयड से मोनोड्रोमी क्रिया होती है।

मौलिक समूह के अनुरूप एक आधार बिंदु की विकल्प से मुक्त करना और एक मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड को परिभाषित करना संभव होता है। यहां हम कंपन के आधारसमष्‍टि X में मार्ग के लिफ्टों (होमोटॉपी क्लास) पर विचार करते है $p:{\tilde {X}}\to X$ परिणाम में आधारसमष्‍टि X के ऊपर एक समूह की संरचना होती है। लाभ यह है कि हम X की संबद्धता की स्थिति को कम कर सकते है।

इसके अतिरिक्त निर्माण को पर्णसमूह के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है: विचार करते है $(M,{\mathcal {F}})$ A (संभवतः एकमात्र) M का वर्क होता है। फिर प्रत्येक पथ के लिए एक वर्क में ${\mathcal {F}}$ समापन बिंदुओं के माध्यम से स्थानीय अनुप्रस्थ वर्गों पर इसके भिन्नता पर विचार कर सकते है। एक साधारण रूप से जुड़े हुए मानचित्र के भीतर यह अंतररूपवाद अद्वितीय और विशेष रूप से अलग-अलग अनुप्रस्थ वर्गों के बीच विहित हो जाता है यदि हम अंत बिंदुओं के चारों ओर भिन्नता के रोगाणु पर जाते है। इस तरह यह एक साधारण रूप से जुड़े मानचित्र के भीतर पथ (निश्चित समापन बिंदुओं के बीच) से भी स्वतंत्र हो जाता है और इसलिए समरूपता के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है।

गाल्वा सिद्धांत के माध्यम से परिभाषा

F(x) क्षेत्र F पर परिवर्ती x में परिमेय फलन के क्षेत्र को निरूपित करता है जो कि बहुपद वलय F[x] के अंशों का क्षेत्र है। F(x) का एक अवयव y = f(x) परिमित क्षेत्र विस्तार [F(x) : F(y)] निर्धारित करता है।

यह विस्तार सामान्यतः गैलोइस नही होता है, किन्तु गैलोइस क्लोजर L(f) होता है। विस्तार [L(f) : F(y)] के संबंधित गैल्वा समूह को f का मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है।

F = C रीमैन सतह सिद्धांत के स्थिति में अंतःस्राव करता है और ऊपर दी गई ज्यामितीय व्याख्या के लिए अनुमति देता है। इस स्थिति में विस्तार [C(x) : C(y)] पहले से ही गैलोज़, संबंधित मोनोड्रोमी समूह को कभी-कभी डेक परिवर्तनों का समूह कहा जाता है।

इसका संबंध अंतरालक स्थान में समुपयोग, करने के गैल्वा सिद्धांत से होता है जो रीमैन अस्तित्व प्रमेय की ओर ले जाता है।

यह भी देखें

चोटी समूह
प्रमेय मोनोड्रोम
मानचित्रण वर्ग समूह (पंपरिवर्ती डिस्क का)

↑ König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen (2015). कार्ल वीयरस्ट्राß (1815-1897): उनके जीवन और कार्य के पहलू - उनके जीवन और कार्य के पहलू (in Deutsch). Springer-Verlag. pp. 200–201. ISBN 9783658106195. Retrieved 5 October 2017.
↑ V. P. Kostov (2004), "The Deligne–Simpson problem — a survey", J. Algebra, 281 (1): 83–108, arXiv:math/0206298, doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013, MR 2091962, S2CID 119634752 and the references therein.

संदर्भ

V. I. Danilov (2001) [1994], "Monodromy", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
"Group-groupoids and monodromy groupoids", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
R. Brown Topology and Groupoids (2006).
P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) TAC Reprint
H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006, doi: 10.1007/3-7643-7536-1

[König2015-1] König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen (2015). कार्ल वीयरस्ट्राß (1815-1897): उनके जीवन और कार्य के पहलू - उनके जीवन और कार्य के पहलू (in Deutsch). Springer-Verlag. pp. 200–201. ISBN 9783658106195. Retrieved 5 October 2017.

