मल्टीबॉडी सिस्टम: Difference between revisions

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मल्टीबॉडी सिस्टम परस्पर जुड़े कठोर या लचीले पिंडों के गतिशील व्यवहार का अध्ययन है, जिनमें से प्रत्येक बड़े [[अनुवाद (भौतिकी)]] और घूर्णी विस्थापन से गुजर सकता है।
'''मल्टीबॉडी सिस्टम''' परपस्पर संबद्ध दृढ़ या नमन्शील पिंडों के गतिशील व्यवहार का अध्ययन है, जिनमें से प्रत्येक बड़े [[अनुवाद (भौतिकी)|स्थानान्तरण (भौतिकी)]] और घूर्णी विस्थापन से गुजरता है।


== परिचय ==
== परिचय ==


इंटरकनेक्टेड निकायों के गतिशील व्यवहार के व्यवस्थित उपचार ने [[यांत्रिकी]] के क्षेत्र में बड़ी संख्या में महत्वपूर्ण मल्टीबॉडी औपचारिकताओं को जन्म दिया है। एक मल्टीबॉडी सिस्टम के सरलतम निकायों या तत्वों का इलाज [[आइजैक न्यूटन]] (मुक्त कण) और [[लियोनहार्ड यूलर]] (कठोर शरीर) द्वारा किया गया था। यूलर ने पिंडों के बीच प्रतिक्रिया बलों का परिचय दिया। बाद में, औपचारिकताओं की एक श्रृंखला प्राप्त की गई, केवल न्यूनतम निर्देशांक के आधार पर [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] की औपचारिकताओं का उल्लेख करने के लिए और दूसरा सूत्रीकरण जो बाधाओं का परिचय देता है।
अंतर्योजित पिंड निकायों के गतिशील व्यवहार के व्यवस्थित उपचार ने [[यांत्रिकी]] के क्षेत्र में अधिक संख्या में महत्वपूर्ण मल्टीबॉडी औपचारिकताओं को उत्पन्न किया है। मल्टीबॉडी सिस्टम के सरलतम निकायों या तत्वों का अभिक्रियित [[आइजैक न्यूटन]] (मुक्त कण) और [[लियोनहार्ड यूलर]] (दृढ़ पिंड) द्वारा किया गया था। यूलर ने पिंडों के बीच प्रतिक्रिया बलों का परिचय दिया। बाद में, औपचारिकताओं की श्रृंखला प्राप्त की गई, केवल [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] की औपचारिकताओं का उल्लेख करने के लिए न्यूनतम निर्देशांक पर आधारित और दूसरा सूत्रीकरण है जो बाधाओं का परिचय देता है।


मूल रूप से, निकायों की गति को उनके गतिज व्यवहार द्वारा वर्णित किया जाता है। [[विश्लेषणात्मक गतिशीलता]] व्यवहार लागू बलों के संतुलन और गति के परिवर्तन की दर से उत्पन्न होता है।
मूल रूप से, निकायों की गति को उनके गतिज व्यवहार द्वारा वर्णित किया जाता है। [[विश्लेषणात्मक गतिशीलता]] व्यवहार लागू बलों के संतुलन और गति के परिवर्तन की दर से उत्पन्न होता है। आजकल, मल्टीबॉडी सिस्टम शब्द बड़ी संख्या में अनुसंधान के इंजीनियरिंग क्षेत्रों विशेष रूप से रोबोटिक्स और वाहन गतिशीलता से संबंधित है। एक महत्वपूर्ण विशेषता के रूप में, मल्टीबॉडी सिस्टम औपचारिकताएं सामान्यतः हजारों परपस्पर संबद्ध निकायों की स्वेच्छ गति को मॉडल, विश्लेषण, अनुकरण और अनुकूलित करने के लिए एल्गोरिदमिक, कंप्यूटर-एडेड तरीका प्रदान करती हैं।
आजकल, मल्टीबॉडी सिस्टम शब्द बड़ी संख्या में अनुसंधान के इंजीनियरिंग क्षेत्रों से संबंधित है, विशेष रूप से रोबोटिक्स और वाहन गतिशीलता में। एक महत्वपूर्ण विशेषता के रूप में, मल्टीबॉडी सिस्टम औपचारिकताएं आमतौर पर हजारों इंटरकनेक्टेड निकायों की मनमानी गति को मॉडल, विश्लेषण, अनुकरण और अनुकूलित करने के लिए एक एल्गोरिदमिक, कंप्यूटर-एडेड तरीका प्रदान करती हैं।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==


जबकि एक यांत्रिक प्रणाली के एकल निकायों या भागों का परिमित तत्व विधियों के साथ विस्तार से अध्ययन किया जाता है, पूरे मल्टीबॉडी सिस्टम का व्यवहार आमतौर पर निम्नलिखित क्षेत्रों में मल्टीबॉडी सिस्टम विधियों के साथ अध्ययन किया जाता है:
जबकि यांत्रिक प्रणाली के एकल निकायों या भागों का परिमित तत्व विधियों के साथ विस्तार से अध्ययन किया जाता है, पूरे मल्टीबॉडी सिस्टम का व्यवहार सामान्यतः निम्नलिखित क्षेत्रों में मल्टीबॉडी सिस्टम विधियों के साथ किया जाता है:


* [[ अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग ]] (हेलीकॉप्टर, लैंडिंग गियर, विभिन्न गुरुत्वाकर्षण परिस्थितियों में मशीनों का व्यवहार)
* [[ अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग | वैमानिक और अन्तरिक्षीय अभियान्त्रिकी]] (हेलीकॉप्टर, लैंडिंग गियर, विभिन्न गुरुत्वाकर्षण परिस्थितियों में मशीनों का व्यवहार)
* [[ जैवयांत्रिकी ]]
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* सैन्य अनुप्रयोग
* सैन्य अनुप्रयोग
* [[एन-बॉडी सिमुलेशन]] (दानेदार मीडिया, रेत, अणु)
* [[एन-बॉडी सिमुलेशन|एन-पिंड अनुकरण]] (बारीक मीडिया, रेत, अणु)
* [[भौतिकी इंजन]]
* [[भौतिकी इंजन]]
* [[रोबोटिक]]्स
* [[रोबोटिक]]
* वाहन सिमुलेशन ([[वाहन की गतिशीलता]], वाहनों का तेजी से प्रोटोटाइप, स्थिरता में सुधार, आराम अनुकूलन, दक्षता में सुधार, ...)
* वाहन सिमुलेशन ([[वाहन की गतिशीलता]], वाहनों का तेजी से प्रोटोटाइप, स्थिरता में सुधार, पर्याप्त अनुकूलन, दक्षता में सुधार, ...)


