उत्पारण सीमा चालकता: Difference between revisions

Revision as of 20:00, 12 June 2023

भौतिकी में उत्पारण सीमा चालकता, एक धातु घटक के बीच का मिश्रण होता है। विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता $\sigma$ और स्थिरांक $\epsilon$ यदि धात्विक घटक का अंश उत्पारण सीमा तक पहुँच जाता है तो इस मिश्रण का एक महत्वपूर्ण व्यवहार प्रदर्शित होता है।^[1]

यह उत्पारण सीमा चालकता में धातु घटक की चालकता में एक सहज परिवर्तन दिखाता है। इस व्यवहार को दो महत्वपूर्ण घातांक "s" और "t" का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जो निरंतर अलग हो जाता है यदि सीमा को दोनों तरफ से संपर्क किया जाता है। विद्युतिए घटकों में आवृत्ति निर्भर व्यवहार को सम्मलित करने के लिए, एक प्रतिरोधक संधारित्र नमूना (आर सी नमूना) का उपयोग किया जाता है।ka

ज्यामितीय उत्पारण

एक धातु घटक के मिश्रण का वर्णन करने के लिए हम बंधन छिद्रण के नमूने का उपयोग करते है।

एक नियमित, दो के बीच का बंधन या तो संभाव्यता अधिकृत किया जा सकता है $p$ या संभाव्यता अधिकृत नहीं किया जा सकता है $1-p$ एक महत्वपूर्ण मूल्य उपस्थित है $p_{c}$ संभावनाओं के लिए $p>p_{c}$ अधिकृत वाले बंधनों का एक अनंत समूह बनता है। इस मान को $p_{c}$ उत्पारण सीमा कहा जाता है। इस उत्पारण सीमा के क्षेत्र को दो महत्वपूर्ण घातांकों द्वारा वर्णित किया जा सकता है $\nu$ और $\beta$ (उत्पारण आलोचनात्मक निर्यातक देखें)।

इन महत्वपूर्ण घातांकों के साथ हमारे पास सहसंबंध की लंबाई है, $\xi$

$\xi (p)\propto (p_{c}-p)^{-\nu }$

और उत्पारण प्रायिकता है, P:

$P(p)\propto (p-p_{c})^{\beta }$

विद्युत उत्पारण

विद्युत उत्पारण के विवरण के लिए, हम अनुबंध उत्पारण नमूने के अधिकृत वाले अनुबंध की पहचान धातु के घटक के साथ करते है जिसमें चालकता होती है $\sigma _{m}$ . और चालकता के साथ घटक होते है $\sigma _{d}$ गैर अधिकृत बंधनों से मेल खाता है। हम एक सुचालक विसंवाहक मिश्रण और एक सुपरसुचालक मिश्रण के निम्नलिखित दो प्रसिद्ध स्थितियों पर विचार करते है।

सुचालक विसंवाहक मिश्रण

सुचालक विसंवाहक मिश्रण के स्थिति में हमारे पास है $\sigma _{d}=0$ . यह स्थिति व्यवहार का वर्णन करती है, यदि ऊपर से उत्पारण सीमा तक संपर्क किया जाता है:

$\sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{m}(p-p_{c})^{t}$

के लिए $p>p_{c}$

उत्पारण सीमा के नीचे हमारे पास कोई चालकता नहीं होती है। घातांक t विद्युत उत्पारण के लिए दो महत्वपूर्ण घातांकों में से एक होता है।

अतिचालक–चालक मिश्रण

सुपरसुचालक मिश्रण के दूसरे प्रसिद्ध स्थिति में हमारे पास है $\sigma _{m}=\infty$ यह स्थिति उत्पारण सीमा के नीचे विवरण के लिए उपयोगी होते है:

$\sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{d}(p_{c}-p)^{-s}$

के लिए $p<p_{c}$

अब, उत्पारण सीमा के ऊपर अनंत सुपरसुचालक समूह के कारण चालकता अनंत हो जाती है, और हमें विद्युतिए उत्पारण के लिए दूसरा आलोचनात्मक निर्यातक भी मिलता है।

उत्पारण सीमा चालकता

उत्पारण सीमा के आसपास के क्षेत्र में, चालकता एक स्केलिंग रूप लेती है:^[2]

$\sigma (p)\propto \sigma _{m}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left(h|\Delta p|^{-s-t}\right)$

साथ $\Delta p\equiv p-p_{c}$ और $h\equiv {\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}$

उत्पारण सीमा पर, चालकता मूल्य तक पहुँचती है:^[1]

$\sigma _{DC}(p_{c})\propto \sigma _{m}\left({\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}\right)^{u}$

साथ $u={\frac {t}{t+s}}$

महत्वपूर्ण घातांकों के लिए मान

विभिन्न स्रोतों में 3 आयामों में महत्वपूर्ण घातांक s, t और u के लिए कुछ भिन्न मान उपस्थित है:

3 आयामों में महत्वपूर्ण घातांक के मान
	एफ्रोस एट अल^[1]	क्लर्क एट अल^[2]	बर्गमैन एट अल^[3]
t	1,60	1,90	2,00
s	1,00	0,73	0,76
u	0,62	0,72	0,72

स्थिरांक भी उत्पारण सीमा में एक महत्वपूर्ण व्यवहार दिखाता है। हमारे पास स्थिरांक के वास्तविक भाग के लिए है:^[1]

$\epsilon _{1}(\omega =0,p)={\frac {\epsilon _{d}}{|p-p_{c}|^{s}}}$

आर सी नमूना

आरसी नमूने के भीतर, उत्पारण नमूने में बंधन चालकता के साथ शुद्ध प्रतिरोधों द्वारा दर्शाए जाते है $\sigma _{m}=1/R$ अधिकृत वाले बंधनों के लिए और चालकता के साथ सही संधारित्र द्वारा $\sigma _{d}=iC\omega$ (जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है) गैर अधिकृत बंधनों के लिए होता है। अब स्केलिंग नियम रूप लेता है:^[2]

$\sigma (p,\omega )\propto {\frac {1}{R}}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}\right)$

इस स्केलिंग नियम में विशुद्ध रूप से काल्पनिक स्केलिंग चर और एक महत्वपूर्ण समय स्केल सम्मलित होता है

$\tau ^{*}={\frac {1}{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}$

जो अलग हो जाता है अगर उत्पारण सीमा को ऊपर से और साथ ही नीचे से संपर्क किया जाता है।^[2]

सघन संजाल के लिए चालकता

घने संजाल के लिए, उत्पारण की अवधारणा सीधे लागू नहीं होती है और संजाल के ज्यामितीय गुणों के संदर्भ में प्रभावी प्रतिरोध की गणना की जाती है।^[4] यह मानते हुए कि किनारे की लंबाई << इलेक्ट्रोड और किनारों को समान रूप से वितरित किया जाता है, क्षमता को एक इलेक्ट्रोड से दूसरे में समान रूप से गिराने के लिए माना जा सकता है। ऐसे यादृच्छिक संजाल का प्रतिरोध ( $R_{sn}$ ) किनारे घनत्व के संदर्भ में लिखा जा सकता है ( $N_{E}$ ), प्रतिरोधकता ( $\rho$ ), चौड़ाई ( $w$ ) और मोटाई ( $t$ ) किनारों के रूप में है:

$R_{sn}\,=\,{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{w\,t\,{\sqrt {N_{E}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