[2] V. P. Kostov (2004), "The Deligne–Simpson problem — a survey", J. Algebra, 281 (1): 83–108, arXiv:math/0206298, doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013, MR 2091962, S2CID 119634752 and the references therein.

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 {{Short description|Mathematical behavior near singularities}}
-[[File:Imaginary log analytic continuation.png|thumb|[[जटिल लघुगणक]] का काल्पनिक भाग। C \ {0} पर जटिल लघुगणक को परिभाषित करने का प्रयास अलग-अलग रास्तों पर अलग-अलग उत्तर देता है। यह एक अनंत चक्रीय मोनोड्रोमी समूह की ओर जाता है और एक [[घुमावदार]] ([[रीमैन सतह]] का एक उदाहरण) द्वारा C \ {0} का आवरण होता है।]]गणित में, '''मोनोड्रोमी''' इस बात का अध्ययन करता है कि कैसे [[गणितीय विश्लेषण]], [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]], [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और विभेदक ज्यामिति से वस्तुएं कैसे व्यवहार करती हैं, क्योंकि वे एक [[गणितीय विलक्षणता]] "राउंड रन" करते हैं। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, ''मोनोड्रोमी'' का मूल अर्थ "रनिंग राउंड सिंगलली" से आता है।    यह नक्शों को ढंकने और रामीकरण (गणित) में उनके अध: पतन से निकटता से जुड़ा हुआ है; मोनोड्रोमी घटना को जन्म देने वाला पहलू यह है कि कुछ कार्य (गणित) जिन्हें हम परिभाषित करना चाहते हैं, वे 'एकल-मूल्यवान' होने में विफल हो सकते हैं क्योंकि हम एक विलक्षणता को घेरने वाले मार्ग पर चलते हैं। मोनोड्रोमी की विफलता को एक मोनोड्रोमी समूह को परिभाषित करके मापा जा सकता है: डेटा पर कार्य करने वाले परिवर्तनों का एक [[समूह (गणित)]] जो एन्कोड करता है कि क्या होता है जब हम एक आयाम में घूमते हैं। मोनोड्रोमी की कमी को कभी-कभी 'पॉलीड्रोमी' कहा जाता है।<ref name="König2015">{{cite book|last1=König|first1=Wolfgang|last2=Sprekels|first2=Jürgen|title=कार्ल वीयरस्ट्राß (1815-1897): उनके जीवन और कार्य के पहलू - उनके जीवन और कार्य के पहलू|date=2015|publisher=Springer-Verlag|isbn=9783658106195|pages=200–201|url=https://books.google.com/books?id=7IHDCgAAQBAJ&q=Karl+Weierstra%C3%9F+(1815%E2%80%931897)|access-date=5 October 2017|language=de}}</ref>
+[[File:Imaginary log analytic continuation.png|thumb|[[जटिल लघुगणक|सम्मिश्र  लघुगणक]] का काल्पनिक भाग। C \ {0} पर सम्मिश्र  लघुगणक को परिभाषित करने का प्रयास अलग-अलग रास्तों पर अलग-अलग उत्तर देता है। यह एक अनंत चक्रीय मोनोड्रोमी समूह की ओर जाता है और एक [[घुमावदार]] ([[रीमैन सतह]] का एक उदाहरण) द्वारा C \ {0} का आवरण होता है।]]गणित में, '''मोनोड्रोमी''' इस बात का अध्ययन करता है कि कैसे [[गणितीय विश्लेषण]], [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]], [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और  विभेदक ज्यामिति से वस्तुएं कैसे प्रतिपादन करती है। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, ''मोनोड्रोमी'' का मूल अर्थ "रनिंग राउंड सिंगल" से आता है। यह मानचित्रो को में उनके क्षय होने से निकटता से संगुणित होते  है, मोनोड्रोमी घटना को जन्म देने वाला पहलू यह है कि कुछ कार्य जिन्हें हम परिभाषित करना चाहते है, वे 'एकल-मूल्यवान' होने में विफल हो सकते है क्योंकि हम एक विलक्षणता को घेरने वाले पथ को "रन राउंड" करते है। मोनोड्रोमी की विफलता को एक मोनोड्रोमी समूह को परिभाषित करके मापा जा सकता है: डेटा पर कार्य करने वाले परिवर्तनों का एक समूह जो एक आयाम में "रन राउंड" के रूप में होता है। मोनोड्रोमी की कमी को कभी-कभी पॉलीड्रोमी कहा जाता है।