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
निम्न उदाहरण एक विशिष्ट मल्टीबॉडी सिस्टम दिखाता है। इसे आमतौर पर स्लाइडर-क्रैंक तंत्र के रूप में दर्शाया जाता है। घूमने वाली ड्राइविंग बीम, एक कनेक्शन रॉड और एक स्लाइडिंग बॉडी के माध्यम से घूर्णन गति को अनुवादक गति में बदलने के लिए तंत्र का उपयोग किया जाता है। वर्तमान उदाहरण में, एक लचीली बॉडी का उपयोग कनेक्शन रॉड के लिए किया जाता है। स्लाइडिंग द्रव्यमान को घुमाने की अनुमति नहीं है और निकायों को जोड़ने के लिए तीन उल्टे जोड़ों का उपयोग किया जाता है। जबकि प्रत्येक शरीर में अंतरिक्ष में छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है, गतिज स्थिति पूरे सिस्टम के लिए एक डिग्री की स्वतंत्रता की ओर ले जाती है।
निम्न उदाहरण विशिष्ट मल्टीबॉडी सिस्टम दिखाता है। इसे सामान्यतः स्लाइडर-क्रैंक तंत्र के रूप में दर्शाया जाता है। घूर्णी ड्राइविंग बीम, कनेक्शन रॉड और स्लाइडिंग पिंड के माध्यम से घूर्णन गति को अनुवादक गति में बदलने के लिए तंत्र का उपयोग किया जाता है। वर्तमान उदाहरण में, नमन्शील पिंड का उपयोग कनेक्शन रॉड के लिए किया जाता है। स्लाइडिंग द्रव्यमान को घूर्णन की अनुमति नहीं है और निकायों को जोड़ने के लिए तीन कोरकुंचित जोड़ों का उपयोग किया जाता है। जबकि प्रत्येक पिंड में समष्टि में छह कोटि की स्वातंत्र्य होती है, गतिज स्थिति पूरे सिस्टम के लिए एक कोटि की स्वातंत्र्य की ओर ले जाती है।


:[[Image:Example MBS.jpg|216px|स्लाइडरक्रैंक]]तंत्र की गति को निम्न जीआईएफ एनीमेशन में देखा जा सकता है
:[[Image:Example MBS.jpg|216px|स्लाइडरक्रैंक]] तंत्र की गति को निम्न जीआईएफ एनीमेशन में देखा जा सकता है


:[[Image:slidercrank animation.gif|200px|स्लाइडररैंक-एनीमेशन]]
:[[Image:slidercrank animation.gif|200px|स्लाइडररैंक-एनीमेशन]]


== अवधारणा ==
== अवधारणा ==
एक शरीर को आमतौर पर एक यांत्रिक प्रणाली का कठोर या लचीला हिस्सा माना जाता है (मानव शरीर के साथ भ्रमित नहीं होना)। शरीर का एक उदाहरण रोबोट की भुजा, कार में पहिया या धुरा या मानव प्रकोष्ठ है। लिंक दो या दो से अधिक पिंडों, या एक पिंड का जमीन से जुड़ाव है। लिंक को कुछ (कीनेमेटिकल) बाधाओं द्वारा परिभाषित किया गया है जो निकायों के सापेक्ष गति को प्रतिबंधित करता है। विशिष्ट बाधाएं हैं:
पिंड को सामान्यतः यांत्रिक प्रणाली का दृढ़ या नमन्शील हिस्सा माना जाता है (मानव पिंड के साथ भ्रमित नहीं होना)। पिंड का उदाहरण रोबोट की भुजा, कार में पहिया या धुरा या मानव प्रकोष्ठ है। लिंक दो या दो से अधिक पिंडों, या पिंड का जमीन से जुड़ाव है। लिंक को कुछ (शुद्धगतिकीय) बाधाओं द्वारा परिभाषित किया गया है जो निकायों के सापेक्ष गति को प्रतिबंधित करता है। विशिष्ट बाधाएं हैं:


* [[ जिम्बल संयुक्त ]] या यूनिवर्सल जॉइंट; 4 किनेमेटिकल बाधाएं
* [[ जिम्बल संयुक्त |कार्डन ज्वाइंट]] या यूनिवर्सल जॉइंट; 4 शुद्धगतिकीय बाधाएं
* [[प्रिज्मीय जोड़]]; एक धुरी के साथ सापेक्ष विस्थापन की अनुमति है, सापेक्ष रोटेशन को विवश करता है; तात्पर्य 5 कीनेमेटिकल बाधाओं से है
* [[प्रिज्मीय जोड़|प्रिज्मीय ज्वाइंट]]; धुरी के साथ सापेक्ष विस्थापन की अनुमति है, सापेक्ष घूर्णन को विवश करता है; तात्पर्य 5 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है
* उल्टा जोड़; केवल एक सापेक्ष घुमाव की अनुमति है; तात्पर्य 5 कीनेमेटिकल बाधाओं से है; ऊपर का उदाहरण देखें
* कोरकुंचित ज्वाइंट; केवल सापेक्ष घुमाव की अनुमति है; तात्पर्य 5 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है; ऊपर का उदाहरण देखें
* [[गोलाकार जोड़]]; एक बिंदु में सापेक्ष विस्थापन को रोकता है, सापेक्ष रोटेशन की अनुमति है; तात्पर्य 3 कीनेमेटिकल बाधाओं से है
* [[गोलाकार जोड़|गोलाकार ज्वाइंट]]; बिंदु में सापेक्ष विस्थापन को रोकता है, सापेक्ष घूर्णन की अनुमति है; तात्पर्य 3 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है