यह भी देखें

उत्पारण सिद्धांत

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Efros, A. L.; Shklovskii, B. I. (1976). "Critical Behaviour of Conductivity and Dielectric Constant near the Metal-Non-Metal Transition Threshold". Phys. Status Solidi B. 76 (2): 475–485. Bibcode:1976PSSBR..76..475E. doi:10.1002/pssb.2220760205.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Clerc, J. P.; Giraud, G.; Laugier, J. M.; Luck, J. M. (1990). "The electrical conductivity of binary disordered systems, percolation clusters, fractals and related models". Adv. Phys. 39 (3): 191–309. Bibcode:1990AdPhy..39..191C. doi:10.1080/00018739000101501.
↑ Bergman, D. J.; Stroud, D. (1992). "Physical Properties of Macroscopically Inhomogeneous Media". In H. Ehrenreich und D. Turnbull (ed.). Solid State Physics. Vol. 46. Academic Press inc. pp. 147–269. doi:10.1016/S0081-1947(08)60398-7. ISBN 9780126077469.
↑ Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, N. S.; Kulkarni, G. U . (2017). "नैनोवायर नेटवर्क के संचालन में वर्तमान वितरण". Journal of Applied Physics. 122 (4): 045101. Bibcode:2017JAP...122d5101K. doi:10.1063/1.4985792.

[Efros-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Efros, A. L.; Shklovskii, B. I. (1976). "Critical Behaviour of Conductivity and Dielectric Constant near the Metal-Non-Metal Transition Threshold". Phys. Status Solidi B. 76 (2): 475–485. Bibcode:1976PSSBR..76..475E. doi:10.1002/pssb.2220760205.

[Clerc-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Clerc, J. P.; Giraud, G.; Laugier, J. M.; Luck, J. M. (1990). "The electrical conductivity of binary disordered systems, percolation clusters, fractals and related models". Adv. Phys. 39 (3): 191–309. Bibcode:1990AdPhy..39..191C. doi:10.1080/00018739000101501.

[Bergman-3] Bergman, D. J.; Stroud, D. (1992). "Physical Properties of Macroscopically Inhomogeneous Media". In H. Ehrenreich und D. Turnbull (ed.). Solid State Physics. Vol. 46. Academic Press inc. pp. 147–269. doi:10.1016/S0081-1947(08)60398-7. ISBN 9780126077469.

[4] Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, N. S.; Kulkarni, G. U . (2017). "नैनोवायर नेटवर्क के संचालन में वर्तमान वितरण". Journal of Applied Physics. 122 (4): 045101. Bibcode:2017JAP...122d5101K. doi:10.1063/1.4985792.