<ref name="König2015">{{cite book|last1=König|first1=Wolfgang|last2=Sprekels|first2=Jürgen|title=कार्ल वीयरस्ट्राß (1815-1897): उनके जीवन और कार्य के पहलू - उनके जीवन और कार्य के पहलू|date=2015|publisher=Springer-Verlag|isbn=9783658106195|pages=200–201|url=https://books.google.com/books?id=7IHDCgAAQBAJ&q=Karl+Weierstra%C3%9F+(1815%E2%80%931897)|access-date=5 October 2017|language=de}}</ref>
 == परिभाषा ==
-होने देना {{mvar|X}} बेस पॉइंट के साथ कनेक्टेड और स्थानीय रूप से कनेक्टेड आधारित [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] हो {{mvar|x}}, और जाने <math>p: \tilde{X} \to X</math> फाइबर के साथ एक कवरिंग मैप बनें (गणित) <math>F = p^{-1}(x)</math>. एक पाश के लिए {{math|γ: [0, 1] → ''X''}} पर आधारित {{mvar|x}}, एक बिंदु पर शुरू होने वाले कवरिंग मैप के तहत एक [[ होमोटॉपी उठाने की संपत्ति ]] को निरूपित करें <math>\tilde{x} \in F</math>, द्वारा <math>\tilde{\gamma}</math>. अंत में, हम द्वारा निरूपित करते हैं <math>\tilde{x} \cdot \tilde{\gamma}</math> समापन बिंदु <math>\tilde{\gamma}(1)</math>, जो सामान्यतः से अलग होता है <math>\tilde{x}</math>. ऐसे प्रमेय हैं जो बताते हैं कि यह निर्माण [[मौलिक समूह]] की एक अच्छी तरह से परिभाषित [[समूह क्रिया (गणित)]] देता है {{math|π<sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} पर {{mvar|F}}, और वह स्टेबलाइज़र (समूह सिद्धांत)। <math>\tilde{x}</math> बिल्कुल सही है <math>p_*\left(\pi_1\left(\tilde{X}, \tilde{x}\right)\right)</math>, अर्थात् एक तत्व {{math|[γ]}} में एक बिंदु तय करता है {{mvar|F}} अगर और केवल अगर यह एक लूप की छवि द्वारा दर्शाया गया है <math>\tilde{X}</math> पर आधारित <math>\tilde{x}</math>. इस क्रिया को मोनोड्रोमी क्रिया और संबंधित [[समूह समरूपता]] कहा जाता है {{math|{{pi}}<sub>1</sub>(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Aut(''H''<sub>*</sub>(''F<sub>x</sub>''))}} ऑटोमोर्फिज़्म समूह में {{mvar|F}} बीजगणितीय मोनोड्रोमी है। इस समरूपता की छवि मोनोड्रोमी समूह है। एक और नक्शा है {{math|{{pi}}<sub>1</sub>(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Diff(''F<sub>x</sub>'')/Is(''F<sub>x</sub>'')}} जिसकी छवि को टोपोलॉजिकल मोनोड्रोमी ग्रुप कहा जाता है।
+बता दें कि X आधार बिंदु आधार बिंदु x के साथ एक जुड़ा हुआ और स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] होता है और मान लेते है <math>p: \tilde{X} \to X</math> फाइबर के साथ एक कवरिंग मैप है <math>F = p^{-1}(x)</math>. एक पाश के लिए {{math|γ: [0, 1] → ''X''}} पर आधारित {{mvar|x}}, एक बिंदु पर प्रारंभ होने वाले कवरिंग मैप के अनुसार एक[[ होमोटॉपी उठाने की संपत्ति | होमोटॉपी]] को निरूपित करता है <math>\tilde{x} \in F</math>, द्वारा <math>\tilde{\gamma}</math>. अंत में, हम द्वारा निरूपित करते है <math>\tilde{x} \cdot \tilde{\gamma}</math> समापन बिंदु <math>\tilde{\gamma}(1)</math>, जो सामान्यतः से अलग होता है <math>\tilde{x}</math> ऐसे प्रमेय होते है जो बताते है कि यह निर्माण [[मौलिक समूह]] की