मल्टीबॉडी सिस्टम में दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं: स्वतंत्रता की डिग्री और
मल्टीबॉडी सिस्टम में दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं: स्वातंत्र्य कोटि और प्रतिबंध की स्थिति।
विवशता की स्थिति।


=== स्वतंत्रता की डिग्री ===
=== स्वातंत्र्य कोटि ===


[[स्वतंत्रता की डिग्री (यांत्रिकी)]] स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र किनेमेटिकल संभावनाओं की संख्या को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, स्वतंत्रता की डिग्री अंतरिक्ष में किसी इकाई की स्थिति को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए आवश्यक मापदंडों की न्यूनतम संख्या है।
[[स्वतंत्रता की डिग्री (यांत्रिकी)|स्वातंत्र्य कोटि (यांत्रिकी)]] स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र शुद्धगतिकीय संभावनाओं की संख्या को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, स्वातंत्र्य कोटि समष्टि में किसी इकाई की स्थिति को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए आवश्यक मापदंडों की न्यूनतम संख्या है।


सामान्य स्थानिक गति के मामले में एक कठोर शरीर में स्वतंत्रता की छह डिग्री होती हैं, उनमें से तीन स्वतंत्रता की ट्रांसलेशनल डिग्री और स्वतंत्रता की तीन घूर्णी डिग्री होती हैं। तलीय गति के मामले में, एक शरीर में स्वतंत्रता की केवल तीन डिग्री होती है जिसमें केवल एक घूर्णी और दो स्थानांतरण स्वतंत्रता होती है।
सामान्य स्थानिक गति के मामले में दृढ़ पिंड में स्वातंत्र्य की छह कोटि होती हैं, उनमें से तीन स्वातंत्र्य की स्थानांतरीय कोटि और स्वातंत्र्य की तीन घूर्णी कोटि होती हैं। तलीय गति के मामले में, पिंड में स्वातंत्र्य की केवल तीन कोटि होती है जिसमें केवल एक घूर्णी और दो स्थानांतरण स्वातंत्र्य होती है।


कंप्यूटर माउस का उपयोग करके प्लेनर गति में स्वतंत्रता की डिग्री आसानी से प्रदर्शित की जा सकती है। स्वतंत्रता की डिग्री हैं: बाएँ-दाएँ, आगे-पीछे और ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना।
कंप्यूटर माउस का उपयोग करके तलीय गति में स्वातंत्र्य कोटि आसानी से प्रदर्शित की जा सकती है। स्वातंत्र्य कोटि हैं: बाएँ-दाएँ, आगे-पीछे और ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना।


=== प्रतिबंध की स्थिति ===
=== प्रतिबंध स्थिति ===


एक [[बाधा एल्गोरिथ्म]] एक या एक से अधिक निकायों की स्वतंत्रता की कीनेमेटिकल डिग्री में प्रतिबंध का तात्पर्य है। शास्त्रीय बाधा आमतौर पर एक बीजगणितीय समीकरण है जो दो निकायों के बीच सापेक्ष अनुवाद या रोटेशन को परिभाषित करता है। इसके अलावा दो पिंडों या एक पिंड और जमीन के बीच सापेक्ष वेग को बाधित करने की संभावनाएं हैं। यह उदाहरण के लिए एक रोलिंग डिस्क का मामला है, जहां डिस्क का वह बिंदु जो जमीन से संपर्क करता है, जमीन के संबंध में हमेशा शून्य सापेक्ष वेग होता है। इस मामले में कि स्थिति बाधा बनाने के लिए वेग बाधा स्थिति को समय पर एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसे गैर-होलोनोमिक बाधा कहा जाता है। यह सामान्य रोलिंग बाधा का मामला है।
[[बाधा एल्गोरिथ्म|प्रतिबंध स्थिति]] एक या एक से अधिक निकायों की स्वातंत्र्य की शुद्धगतिकीय कोटि में प्रतिबंध का तात्पर्य है। चिरसम्मत प्रतिबंध सामान्यतः बीजगणितीय समीकरण है जो दो निकायों के बीच सापेक्ष स्थानान्तरण या घूर्णन को परिभाषित करता है। इसके अतिरिक्त दो पिंडों या एक पिंड और जमीन के बीच सापेक्ष वेग को बाधित करने की संभावनाएं हैं। उदाहरण के लिए रोलिंग डिस्क है, जहां डिस्क का वह बिंदु जो जमीन से संपर्क करता है, जमीन के संबंध में हमेशा शून्य सापेक्ष वेग होता है। इस मामले में कि स्थिति प्रतिबंध बनाने के लिए वेग प्रतिबंध स्थिति को समय पर एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसे गैर-होलोनॉमी प्रतिबंध कहा जाता है। यह सामान्य रोलिंग प्रतिबंध का मामला है।


इसके अलावा गैर-शास्त्रीय बाधाएं भी हैं जो एक नए अज्ञात समन्वय को भी पेश कर सकती हैं, जैसे कि एक स्लाइडिंग जोड़, जहां शरीर के एक बिंदु को दूसरे शरीर की सतह के साथ चलने की अनुमति दी जाती है। संपर्क के मामले में, बाधा की स्थिति असमानताओं पर आधारित होती है और इसलिए ऐसी बाधा निकायों की स्वतंत्रता की डिग्री को स्थायी रूप से प्रतिबंधित नहीं करती है।
इसके अतिरिक्त गैर-चिरसम्मत बाधाएं भी हैं जो नए अज्ञात समन्वय को भी पेश कर सकती हैं, जैसे कि स्लाइडिंग ज्वाइंट, जहां पिंड के एक बिंदु को दूसरे पिंड की सतह के साथ चलने की अनुमति दी जाती है। संपर्क के मामले में, प्रतिबंध की स्थिति असमानताओं पर आधारित होती है और इसलिए ऐसी प्रतिबंध निकायों की स्वातंत्र्य कोटि को स्थायी रूप से प्रतिबंधित नहीं करती है।


