अनिसोट्रोपिक प्रसार: Difference between revisions

Revision as of 19:19, 12 June 2023

प्रतिबिंब प्रक्रमण और कंप्यूटर दृष्टि में, विषमदैशिक विसरण, जिसे पेरोना-मलिक विसरण भी कहा जाता है, प्रतिबिंब पदार्थ के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना प्रतिबिंब रव को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, सामान्यतः किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो प्रतिबिंब की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं ।^[1]^[2]^[3] विषमदैशिक विसरण उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक माप समष्टि बनाता है, जहां एक प्रतिबिंब विसरण प्रक्रिया के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक धुंधली प्रतिबिंबों का एक पैरामीटरयुक्त वर्ग उत्पन्न करती है। इस वर्ग में परिणामी प्रतिबिंबों में से प्रत्येक को प्रतिबिंब और एक 2डी समदैशिक गाऊसी निस्यंदक के बीच एक संवलन के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ निस्यंदक की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह विसरण प्रक्रिया मूल प्रतिबिंब का एक रैखिक और समष्टि-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। विषमदैशिक विसरण इस विसरण प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत प्रतिबिंबों के एक वर्ग का उत्पादन करता है, परन्तु प्रत्येक परिणामी प्रतिबिंब मूल प्रतिबिंब और एक निस्यंदक के बीच एक संयोजन है जो मूल प्रतिबिंब की स्थानीय पदार्थ पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, विषमदैशिक विसरण मूल प्रतिबिंब का एक गैर-रैखिक और समष्टि-भिन्न परिवर्तन है।

1987 में पीटर पेरोना और जितेंद्र मलिक द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में,^[1] समष्टि- परिवर्त निस्यंदक वस्तुतः समदैशिक है, परन्तु प्रतिबिंब पदार्थ पर निर्भर करता है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के निकट एक आवेग फलन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी माप समष्टि के विभिन्न स्तरों पर प्रतिबिंब में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा विषमदैशिक विसरण के रूप में संदर्भित किया गया था, यद्यपि स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक समदैशिक है, परन्तु इसे अन्य लेखकों द्वारा अमानवीय और गैर-रैखिक विसरण या पेरोना-मलिक विसरण के रूप में भी संदर्भित किया गया है।^[4]^[5] एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के निकट उचित रूप में विषमदैशिक होने की अनुमति देता है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस प्रकार की विधियों को सजातीय आकार अनुकूलन^[6]^[7] सुसंगतता बढ़ाने वाले प्रसार के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[8] परिणामस्वरूप, परिणामी प्रतिबिंब रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ मृदुलन की जाती है। इन दोनों स्थितियों को सामान्य विसरण समीकरण के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां विसरण गुणांक, स्थिर अदिश होने के अतिरिक्त, प्रतिबिंब स्थिति का एक फलन है और एक आव्यूह (गणित) (या टेन्सर ) मान (संरचना टेंसर देखें) मानता है।

यद्यपि प्रतिबिंबों के परिणामी वर्ग को मूल प्रतिबिंब और समष्टि- परिवर्त निस्यंदक के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक और प्रतिबिंब के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में महसूस नहीं किया जाना चाहिए। विषमदैशिक विसरण सामान्य रूप से सामान्यीकृत विसरण समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: वर्ग में प्रत्येक नई प्रतिबिंब की गणना इस समीकरण को पिछली प्रतिबिंब पर लागू करके की जाती है। नतीजतन, विषमदैशिक विसरण एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल सेट वर्ग में प्रत्येक क्रमिक प्रतिबिंब की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में मृदुलन प्राप्त नहीं हो जाती।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, चलो $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ विमान के एक सबसेट को निरूपित करें और $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ ग्रे माप इमेज का वर्ग बनें। प्रारंभिक_शर्त | $I(\cdot ,0)$ इनपुट प्रतिबिंब है। फिर विषमदैशिक विसरण को इस रूप में परिभाषित किया गया है