एक अच्छी तरह से परिभाषित [[समूह क्रिया (गणित)|समूह क्रिया]] देता है {{math|π<sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} पर {{mvar|F}}। <math>\tilde{x}</math> बिल्कुल सही है <math>p_*\left(\pi_1\left(\tilde{X}, \tilde{x}\right)\right)</math>, अर्थात् एक तत्व {{math|[γ]}} में एक बिंदु निर्धारित करता है {{mvar|F}} यदि और केवल यह एक लूप की छवि द्वारा दर्शाया गया है <math>\tilde{X}</math> पर आधारित <math>\tilde{x}</math> इस क्रिया को मोनोड्रोमी क्रिया और संबंधित [[समूह समरूपता]] कहा जाता है {{math|{{pi}}<sub>1</sub>(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Aut(''H''<sub>*</sub>(''F<sub>x</sub>''))}} समरूपता समूह में {{mvar|F}} बीजगणितीय मोनोड्रोमी है। इस समरूपता की छवि मोनोड्रोमी समूह है। एक और नक्शा है {{math|{{pi}}<sub>1</sub>(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Diff(''F<sub>x</sub>'')/Is(''F<sub>x</sub>'')}} जिसकी छवि को टोपोलॉजिकल मोनोड्रोमी ग्रुप कहा जाता है।
 == उदाहरण ==
-इन विचारों को सबसे पहले [[जटिल विश्लेषण]] में स्पष्ट किया गया था। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] की प्रक्रिया में, एक कार्य जो एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] है {{math|''F''(''z'')}}<nowiki> कुछ खुले उपसमुच्चय में {{mvar|E}पंपरिवर्ती जटिल विमान की } </nowiki>{{math|'''ℂ'''&nbsp;\&nbsp;{0} }} में वापस जारी रखा जा सकता है {{mvar|E}}, किन्तु विभिन्न मूल्यों के साथ। उदाहरण के लिए, ले लो
+इन विचारों को सबसे पहले [[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] में स्पष्ट किया गया था। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] की प्रक्रिया में, फलन जो पंपरिवर्ती सम्मिश्र समतल  ℂ \ {0} के कुछ खुले उपसमुच्चय E में  विश्लेषणात्मक फलन F(z) में, वापस जारी रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 : <math>\begin{align}
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       E &= \{z\in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z)>0\}
 \end{align}</math>
-फिर विश्लेषणात्मक निरंतरता सर्कल के चारों ओर एंटी-क्लॉकवाइज
+फिर विश्लेषणात्मक निरंतरता वृत्त के चारों ओर वामा व्रत
 : <math>|z| = 1</math>
-वापc में परिणाम होगा, करने के लिए नहीं {{math|''F''(''z'')}} किन्तु
+वापसी में परिणाम होता है, किन्तु {{math|''F''(''z'')}} के लिए नही
 : <math>F(z) + 2\pi i</math>
-इस मामले में मोनोड्रोमी समूह [[अनंत चक्रीय]] है और आवरण स्थान पंपरिवर्ती जटिल विमान का सार्वभौमिक आवरण है। इस आवरण को हेलिकॉइड के रूप में देखा जा सकता है (जैसा कि हेलिकॉइड लेख में परिभाषित किया गया है) प्रतिबंधित है {{math|''ρ'' > 0}}. कवरिंग मैप एक वर्टिकल प्रोजेक्शन है, एक तरह से पंपरिवर्ती प्लेन पाने के लिए स्पष्ट तरीके से सर्पिल को ढहाना।
+इस स्थिति में मोनोड्रोमी समूह [[अनंत चक्रीय]] है और आवरण स्थान पंपरिवर्ती सम्मिश्र समतल का सार्वभौमिक आवरण है। इस आवरण को हेलिकॉइड के रूप में देखा जा सकता है (जैसा कि हेलिकॉइड लेख में परिभाषित किया गया है) ρ> 0 तक प्रतिबंधित है। कवरिंग मैप एक वर्टिकल प्रोजेक्शन है, एक तरह से पंपरिवर्ती समतल पाने के लिए स्पष्ट विधि से सर्पिल को ढहाना है।
-== जटिल डोमेन में विभेदक समीकरण ==
+== सम्मिश्र डोमेन में विभेदक समीकरण ==
-एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग [[अंतर समीकरण]]ों के लिए है, जहां एक एकल समाधान विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा आगे रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान दे सकता है। कॉम्प्लेक्स प्लेन में एक खुले, कनेक्टेड सेट S में परिभाषित रेखीय अंतर समीकरणों में एक मोनोड्रोमी समूह होता है, जो (अधिक सटीक रूप से) S के मौलिक समूह का एक [[रैखिक प्रतिनिधित्व]] है, जो S के भीतर सभी विश्लेषणात्मक निरंतरताओं को गोल छोरों का सारांश देता है। व्युत्क्रम समस्या, समीकरण ([[नियमित विलक्षणता]] के साथ) के निर्माण के लिए, एक प्रतिनिधित्व दिया जाता है, जिसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या कहा जाता है।
+एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग [[अंतर समीकरण|अंतर]] समीकरणों के लिए है, जहां एक एकल समाधान विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा आगे रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान दे सकता है। सम्मिश्र समतल में एक खुले, कनेक्टेड सेट S में परिभाषित रेखीय अंतर समीकरणों में एक मोनोड्रोमी समूह होता है, जो (अधिक त्रुटिहीन रूप से) S के मौलिक समूह का [[रैखिक प्रतिनिधित्व]] है, जो S के भीतर सभी विश्लेषणात्मक निरंतरताओं को गोल गोल लूपों को सारांशित करता है। व्युत्क्रम समस्या, समीकरण ([[नियमित विलक्षणता]] के साथ) का निर्माण करने के लिए, एक प्रतिनिधित्व दिया जाता है, जिसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या कहा जाता है।
-एक नियमित (और विशेष रूप से फुचियन) रैखिक प्रणाली के लिए सामान्यतः मोनोड्रोमी समूह के जनरेटर के रूप में ऑपरेटरों एम को चुनता है<sub>j</sub>लूप के अनुरूप जिनमें से प्रत्येक सिस्टम के ध्रुवों में से केवल एक ध्रुव को वामावर्त घुमाता है। यदि सूचकांक j को इस तरह से चुना जाता है कि वे 1 से बढ़कर p + 1 हो जाते हैं जब कोई आधार बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाता है, तो जनरेटर के बीच एकमात्र संबंध समानता है <math>M_1\cdots M_{p+1}=\operatorname{id}</math>. Deligne-Simpson समस्या निम्नलिखित प्राप्ति समस्या है: GL(n, 'C') में संयुग्मन वर्गों के किन टुपल्स के लिए मेट्रिसेस M के इरेड्यूसिबल टुपल्स मौजूद हैं<sub>j</sub>उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करने वाले इन वर्गों से? इस समस्या को पियरे डेलिग्ने द्वारा तैयार किया गया है और [[ चार्ल्स सिम्पसन ]] इसके समाधान की दिशा में परिणाम प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे। [[व्लादिमीर कोस्तोव]] द्वारा फ्यूचियन सिस्टम के अवशेषों के बारे में समस्या का एक योगात्मक संस्करण तैयार और खोजा गया है। समस्या को GL(n, 'C') के अतिरिक्त मैट्रिक्स समूहों के लिए अन्य लेखकों द्वारा भी माना गया है।<ref>{{Citation|author=V. P. Kostov|title=The Deligne–Simpson problem — a survey|journal=J. Algebra|volume=281|year=2004|issue=1|pages=83–108|mr=2091962|doi=10.1016/j.jalgebra.2004.07.013|arxiv=math/0206298|s2cid=119634752}} and the references therein.</ref>