== गति के समीकरण ==
== गति के समीकरण ==


गति के समीकरणों का उपयोग मल्टीबॉडी सिस्टम के गतिशील व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक मल्टीबॉडी सिस्टम फॉर्मूलेशन गति के समीकरणों के एक अलग गणितीय स्वरूप को जन्म दे सकता है जबकि भौतिकी समान है। विवश पिंडों की गति को समीकरणों के माध्यम से वर्णित किया जाता है जो मूल रूप से न्यूटन के दूसरे नियम से उत्पन्न होते हैं। समीकरण एकल निकायों की सामान्य गति के लिए बाधा स्थितियों के अतिरिक्त के साथ लिखे गए हैं। आमतौर पर गति के समीकरण [[न्यूटन-यूलर समीकरण]]ों या लैग्रेंजियन यांत्रिकी | लैग्रेंज के समीकरणों से प्राप्त किए जाते हैं।
गति के समीकरणों का उपयोग मल्टीबॉडी सिस्टम के गतिशील व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक मल्टीबॉडी सिस्टम सूत्रीकरण गति के समीकरणों के अलग गणितीय स्वरूप को जन्म दे सकता है जबकि भौतिकी समान है। विवश पिंडों की गति को समीकरणों के माध्यम से वर्णित किया जाता है जो मूल रूप से न्यूटन के दूसरे नियम से उत्पन्न होते हैं। समीकरण एकल निकायों की सामान्य गति के लिए प्रतिबंध स्थितियों के अतिरिक्त के साथ लिखे गए हैं। सामान्यतः गति के समीकरण [[न्यूटन-यूलर समीकरण]] के न्यूटन-यूलर समीकरण से प्राप्त किए जाते हैं।


दृढ़ पिंडों की गति का वर्णन किसके द्वारा किया जाता है?
दृढ़ पिंडों की गति का वर्णन किया जाता है


:<math>\mathbf{M(q)} \ddot{\mathbf{q}} - \mathbf{Q}_v + \mathbf{C_q}^T \mathbf{\lambda} = \mathbf{F},</math> (1)
:<math>\mathbf{M(q)} \ddot{\mathbf{q}} - \mathbf{Q}_v + \mathbf{C_q}^T \mathbf{\lambda} = \mathbf{F},</math> (1)
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:<math>\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = 0</math> (2)
:<math>\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = 0</math> (2)


गति के इस प्रकार के समीकरण तथाकथित निरर्थक निर्देशांक पर आधारित होते हैं, क्योंकि समीकरण अंतर्निहित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की तुलना में अधिक निर्देशांक का उपयोग करते हैं। सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathbf{q}</math>[[मास मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbf{M}(\mathbf{q})</math> जो सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर हो सकता है।
गति के इस प्रकार के समीकरण तथाकथित निरर्थक निर्देशांक पर आधारित होते हैं, क्योंकि समीकरण अंतर्निहित प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि की तुलना में अधिक निर्देशांक का उपयोग करते हैं। सामान्यीकृत निर्देशांक <math>\mathbf{q}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है[[मास मैट्रिक्स|, मास मैट्रिक्स]] <math>\mathbf{M}(\mathbf{q})</math> द्वारा दर्शाया गया है  जो सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर हो सकता है। <math>\mathbf{C}</math> प्रतिबंध स्थितियों और मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व <math>\mathbf{C_q}</math> करता है (कभी-कभी जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक कहा जाता है) निर्देशांक के संबंध में प्रतिबंध स्थितियों का व्युत्पन्न है। <math>\mathbf{\lambda}</math> निकायों के समीकरणों के अनुसार इस मैट्रिक्स का उपयोग प्रतिबंध बलों को लागू करने के लिए किया जाता है। सदिश के घटक <math>\mathbf{\lambda}</math> लैग्रेंज गुणक के रूप में भी निरूपित किया जाता है। दृढ़ पिंड में, संभावित निर्देशांकों को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है,
<math>\mathbf{C}</math> बाधा स्थितियों और मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है <math>\mathbf{C_q}</math> (कभी-कभी जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक कहा जाता है) निर्देशांक के संबंध में बाधा स्थितियों का व्युत्पन्न है। इस मैट्रिक्स का उपयोग बाधा बलों को लागू करने के लिए किया जाता है <math>\mathbf{\lambda}</math> निकायों के लेखा समीकरण के लिए। वेक्टर के घटक <math>\mathbf{\lambda}</math> लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के रूप में भी निरूपित किया जाता है। कठोर पिंड में, संभावित निर्देशांकों को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है,


<math>\mathbf{q} = \left[ \mathbf{u} \quad \mathbf{\Psi} \right]^T </math>
<math>\mathbf{q} = \left[ \mathbf{u} \quad \mathbf{\Psi} \right]^T </math>
कहाँ <math>\mathbf{u}</math> अनुवाद का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf{\Psi}</math> घुमावों का वर्णन करता है।


=== द्विघात वेग वेक्टर ===
जहाँ <math>\mathbf{u}</math> स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf{\Psi}</math> घुमावों का वर्णन करता है।
कठोर निकायों के मामले में, तथाकथित द्विघात वेग वेक्टर <math>\mathbf{Q}_v</math> गति के समीकरणों में कोरिओलिस और केन्द्रापसारक शब्दों का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है। नाम इसलिए है <math>\mathbf{Q}_v</math> वेगों की द्विघात शर्तों को शामिल करता है और इसका परिणाम शरीर की गतिज ऊर्जा के आंशिक व्युत्पन्न के कारण होता है।
 
=== द्विघात वेग सदिश ===
दृढ़ निकायों के मामले में, तथाकथित द्विघात वेग सदिश <math>\mathbf{Q}_v</math> गति के समीकरणों में कोरिओलिस और केन्द्रापसारक शब्दों का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इसलिए नाम है <math>\mathbf{Q}_v</math> वेगों की द्विघात शर्तों को सम्मिलित करता है और इसका परिणाम पिंड की गतिज ऊर्जा के आंशिक व्युत्पन्न के कारण होता है।


