प्रत्यास्थ मापांक

प्रत्यास्थ मापांक (प्रत्यास्थता के मापांक के रूप में भी जाना जाता है) किसी वस्तु या पदार्थ के प्रतिरोध को प्रत्यास्थ रूप से विकृत होने के माप की इकाई होती है (अर्थात, गैर-स्थायी रूप से) जब उस पर एक प्रतिबल (यांत्रिकी) प्रयुक्त किया जाता है।

परिभाषा

किसी वस्तु के प्रत्यास्थ मापांक को प्रत्यास्थ विरूपण क्षेत्र में उसके प्रतिबल विकृति वक्र के प्रवणता के रूप में परिभाषित किया गया है: एक कठोर पदार्थ में एक उच्च प्रत्यास्थ मापांक होगा। प्रत्यास्थ मापांक का रूप होता है:

$\delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}$

जहां प्रतिबल वह बल है जो उस क्षेत्र द्वारा विभाजित विरूपण का कारण बनता है जिस पर बल लगाया जाता है और विकृति के कारण पैरामीटर के मूल मान के कारण कुछ पैरामीटर में परिवर्तन का अनुपात होता है।

चूंकि विकृति एक विमाहीन मात्रा होती है जिसका मात्रक $\delta$ प्रतिबल की इकाइयों के समान होगा।

प्रत्यास्थ मापांक के प्रकार

यह निर्दिष्ट करना कि प्रतिबल और विकृति को कैसे मापा जाना है, दिशाओं सहित, कई प्रकार के प्रत्यास्थ मापांक को परिभाषित करने की स्वीकृति देता है। चार प्राथमिक हैं:

1. यंग का मापांक (E) तन्यता और संपीड़ित प्रत्यास्थता का वर्णन करता है, या उस धुरी के साथ विरोधी शक्तियों को प्रयुक्त करने पर किसी धुरी के साथ विकृत होने की प्रवृत्ति का वर्णन करता है; इसे तन्य प्रतिबल से तन्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे प्रायः प्रत्यास्थ मापांक के रूप में जाना जाता है।
2. अपरूपण मापांक या कठोरता का मापांक (G या $\mu \,$लेमे दूसरा पैरामीटर) किसी वस्तु की अपरूपण (स्थिर आयतन पर आकार की विकृति) की प्रवृत्ति का वर्णन करता है जब विपरीत बल द्वारा उस पर कार्य किया जाता है; इसे अपरूपण प्रतिबल पर अपरूपण विकृति के रूप में परिभाषित किया गया है। अपरूपण मापांक श्यानता की व्युत्पत्ति का भाग है।
3. आयतन प्रत्यास्थाता गुणांक (K) आयतनमितीय प्रत्यास्थता का वर्णन करता है, या सभी दिशाओं में समान रूप से लोड होने पर सभी दिशाओं में विकृत होने की प्रवृत्ति का वर्णन करता है; इसे आयतनमितीय प्रतिबल (भौतिकी) पर आयतन-विकृति के रूप में परिभाषित किया गया है, और यहसम्पीड्यता का व्युत्क्रम है। आयतन प्रत्यास्थाता गुणांक यंग के मापांक का तीन आयामों का विस्तार है।
4. आनमन गुणांक (ईफ्लेक्स) किसी आघूर्ण पर कार्य करने पर वस्तु की नम्यता की प्रवृत्ति का वर्णन करता है।

दो अन्य प्रत्यास्थ मापांक हैं लैम का पहला पैरामीटर λ, और P-तरंग, मापांक M, जैसा कि नीचे दिए गए संदर्भों में मापांक तुलना की सारणी में उपयोग किया गया है। सजातीय और समदैशिक (सभी दिशाओं में समान) पदार्थ (ठोस) में उनके (रैखिक) प्रत्यास्थ गुण होते हैं जो पूरी तरह से दो प्रत्यास्थ मापांक द्वारा वर्णित होते हैं, और कोई भी युग्म चयन कर सकता है। प्रत्यास्थ मापांक की एक युग्म को देखते हुए, अन्य सभी प्रत्यास्थ मापांक की गणना पृष्ठ के अंत में नीचे दी गई सारणी में सूत्रों के अनुसार की जा सकती है।

अश्यान तरल पदार्थ इस माध्यम में विशेष हैं कि वे अपरूपण प्रतिबल का समर्थन नहीं कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि अपरूपण मापांक सदैव शून्य होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि इस समूह के लिए यंग का मापांक सदैव शून्य होता है।

कुछ ग्रंथों में, प्रत्यास्थता के मापांक को प्रत्यास्थ स्थिरांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि व्युत्क्रम मात्रा को प्रत्यास्थ मापांक कहा जाता है।

यह भी देखें

• बंकन की कठोरता
• गतिशील मापांक
• प्रत्यास्थता सीमा
• प्रत्यास्थतातरंग
• आनमनी मापांक
• हुक का नियम
• आवेग उत्तेजना तकनीक
• आनुपातिक सीमा
• कठोरता
• तनन सामर्थ्य
• अनुप्रस्थ समस्थानिक
• प्रत्यास्थता प्रदिश

अग्रिम पठन

• Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001). Engineering Mechanics. Volume 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5.

• De Jong, M.; Chen, Wei (2015). "Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds". Scientific Data. 2: 150009. Bibcode:2013NatSD...2E0009D. doi:10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348.

Conversion formulae
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D materials (second part).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Notes
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $\nu \geq 0$. The minus sign leads to $\nu \leq 0$.
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Cannot be used when $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D formulae	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Notes
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Cannot be used when $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$