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-{{Technical|date=April 2011}}
+भौतिकी में '''उत्पारण सीमा चालकता''', एक धातु घटक के बीच का मिश्रण होता है। [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता]] <math> \sigma </math> और स्थिरांक <math> \epsilon </math> यदि धात्विक घटक का अंश उत्पारण सीमा तक पहुँच जाता है तो इस मिश्रण का एक महत्वपूर्ण व्यवहार प्रदर्शित होता है।<ref name="Efros" />
-भौतिकी में परकोलेशन थ्रेसहोल्ड के पास चालकता, एक ढांकता हुआ और धातु घटक के बीच मिश्रण में होती है। [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता]] <math> \sigma </math> और ढांकता हुआ स्थिरांक <math> \epsilon </math> यदि धात्विक घटक का अंश अंत:स्रवण दहलीज तक पहुँच जाता है तो इस मिश्रण का एक महत्वपूर्ण व्यवहार प्रदर्शित होता है।<ref name="Efros" />
-इस परकोलेशन थ्रेसहोल्ड के पास चालकता का व्यवहार ढांकता हुआ घटक की चालकता से धातु घटक की चालकता में एक सहज परिवर्तन दिखाएगा। इस व्यवहार को दो महत्वपूर्ण घातांक एस और टी का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जबकि थ्रेशोल्ड के दोनों ओर से संपर्क करने पर ढांकता हुआ स्थिरांक अलग हो जाएगा। [[इलेक्ट्रॉनिक घटक]]ों में [[आवृत्ति]] निर्भर व्यवहार को शामिल करने के लिए, एक प्रतिरोधक-[[संधारित्र]] मॉडल (आर-सी मॉडल) का उपयोग किया जाता है।
-== ज्यामितीय परकोलेशन ==
+यह उत्पारण सीमा चालकता में धातु घटक की चालकता में एक सहज परिवर्तन दिखाता है। इस व्यवहार को दो महत्वपूर्ण घातांक "s" और "t" का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जो निरंतर अलग हो जाता है यदि सीमा को दोनों तरफ से संपर्क किया जाता है। [[इलेक्ट्रॉनिक घटक|विद्युतिए घटकों]] में [[आवृत्ति]] निर्भर व्यवहार को सम्मलित करने के लिए, एक प्रतिरोधक [[संधारित्र]] नमूना (आर सी नमूना) का उपयोग किया जाता है।ka
-एक ढांकता हुआ और एक धातु घटक के ऐसे मिश्रण का वर्णन करने के लिए हम बंधन-छिद्रण के मॉडल का उपयोग करते हैं।
-एक नियमित जाली पर, दो निकटतम पड़ोसियों के बीच का बंधन या तो संभाव्यता के साथ कब्जा किया जा सकता है <math> p </math> या संभाव्यता के साथ कब्जा नहीं किया <math> 1-p </math>. एक महत्वपूर्ण मूल्य मौजूद है <math> p_c </math>. व्यवसाय की संभावनाओं के लिए <math> p > p_c </math> कब्जे वाले बंधनों का एक अनंत समूह बनता है। यह मान <math> p_c </math> परकोलेशन दहलीज कहा जाता है। इस परकोलेशन थ्रेशोल्ड के पास के क्षेत्र को दो महत्वपूर्ण घातांकों द्वारा वर्णित किया जा सकता है <math> \nu </math> और <math> \beta </math> ([[ परकोलेशन क्रिटिकल एक्सपोर्टर ]] देखें)।
+== ज्यामितीय उत्पारण ==
+एक धातु घटक के मिश्रण का वर्णन करने के लिए हम बंधन छिद्रण के नमूने का उपयोग करते है।
