सीरपिंस्की कालीन: Difference between revisions

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सीरपिंस्की कालीन के 6 चरण।

सीरपिन्स्की कालीन एक समतल फ्रैक्टल है जिसे पहली बार 1916 में वाक्लाव सीरपिन्स्की द्वारा वर्णित किया गया था। कालीन कैंटर का एक सामान्यीकरण है जो दो आयामों पर समुच्चय है; दूसरा कैंटर डस्ट है।

किसी आकृति को स्वयं की छोटी प्रतियों में उप-विभाजित करने, एक या अधिक प्रतियाँ निकालने और पुनरावर्ती रूप से जारी रखने की तकनीक को अन्य आकृतियों में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज को चार समबाहु त्रिभुजों में उप-विभाजित करना, मध्य त्रिभुज को हटाना और पुनरावर्ती सिएरपिन्स्की त्रिभुज की ओर ले जाता है। तीन आयामों में, घन पर आधारित एक समान निर्माण मेन्जर स्पंज के रूप में जाना जाता है।

निर्माण

सिएरपिन्स्की कालीन का निर्माण एक वर्ग से प्रारंभ होता है। वर्ग को 3-बाई-3 ग्रिड में 9 सर्वांगसम उपवर्गों में विभाजित किया जाता है, और केंद्रीय उपवर्ग को हटा दिया जाता है। उसी प्रक्रिया को फिर शेष 8 उपवर्गों अनंत तक के लिए पुनरावर्ती रूप से प्रयुक्त किया जाता है, इसे इकाई वर्ग में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अनुभव किया जा सकता है, जिनके आधार तीन में लिखे गए निर्देशांक दोनों में समान स्थिति में अंक '1' नहीं है, और $0.1111\dots =0.2$ के अपरिमेय संख्या प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है।.^[1]

पुनरावर्ती वर्गों को हटाने की प्रक्रिया परिमित उपखंड नियम का एक उदाहरण है।

गुण

पियानो वक्र का परिवर्त रूप, जिसमें बीच की रेखा हट गई है, सीरपिन्स्की कालीन बनाता है

कालीन का क्षेत्रफल (मानक लेबेस्ग्यू माप में) शून्य है।

प्रमाण: पुनरावृति i के क्षेत्र को ai के रूप में निरूपित करें। तब

ai + 1 = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}8/9ai

. इसलिए

a i = (8 / 9) i

, जो 0 की ओर झुकता है क्योंकि i अनंत तक जाता है।

कालीन का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) रिक्त होता है।

प्रमाण: विरोधाभास द्वारा मान लीजिए कि कालीन के आंतरिक भाग में एक बिंदु P है। फिर P पर केन्द्रित एक वर्ग है जो पूरी तरह से कालीन में निहित है। इस वर्ग में एक छोटा वर्ग है जिसके निर्देशांक कुछ k के लिए

1 / 3 k

के गुणक हैं। लेकिन, यदि इस वर्ग को पहले नहीं हटाया गया है, तो इसे पुनरावृत्ति

k + 1

में छिपाया जाना चाहिए, इसलिए इसे कालीन में एक विरोधाभास नहीं माना जा सकता है।

कालीन का हॉसडॉर्फ आयाम है ${\frac {\log 8}{\log 3}}\approx 1.8928$ होता है। ^[2]

सिएरपिन्स्की ने प्रदर्शित किया कि उनका कालीन एक सार्वभौमिक समतल वक्र है।^[3] अर्थात्: सीरपिंस्की कालीन लेबेस्ग आच्छादन आयाम 1 के साथ तल का एक सुसंहत उपसमुच्चय है, और इन गुणों के साथ तल का प्रत्येक उपसमुच्चय सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक (समरूपी) होता है।

सिएरपिन्स्की कालीन की यह सार्वभौमिकता श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक वास्तविक सार्वभौमिक गुण नहीं है: यह विशिष्ट रूप से इस समष्टि को होमोमोर्फिज्म तक नहीं दर्शाती है। उदाहरण के लिए, सिएरपिन्स्की कालीन और एक वृत्त का असंयुक्त मिलन भी एक सार्वभौमिक समतल वक्र है। हालाँकि, 1958 में गॉर्डन व्हाईबर्न^[4] विशिष्ट रूप से सिएरपिन्स्की कालीन की विशेषता इस प्रकार है: कोई भी वक्र जो स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है और जिसमें कोई 'स्थानीय परिच्छेद बिन्दु' नहीं है, सिएरपिन्स्की कालीन के लिए समरूपी है। यहाँ एक स्थानीय परिच्छेद बिन्दु एक बिंदु $p$ है, जिसके लिए कुछ जुड़ा हुआ प्रतिवेश $U$ का $p$ के पास वह गुण है कि $U - {p}$ जुड़ा नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, वृत्त का कोई भी बिंदु एक स्थानीय परिच्छेद बिन्दु है।