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I

कहाँ $\Delta$ लाप्लासियन को दर्शाता है, $\nabla$ ढाल को दर्शाता है, $\operatorname {div} (\cdots )$ विचलन ऑपरेटर है और $c(x,y,t)$ विसरण गुणांक है।

के लिए $t>0$ , आउटपुट प्रतिबिंब के रूप में उपलब्ध है $I(\cdot ,t)$ , बड़े के साथ $t$ धुंधली प्रतिबिंब बनाना।

$c(x,y,t)$ विसरण की दर को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रतिबिंब ढाल के फलन के रूप में चुना जाता है ताकि प्रतिबिंब में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में विषमदैशिक विसरण के विचार को आगे बढ़ाया और विसरण गुणांक के लिए दो फलन प्रस्तावित किए:

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}

और

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

निरंतर K किनारों की संवेदनशीलता को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रयोगात्मक रूप से या प्रतिबिंब में रव के फलन के रूप में चुना जाता है।

प्रेरणा

होने देना $M$ चिकनी प्रतिबिंबों के कई गुना निरूपित करें, तो ऊपर प्रस्तुत विसरण समीकरणों को ऊर्जा कार्यात्मकता को कम करने के लिए ढाल वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या की जा सकती है $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

कहाँ $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो विसरण गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी प्रकार से समर्थित असीम रूप से भिन्न परीक्षण फलन के लिए $h$ ,

{\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}

जहां अंतिम पंक्ति भागों द्वारा बहुआयामी एकीकरण से होती है। दे $\nabla E_{I}$ के संबंध में E की प्रवणता निरूपित करें $L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$ आंतरिक उत्पाद I पर मूल्यांकन किया गया, यह देता है

\nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

इसलिए, कार्यात्मक ई पर ग्रेडिएंट डिसेंट समीकरण द्वारा दिए गए हैं

{\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

इस प्रकार दे कर $c=g'$ विषमदैशिक विसरण समीकरण प्राप्त होते हैं।

नियमितीकरण

विसरण गुणांक, $c(x,y,t)$ , जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है $\|\nabla I\|^{2}>K^{2}$ । यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक विसरण गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय विसरण गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े विसरण की ओर जाता है जो प्रतिबिंब की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है अतिरिक्त उन्हें चिकना करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।^[9]

इसके लिए संशोधित पेरोना-मलिक मॉडल में से एक^[10](जिसे पी-एम समीकरण के नियमितीकरण के रूप में भी जाना जाता है) पर चर्चा की जाएगी। इस दृष्टिकोण में, संशोधित पेरोना-मलिक समीकरण प्राप्त करने के लिए अज्ञात को गैर-रैखिकता के अंदर एक गॉसियन के साथ जोड़ा जाता है।

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)

कहाँ $G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)$ ।

इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है परन्तु यह धुंधला प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। रव के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।

अनुप्रयोग

विषमदैशिक विसरण का उपयोग किनारों को धुंधला किए बिना डिजिटल प्रतिबिंबों से रव को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर विसरण गुणांक के साथ, विषमदैशिक विसरण समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह रव को दूर करने के लिए आदर्श है, परन्तु अंधाधुंध रूप से किनारों को भी धुंधला कर देता है। जब विसरण गुणांक को किनारे से बचने वाले फलन के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण चिकनी प्रतिबिंब तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर विसरण (इसलिए मृदुलन) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए प्रतिबिंब से रव को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।