+एक नियमित, दो के बीच का बंधन या तो संभाव्यता अधिकृत किया जा सकता है <math> p </math> या संभाव्यता अधिकृत नहीं किया जा सकता है <math> 1-p </math> एक महत्वपूर्ण मूल्य उपस्थित है <math> p_c </math> संभावनाओं के लिए <math> p > p_c </math> अधिकृत वाले बंधनों का एक अनंत समूह बनता है। इस मान को <math> p_c </math> उत्पारण सीमा कहा जाता है। इस उत्पारण सीमा के क्षेत्र को दो महत्वपूर्ण घातांकों द्वारा वर्णित किया जा सकता है <math> \nu </math> और <math> \beta </math> ([[ परकोलेशन क्रिटिकल एक्सपोर्टर |उत्पारण आलोचनात्मक निर्यातक]] देखें)।
 इन महत्वपूर्ण घातांकों के साथ हमारे पास सहसंबंध की लंबाई है, <math> \xi </math>
 <math> \xi(p) \propto (p_c - p)^{- \nu} </math>
-और परकोलेशन प्रायिकता, पी:
+और उत्पारण प्रायिकता है, P:
 <math> P(p) \propto (p - p_c)^{\beta} </math>
+== विद्युत उत्पारण ==
+विद्युत उत्पारण के विवरण के लिए, हम अनुबंध उत्पारण नमूने के अधिकृत वाले अनुबंध की पहचान धातु के घटक के साथ करते है जिसमें चालकता होती है <math> \sigma_m </math>. और चालकता के साथ घटक होते है <math> \sigma_d </math> गैर अधिकृत बंधनों से मेल खाता है। हम एक सुचालक विसंवाहक मिश्रण और एक सुपरसुचालक मिश्रण के निम्नलिखित दो प्रसिद्ध स्थितियों पर विचार करते है।
+=== सुचालक विसंवाहक मिश्रण ===
+सुचालक विसंवाहक मिश्रण के स्थिति में हमारे पास है <math> \sigma_d = 0 </math>. यह स्थिति व्यवहार का वर्णन करती है, यदि ऊपर से उत्पारण सीमा तक संपर्क किया जाता है:
-== विद्युत परकोलेशन ==
+<math> \sigma_{DC}(p) \propto \sigma_m (p - p_c)^t </math>
-विद्युत परकोलेशन के विवरण के लिए, हम बॉन्ड-परकोलेशन मॉडल के कब्जे वाले बॉन्ड की पहचान धातु के घटक के साथ करते हैं जिसमें चालकता होती है <math> \sigma_m </math>. और चालकता के साथ ढांकता हुआ घटक <math> \sigma_d </math> गैर-अधिकृत बांडों से मेल खाता है। हम एक कंडक्टर-इन्सुलेटर मिश्रण और एक सुपरकंडक्टर-कंडक्टर मिश्रण के निम्नलिखित दो प्रसिद्ध मामलों पर विचार करते हैं।
-=== कंडक्टर-इन्सुलेटर मिश्रण ===
+के लिए <math> p > p_c </math>
-कंडक्टर-इन्सुलेटर मिश्रण के मामले में हमारे पास है <math> \sigma_d = 0 </math>. यह मामला व्यवहार का वर्णन करता है, यदि ऊपर से अंतःस्रवण सीमा तक संपर्क किया जाता है:
-<math> \sigma_{DC}(p) \propto \sigma_m (p - p_c)^t </math>
+उत्पारण सीमा के नीचे हमारे पास कोई चालकता नहीं होती है। घातांक t विद्युत उत्पारण के लिए दो महत्वपूर्ण घातांकों में से एक होता है।
-के लिए <math> p > p_c </math>
-पर्कोलेशन थ्रेशोल्ड के नीचे हमारे पास कोई चालकता नहीं है, क्योंकि सही इंसुलेटर और सिर्फ धातु के गुच्छे हैं। घातांक टी विद्युत परकोलेशन के लिए दो महत्वपूर्ण घातांकों में से एक है।
 ===अतिचालक–चालक मिश्रण===
-[[सुपरकंडक्टर]]-कंडक्टर मिश्रण के दूसरे प्रसिद्ध मामले में हमारे पास है <math> \sigma_m = \infty </math>. यह मामला अंत:स्रवण दहलीज के नीचे विवरण के लिए उपयोगी है:
+[[सुपरकंडक्टर|सुपरसुचालक]] मिश्रण के दूसरे प्रसिद्ध स्थिति में हमारे पास है <math> \sigma_m = \infty </math> यह स्थिति उत्पारण सीमा के नीचे विवरण के लिए उपयोगी होते है:
 <math> \sigma_{DC}(p) \propto \sigma_d (p_c - p) ^{-s} </math>
 के लिए <math> p < p_c </math>