उसी पत्र में व्हाईबर्न ने सीरपिन्स्की कालीन का एक और लक्षण वर्णन किया। याद रखें कि सातत्य (टोपोलॉजी) एक गैर-रिक्त जुड़ा हुआ सुसंहत दूरीक समष्टि है। मान लीजिए कि $X$ समतल में सन्निहित एक सातत्य है। मान लीजिए कि तल में इसके पूरक में कई जुड़े हुए घटक $C 1, C 2, C 3, ...$ हैं और मान लीजिए:

i → ∞ के रूप में Ci का व्यास शून्य हो जाता है;
यदि $i \neq j$ के रूप मे $C i$ और $C j$ की सीमा असंबद्ध हैं
Ci की सीमा प्रत्येक i के लिए एक साधारण संवृत वक्र है;
समुच्चय की सीमाओं का संघ X में सघन है।

तब X सिएरपिन्स्की कालीन के लिए समरूप है।

सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति

सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति के विषय ने हाल के वर्षों में रुचि को आकर्षित किया है।^[5] मार्टिन बारलो और रिचर्ड बास ने दिखाया है कि सीरपिन्स्की कालीन पर एक यादृच्छिक संक्रियक तल में एक अप्रतिबंधित यादृच्छिक गति की तुलना में मंद गति से विस्तारित होती है। उत्तरार्द्ध n चरणों के बाद √n के आनुपातिक औसत दूरी तक पहुंचता है, लेकिन असतत सिएरपिन्स्की कालीन पर यादृच्छिक गति कुछ β> 2 के लिए β√n के आनुपातिक औसत दूरी तक पहुंचता है। उन्होंने यह भी दिखाया कि यह यादृच्छिक गति प्रबल बड़े विचलन को संतुष्ट करता है असमानताएँ (तथाकथित "उप-गाऊसी असमानताएँ") और यह कि यह परवलयिक को संतुष्ट किए बिना दीर्घवृत्ताकार हार्नैक असमानता को संतुष्ट करता है। ऐसे उदाहरण का अस्तित्व कई वर्षों से एक विवृत समस्या थी।

वालिस सीव

वालिस सीव की तीसरी पुनरावृत्ति

सिएरपिन्स्की कालीन की एक भिन्नता, जिसे वालिस सीव कहा जाता है, उसी तरह, इकाई वर्ग को नौ छोटे वर्गों में उप-विभाजित करके और उनके मध्य को हटाकर प्रारंभ होती है। उपखंड के अगले स्तर पर, यह प्रत्येक वर्ग को 25 छोटे वर्गों में उपविभाजित करता है और बीच वाले को हटा देता है, और यह जारी रहता है जिसे $i$ वाँ चरण प्रत्येक वर्ग को उप-विभाजित करके $(2 i + 1) 2$ (विषम वर्ग संख्या^[6]) छोटे वर्ग और बीच वाले को हटा दें। वालिस गुणनफल द्वारा, परिणामी समुच्चय का क्षेत्रफल $π$ /4 है, मानक सिएरपिन्स्की कालीन के विपरीत जिसमें शून्य सीमित क्षेत्र है। हालांकि वालिस सीव में धनात्मक लेबेस्गु माप है, कोई भी उपसमुच्चय जो वास्तविक संख्याओं के दो समुच्चयों का कार्तीय गुणन नहीं है, जिसमे यह गुण है, इसलिए इसका जॉर्डन माप शून्य है।^[7]

अनुप्रयोग

सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ पुनरावृत्तियों के रूप में मोबाइल फोन और वाई-फाई फ्रैक्टल एंटीना का उत्पादन किया गया है। अपनी स्व-समानता और पैमाने पर व्युत्क्रम के कारण, वे आसानी से कई आवृत्तियों को समायोजित करते हैं। वे समान प्रदर्शन के पारंपरिक एंटेना की तुलना में निर्माण करना और छोटा करना भी आसान है, इस प्रकार पॉकेट-आकार वाले मोबाइल फोन के लिए इष्टतम है।

यह भी देखें

हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा फ्रैक्टल की सूची
मेन्जर स्पंज

संदर्भ

↑ Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. pp. 405–406. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.
↑ Semmes, Stephen (2001). भग्न ज्यामिति के कुछ उपन्यास प्रकार. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. p. 31. ISBN 0-19-850806-9. Zbl 0970.28001.
↑ Sierpiński, Wacław (1916). "Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée". C. R. Acad. Sci. Paris (in français). 162: 629–632. ISSN 0001-4036. JFM 46.0295.02.
↑ Whyburn, Gordon (1958). "सीरपिंस्की वक्र का टोपोलॉजिकल चक्रीकरण". Fund. Math. 45: 320–324. doi:10.4064/fm-45-1-320-324.
↑ Barlow, Martin; Bass, Richard, Brownian motion and harmonic analysis on Sierpiński carpets (PDF)
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A016754 (Odd squares: a(n) = (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Rummler, Hansklaus (1993). "छिद्रों के साथ वृत्त को चुकता करना". The American Mathematical Monthly. 100 (9): 858–860. doi:10.2307/2324662. JSTOR 2324662. MR 1247533.