=== लग्रेंज गुणक ===
=== लग्रेंज गुणक ===


[[लैग्रेंज गुणक]] <math>\lambda_i</math> विवशता की स्थिति से संबंधित है <math>C_i=0</math> और आमतौर पर एक बल या क्षण का प्रतिनिधित्व करता है, जो स्वतंत्रता की बाधा की "दिशा" में कार्य करता है। किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा को बदलने वाली बाह्य शक्तियों की तुलना में लैग्रेंज गुणक कोई कार्य नहीं करते हैं।
[[लैग्रेंज गुणक]] <math>\lambda_i</math> प्रतिबंध की स्थिति से संबंधित है <math>C_i=0</math> और सामान्यतः एक बल या क्षण का प्रतिनिधित्व करता है, जो स्वातंत्र्य की प्रतिबंध की "दिशा" में कार्य करता है। किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा को बदलने वाली बाह्य बल की तुलना में लैग्रेंज गुणक कोई कार्य नहीं करते हैं।


=== न्यूनतम निर्देशांक ===
=== न्यूनतम निर्देशांक ===


गति के समीकरण (1,2) अनावश्यक निर्देशांक के माध्यम से प्रदर्शित होते हैं, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक स्वतंत्र नहीं हैं। इसे ऊपर दिखाए गए स्लाइडर-क्रैंक तंत्र द्वारा उदाहरण दिया जा सकता है, जहां प्रत्येक निकाय में स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है, जबकि अधिकांश निर्देशांक अन्य निकायों की गति पर निर्भर होते हैं। उदाहरण के लिए, कठोर निकायों के साथ स्लाइडर-क्रैंक की गति का वर्णन करने के लिए 18 निर्देशांक और 17 बाधाओं का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, चूंकि स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री है, गति के समीकरण को एक समीकरण और एक डिग्री की स्वतंत्रता के माध्यम से भी प्रदर्शित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए। ड्राइविंग लिंक का कोण स्वतंत्रता की डिग्री के रूप में। बाद के फॉर्मूलेशन में सिस्टम की गति का वर्णन करने के लिए न्यूनतम संख्या में निर्देशांक होते हैं और इस प्रकार इसे न्यूनतम निर्देशांक फॉर्मूलेशन कहा जा सकता है। निरर्थक निर्देशांकों को न्यूनतम निर्देशांकों में बदलना कभी-कभी बोझिल होता है और केवल होलोनोमिक बाधाओं के मामले में और बिना कीनेमेटिकल लूप के संभव होता है। केवल तथाकथित पुनरावर्ती सूत्रीकरण का उल्लेख करने के लिए गति के न्यूनतम समन्वय समीकरणों की व्युत्पत्ति के लिए कई एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं। परिणामी समीकरणों को हल करना आसान है क्योंकि बाधा स्थितियों के अभाव में, समय में गति के समीकरणों को एकीकृत करने के लिए मानक समय एकीकरण विधियों का उपयोग किया जा सकता है। जबकि घटी हुई प्रणाली को अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है, निर्देशांक का परिवर्तन कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है। बहुत सामान्य मल्टीबॉडी सिस्टम फॉर्मूलेशन और सॉफ्टवेयर सिस्टम में, अनावश्यक निर्देशांक का उपयोग सिस्टम को उपयोगकर्ता के अनुकूल और लचीला बनाने के लिए किया जाता है।
गति के समीकरण (1,2) अनावश्यक निर्देशांक के माध्यम से प्रदर्शित होते हैं, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक स्वतंत्र नहीं हैं। इसे ऊपर दिखाए गए स्लाइडर-क्रैंक तंत्र द्वारा उदाहरण दिया जा सकता है, जहां प्रत्येक निकाय में स्वातंत्र्य की छह कोटि होती है, जबकि अधिकांश निर्देशांक अन्य निकायों की गति पर निर्भर होते हैं। उदाहरण के लिए, दृढ़ निकायों के साथ स्लाइडर-क्रैंक की गति का वर्णन करने के लिए 18 निर्देशांक और 17 बाधाओं का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, चूंकि स्वातंत्र्य की केवल एक कोटि है, गति के समीकरण को एक समीकरण और एक कोटि की स्वातंत्र्य के माध्यम से भी प्रदर्शित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए ड्राइविंग लिंक का कोण स्वातंत्र्य कोटि के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। बाद के सूत्रीकरण में सिस्टम की गति का वर्णन करने के लिए न्यूनतम संख्या में निर्देशांक होते हैं और इस प्रकार इसे न्यूनतम निर्देशांक सूत्रीकरण कहा जा सकता है। निरर्थक निर्देशांकों को न्यूनतम निर्देशांकों में बदलना कभी-कभी बोझिल होता है और केवल होलोनॉमी बाधाओं के मामले में और बिना शुद्धगतिकीय लूप के संभव होता है। तथाकथित पुनरावर्ती सूत्रीकरण का उल्लेख करने के लिए गति के न्यूनतम समन्वय समीकरणों की व्युत्पत्ति के लिए कई एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं। परिणामी समीकरणों को हल करना आसान है क्योंकि प्रतिबंध स्थितियों के अभाव में, समय में गति के समीकरणों को एकीकृत करने के लिए मानक समय एकीकरण विधियों का उपयोग किया जा सकता है। जबकि घटी हुई प्रणाली को अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है, निर्देशांक का परिवर्तन कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है। बहुत सामान्य मल्टीबॉडी सिस्टम सूत्रीकरण और सॉफ्टवेयर सिस्टम में, अनावश्यक निर्देशांक का उपयोग सिस्टम को उपयोगकर्ता के अनुकूल और नमन्शील बनाने के लिए किया जाता है।