+एक नियमित (और विशेष रूप से फ्यूचियन) रैखिक प्रणाली के लिए सामान्यतः मोनोड्रोमी समूह के जनरेटर के रूप में प्रचालक ''M<sub>j</sub>'' को लूप के अनुरूप चुनता है। यदि सूचकांक j को इस तरह से चुना जाता है कि वे 1 से बढ़कर p + 1 हो जाते है जब कोई आधार बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाता है, तो जनरेटर के बीच एकमात्र संबंध समानता होती है <math>M_1\cdots M_{p+1}=\operatorname{id}</math> सिम्सन समस्या निम्नलिखित प्राप्ति समस्या होती है: GL(n, 'C') में संयुग्मन वर्गों के किन टुपल्स के लिए उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करने वाले इन वर्गों से आव्यूह Mj के इरेड्यूसिबल टुपल्स सम्मलित होते है। इस समस्या को पियरे डेलिग्ने द्वारा तैयार किया गया है और कार्लोस सिम्पसन इसके समाधान की दिशा में परिणाम प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे। [[व्लादिमीर कोस्तोव]] द्वारा फ्यूचियन प्रणाली के अवशेषों के बारे में समस्या का एक योगात्मक संस्करण तैयार और खोजा गया है। समस्या को GL(n, 'C') के अतिरिक्त आव्यूह समूहों के लिए भी अन्य लेखकों द्वारा समस्या पर विचार किया गया है।<ref>{{Citation|author=V. P. Kostov|title=The Deligne–Simpson problem — a survey|journal=J. Algebra|volume=281|year=2004|issue=1|pages=83–108|mr=2091962|doi=10.1016/j.jalgebra.2004.07.013|arxiv=math/0206298|s2cid=119634752}} and the references therein.</ref>
 == सामयिक और ज्यामितीय दृष्टिकोण ==
-कवरिंग मानचित्र की स्थिति में, हम इसे [[कंपन]] के एक विशेष स्थितियों के रूप में देखते हैं, और होमोटॉपी उत्थापित की गयी विशेशता का उपयोग आधार समष्‍टि ''X'' पर पथों का "अनुसरण" करने के लिए करते हैं (हम इसे सरलता के लिए पथ से जुड़े मानते हैं) जैसा कि वे कवर ''c'' में उत्थापित किये जाते हैं। यदि हम एक्स में एक्स पर आधारित एक लूप का पालन करते हैं, जिसे हम एक्स के ऊपर ''c'' पर प्रारंभ करने के लिए उत्थापित रहता हैं, तो एक्स के ऊपर कुछ ''c*'' पर समाप्त हो जाते है ; यह संभव है कि ''c'' ≠ ''c*'', और इसे कोड करने के लिए मौलिक समूह π<sub>1</sub>(''X'', ''x'')  की कार्रवाई को ''c'' के सेट पर क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में माना जाता है, इस संदर्भ में एक 'मोनोड्रोमी समूह' के रूप में जाना जाता है।
+कवरिंग मानचित्र की स्थिति में, हम इसे [[कंपन]] के एक विशेष स्थितियों के रूप में देखते है, और होमोटॉपी उत्थापित की गयी विशेशता का उपयोग आधार समष्‍टि ''X'' पर पथों का "अनुसरण" करने के लिए करते है (हम इसे सरलता के लिए पथ से जुड़े होते है) जैसा कि कवर ''c'' में उत्थापित किये जाते है। यदि हम एक्स में एक्स पर आधारित एक लूप का पालन करते है, जिसे हम एक्स के ऊपर ''c'' पर प्रारंभ करने के लिए उत्थापित रहते है, तो एक्स के ऊपर कुछ ''c*'' पर समाप्त हो जाते है , यह संभव है कि ''c'' ≠ ''c*'', और इसे कोड करने के लिए मौलिक समूह π<sub>1</sub>(''X'', ''x'')  को ''c'' के सेट पर क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में माना जाता है, इस संदर्भ में एक 'मोनोड्रोमी समूह' के रूप में जाना जाता है।
-विभेदक ज्यामिति में, [[समानांतर परिवहन]] द्वारा एक समान भूमिका निभाई जाती है। एक समतल मैनिफोल्ड एम पर एक [[प्रमुख बंडल]] बी में, एक [[कनेक्शन (गणित)|कनेक्शन]] एम में एम से ऊपर के तंतुओं से क्षैतिज गति की अनुमति देता है। एम पर आधारित लूपों पर लागू होने पर प्रभाव एम पर फाइबर के अनुवाद के एक '[[ holonomi | होलोनॉमी]] ' समूह को परिभाषित करना है; यदि B का संरचना समूह G है, तो यह G का एक उपसमूह है जो गुणनफल पूल M × G से B के विचलन को मापता है।