बाहरी संबंध

[1] Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. pp. 405–406. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.

[2] Semmes, Stephen (2001). भग्न ज्यामिति के कुछ उपन्यास प्रकार. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. p. 31. ISBN 0-19-850806-9. Zbl 0970.28001.

[sierpinski-3] Sierpiński, Wacław (1916). "Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée". C. R. Acad. Sci. Paris (in français). 162: 629–632. ISSN 0001-4036. JFM 46.0295.02.

[whyburn-4] Whyburn, Gordon (1958). "सीरपिंस्की वक्र का टोपोलॉजिकल चक्रीकरण". Fund. Math. 45: 320–324. doi:10.4064/fm-45-1-320-324.

[barlow-5] Barlow, Martin; Bass, Richard, Brownian motion and harmonic analysis on Sierpiński carpets (PDF)

[6] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A016754 (Odd squares: a(n) = (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[7] Rummler, Hansklaus (1993). "छिद्रों के साथ वृत्त को चुकता करना". The American Mathematical Monthly. 100 (9): 858–860. doi:10.2307/2324662. JSTOR 2324662. MR 1247533.

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 {{short description|Plane fractal built from squares}}
-{{Redirects|Sierpinski snowflake||Sierpinski curve}}
+''"सीरपिंस्की स्नोफ्लेक" यहां पुनर्निर्देश करता है। अन्य उपयोगों के लिए, सीरपिंस्की वक्र देखें।''[[File:Animated Sierpinski carpet.gif|thumb|सीरपिंस्की कालीन के 6 चरण।]]'''सीरपिन्स्की कालीन''' एक समतल फ्रैक्टल है जिसे पहली बार 1916 में वाक्लाव सीरपिन्स्की द्वारा वर्णित किया गया था। कालीन कैंटर का एक सामान्यीकरण है जो दो आयामों पर समुच्चय है; दूसरा कैंटर डस्ट है।
-[[File:Animated Sierpinski carpet.gif|thumb|सीरपिंस्की कालीन के 6 चरण।]]सीरपिन्स्की कालीन एक प्लेन [[ भग्न ]] है जिसे पहली बार 1916 में वाक्लाव सीरपिन्स्की द्वारा वर्णित किया गया था। कालीन [[कैंटर धूल]] एक सामान्यीकरण है जो दो आयामों पर सेट है; दूसरा [[कैंटर सेट]] है।
-[[रेप-टाइल]] की तकनीक, एक या एक से अधिक प्रतियों को हटाने और पुनरावर्तन जारी रखने की तकनीक को अन्य आकृतियों में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज को चार समबाहु त्रिभुजों में उप-विभाजित करना, मध्य त्रिभुज को हटाना और पुनरावर्ती सिएरपिन्स्की त्रिभुज की ओर ले जाता है। तीन आयामों में, क्यूब्स पर आधारित एक समान निर्माण मेन्जर स्पंज के रूप में जाना जाता है।
+किसी आकृति को स्वयं की छोटी प्रतियों में उप-विभाजित करने, एक या अधिक प्रतियाँ निकालने और पुनरावर्ती रूप से जारी रखने की तकनीक को अन्य आकृतियों में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज को चार समबाहु त्रिभुजों में उप-विभाजित करना, मध्य त्रिभुज को हटाना और पुनरावर्ती सिएरपिन्स्की त्रिभुज की ओर ले जाता है। तीन आयामों में, घन पर आधारित एक समान निर्माण मेन्जर स्पंज के रूप में जाना जाता है।
 == निर्माण ==
-Sierpinski कालीन का निर्माण एक [[वर्ग (ज्यामिति)]] से शुरू होता है। वर्ग को 3-बाई-3 ग्रिड में 9 सर्वांगसम (ज्यामिति) उपवर्गों में काटा जाता है, और केंद्रीय उपवर्ग हटा दिया जाता है। उसी प्रक्रिया को फिर शेष 8 उपवर्गों, एड इनफिनिटम पर पुनरावर्तन लागू किया जाता है। इसे इकाई वर्ग में बिंदुओं के सेट के रूप में महसूस किया जा सकता है, जिनके निर्देशांक आधार तीन में लिखे गए हैं, दोनों में एक ही स्थिति में अंक '1' नहीं है, जो कि अपरिमेय संख्या प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है। <math>0.1111\dots=0.2</math>.<ref>{{cite book | last1 = Allouche | first1 = Jean-Paul | last2 = Shallit | first2 = Jeffrey | author2-link = Jeffrey Shallit | isbn = 978-0-521-82332-6 | publisher = [[Cambridge University Press]] | title = Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations | url = https://archive.org/details/automaticsequenc00jpal | url-access = limited | year = 2003 | zbl=1086.11015 | pages=[https://archive.org/details/automaticsequenc00jpal/page/n422 405]–406 }}</ref>