== फ्लेक्सिबल मल्टीबॉडी ==
== नमन्शील मल्टीबॉडी ==
ऐसे कई मामले हैं जिनमें शरीर के लचीलेपन पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए ऐसे मामलों में जहां लचीलापन कीनेमेटीक्स के साथ-साथ अनुपालन तंत्र में मौलिक भूमिका निभाता है।
ऐसे कई स्थिति हैं जिनमें पिंड के नमन्शील पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए ऐसे स्थितियों में जहां सुनम्यता शुद्धगतिविज्ञान के साथ-साथ अनुपालन तंत्र में मौलिक भूमिका निभाता है।


लचीलेपन को अलग तरीके से ध्यान में रखा जा सकता है। तीन मुख्य दृष्टिकोण हैं:
नमन्शील को अलग तरीके से ध्यान में रखा जा सकता है। तीन मुख्य दृष्टिकोण हैं:
* असतत लचीला मल्टीबॉडी, लचीला शरीर लोचदार कठोरता से जुड़े कठोर निकायों के एक सेट में बांटा गया है जो शरीर की लोच का प्रतिनिधि है
* असतत नमन्शील मल्टीबॉडी, नमन्शील पिंड लोचदार कठोरता से जुड़े दृढ़ निकायों के एक सेट में बांटा गया है जो पिंड की प्रत्यास्थता का प्रतिनिधि है
* मोडल संघनन, जिसमें मोड के आयाम से जुड़ी स्वतंत्रता की डिग्री का शोषण करके शरीर के कंपन के एक सीमित संख्या के माध्यम से लोच का वर्णन किया जाता है
* मोडल संघनन, जिसमें मोड के आयाम से जुड़ी स्वातंत्र्य कोटि का समुपयोजन करके पिंड के कंपन के सीमित संख्या के माध्यम से प्रत्यास्थता का वर्णन किया जाता है
* पूर्ण फ्लेक्स, शरीर के सभी लचीलेपन को उप तत्वों में असतत शरीर द्वारा लोचदार भौतिक गुणों से जुड़े एकल विस्थापन के साथ ध्यान में रखा जाता है
* पूर्ण फ्लेक्स, पिंड के सभी नमन्शील को उप तत्वों में असतत पिंड द्वारा लोचदार भौतिक गुणों से जुड़े एकल विस्थापन के साथ ध्यान में रखा जाता है


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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* E. Eich-Soellner, C. Führer, Numerical Methods in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998 (reprint Lund, 2008).
* E. Eich-Soellner, C. Führer, Numerical Methods in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998 (reprint Lund, 2008).
* T. Wasfy and A. Noor, "Computational strategies for flexible multibody systems," ASME. Appl. Mech. Rev. 2003;56(6):553-613. {{doi|10.1115/1.1590354}}.
* T. Wasfy and A. Noor, "Computational strategies for flexible multibody systems," ASME. Appl. Mech. Rev. 2003;56(6):553-613. {{doi|10.1115/1.1590354}}.
== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
* [http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ Collected links of John McPhee]
* [http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ Collected links of John McPhee]


[[Category: यांत्रिकी]] [[Category: गतिशील प्रणाली]]
[[Category: Machine Translated Page]]
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Latest revision as of 09:56, 21 June 2023

मल्टीबॉडी सिस्टम परपस्पर संबद्ध दृढ़ या नमन्शील पिंडों के गतिशील व्यवहार का अध्ययन है, जिनमें से प्रत्येक बड़े स्थानान्तरण (भौतिकी) और घूर्णी विस्थापन से गुजरता है।

परिचय

अंतर्योजित पिंड निकायों के गतिशील व्यवहार के व्यवस्थित उपचार ने यांत्रिकी के क्षेत्र में अधिक संख्या में महत्वपूर्ण मल्टीबॉडी औपचारिकताओं को उत्पन्न किया है। मल्टीबॉडी सिस्टम के सरलतम निकायों या तत्वों का अभिक्रियित आइजैक न्यूटन (मुक्त कण) और लियोनहार्ड यूलर (दृढ़ पिंड) द्वारा किया गया था। यूलर ने पिंडों के बीच प्रतिक्रिया बलों का परिचय दिया। बाद में, औपचारिकताओं की श्रृंखला प्राप्त की गई, केवल जोसेफ लुइस लाग्रेंज की औपचारिकताओं का उल्लेख करने के लिए न्यूनतम निर्देशांक पर आधारित और दूसरा सूत्रीकरण है जो बाधाओं का परिचय देता है।

मूल रूप से, निकायों की गति को उनके गतिज व्यवहार द्वारा वर्णित किया जाता है। विश्लेषणात्मक गतिशीलता व्यवहार लागू बलों के संतुलन और गति के परिवर्तन की दर से उत्पन्न होता है। आजकल, मल्टीबॉडी सिस्टम शब्द बड़ी संख्या में अनुसंधान के इंजीनियरिंग क्षेत्रों विशेष रूप से रोबोटिक्स और वाहन गतिशीलता से संबंधित है। एक महत्वपूर्ण विशेषता के रूप में, मल्टीबॉडी सिस्टम औपचारिकताएं सामान्यतः हजारों परपस्पर संबद्ध निकायों की स्वेच्छ गति को मॉडल, विश्लेषण, अनुकरण और अनुकूलित करने के लिए एल्गोरिदमिक, कंप्यूटर-एडेड तरीका प्रदान करती हैं।

अनुप्रयोग

जबकि यांत्रिक प्रणाली के एकल निकायों या भागों का परिमित तत्व विधियों के साथ विस्तार से अध्ययन किया जाता है, पूरे मल्टीबॉडी सिस्टम का व्यवहार सामान्यतः निम्नलिखित क्षेत्रों में मल्टीबॉडी सिस्टम विधियों के साथ किया जाता है:

उदाहरण

निम्न उदाहरण विशिष्ट मल्टीबॉडी सिस्टम दिखाता है। इसे सामान्यतः स्लाइडर-क्रैंक तंत्र के रूप में दर्शाया जाता है। घूर्णी ड्राइविंग बीम, कनेक्शन रॉड और स्लाइडिंग पिंड के माध्यम से घूर्णन गति को अनुवादक गति में बदलने के लिए तंत्र का उपयोग किया जाता है। वर्तमान उदाहरण में, नमन्शील पिंड का उपयोग कनेक्शन रॉड के लिए किया जाता है। स्लाइडिंग द्रव्यमान को घूर्णन की अनुमति नहीं है और निकायों को जोड़ने के लिए तीन कोरकुंचित जोड़ों का उपयोग किया जाता है। जबकि प्रत्येक पिंड में समष्टि में छह कोटि की स्वातंत्र्य होती है, गतिज स्थिति पूरे सिस्टम के लिए एक कोटि की स्वातंत्र्य की ओर ले जाती है।

स्लाइडरक्रैंक तंत्र की गति को निम्न जीआईएफ एनीमेशन में देखा जा सकता है
स्लाइडररैंक-एनीमेशन

अवधारणा

पिंड को सामान्यतः यांत्रिक प्रणाली का दृढ़ या नमन्शील हिस्सा माना जाता है (मानव पिंड के साथ भ्रमित नहीं होना)। पिंड का उदाहरण रोबोट की भुजा, कार में पहिया या धुरा या मानव प्रकोष्ठ है। लिंक दो या दो से अधिक पिंडों, या पिंड का जमीन से जुड़ाव है। लिंक को कुछ (शुद्धगतिकीय) बाधाओं द्वारा परिभाषित किया गया है जो निकायों के सापेक्ष गति को प्रतिबंधित करता है। विशिष्ट बाधाएं हैं:

  • कार्डन ज्वाइंट या यूनिवर्सल जॉइंट; 4 शुद्धगतिकीय बाधाएं
  • प्रिज्मीय ज्वाइंट; धुरी के साथ सापेक्ष विस्थापन की अनुमति है, सापेक्ष घूर्णन को विवश करता है; तात्पर्य 5 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है
  • कोरकुंचित ज्वाइंट; केवल सापेक्ष घुमाव की अनुमति है; तात्पर्य 5 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है; ऊपर का उदाहरण देखें
  • गोलाकार ज्वाइंट; बिंदु में सापेक्ष विस्थापन को रोकता है, सापेक्ष घूर्णन की अनुमति है; तात्पर्य 3 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है

मल्टीबॉडी सिस्टम में दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं: स्वातंत्र्य कोटि और प्रतिबंध की स्थिति।

स्वातंत्र्य कोटि

स्वातंत्र्य कोटि (यांत्रिकी) स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र शुद्धगतिकीय संभावनाओं की संख्या को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, स्वातंत्र्य कोटि समष्टि में किसी इकाई की स्थिति को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए आवश्यक मापदंडों की न्यूनतम संख्या है।

सामान्य स्थानिक गति के मामले में दृढ़ पिंड में स्वातंत्र्य की छह कोटि होती हैं, उनमें से तीन स्वातंत्र्य की स्थानांतरीय कोटि और स्वातंत्र्य की तीन घूर्णी कोटि होती हैं। तलीय गति के मामले में, पिंड में स्वातंत्र्य की केवल तीन कोटि होती है जिसमें केवल एक घूर्णी और दो स्थानांतरण स्वातंत्र्य होती है।

कंप्यूटर माउस का उपयोग करके तलीय गति में स्वातंत्र्य कोटि आसानी से प्रदर्शित की जा सकती है। स्वातंत्र्य कोटि हैं: बाएँ-दाएँ, आगे-पीछे और ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना।

प्रतिबंध स्थिति

प्रतिबंध स्थिति एक या एक से अधिक निकायों की स्वातंत्र्य की शुद्धगतिकीय कोटि में प्रतिबंध का तात्पर्य है। चिरसम्मत प्रतिबंध सामान्यतः बीजगणितीय समीकरण है जो दो निकायों के बीच सापेक्ष स्थानान्तरण या घूर्णन को परिभाषित करता है। इसके अतिरिक्त दो पिंडों या एक पिंड और जमीन के बीच सापेक्ष वेग को बाधित करने की संभावनाएं हैं। उदाहरण के लिए रोलिंग डिस्क है, जहां डिस्क का वह बिंदु जो जमीन से संपर्क करता है, जमीन के संबंध में हमेशा शून्य सापेक्ष वेग होता है। इस मामले में कि स्थिति प्रतिबंध बनाने के लिए वेग प्रतिबंध स्थिति को समय पर एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसे गैर-होलोनॉमी प्रतिबंध कहा जाता है। यह सामान्य रोलिंग प्रतिबंध का मामला है।

इसके अतिरिक्त गैर-चिरसम्मत बाधाएं भी हैं जो नए अज्ञात समन्वय को भी पेश कर सकती हैं, जैसे कि स्लाइडिंग ज्वाइंट, जहां पिंड के एक बिंदु को दूसरे पिंड की सतह के साथ चलने की अनुमति दी जाती है। संपर्क के मामले में, प्रतिबंध की स्थिति असमानताओं पर आधारित होती है और इसलिए ऐसी प्रतिबंध निकायों की स्वातंत्र्य कोटि को स्थायी रूप से प्रतिबंधित नहीं करती है।

गति के समीकरण

गति के समीकरणों का उपयोग मल्टीबॉडी सिस्टम के गतिशील व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक मल्टीबॉडी सिस्टम सूत्रीकरण गति के समीकरणों के अलग गणितीय स्वरूप को जन्म दे सकता है जबकि भौतिकी समान है। विवश पिंडों की गति को समीकरणों के माध्यम से वर्णित किया जाता है जो मूल रूप से न्यूटन के दूसरे नियम से उत्पन्न होते हैं। समीकरण एकल निकायों की सामान्य गति के लिए प्रतिबंध स्थितियों के अतिरिक्त के साथ लिखे गए हैं। सामान्यतः गति के समीकरण न्यूटन-यूलर समीकरण के न्यूटन-यूलर समीकरण से प्राप्त किए जाते हैं।

दृढ़ पिंडों की गति का वर्णन किया जाता है

(1)
(2)