+विभेदक ज्यामिति में, [[समानांतर परिवहन]] द्वारा एक समान भूमिका निभाई जाती है। एक समतल मैनिफोल्ड एम पर एक [[प्रमुख बंडल]] बी में, एक [[कनेक्शन (गणित)|कनेक्शन]] एम से ऊपर के क्षैतिज गति की अनुमति देता है। एम पर आधारित लूपों पर लागू होने पर प्रभाव एम पर फाइबर के अनुवाद के एक '[[ holonomi | होलोनॉमी]] ' समूह को परिभाषित करता है, यदि ''B'' का संरचना समूह ''G'' है, तो यह ''G'' का एक उपसमूह है जो गुणनफल ''M × G से B'' विचलन को मापता है।
 === मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड और फोलिएशन ===
-[[File:Monodromy action.svg|thumb|upright=0.3|आधार में एक पथ में इसे उठाने वाले कुल स्थान में पथ होते हैं। इन रास्तों के साथ धकेलने से मौलिक ग्रुपॉयड से मोनोड्रोमी क्रिया होती है।]]मौलिक समूह के अनुरूप एक आधार बिंदु की विकल्प से मुक्त करना और एक मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड को परिभाषित करना संभव होता है। यहां हम कंपन के आधारसमष्‍टि X में मार्ग के लिफ्टों (होमोटॉपी क्लास) पर विचार करते हैं  <math>p:\tilde X\to X</math> परिणाम में  आधारसमष्‍टि X के ऊपर एक [[groupoid|समूह]] की संरचना होती है। लाभ यह है कि हम X की संबद्धता की स्थिति को कम कर सकते हैं।
+[[File:Monodromy action.svg|thumb|upright=0.3|आधार में एक पथ में इसे उठाने वाले कुल स्थान में पथ होते है। इन रास्तों के साथ धकेलने से मौलिक ग्रुपॉयड से मोनोड्रोमी क्रिया होती है।]]मौलिक समूह के अनुरूप एक आधार बिंदु की विकल्प से मुक्त करना और एक मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड को परिभाषित करना संभव होता है। यहां हम कंपन के आधारसमष्‍टि X में मार्ग के लिफ्टों (होमोटॉपी क्लास) पर विचार करते है  <math>p:\tilde X\to X</math> परिणाम में  आधारसमष्‍टि X के ऊपर एक [[groupoid|समूह]] की संरचना होती है। लाभ यह है कि हम X की संबद्धता की स्थिति को कम कर सकते है।
-इसके अतिरिक्त निर्माण को पर्णसमूह के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है: विचार करें <math>(M,\mathcal{F})</math> A (संभवतः एकमात्र) ''M'' का वर्क होता है। फिर प्रत्येक पथ के लिए एक वर्क में <math>\mathcal{F}</math> समापन बिंदुओं के माध्यम से स्थानीय अनुप्रस्थ वर्गों पर इसके भिन्नता पर विचार कर सकते हैं। एक साधारण रूप से जुड़े हुए मानचित्र के भीतर यह अंतररूपवाद अद्वितीय और विशेष रूप से अलग-अलग अनुप्रस्थ वर्गों के बीच विहित हो जाता है यदि हम अंत बिंदुओं के चारों ओर भिन्नता के रोगाणु पर जाते हैं। इस तरह यह एक साधारण रूप से जुड़े मानचित्र के भीतर पथ (निश्चित समापन बिंदुओं के बीच) से भी स्वतंत्र हो जाता है और इसलिए समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय होता है।
+इसके अतिरिक्त निर्माण को पर्णसमूह के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है: विचार करते है <math>(M,\mathcal{F})</math> A (संभवतः एकमात्र) ''M'' का वर्क होता है। फिर प्रत्येक पथ के लिए एक वर्क में <math>\mathcal{F}</math> समापन बिंदुओं के माध्यम से स्थानीय अनुप्रस्थ वर्गों पर इसके भिन्नता पर विचार कर सकते है। एक साधारण रूप से जुड़े हुए मानचित्र के भीतर यह अंतररूपवाद अद्वितीय और विशेष रूप से अलग-अलग अनुप्रस्थ वर्गों के बीच विहित हो जाता है यदि हम अंत बिंदुओं के चारों ओर भिन्नता के रोगाणु पर जाते है। इस तरह यह एक साधारण रूप से जुड़े मानचित्र के भीतर पथ (निश्चित समापन बिंदुओं के बीच) से भी स्वतंत्र हो जाता है और इसलिए समरूपता के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है।