+सिएरपिन्स्की कालीन का निर्माण एक वर्ग से प्रारंभ होता है। वर्ग को 3-बाई-3 ग्रिड में 9 सर्वांगसम उपवर्गों में विभाजित किया जाता है, और केंद्रीय उपवर्ग को हटा दिया जाता है। उसी प्रक्रिया को फिर शेष 8 उपवर्गों अनंत तक के लिए पुनरावर्ती रूप से प्रयुक्त किया जाता है, इसे इकाई वर्ग में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अनुभव किया जा सकता है, जिनके आधार तीन में लिखे गए निर्देशांक दोनों में समान स्थिति में अंक '1' नहीं है, और <math>0.1111\dots=0.2</math> के अपरिमेय संख्या प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है।.<ref>{{cite book | last1 = Allouche | first1 = Jean-Paul | last2 = Shallit | first2 = Jeffrey | author2-link = Jeffrey Shallit | isbn = 978-0-521-82332-6 | publisher = [[Cambridge University Press]] | title = Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations | url = https://archive.org/details/automaticsequenc00jpal | url-access = limited | year = 2003 | zbl=1086.11015 | pages=[https://archive.org/details/automaticsequenc00jpal/page/n422 405]–406 }}</ref>
 पुनरावर्ती वर्गों को हटाने की प्रक्रिया [[परिमित उपखंड नियम]] का एक उदाहरण है।
 == गुण ==
-[[File:Peano Sierpinski carpet 4.svg|thumb|[[पियानो घटता है]] का वेरिएंट, जिसमें बीच की लाइन मिट गई है, सीरपिन्स्की कार्पेट बनाता है]]कालीन का क्षेत्रफल शून्य है (मानक Lebesgue माप में)।
+[[File:Peano Sierpinski carpet 4.svg|thumb|[[पियानो घटता है|पियानो वक्र]] का परिवर्त रूप, जिसमें बीच की रेखा हट गई है, सीरपिन्स्की कालीन बनाता है]]कालीन का क्षेत्रफल (मानक लेबेस्ग्यू माप में) शून्य है।
-: सबूत: के रूप में निरूपित करें {{mvar|a<sub>i</sub>}} पुनरावृत्ति का क्षेत्र {{mvar|i}}. तब {{math|''a''<sub>''i'' + 1</sub> {{=}} {{sfrac|8|9}}''a<sub>i</sub>''}}. इसलिए {{math|''a<sub>i</sub>'' {{=}} ({{sfrac|8|9}}){{sup|''i''}}}}, जो 0 के रूप में जाता है {{mvar|i}} अनंत तक जाता है।
+: प्रमाण: पुनरावृति i के क्षेत्र को ai के रूप में निरूपित करें। तब {{math|''a''<sub>''i'' + 1</sub> {{=}} {{sfrac|8|9}}''a<sub>i</sub>''}}. इसलिए {{math|''a<sub>i</sub>'' {{=}} ({{sfrac|8|9}}){{sup|''i''}}}}, जो 0 की ओर झुकता है क्योंकि i अनंत तक जाता है।
+कालीन का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) रिक्त होता है।
+: प्रमाण: विरोधाभास द्वारा मान लीजिए कि कालीन के आंतरिक भाग में एक बिंदु P है। फिर P पर केन्द्रित एक वर्ग है जो पूरी तरह से कालीन में निहित है। इस वर्ग में एक छोटा वर्ग है जिसके निर्देशांक कुछ k के लिए {{math|{{sfrac|1|3<sup>''k''</sup>}}}} के गुणक हैं। लेकिन, यदि इस वर्ग को पहले नहीं हटाया गया है, तो इसे पुनरावृत्ति {{math|''k'' + 1}} में छिपाया जाना चाहिए, इसलिए इसे कालीन में एक विरोधाभास नहीं माना जा सकता है।
-कालीन का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) खाली होता है।
+कालीन का [[हॉसडॉर्फ आयाम]] है <math>\frac{\log 8}{\log 3} \approx 1.8928</math> होता है। <ref>{{cite book | author-link=Stephen Semmes | title=भग्न ज्यामिति के कुछ उपन्यास प्रकार| series=Oxford Mathematical Monographs | publisher=Oxford University Press | year=2001 | isbn=0-19-850806-9 | zbl=0970.28001 | last=Semmes | first=Stephen | page=31 }}</ref>
-: प्रमाण: मान लीजिए विरोधाभास से कि एक बिंदु है {{mvar|P}} कालीन के भीतरी भाग में। फिर वहाँ पर केन्द्रित एक वर्ग है {{mvar|P}} जो पूरी तरह से कालीन में निहित है। इस वर्ग में एक छोटा वर्ग है जिसके निर्देशांक के गुणक हैं {{math|{{sfrac|1|3<sup>''k''</sup>}}}} कुछ के लिए {{mvar|k}}. लेकिन, यदि इस वर्ग को पहले नहीं हटाया गया है, तो इसे पुनरावृति में छेद किया गया होगा {{math|''k'' + 1}}, इसलिए इसे कालीन में समाहित नहीं किया जा सकता है - एक विरोधाभास।
-कालीन का [[हॉसडॉर्फ आयाम]] है <math>\frac{\log 8}{\log 3} \approx 1.8928</math>.<ref>{{cite book | author-link=Stephen Semmes | title=भग्न ज्यामिति के कुछ उपन्यास प्रकार| series=Oxford Mathematical Monographs | publisher=Oxford University Press | year=2001 | isbn=0-19-850806-9 | zbl=0970.28001 | last=Semmes | first=Stephen | page=31 }}</ref>