रव हटाने के समान लाइनों के साथ, विषमदैशिक विसरण का उपयोग एज डिटेक्शन एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए विसरण गुणांक की मांग करने वाले किनारे के साथ विसरण को चलाकर, प्रतिबिंब को किनारों के रूप में पहचाने जाने वाले निरंतर घटकों के बीच की सीमाओं के साथ एक टुकड़े की स्थिर प्रतिबिंब की ओर विकसित किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion". Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision. pp. 16–22.
↑ Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion" (PDF). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629–639. doi:10.1109/34.56205. S2CID 14502908.
↑ Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. p. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.
↑ Joachim Weickert (July 1997). "A Review of Nonlinear Diffusion Filtering". Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. doi:10.1007/3-540-63167-4.
↑ Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 978-0-13-085198-7.
↑ Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (chapter 15).
↑ Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). "Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection". IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027–2042. Bibcode:2000ITIP....9.2027L. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.
↑ Weickert, J Anisotropic diffusion in image processing, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998.
↑ Weickert, Joachim. "A review of nonlinear diffusion filtering." International Conference on Scale-Space Theories in Computer Vision. Springer, Berlin, Heidelberg, 1997
↑ Guidotti,P Some Anisotropic Diffusions,2009.

बाहरी संबंध

Mathematica PeronaMalikFilter function।
IDL nonlinear anisotropic diffusion package(edge enhancing and coherence enhancing): [1]

[Perona-Malik-1987-1] 1.0 ^1.1 Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion". Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision. pp. 16–22.

[Perona-Malik-1990-2] Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion" (PDF). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629–639. doi:10.1109/34.56205. S2CID 14502908.

[Sapiro-2001-3] Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. p. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.

[Weickert-review-4] Joachim Weickert (July 1997). "A Review of Nonlinear Diffusion Filtering". Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. doi:10.1007/3-540-63167-4.

[Jähne-Haußecker-2000-5] Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 978-0-13-085198-7.

[lin94-6] Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (chapter 15).

[AlmLin00-7] Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). "Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection". IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027–2042. Bibcode:2000ITIP....9.2027L. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.

[Weickert-1998-8] Weickert, J Anisotropic diffusion in image processing, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998.

[Weickert,Joachim-1997-9] Weickert, Joachim. "A review of nonlinear diffusion filtering." International Conference on Scale-Space Theories in Computer Vision. Springer, Berlin, Heidelberg, 1997

[Guidotti-2009-10] Guidotti,P Some Anisotropic Diffusions,2009.