-अब, अंतःस्रवण दहलीज के ऊपर अनंत सुपरकंडक्टिंग क्लस्टर्स के कारण चालकता अनंत हो जाती है। और हमें इलेक्ट्रिकल परकोलेशन के लिए दूसरा क्रिटिकल एक्सपोनेंट भी मिलता है।
-=== अंतःस्रवण दहलीज के पास चालकता ===
+अब, उत्पारण सीमा के ऊपर अनंत सुपरसुचालक समूह के कारण चालकता अनंत हो जाती है, और हमें विद्युतिए उत्पारण के लिए दूसरा आलोचनात्मक निर्यातक भी मिलता है।
-परकोलेशन थ्रेसहोल्ड के आसपास के क्षेत्र में, चालकता एक स्केलिंग रूप लेती है:<ref name="Clerc" />
+=== उत्पारण सीमा चालकता ===
+उत्पारण सीमा के आसपास के क्षेत्र में, चालकता एक स्केलिंग रूप लेती है:<ref name="Clerc" />
 <math> \sigma(p) \propto \sigma_m |\Delta p|^t \Phi_{\pm} \left(h|\Delta p|^{-s-t}\right) </math>
 साथ <math> \Delta p \equiv p - p_c </math> और <math> h \equiv \frac{\sigma_d}{\sigma_m} </math>
-परकोलेशन दहलीज पर, चालकता मूल्य तक पहुँचती है:<ref name="Efros" />
+उत्पारण सीमा पर, चालकता मूल्य तक पहुँचती है:<ref name="Efros" />
 <math> \sigma_{DC}(p_c) \propto \sigma_m \left(\frac{\sigma_d}{\sigma_m}\right)^u </math>
 साथ <math> u = \frac{t}{t+s} </math>
 === महत्वपूर्ण घातांकों के लिए मान ===
-विभिन्न स्रोतों में 3 आयामों में महत्वपूर्ण घातांक s, t और u के लिए कुछ भिन्न मान मौजूद हैं:
+विभिन्न स्रोतों में 3 आयामों में महत्वपूर्ण घातांक s, t और u के लिए कुछ भिन्न मान उपस्थित है:
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+|+ 3 आयामों में महत्वपूर्ण घातांक के मान
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+स्थिरांक भी उत्पारण सीमा में एक महत्वपूर्ण व्यवहार दिखाता है। हमारे पास स्थिरांक के वास्तविक भाग के लिए है:<ref name="Efros" />
-ढांकता हुआ स्थिरांक =
-ढांकता हुआ स्थिरांक भी अंतःस्रवण सीमा के पास एक महत्वपूर्ण व्यवहार दिखाता है। हमारे पास ढांकता हुआ स्थिरांक के वास्तविक भाग के लिए:<ref name="Efros" />
 <math> \epsilon_1(\omega=0,p) = \frac{\epsilon_d}{|p-p_c|^s} </math>
+== आर सी नमूना ==
+आरसी नमूने के भीतर, उत्पारण नमूने में बंधन चालकता के साथ शुद्ध प्रतिरोधों द्वारा दर्शाए जाते है <math> \sigma_m = 1/R </math> अधिकृत वाले बंधनों के लिए और चालकता के साथ सही संधारित्र द्वारा <math> \sigma_d = i C \omega </math> (जहाँ <math> \omega </math> [[कोणीय आवृत्ति]] का प्रतिनिधित्व करता है) गैर अधिकृत बंधनों के लिए होता है। अब स्केलिंग नियम रूप लेता है:<ref name="Clerc" />
+<math> \sigma(p, \omega) \propto \frac{1}{R} |\Delta p|^t \Phi_{\pm} \left(\frac{ i \omega}{\omega_0}|\Delta p|^{-(s+t)}\right) </math>
-== आर-सी मॉडल ==
+इस स्केलिंग नियम में विशुद्ध रूप से काल्पनिक स्केलिंग चर और एक महत्वपूर्ण समय स्केल सम्मलित होता है
-आरसी मॉडल के भीतर, परकोलेशन मॉडल में बांड चालकता के साथ शुद्ध प्रतिरोधों द्वारा दर्शाए जाते हैं <math> \sigma_m = 1/R </math> कब्जे वाले बंधनों के लिए और चालकता के साथ सही कैपेसिटर द्वारा <math> \sigma_d = i C \omega </math> (कहाँ <math> \omega </math> [[कोणीय आवृत्ति]] का प्रतिनिधित्व करता है) गैर-अधिकृत बांडों के लिए। अब स्केलिंग कानून रूप लेता है:<ref name="Clerc" />