+सिएरपिन्स्की ने प्रदर्शित किया कि उनका कालीन एक सार्वभौमिक समतल वक्र है।<ref name="sierpinski">{{cite journal | jfm=46.0295.02 | last=Sierpiński | first=Wacław | author-link=Wacław Sierpiński | title=Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée | language=fr | journal=C. R. Acad. Sci. Paris | volume=162 | pages=629–632 | year=1916 | issn=0001-4036 }}</ref> अर्थात्: सीरपिंस्की कालीन [[लेबेस्ग कवरिंग आयाम|लेबेस्ग आच्छादन आयाम]] 1 के साथ तल का एक सुसंहत उपसमुच्चय है, और इन गुणों के साथ तल का प्रत्येक उपसमुच्चय सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ उपसमुच्चय के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] (समरूपी) होता है।
-सिएरपिन्स्की ने प्रदर्शित किया कि उनका कालीन एक सार्वभौमिक समतल वक्र है।<ref name=sierpinski>{{cite journal | jfm=46.0295.02 | last=Sierpiński | first=Wacław | author-link=Wacław Sierpiński | title=Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée | language=fr | journal=C. R. Acad. Sci. Paris | volume=162 | pages=629–632 | year=1916 | issn=0001-4036 }}</ref> अर्थात्: सीरपिंस्की कालीन [[लेबेस्ग कवरिंग आयाम]] 1 के साथ विमान का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है, और इन गुणों के साथ विमान का प्रत्येक उपसमुच्चय सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ उपसमुच्चय के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है।
-सिएरपिन्स्की कालीन की यह सार्वभौमिकता श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक सच्ची सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है: यह विशिष्ट रूप से इस स्थान को होमोमोर्फिज्म तक नहीं दर्शाती है। उदाहरण के लिए, सिएरपिन्स्की कालीन और एक वृत्त का असंयुक्त मिलन भी एक सार्वभौमिक समतल वक्र है। हालाँकि, 1958 में [[गॉर्डन व्हाईबर्न]]<ref name=whyburn>{{cite journal | last=Whyburn | first=Gordon | author-link=Gordon Whyburn | title=सीरपिंस्की वक्र का टोपोलॉजिकल चक्रीकरण| journal=Fund. Math. | volume=45 | pages=320–324 | year=1958 | doi=10.4064/fm-45-1-320-324 | doi-access=free }}</ref> विशिष्ट रूप से सिएरपिन्स्की कालीन की विशेषता इस प्रकार है: कोई भी वक्र जो [[स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ]] है और जिसमें कोई 'स्थानीय कट-पॉइंट' नहीं है, सिएरपिन्स्की कालीन के लिए होमियोमॉर्फिक है। यहाँ एक स्थानीय कट-प्वाइंट एक बिंदु है {{mvar|p}} जिसके लिए कुछ जुड़ा हुआ पड़ोस {{mvar|U}} का {{mvar|p}} के पास वह गुण है {{math|''U'' − {''p''} }} जुड़ा नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, वृत्त का कोई भी बिंदु एक स्थानीय कट बिंदु है।
+सिएरपिन्स्की कालीन की यह सार्वभौमिकता श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में एक वास्तविक सार्वभौमिक गुण नहीं है: यह विशिष्ट रूप से इस समष्टि को होमोमोर्फिज्म तक नहीं दर्शाती है। उदाहरण के लिए, सिएरपिन्स्की कालीन और एक वृत्त का असंयुक्त मिलन भी एक सार्वभौमिक समतल वक्र है। हालाँकि, 1958 में [[गॉर्डन व्हाईबर्न]]<ref name="whyburn">{{cite journal | last=Whyburn | first=Gordon | author-link=Gordon Whyburn | title=सीरपिंस्की वक्र का टोपोलॉजिकल चक्रीकरण| journal=Fund. Math. | volume=45 | pages=320–324 | year=1958 | doi=10.4064/fm-45-1-320-324 | doi-access=free }}</ref> विशिष्ट रूप से सिएरपिन्स्की कालीन की विशेषता इस प्रकार है: कोई भी वक्र जो [[स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ]] है और जिसमें कोई 'स्थानीय परिच्छेद बिन्दु' नहीं है, सिएरपिन्स्की कालीन के लिए समरूपी है। यहाँ एक स्थानीय परिच्छेद बिन्दु एक बिंदु {{mvar|p}} है, जिसके लिए कुछ जुड़ा हुआ प्रतिवेश {{mvar|U}} का {{mvar|p}} के पास वह गुण है कि {{math|''U'' − {''p''} }} जुड़ा नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, वृत्त का कोई भी बिंदु एक स्थानीय परिच्छेद बिन्दु है।