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 {{Short description|Image noise reducing technique}}
-{{confuse|Anisotropic filtering}}
+{{confuse|विषमदैशिक निस्यंदन}}
-छवि प्रसंस्करण और [[कंप्यूटर दृष्टि]] में, अनिसोट्रोपिक प्रसार, जिसे पेरोना-मलिक प्रसार भी कहा जाता है, छवि सामग्री के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना [[छवि शोर]] को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, आमतौर पर किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो छवि की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं .<ref name="Perona-Malik-1987"/><ref name="Perona-Malik-1990"/><ref name="Sapiro-2001"/>  [[एनिस्ट्रोपिक]] प्रसार उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक [[स्केल स्पेस]] बनाता है, जहां एक छवि [[प्रसार प्रक्रिया]] के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक धुंधली छवियों का एक पैरामीटरयुक्त परिवार उत्पन्न करती है। इस परिवार में परिणामी छवियों में से प्रत्येक को छवि और एक 2डी [[ समदैशिक ]] [[ गाऊसी फिल्टर ]] के बीच एक [[कनवल्शन]] के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ फिल्टर की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह प्रसार प्रक्रिया मूल छवि का एक रैखिक और अंतरिक्ष-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। अनिसोट्रोपिक प्रसार इस प्रसार प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत छवियों के एक परिवार का उत्पादन करता है, लेकिन प्रत्येक परिणामी छवि मूल छवि और एक फिल्टर के बीच एक संयोजन है जो मूल छवि की स्थानीय सामग्री पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, अनिसोट्रोपिक प्रसार मूल छवि का एक गैर-रैखिक और अंतरिक्ष-भिन्न परिवर्तन है।
+प्रतिबिंब प्रक्रमण और [[कंप्यूटर दृष्टि]] में, विषमदैशिक विसरण, जिसे पेरोना-मलिक विसरण भी कहा जाता है, प्रतिबिंब पदार्थ के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना [[छवि शोर|प्रतिबिंब रव]] को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, सामान्यतः किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो प्रतिबिंब की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं ।<ref name="Perona-Malik-1987"/><ref name="Perona-Malik-1990"/><ref name="Sapiro-2001"/> [[एनिस्ट्रोपिक|विषमदैशिक]] विसरण उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक [[स्केल स्पेस|माप समष्टि]] बनाता है, जहां एक प्रतिबिंब [[प्रसार प्रक्रिया|विसरण प्रक्रिया]] के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक धुंधली प्रतिबिंबों का एक पैरामीटरयुक्त वर्ग उत्पन्न करती है। इस वर्ग में परिणामी प्रतिबिंबों में से प्रत्येक को प्रतिबिंब और एक 2डी [[ समदैशिक |समदैशिक]] [[ गाऊसी फिल्टर |गाऊसी निस्यंदक]] के बीच एक [[कनवल्शन|संवलन]] के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ निस्यंदक की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह विसरण प्रक्रिया मूल प्रतिबिंब का एक रैखिक और समष्टि-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। विषमदैशिक विसरण इस विसरण प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत प्रतिबिंबों के एक वर्ग का उत्पादन करता है, परन्तु प्रत्येक परिणामी प्रतिबिंब मूल प्रतिबिंब और एक निस्यंदक के बीच एक संयोजन है जो मूल प्रतिबिंब की स्थानीय पदार्थ पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, विषमदैशिक विसरण मूल प्रतिबिंब का एक गैर-रैखिक और समष्टि-भिन्न परिवर्तन है।
-में [[पीटर पेरोना]] और [[जितेंद्र मलिक]] द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में,<ref name="Perona-Malik-1987"/>स्पेस-वैरिएंट फ़िल्टर वास्तव में आइसोट्रोपिक है, लेकिन छवि सामग्री पर निर्भर करता है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के करीब एक आवेग फ़ंक्शन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी स्केल स्पेस के विभिन्न स्तरों पर छवि में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा अनिसोट्रोपिक प्रसार के रूप में संदर्भित किया गया था, हालांकि स्थानीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर आइसोट्रोपिक है, लेकिन इसे अमानवीय और गैर-रैखिक प्रसार के रूप में भी संदर्भित किया गया है।<ref name="Weickert-review"/>या पेरोना-मलिक प्रसार<ref name="Jähne-Haußecker-2000"/>अन्य लेखकों द्वारा। एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के करीब सही मायने में अनिसोट्रोपिक होने की अनुमति देता है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस तरह के तरीकों को [[affine आकार अनुकूलन]] | शेप-एडेप्टेड स्मूथिंग कहा जाता है<ref name="lin94"/><ref name="AlmLin00"/>या सुसंगतता प्रसार को बढ़ाता है।<ref name="Weickert-1998"/>परिणामस्वरूप, परिणामी छवियां रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ चौरसाई की जाती है। इन दोनों मामलों को सामान्य [[प्रसार समीकरण]] के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां प्रसार गुणांक, स्थिर स्केलर होने के बजाय, छवि स्थिति का एक कार्य है और एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] (या [[ टेन्सर ]]) मान ([[संरचना टेंसर]] देखें) मानता है।