 == गाल्वा सिद्धांत के माध्यम से परिभाषा ==
-F(''x'') [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] F पर परिवर्ती ''x'' में  [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलन]] के क्षेत्र को निरूपित करें, जो कि बहुपद वलय ''F[x]'' के [[अंशों का क्षेत्र]] है। ''F(x)'' का एक अवयव y = f(x) परिमित क्षेत्र विस्तार ''[F(x) : F(y)]'' निर्धारित करता है।
+F(''x'') [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] F पर परिवर्ती ''x'' में  [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलन]] के क्षेत्र को निरूपित करता है जो कि बहुपद वलय ''F[x]'' के [[अंशों का क्षेत्र]] है। ''F(x)'' का एक अवयव y = f(x) परिमित क्षेत्र विस्तार ''[F(x) : F(y)]'' निर्धारित करता है।
-यह विस्तार सामान्यतः गैलोइस नहीं है, किन्तु [[ गाल्वा बंद |गैलोइस क्लोजर]] ''L''(''f'') होता है। विस्तार [''L''(''f'') : F(''y'')] के संबंधित गैल्वा समूह को ''f'' का  मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है।
+यह विस्तार सामान्यतः गैलोइस नही होता है, किन्तु [[ गाल्वा बंद |गैलोइस क्लोजर]] ''L''(''f'') होता है। विस्तार [''L''(''f'') : F(''y'')] के संबंधित गैल्वा समूह को ''f'' का  मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है।
 '''F''' = '''C''' रीमैन सतह सिद्धांत के स्थिति में अंतःस्राव करता है और ऊपर दी गई ज्यामितीय व्याख्या के लिए अनुमति देता है। इस स्थिति में विस्तार [C(''x'') : C(''y'')] पहले से ही गैलोज़, संबंधित मोनोड्रोमी समूह को कभी-कभी डेक परिवर्तनों का समूह कहा जाता है।
-इसका संबंध अंतरालक स्थान में समुपयोग, करने के गैल्वा सिद्धांत से है जो [[रीमैन अस्तित्व प्रमेय]] की ओर ले जाता है।
+इसका संबंध अंतरालक स्थान में समुपयोग, करने के गैल्वा सिद्धांत से होता है जो [[रीमैन अस्तित्व प्रमेय]] की ओर ले जाता है।
 == यह भी देखें ==
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 * R. Brown [http://groupoids.org.uk/topgpds.html Topology and Groupoids] (2006).
 * P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html TAC Reprint]
-* H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1
+* H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006, doi: 10.1007/3-7643-7536-1
-[[Category: गणितीय विश्लेषण]] [[Category: जटिल विश्लेषण]] [[Category: विभेदक ज्यामिति]] [[Category: बीजगणितीय टोपोलॉजी]] [[Category: होमोटॉपी सिद्धांत]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
 [[Category:Created On 01/05/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
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+[[Category:गणितीय विश्लेषण]]
+[[Category:जटिल विश्लेषण]]
+[[Category:बीजगणितीय टोपोलॉजी]]
+[[Category:विभेदक ज्यामिति]]
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परिभाषा

उदाहरण

सम्मिश्र डोमेन में विभेदक समीकरण

सामयिक और ज्यामितीय दृष्टिकोण

मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड और फोलिएशन

गाल्वा सिद्धांत के माध्यम से परिभाषा

यह भी देखें

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सम्मिश्र डोमेन में विभेदक समीकरण

सामयिक और ज्यामितीय दृष्टिकोण

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गाल्वा सिद्धांत के माध्यम से परिभाषा

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