-उसी पेपर में व्हाईबर्न ने सीरपिन्स्की कालीन का एक और लक्षण वर्णन किया। याद रखें कि [[कॉन्टिनम (टोपोलॉजी)]] एक गैर-खाली कनेक्टेड कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस है। कल्पना करना {{mvar|X}} समतल में सन्निहित एक सातत्य है। मान लीजिए कि विमान में इसके पूरक में कई जुड़े हुए घटक हैं {{math|''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>, ...}} और मान लीजिए:
+उसी पत्र में व्हाईबर्न ने सीरपिन्स्की कालीन का एक और लक्षण वर्णन किया। याद रखें कि [[कॉन्टिनम (टोपोलॉजी)|सातत्य (टोपोलॉजी)]] एक गैर-रिक्त जुड़ा हुआ सुसंहत दूरीक समष्टि है। मान लीजिए कि {{mvar|X}} समतल में सन्निहित एक सातत्य है। मान लीजिए कि तल में इसके पूरक में कई जुड़े हुए घटक {{math|''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>, ...}} हैं और मान लीजिए:
-* का व्यास {{mvar|C<sub>i</sub>}} के रूप में शून्य हो जाता है {{math|''i'' → ∞}};
+* i → ∞ के रूप में Ci का व्यास शून्य हो जाता है;
-* की सीमा {{mvar|C<sub>i</sub>}} और की सीमा {{mvar|C<sub>j</sub>}} यदि असंबद्ध हैं {{math|''i'' ≠ ''j''}};
+* यदि {{math|''i'' ≠ ''j''}} के रूप मे {{mvar|C<sub>i</sub>}} और {{mvar|C<sub>j</sub>}} की सीमा असंबद्ध हैं
-* की सीमा {{mvar|C<sub>i</sub>}} प्रत्येक के लिए एक साधारण बंद वक्र है {{mvar|i}};
+* Ci की सीमा प्रत्येक i के लिए एक साधारण संवृत वक्र है;
-* सेट की सीमाओं का मिलन {{mvar|C<sub>i</sub>}} सघन है {{mvar|X}}.
+* समुच्चय की सीमाओं का संघ X में सघन है।
-तब {{mvar|X}} Sierpinski कालीन के लिए होमियोमॉर्फिक है।
+तब X सिएरपिन्स्की कालीन के लिए समरूप है।
-== सीरपिन्स्की कालीन पर [[एक प्रकार कि गति]] ==
+== सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति ==
-सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति के विषय ने हाल के वर्षों में रुचि को आकर्षित किया है।<ref name=barlow>{{Citation|last1=Barlow|first1=Martin|last2=Bass|first2=Richard|title=Brownian motion and harmonic analysis on Sierpiński carpets|url=https://www.math.ubc.ca/~barlow/preprints/61_sch_pub.pdf}}</ref> मार्टिन बारलो और रिचर्ड बास ने दिखाया है कि सीरपिन्स्की कालीन पर एक यादृच्छिक चलना विमान में एक अप्रतिबंधित यादृच्छिक चलने की तुलना में धीमी गति से फैलता है। उत्तरार्द्ध आनुपातिक दूरी तक पहुंचता है {{math|{{sqrt|''n''}}}} बाद {{mvar|n}} कदम, लेकिन असतत सिएरपिन्स्की कालीन पर यादृच्छिक चलना केवल एक औसत दूरी तक पहुंचता है जो आनुपातिक है {{math|{{radic|''n''|''β''}}}} कुछ के लिए {{math|''β'' > 2}}. उन्होंने यह भी दिखाया कि यह यादृच्छिक चलना मजबूत [[बड़े विचलन सिद्धांत]] असमानताओं (तथाकथित उप-गॉसियन असमानताओं) को संतुष्ट करता है और यह परवलयिक को संतुष्ट किए बिना अण्डाकार हार्नैक असमानता को संतुष्ट करता है। ऐसे उदाहरण का अस्तित्व कई वर्षों से एक खुली समस्या थी।
+सिएरपिन्स्की कालीन पर ब्राउनियन गति के विषय ने हाल के वर्षों में रुचि को आकर्षित किया है।<ref name="barlow">{{Citation|last1=Barlow|first1=Martin|last2=Bass|first2=Richard|title=Brownian motion and harmonic analysis on Sierpiński carpets|url=https://www.math.ubc.ca/~barlow/preprints/61_sch_pub.pdf}}</ref> मार्टिन बारलो और रिचर्ड बास ने दिखाया है कि सीरपिन्स्की कालीन पर एक यादृच्छिक संक्रियक तल में एक अप्रतिबंधित यादृच्छिक गति की तुलना में मंद गति से विस्तारित होती है। उत्तरार्द्ध n चरणों के बाद √n के आनुपातिक औसत दूरी तक पहुंचता है, लेकिन असतत सिएरपिन्स्की कालीन पर यादृच्छिक गति कुछ β> 2 के लिए β√n के आनुपातिक औसत दूरी तक पहुंचता है। उन्होंने यह भी दिखाया कि यह यादृच्छिक गति प्रबल बड़े विचलन को संतुष्ट करता है असमानताएँ (तथाकथित "उप-गाऊसी असमानताएँ") और यह कि यह परवलयिक को संतुष्ट किए बिना दीर्घवृत्ताकार हार्नैक असमानता को संतुष्ट करता है। ऐसे उदाहरण का अस्तित्व कई वर्षों से एक विवृत समस्या थी।
-== वालिस छलनी ==
+== वालिस सीव ==