+में [[पीटर पेरोना]] और [[जितेंद्र मलिक]] द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में,<ref name="Perona-Malik-1987"/> समष्टि- परिवर्त निस्यंदक वस्तुतः समदैशिक है, परन्तु प्रतिबिंब पदार्थ पर निर्भर करता है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के निकट एक आवेग फलन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी माप समष्टि के विभिन्न स्तरों पर प्रतिबिंब में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा विषमदैशिक विसरण के रूप में संदर्भित किया गया था, यद्यपि स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक समदैशिक है, परन्तु इसे अन्य लेखकों द्वारा अमानवीय और गैर-रैखिक विसरण या पेरोना-मलिक विसरण के रूप में भी संदर्भित किया गया है।<ref name="Weickert-review"/><ref name="Jähne-Haußecker-2000"/> एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के निकट उचित रूप में विषमदैशिक होने की अनुमति देता है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस प्रकार की विधियों को [[affine आकार अनुकूलन|सजातीय आकार अनुकूलन]]<ref name="lin94"/><ref name="AlmLin00"/> सुसंगतता बढ़ाने वाले प्रसार के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref name="Weickert-1998"/> परिणामस्वरूप, परिणामी प्रतिबिंब रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ मृदुलन की जाती है। इन दोनों स्थितियों को सामान्य [[प्रसार समीकरण|विसरण समीकरण]] के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां विसरण गुणांक, स्थिर अदिश होने के अतिरिक्त, प्रतिबिंब स्थिति का एक फलन है और एक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] (या [[ टेन्सर |टेन्सर]] ) मान ([[संरचना टेंसर]] देखें) मानता है।
-यद्यपि छवियों के परिणामी परिवार को मूल छवि और स्पेस-वैरिएंट फ़िल्टर के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर और छवि के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में महसूस नहीं किया जाना चाहिए। अनिसोट्रोपिक प्रसार सामान्य रूप से सामान्यीकृत प्रसार समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: परिवार में प्रत्येक नई छवि की गणना इस समीकरण को पिछली छवि पर लागू करके की जाती है। नतीजतन, अनिसोट्रोपिक प्रसार एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल सेट परिवार में प्रत्येक क्रमिक छवि की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में चौरसाई प्राप्त नहीं हो जाती।
+यद्यपि प्रतिबिंबों के परिणामी वर्ग को मूल प्रतिबिंब और समष्टि- परिवर्त निस्यंदक के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक और प्रतिबिंब के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में महसूस नहीं किया जाना चाहिए। विषमदैशिक विसरण सामान्य रूप से सामान्यीकृत विसरण समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: वर्ग में प्रत्येक नई प्रतिबिंब की गणना इस समीकरण को पिछली प्रतिबिंब पर लागू करके की जाती है। नतीजतन, विषमदैशिक विसरण एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल सेट वर्ग में प्रत्येक क्रमिक प्रतिबिंब की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में मृदुलन प्राप्त नहीं हो जाती।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-औपचारिक रूप से, चलो <math> \Omega \subset \mathbb{R}^2 </math> विमान के एक सबसेट को निरूपित करें और <math> I(\cdot,t): \Omega \rightarrow \mathbb{R} </math> ग्रे स्केल इमेज का परिवार बनें। प्रारंभिक_शर्त |<math> I(\cdot, 0) </math>इनपुट छवि है। फिर अनिसोट्रोपिक प्रसार को इस रूप में परिभाषित किया गया है
+औपचारिक रूप से, चलो <math> \Omega \subset \mathbb{R}^2 </math> विमान के एक सबसेट को निरूपित करें और <math> I(\cdot,t): \Omega \rightarrow \mathbb{R} </math> ग्रे माप इमेज का वर्ग बनें। प्रारंभिक_शर्त |<math> I(\cdot, 0) </math>इनपुट प्रतिबिंब है। फिर विषमदैशिक विसरण को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 : <math> \frac{\partial I}{\partial t} = \operatorname{div} \left( c(x,y,t) \nabla I \right)= \nabla c \cdot \nabla I + c(x,y,t) \, \Delta I </math>