गति के इस प्रकार के समीकरण तथाकथित निरर्थक निर्देशांक पर आधारित होते हैं, क्योंकि समीकरण अंतर्निहित प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि की तुलना में अधिक निर्देशांक का उपयोग करते हैं। सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है, मास मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है जो सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर हो सकता है। प्रतिबंध स्थितियों और मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है (कभी-कभी जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक कहा जाता है) निर्देशांक के संबंध में प्रतिबंध स्थितियों का व्युत्पन्न है। निकायों के समीकरणों के अनुसार इस मैट्रिक्स का उपयोग प्रतिबंध बलों को लागू करने के लिए किया जाता है। सदिश के घटक लैग्रेंज गुणक के रूप में भी निरूपित किया जाता है। दृढ़ पिंड में, संभावित निर्देशांकों को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है,

जहाँ स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है और घुमावों का वर्णन करता है।

द्विघात वेग सदिश

दृढ़ निकायों के मामले में, तथाकथित द्विघात वेग सदिश गति के समीकरणों में कोरिओलिस और केन्द्रापसारक शब्दों का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इसलिए नाम है वेगों की द्विघात शर्तों को सम्मिलित करता है और इसका परिणाम पिंड की गतिज ऊर्जा के आंशिक व्युत्पन्न के कारण होता है।

लग्रेंज गुणक

लैग्रेंज गुणक प्रतिबंध की स्थिति से संबंधित है और सामान्यतः एक बल या क्षण का प्रतिनिधित्व करता है, जो स्वातंत्र्य की प्रतिबंध की "दिशा" में कार्य करता है। किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा को बदलने वाली बाह्य बल की तुलना में लैग्रेंज गुणक कोई कार्य नहीं करते हैं।

न्यूनतम निर्देशांक

गति के समीकरण (1,2) अनावश्यक निर्देशांक के माध्यम से प्रदर्शित होते हैं, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक स्वतंत्र नहीं हैं। इसे ऊपर दिखाए गए स्लाइडर-क्रैंक तंत्र द्वारा उदाहरण दिया जा सकता है, जहां प्रत्येक निकाय में स्वातंत्र्य की छह कोटि होती है, जबकि अधिकांश निर्देशांक अन्य निकायों की गति पर निर्भर होते हैं। उदाहरण के लिए, दृढ़ निकायों के साथ स्लाइडर-क्रैंक की गति का वर्णन करने के लिए 18 निर्देशांक और 17 बाधाओं का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, चूंकि स्वातंत्र्य की केवल एक कोटि है, गति के समीकरण को एक समीकरण और एक कोटि की स्वातंत्र्य के माध्यम से भी प्रदर्शित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए ड्राइविंग लिंक का कोण स्वातंत्र्य कोटि के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। बाद के सूत्रीकरण में सिस्टम की गति का वर्णन करने के लिए न्यूनतम संख्या में निर्देशांक होते हैं और इस प्रकार इसे न्यूनतम निर्देशांक सूत्रीकरण कहा जा सकता है। निरर्थक निर्देशांकों को न्यूनतम निर्देशांकों में बदलना कभी-कभी बोझिल होता है और केवल होलोनॉमी बाधाओं के मामले में और बिना शुद्धगतिकीय लूप के संभव होता है। तथाकथित पुनरावर्ती सूत्रीकरण का उल्लेख करने के लिए गति के न्यूनतम समन्वय समीकरणों की व्युत्पत्ति के लिए कई एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं। परिणामी समीकरणों को हल करना आसान है क्योंकि प्रतिबंध स्थितियों के अभाव में, समय में गति के समीकरणों को एकीकृत करने के लिए मानक समय एकीकरण विधियों का उपयोग किया जा सकता है। जबकि घटी हुई प्रणाली को अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है, निर्देशांक का परिवर्तन कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है। बहुत सामान्य मल्टीबॉडी सिस्टम सूत्रीकरण और सॉफ्टवेयर सिस्टम में, अनावश्यक निर्देशांक का उपयोग सिस्टम को उपयोगकर्ता के अनुकूल और नमन्शील बनाने के लिए किया जाता है।

नमन्शील मल्टीबॉडी

ऐसे कई स्थिति हैं जिनमें पिंड के नमन्शील पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए ऐसे स्थितियों में जहां सुनम्यता शुद्धगतिविज्ञान के साथ-साथ अनुपालन तंत्र में मौलिक भूमिका निभाता है।

नमन्शील को अलग तरीके से ध्यान में रखा जा सकता है। तीन मुख्य दृष्टिकोण हैं:

  • असतत नमन्शील मल्टीबॉडी, नमन्शील पिंड लोचदार कठोरता से जुड़े दृढ़ निकायों के एक सेट में बांटा गया है जो पिंड की प्रत्यास्थता का प्रतिनिधि है
  • मोडल संघनन, जिसमें मोड के आयाम से जुड़ी स्वातंत्र्य कोटि का समुपयोजन करके पिंड के कंपन के सीमित संख्या के माध्यम से प्रत्यास्थता का वर्णन किया जाता है
  • पूर्ण फ्लेक्स, पिंड के सभी नमन्शील को उप तत्वों में असतत पिंड द्वारा लोचदार भौतिक गुणों से जुड़े एकल विस्थापन के साथ ध्यान में रखा जाता है

यह भी देखें

संदर्भ

  • J. Wittenburg, Dynamics of Systems of Rigid Bodies, Teubner, Stuttgart (1977).
  • J. Wittenburg, Dynamics of Multibody Systems, Berlin, Springer (2008).
  • K. Magnus, Dynamics of multibody systems, Springer Verlag, Berlin (1978).
  • P.E. Nikravesh, Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems, Prentice-Hall (1988).
  • E.J. Haug, Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Allyn and Bacon, Boston (1989).
  • H. Bremer and F. Pfeiffer, Elastische Mehrkörpersysteme, B. G. Teubner, Stuttgart, Germany (1992).
  • J. García de Jalón, E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems - The Real-Time Challenge, Springer-Verlag, New York (1994).
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  • E. Eich-Soellner, C. Führer, Numerical Methods in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998 (reprint Lund, 2008).
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बाहरी संबंध