-[[File:Wallis sieve iteration 3.png|thumb|वालिस छलनी की तीसरी पुनरावृत्ति]]सिएरपिन्स्की कालीन की एक भिन्नता, जिसे वालिस छलनी कहा जाता है, उसी तरह से शुरू होती है, इकाई वर्ग को नौ छोटे वर्गों में उप-विभाजित करके और उनके मध्य को हटाकर। उपखंड के अगले स्तर पर, यह प्रत्येक वर्ग को 25 छोटे वर्गों में उपविभाजित करता है और बीच वाले को हटा देता है, और यह जारी रहता है {{mvar|i}}वाँ चरण प्रत्येक वर्ग को उप-विभाजित करके {{math|(2''i'' + 1)<sup>2</sup>}} ([[वर्ग संख्या]]<ref>{{Cite OEIS |A016754 |Odd squares: a(n) {{=}} (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers.}}</ref>) छोटे वर्ग और बीच वाले को हटा दें। [[वालिस उत्पाद]] द्वारा, परिणामी सेट का क्षेत्रफल है {{sfrac|{{pi}}|4}}, मानक सिएरपिन्स्की कालीन के विपरीत जिसमें शून्य सीमित क्षेत्र है। हालांकि वालिस छलनी में सकारात्मक लेबेस्गु माप है, कोई भी उपसमुच्चय जो वास्तविक संख्याओं के दो सेटों का कार्टेशियन उत्पाद नहीं है, में यह गुण है, इसलिए इसका [[जॉर्डन माप]] शून्य है।<ref>{{cite journal | last = Rummler | first = Hansklaus | doi = 10.2307/2324662 | issue = 9 | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | mr = 1247533 | pages = 858–860 | title = छिद्रों के साथ वृत्त को चुकता करना| volume = 100 | year = 1993| jstor = 2324662 }}</ref>
+[[File:Wallis sieve iteration 3.png|thumb|वालिस सीव की तीसरी पुनरावृत्ति]]सिएरपिन्स्की कालीन की एक भिन्नता, जिसे वालिस सीव कहा जाता है, उसी तरह, इकाई वर्ग को नौ छोटे वर्गों में उप-विभाजित करके और उनके मध्य को हटाकर प्रारंभ होती है। उपखंड के अगले स्तर पर, यह प्रत्येक वर्ग को 25 छोटे वर्गों में उपविभाजित करता है और बीच वाले को हटा देता है, और यह जारी रहता है जिसे {{mvar|i}}वाँ चरण प्रत्येक वर्ग को उप-विभाजित करके {{math|(2''i'' + 1)<sup>2</sup>}} ([[वर्ग संख्या|विषम वर्ग संख्या]]<ref>{{Cite OEIS |A016754 |Odd squares: a(n) {{=}} (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers.}}</ref>) छोटे वर्ग और बीच वाले को हटा दें। [[वालिस उत्पाद|वालिस गुणनफल]] द्वारा, परिणामी समुच्चय का क्षेत्रफल {{sfrac|{{pi}}|4}} है, मानक सिएरपिन्स्की कालीन के विपरीत जिसमें शून्य सीमित क्षेत्र है। हालांकि वालिस सीव में धनात्मक लेबेस्गु माप है, कोई भी उपसमुच्चय जो वास्तविक संख्याओं के दो समुच्चयों का कार्तीय गुणन नहीं है, जिसमे यह गुण है, इसलिए इसका [[जॉर्डन माप]] शून्य है।<ref>{{cite journal | last = Rummler | first = Hansklaus | doi = 10.2307/2324662 | issue = 9 | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | mr = 1247533 | pages = 858–860 | title = छिद्रों के साथ वृत्त को चुकता करना| volume = 100 | year = 1993| jstor = 2324662 }}</ref>
 == अनुप्रयोग ==
-{{Unreferenced section|date=May 2022}}
+सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ पुनरावृत्तियों के रूप में मोबाइल फोन और वाई-फाई [[ भग्न एंटीना |फ्रैक्टल एंटीना]] का उत्पादन किया गया है। अपनी स्व-समानता और [[स्केल इनवेरियन|पैमाने पर व्युत्क्रम]] के कारण, वे आसानी से कई आवृत्तियों को समायोजित करते हैं। वे समान प्रदर्शन के पारंपरिक एंटेना की तुलना में निर्माण करना और छोटा करना भी आसान है, इस प्रकार पॉकेट-आकार वाले मोबाइल फोन के लिए इष्टतम है।
-सिएरपिन्स्की कालीन के कुछ पुनरावृत्तियों के रूप में मोबाइल फोन और वाई-फाई [[ भग्न एंटीना ]] का उत्पादन किया गया है। अपनी आत्म-समानता और [[स्केल इनवेरियन]] के कारण, वे आसानी से कई आवृत्तियों को समायोजित करते हैं। वे समान प्रदर्शन के पारंपरिक एंटेना की तुलना में बनाना और छोटा करना भी आसान है, इस प्रकार पॉकेट-आकार वाले मोबाइल फोन के लिए इष्टतम है।
 == यह भी देखें ==
-* [[हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची]]
+* [[हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची|हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा]] [[ भग्न एंटीना |फ्रैक्टल]] की सूची
 * मेन्जर स्पंज
@@ Line 57: / Line 57: @@
 {{Fractals}}
-[[Category: इटरेटेड फ़ंक्शन सिस्टम फ्रैक्टल्स]] [[Category: घटता]] [[Category: टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] [[Category: पोलैंड में विज्ञान और प्रौद्योगिकी]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 23/05/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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+[[Category:टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]]
+[[Category:पोलैंड में विज्ञान और प्रौद्योगिकी]]