-कहाँ <math> \Delta </math> [[लाप्लासियन]] को दर्शाता है, <math> \nabla </math> ढाल को दर्शाता है, <math> \operatorname{div}(\cdots) </math> [[विचलन]] ऑपरेटर है और <math> c(x,y,t) </math> प्रसार गुणांक है।
+कहाँ <math> \Delta </math> [[लाप्लासियन]] को दर्शाता है, <math> \nabla </math> ढाल को दर्शाता है, <math> \operatorname{div}(\cdots) </math> [[विचलन]] ऑपरेटर है और <math> c(x,y,t) </math> विसरण गुणांक है।
-के लिए <math> t > 0 </math>, आउटपुट छवि के रूप में उपलब्ध है <math> I(\cdot, t) </math>, बड़े के साथ <math> t </math> धुंधली छवियां बनाना।
+के लिए <math> t > 0 </math>, आउटपुट प्रतिबिंब के रूप में उपलब्ध है <math> I(\cdot, t) </math>, बड़े के साथ <math> t </math> धुंधली प्रतिबिंब बनाना।
-<math> c(x,y,t) </math> प्रसार की दर को नियंत्रित करता है और आमतौर पर छवि ढाल के कार्य के रूप में चुना जाता है ताकि छवि में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में अनिसोट्रोपिक प्रसार के विचार को आगे बढ़ाया और प्रसार गुणांक के लिए दो कार्य प्रस्तावित किए:
+<math> c(x,y,t) </math> विसरण की दर को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रतिबिंब ढाल के फलन के रूप में चुना जाता है ताकि प्रतिबिंब में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में विषमदैशिक विसरण के विचार को आगे बढ़ाया और विसरण गुणांक के लिए दो फलन प्रस्तावित किए:
 : <math> c\left(\|\nabla I\|\right) = e^{-\left(\|\nabla I\| / K\right)^2} </math>
 और
 : <math> c\left(\| \nabla I\| \right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{\|\nabla I\|}{K}\right)^2}  </math>
-निरंतर K किनारों की संवेदनशीलता को नियंत्रित करता है और आमतौर पर प्रयोगात्मक रूप से या छवि में शोर के कार्य के रूप में चुना जाता है।
+निरंतर K किनारों की संवेदनशीलता को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रयोगात्मक रूप से या प्रतिबिंब में रव के फलन के रूप में चुना जाता है।
 == प्रेरणा ==
-होने देना <math> M </math> चिकनी छवियों के कई गुना निरूपित करें, तो ऊपर प्रस्तुत प्रसार समीकरणों को ऊर्जा कार्यात्मकता को कम करने के लिए ढाल वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या की जा सकती है <math> E: M \rightarrow \mathbb{R} </math> द्वारा परिभाषित
+होने देना <math> M </math> चिकनी प्रतिबिंबों के कई गुना निरूपित करें, तो ऊपर प्रस्तुत विसरण समीकरणों को ऊर्जा कार्यात्मकता को कम करने के लिए ढाल वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या की जा सकती है <math> E: M \rightarrow \mathbb{R} </math> द्वारा परिभाषित
 : <math> E[I] = \frac{1}{2} \int_{\Omega} g\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right)\, dx </math>
-कहाँ <math> g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है जो प्रसार गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी तरह से समर्थित असीम रूप से भिन्न परीक्षण फ़ंक्शन के लिए <math> h </math>,
+कहाँ <math> g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो विसरण गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी प्रकार से समर्थित असीम रूप से भिन्न परीक्षण फलन के लिए <math> h </math>,
 : <math> \begin{align}
@@ Line 38: / Line 38: @@
 : <math> \frac{\partial I}{\partial t} = - \nabla E_I = \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) </math>
-इस प्रकार दे कर <math> c = g' </math> अनिसोट्रोपिक प्रसार समीकरण प्राप्त होते हैं।
+इस प्रकार दे कर <math> c = g' </math> विषमदैशिक विसरण समीकरण प्राप्त होते हैं।
 == नियमितीकरण ==
-प्रसार गुणांक, <math> c(x,y,t) </math>, जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है <math> \| \nabla I\|^2 > K^2 </math>. यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक प्रसार गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय प्रसार गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े प्रसार की ओर जाता है जो छवि की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है बजाय उन्हें चिकना करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।<ref name="Weickert,Joachim-1997"/>