-<math> \sigma(p, \omega) \propto \frac{1}{R} |\Delta p|^t \Phi_{\pm} \left(\frac{ i \omega}{\omega_0}|\Delta p|^{-(s+t)}\right) </math>
-इस स्केलिंग कानून में विशुद्ध रूप से काल्पनिक स्केलिंग वैरिएबल और एक महत्वपूर्ण समय स्केल शामिल है
 <math> \tau^* = \frac{1}{\omega_0}|\Delta p|^{-(s+t)} </math>
-जो अलग हो जाता है अगर अंतःस्रवण दहलीज को ऊपर से और साथ ही नीचे से संपर्क किया जाता है।<ref name="Clerc" />
+जो अलग हो जाता है अगर उत्पारण सीमा को ऊपर से और साथ ही नीचे से संपर्क किया जाता है।<ref name="Clerc" />
-== घने नेटवर्क के लिए चालकता ==
+== सघन संजाल के लिए चालकता ==
-घने नेटवर्क के लिए, परकोलेशन की अवधारणा सीधे लागू नहीं होती है और नेटवर्क के ज्यामितीय गुणों के संदर्भ में प्रभावी प्रतिरोध की गणना की जाती है।<ref>{{Cite journal|last1=Kumar|first1=Ankush|last2=Vidhyadhiraja|first2=N. S.|last3=Kulkarni|first3=G. U .|year=2017|title=नैनोवायर नेटवर्क के संचालन में वर्तमान वितरण|journal=Journal of Applied Physics|volume=122|issue=4|pages=045101|doi=10.1063/1.4985792|bibcode=2017JAP...122d5101K}}</ref> यह मानते हुए कि किनारे की लंबाई << इलेक्ट्रोड रिक्ति और किनारों को समान रूप से वितरित किया जाना है, क्षमता को एक इलेक्ट्रोड से दूसरे में समान रूप से गिराने के लिए माना जा सकता है।
+घने संजाल के लिए, उत्पारण की अवधारणा सीधे लागू नहीं होती है और संजाल के ज्यामितीय गुणों के संदर्भ में प्रभावी प्रतिरोध की गणना की जाती है।<ref>{{Cite journal|last1=Kumar|first1=Ankush|last2=Vidhyadhiraja|first2=N. S.|last3=Kulkarni|first3=G. U .|year=2017|title=नैनोवायर नेटवर्क के संचालन में वर्तमान वितरण|journal=Journal of Applied Physics|volume=122|issue=4|pages=045101|doi=10.1063/1.4985792|bibcode=2017JAP...122d5101K}}</ref> यह मानते हुए कि किनारे की लंबाई << इलेक्ट्रोड और किनारों को समान रूप से वितरित किया जाता है, क्षमता को एक इलेक्ट्रोड से दूसरे में समान रूप से गिराने के लिए माना जा सकता है। ऐसे यादृच्छिक संजाल का प्रतिरोध (<math>R_{sn}</math>) किनारे घनत्व के संदर्भ में लिखा जा सकता है (<math>N_E</math>), प्रतिरोधकता (<math>\rho</math>), चौड़ाई (<math>w</math>) और मोटाई (<math>t</math>) किनारों के रूप में है:
-ऐसे यादृच्छिक नेटवर्क का शीट प्रतिरोध (<math>R_{sn}</math>) किनारे (तार) घनत्व के संदर्भ में लिखा जा सकता है (<math>N_E</math>), प्रतिरोधकता (<math>\rho</math>), चौड़ाई  (<math>w</math>) और मोटाई (<math>t</math>) किनारों (तारों) के रूप में:
 <math>R_{sn}\,=\,\frac{\pi}{2}\frac{\rho}{w\,t\,\sqrt{N_E}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,</math>
 == यह भी देखें ==
-* [[ परकोलेशन सिद्धांत ]]
+* [[ परकोलेशन सिद्धांत | उत्पारण सिद्धांत]]
 ==संदर्भ==

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