v t e Fractals
Characteristics	Fractal dimensions Assouad Box-counting Higuchi Correlation Hausdorff Packing Topological Recursion Self-similarity
Iterated function system	Barnsley fern Cantor set Koch snowflake Menger sponge Sierpinski carpet Sierpinski triangle Apollonian gasket Fibonacci word Space-filling curve Blancmange curve De Rham curve Minkowski Dragon curve Hilbert curve Koch curve Lévy C curve Moore curve Peano curve Sierpiński curve Z-order curve String T-square n-flake Vicsek fractal Hexaflake Gosper curve Pythagoras tree Weierstrass function
Strange attractor	Multifractal system
L-system	Fractal canopy Space-filling curve H tree
Escape-time fractals	Burning Ship fractal Julia set Filled Newton fractal Douady rabbit Lyapunov fractal Mandelbrot set Misiurewicz point Multibrot set Newton fractal Tricorn Mandelbox Mandelbulb
Rendering techniques	Buddhabrot Orbit trap Pickover stalk
Random fractals	Brownian motion Brownian tree Brownian motor Fractal landscape Lévy flight Percolation theory Self-avoiding walk
People	Michael Barnsley Georg Cantor Bill Gosper Felix Hausdorff Desmond Paul Henry Gaston Julia Helge von Koch Paul Lévy Aleksandr Lyapunov Benoit Mandelbrot Hamid Naderi Yeganeh Lewis Fry Richardson Wacław Sierpiński
Other	"How Long Is the Coast of Britain?" Coastline paradox Fractal art List of fractals by Hausdorff dimension The Fractal Geometry of Nature (1982 book) The Beauty of Fractals (1986 book) Chaos: Making a New Science (1987 book) Kaleidoscope Chaos theory

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