+विसरण गुणांक, <math> c(x,y,t) </math>, जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है <math> \| \nabla I\|^2 > K^2 </math>। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक विसरण गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय विसरण गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े विसरण की ओर जाता है जो प्रतिबिंब की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है अतिरिक्त उन्हें चिकना करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।<ref name="Weickert,Joachim-1997"/>
 इसके लिए संशोधित पेरोना-मलिक मॉडल में से एक<ref name="Guidotti-2009"/>(जिसे पी-एम समीकरण के नियमितीकरण के रूप में भी जाना जाता है) पर चर्चा की जाएगी। इस दृष्टिकोण में, संशोधित पेरोना-मलिक समीकरण प्राप्त करने के लिए अज्ञात को गैर-रैखिकता के अंदर एक गॉसियन के साथ जोड़ा जाता है।
 : <math> \frac{\partial I}{\partial t}=\operatorname{div} \left(c(|\nabla(G_\sigma * I)|^2)\nabla I \right) </math>
-कहाँ  <math> G_\sigma=C\sigma^{-1/2}\exp\left(-|x|^2/4\sigma\right)</math>.
+कहाँ <math> G_\sigma=C\sigma^{-1/2}\exp\left(-|x|^2/4\sigma\right)</math>।
-इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है लेकिन यह धुंधला प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। शोर के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।
+इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है परन्तु यह धुंधला प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। रव के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।
 == अनुप्रयोग ==
-अनिसोट्रोपिक प्रसार का उपयोग किनारों को धुंधला किए बिना डिजिटल छवियों से शोर को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर प्रसार गुणांक के साथ, अनिसोट्रोपिक प्रसार समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह शोर को दूर करने के लिए आदर्श है, लेकिन अंधाधुंध रूप से किनारों को भी धुंधला कर देता है। जब प्रसार गुणांक को किनारे से बचने वाले कार्य के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण चिकनी छवि तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर प्रसार (इसलिए चौरसाई) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए छवि से शोर को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।
+विषमदैशिक विसरण का उपयोग किनारों को धुंधला किए बिना डिजिटल प्रतिबिंबों से रव को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर विसरण गुणांक के साथ, विषमदैशिक विसरण समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह रव को दूर करने के लिए आदर्श है, परन्तु अंधाधुंध रूप से किनारों को भी धुंधला कर देता है। जब विसरण गुणांक को किनारे से बचने वाले फलन के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण चिकनी प्रतिबिंब तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर विसरण (इसलिए मृदुलन) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए प्रतिबिंब से रव को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।
-शोर हटाने के समान लाइनों के साथ, अनिसोट्रोपिक प्रसार का उपयोग एज डिटेक्शन एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए प्रसार गुणांक की मांग करने वाले किनारे के साथ प्रसार को चलाकर, छवि को किनारों के रूप में पहचाने जाने वाले निरंतर घटकों के बीच की सीमाओं के साथ एक टुकड़े की स्थिर छवि की ओर विकसित किया जा सकता है।
+रव हटाने के समान लाइनों के साथ, विषमदैशिक विसरण का उपयोग एज डिटेक्शन एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए विसरण गुणांक की मांग करने वाले किनारे के साथ विसरण को चलाकर, प्रतिबिंब को किनारों के रूप में पहचाने जाने वाले निरंतर घटकों के बीच की सीमाओं के साथ एक टुकड़े की स्थिर प्रतिबिंब की ओर विकसित किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* [[द्विपक्षीय फिल्टर]]
+* [[द्विपक्षीय फिल्टर|द्विपक्षीय निस्यंदक]]
 * [[किनारे का पता लगाना]]
 * [[एज-प्रोटेक्टिंग स्मूथिंग]]
 * ऊष्मा समीकरण
-* छवि शोर
+* प्रतिबिंब रव
-* [[शोर में कमी]]
+* [[शोर में कमी|रव में कमी]]
-* स्केल स्पेस
+* माप समष्टि
 * [[कुल भिन्नता denoising]]
 * [[परिबद्ध भिन्नता]]
@@ Line 150: / Line 150: @@
 ==बाहरी संबंध==
-*Mathematica [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/PeronaMalikFilter.html PeronaMalikFilter] function.
+*Mathematica [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/PeronaMalikFilter.html PeronaMalikFilter] function।
 * IDL nonlinear anisotropic diffusion package(edge enhancing and coherence enhancing): [http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/physics/research/cfsa/people/yuan/studytracking/computation/idllib/]

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